高中數(shù)學(xué)必修二 直線的方程

編解析幾何§9.1直線的方程基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)要點(diǎn)梳理1.直線的傾斜角與斜率（1）直線的傾斜角①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸與直線l方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為.②傾斜角的范圍為.0°≤＜180°0°2021/5/91(2)直線的斜率①定義：一條直線的傾斜角的

叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k=

，傾斜角是90°的直線斜率不存在.②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式經(jīng)過兩點(diǎn)P1（x1,y1）,P2(x2,y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k=

正切值tan2021/5/922.直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式不含垂直于x軸的直線斜截式不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)式不含直線x=x1

（x1≠x2）和直線y=y1

（y1≠y2）2021/5/93截距式不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用2021/5/943.過P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線方程（1）若x1=x2,且y1≠y2時，直線垂直于x軸，方程為

;(2)若x1≠x2,且y1=y2時，直線垂直于y軸，方程為

;(3)若x1=x2=0，且y1≠y2時，直線即為y軸，方程為

;(4)若x1≠x2,且y1=y2=0時，直線即為x軸，方程為

.x=x1y=y1x=0y=02021/5/954.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式若點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），且線段P1P2的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x,y），則，此公式為線段P1P2的中點(diǎn)坐標(biāo)公式.2021/5/96基礎(chǔ)自測1.過點(diǎn)M（-2，m），N（m，4）的直線的斜率等于1，則m的值為（）

A.1B.4C.1或3D.1或4

解析∵kMN==1，∴m=1.A2021/5/972.經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的傾斜角是鈍角的是（）

A.（18，8），（4，-4）

B.（0，0），（，1）

C.（0，-1），（3，2）

D.（-4，1），（0，-1）2021/5/98解析對A過兩點(diǎn)的直線斜率對B過兩點(diǎn)的直線斜率對C過兩點(diǎn)的直線斜率對D過兩點(diǎn)的直線斜率∴過D中兩點(diǎn)的直線的傾斜角是鈍角.答案

D2021/5/993.下列四個命題中，假命題是（）

A.經(jīng)過定點(diǎn)P（x0，y0）的直線不一定都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示

B.經(jīng)過兩個不同的點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直線都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)來表示

C.與兩條坐標(biāo)軸都相交的直線不一定可以用方程表示

D.經(jīng)過點(diǎn)Q（0，b）的直線都可以表示為y=kx+b

解析

A不能表示垂直于x軸的直線，故正確；B

正確；C不能表示過原點(diǎn)的直線即截距為0的直線，故也正確；D不能表示斜率不存在的直線，不正確.D2021/5/9104.如果A·C＜0,且B·C＜0,那么直線Ax+By+C=0

不通過（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

解析由題意知A·B·C≠0.

直線方程變?yōu)閥=-x-，∵A·C＜0，B·C＜0，∴A·B＞0，∴其斜率k=-＜0,在y軸上的截距b=-＞0,∴直線過第一、二、四象限.C2021/5/9115.一條直線經(jīng)過點(diǎn)A（-2，2），并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為

.

解析設(shè)所求直線的方程為∵A（-2，2）在直線上，∴ ①又因直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1，∴|a|·|b|=1 ②

2021/5/912

由①②可得由（1）解得方程組（2）無解.

故所求的直線方程為即x+2y-2=0或2x+y+2=0為所求直線的方程.

答案

x+2y-2=0或2x+y+2=02021/5/913題型一直線的傾斜角【例1】若，則直線2xcos+3y+1=0

的傾斜角的取值范圍是（）

A.B.C.D.題型分類深度剖析2021/5/914思維啟迪

從斜率的定義先求出傾斜角的正切值的范圍，再確定傾斜角范圍.解析設(shè)直線的傾斜角為,則tan=-cos,又∵∈，∴0＜cos≤,∴≤cos＜0即-≤tan＜0,注意到0≤＜,∴≤＜.答案

B2021/5/915探究提高

（1）求一個角的范圍，是先求這個角某一個函數(shù)值的范圍，再確定角的范圍.（2）在已知兩個變量之間的關(guān)系式要求其中一個變量的范圍，常常是用放縮法消去一個變量得到另一個變量的范圍，解決本題時，可以利用余弦函數(shù)的單調(diào)性放縮傾斜角的取植范圍，其目的是消去變量得到。2021/5/916知能遷移1

直線xsin-y+1=0的傾斜角的變化范圍是（）A.B.(0,π)C.D.解析直線x·sin-y+1=0的斜率是k=sin,又∵-1≤sin≤1，∴-1≤k≤1，∴當(dāng)0≤k≤1時，傾斜角的范圍是；當(dāng)-1≤k＜0時，傾斜角的范圍是.D2021/5/917題型二直線的斜率【例2】已知直線l過點(diǎn)P（-1，2），且與以A（-2，-3），B（3，0）為端點(diǎn)的線段相交，求直線l的斜率的取值范圍.

