麥克斯韋速率分布函數(shù)

一.分布的概念氣體系統(tǒng)是由大量分子組成，而各分子的速率通過(guò)碰撞不斷地改變，不可能逐個(gè)加以描述。·問(wèn)題的提出·分布的概念例如學(xué)生人數(shù)按年齡的分布15~1617~1819~2021~22人數(shù)按年齡的分布2000300040001000人數(shù)比率按年齡的分布20%30%40%10%§6-5麥克斯韋速率分布律

速率v1

～v2

v2

～v3…vi

～vi+Δv…分子數(shù)按速率的分布ΔN1ΔN2…ΔNi…

分子數(shù)比率按速的分布ΔN1/NΔN2/N…ΔNi/N…例如氣體分子按速率的分布｛ΔNi｝就是分子數(shù)按速率的分布二.氣體速率分布的實(shí)驗(yàn)測(cè)定1.實(shí)驗(yàn)裝置2.測(cè)量原理(1)能通過(guò)細(xì)槽到達(dá)檢測(cè)器D

的分子所滿足的條件通過(guò)改變角速度w的大小，選擇速率v

(2)通過(guò)細(xì)槽的寬度，選擇不同的速率區(qū)間(3)沉積在檢測(cè)器上相應(yīng)的金屬層厚度必定正比相應(yīng)速率下的