分別求出PA、PB的斜率，直線l處于直線PA、PB之間，根據(jù)斜率的幾何意義利用數(shù)形結(jié)合即可求.解

方法一

如圖所示，直線PA的斜率直線PB的斜率思維啟迪2021/5/918當(dāng)直線l繞著點(diǎn)P由PA旋轉(zhuǎn)到與y軸平行的位置PC時，它的斜率變化范圍是［5，+∞）；當(dāng)直線l繞著點(diǎn)P由PC旋轉(zhuǎn)到PB的位置時，它的斜率的變化范圍是∴直線l的斜率的取值范圍是方法二

設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0.∵A、B兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線l上，∴（-2k+3+k+2）（3k-0+k+2）≤0，2021/5/919即（k-5）（4k+2）≥0，∴k≥5或k≤-.即直線l的斜率k的取值范圍是

∪［5，+∞）.

方法一運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合思想.當(dāng)直線的傾斜角由銳角變到直角及由直角變到鈍角時，需根據(jù)正切函數(shù)y=tan的單調(diào)性求k的范圍，數(shù)形結(jié)合是解析幾何中的重要方法.解題時，借助圖形及圖形性質(zhì)直觀判斷，明確解題思路，達(dá)到快捷解題的目的.方法二則巧妙利用了不等式所表示的平面區(qū)域的性質(zhì)使問題得以解決.探究提高2021/5/920知能遷移2

已知點(diǎn)A（1，3），B（-2，-1）.若直線l：y=k（x-2）+1與線段AB相交，則k的取值范圍是（）A.k≥B.k≤-2C.k≥或k≤-2D.-2≤k≤解析由已知直線l恒過定點(diǎn)P（2，1），如圖.若l與線段AB相交，則kPA≤k≤kPB，∵kPA=-2，kPB=，∴-2≤k≤.D2021/5/921題型三求直線的方程【例3】求適合下列條件的直線方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)P（3，2），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；（2）經(jīng)過點(diǎn)A（-1，-3），且傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍.

選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，把所需要的條件求出即可.解

（1）方法一設(shè)直線l在x,y軸上的截距均為a,若a=0，即l過點(diǎn)（0，0）和（3，2），∴l(xiāng)的方程為y=x，即2x-3y=0.思維啟迪2021/5/922若a≠0，則設(shè)l的方程為∵l過點(diǎn)（3，2），∴∴a=5，∴l(xiāng)的方程為x+y-5=0,綜上可知，直線l的方程為2x-3y=0或x+y-5=0.方法二由題意知，所求直線的斜率k存在且k≠0,設(shè)直線方程為y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,∴直線l的方程為y-2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.2021/5/923（2）由已知：設(shè)直線y=3x的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為2.∵tan=3,∴tan2=又直線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，-3），因此所求直線方程為y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.2021/5/924探究提高

在求直線方程時，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點(diǎn)斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線，故在解題時，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零，若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況.2021/5/925知能遷移3

求下列直線l的方程：（1）過點(diǎn)A（0，2），它的傾斜角的正弦值是；（2）過點(diǎn)A（2，1），它的傾斜角是直線l1：3x+4y+5=0的傾斜角的一半；（3）過點(diǎn)A（2，1）和直線x-2y-3=0與2x-3y-2=0的交點(diǎn).解

（1）設(shè)直線l的傾斜角為，則sin=,tan=±,由斜截式得y=±x+2,即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.2021/5/926（2）設(shè)直線l和l1的傾斜角分別為、，則解得tan=3或tan=-（舍去）.由點(diǎn)斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.（3）解方程組即兩條直線的交點(diǎn)為（-5，-4）.由兩點(diǎn)式得即5x-7y-3=0.2021/5/927題型四直線方程的應(yīng)用【例4】

（12分）過點(diǎn)P（2，1）的直線l交x軸、y

軸正半軸于A、B兩點(diǎn)，求使：（1）△AOB面積最小時l的方程；（2）|PA|·|PB|最小時l的方程.

先求出AB所在的直線方程，再求出A，

B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出△ABO的面積，然后利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識求最值.思維啟迪2021/5/928解

方法一設(shè)直線的方程為當(dāng)且僅當(dāng),即a=4,b=2時，S△AOB取最小值4，4分此時直線l的方程為6分1分3分2021/5/929當(dāng)且僅當(dāng)a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3時，|PA|·|PB|取最小值4.此時直線l的方程為x+y-3=0.12分8分10分2021/5/930方法二設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-2)(k＜0),則l與x軸、y軸正半軸分別交于當(dāng)且僅當(dāng)-4k=-,即k=-時取最小值，此時直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.6分1分3分2021/5/931（2）|PA|·|PB|=10分當(dāng)且僅當(dāng)=4k2,即k=-1時取得最小值,此時直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0.12分 求直線方程最常用的方法是待定系數(shù)法，本題所要求的直線過定點(diǎn)，設(shè)直線方程的點(diǎn)斜式，由另一條件確定斜率，思路順理成章，而方法一和方法二聯(lián)系已知條件與相關(guān)知識新穎獨(dú)特，需要較高的邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力.探究提高2021/5/932知能遷移4

已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R).（1）證明：直線l過定點(diǎn)；（2）若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；（3）若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S，求S的最小值并求此時直線l的方程.（1）證明直線l的方程是：k（x+2)+(1-y)=0,∴無論k取何值，直線總經(jīng)過定點(diǎn)（-2，1）.2021/5/933（2）解由方程知,當(dāng)k≠0時直線在x軸上的截距為

,在y軸上的截距為1+2k，要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有解之得k＞0;當(dāng)k=0時，直線為y=1,符合題意，故k≥0.2021/5/934（3）解由l的方程，得依題意得2021/5/935方法與技巧1.要正確理解傾斜角的定義，明確傾斜角的取值范圍，熟記斜率公式：k=，該公式與兩點(diǎn)順序無關(guān)，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)（x1≠x2）時，根據(jù)該公式可求出經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率.當(dāng)x1=x2，y1≠y2時，直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90°.思想方法感悟提高2021/5/9362.求斜率可用k=tan（≠90°），其中為傾斜角，由此可見傾斜角與斜率相互聯(lián)系不可分割，牢記：“斜率變化分兩段，90°是分界，遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否需討論”.3.求直線方程中一種重要的方法就是先設(shè)直線方程，再求直線方程中的系數(shù)，這種方法叫待定系數(shù)法.4.重視軌跡法求直線方程的方法，即在所求直線上設(shè)一任意點(diǎn)P（x，y），再找出x，y的一次關(guān)系式，例如求直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程、求直線關(guān)于直線對稱的直線方程就可用軌跡法來求.2021/5/937失誤與防范1.求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率.2.根據(jù)斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性.3.利用一般式方程Ax+By+C=0求它的方向向量為（-B，A）不可記錯，但同時注意方向向量是不唯一的.4.利用三種直線方程求直線方程時，要注意這三種直線方程都有適用范圍，利用它們都不能求出垂直于x軸的直線方程.2021/5/938一、選擇題1.

直線l經(jīng)過A（2，1）、B（1，m2）（m∈R）兩點(diǎn)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是（）

A.［0，）B.C.D.

解析

k==1-m2≤1,又k=tan,0≤＜,

所以l的傾斜角的取值范圍為定時檢測D2021/5/9392.直線l1:3x-y+1=0，直線l2過點(diǎn)（1，0），且它的傾斜角是l1的傾斜角的2倍，則直線l2的方程為（）

A.y=6x+1B.y=6(x-1)C.y=(x-1)D.y=-(x-1)

解析由tan=3可求出直線l2的斜率

k=tan2=

再由l2過點(diǎn)（1，0）即可求得直線方程.D2021/5/9403.若直線（2m2+m-3）x+(m2-m)y=4m-1在x軸上的截距為1,則實(shí)數(shù)m是()A.1B.2C.D.2或

解析當(dāng)2m2+m-3≠0時,

在x軸上截距為=1,即2m2-3m-2=0，∴m=2或m=.D2021/5/9414.直線x+(a2+1)y+1=0(a∈R)的傾斜角的取值范圍是（）

A.B.C.D.

解析斜率k=-≥-1,故k∈［-1，0），由圖象知傾斜角,故選B.B2021/5/9425.直線ax+y+1=0與連結(jié)A（2，3）、B（-3，2）的線段相交，則a的取值范圍是（）

A.［-1，2］

B.（-∞，-1）∪［2，+∞）

C.［-2，1］

D.（-∞，-2］∪［1，+∞）

解析直線ax+y+1=0過定點(diǎn)C（0，-1），當(dāng)直線處在AC與BC之間時，必與線段AB相交，應(yīng)滿足-a≥或-a≤，即a≤-2或a≥1.D2021/5/9436.已知直線x=2及x=4與函數(shù)y=log2x圖象的交點(diǎn)分別為A，B，與函數(shù)y=lgx圖象的交點(diǎn)分別為C，D，則直線AB與CD（）

A.相交，且交點(diǎn)在第Ⅰ象限

B.相交，且交點(diǎn)在第Ⅱ象限

C.相交，且交點(diǎn)在第Ⅳ象限

D.相交，且交點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)

解析易知A（2，1），B（4，2），原點(diǎn)

O（0，0），∴kOA=kOB=.∴直線AB過原點(diǎn).

同理C（2，lg2），D（4，2lg2），kOC=kOD=∴直線CD過原點(diǎn)，且與AB相交，故選D.D2021/5/944二、填空題7.過兩點(diǎn)A（m2+2，m2-3），B（3-m-m2，2m）的直線l的傾斜角為45°，則m的值為

.

解析由題意得：解得：m=-2或m=-1.

又m2+2≠3-m-m2,∴m≠-1且m≠,∴m=-2.

-22021/5/9458.若經(jīng)過點(diǎn)P（1-a,1+a）和Q（3，2a）的直線的傾斜角為銳角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.

解析由條件知直線的斜率存在，由公式得

因?yàn)閮A斜角為銳角，所以k＞0，解得a＞1或a＜-2.

所以a的取值范圍是{a|a＞1或a＜-2}.（-∞,-2）∪(1,+∞)2021/5/9469.直線y=x關(guān)于直線x=1對稱的直線方程是

.

解析在所求直線上任取一點(diǎn)坐標(biāo)為（x,y），設(shè)關(guān)于直線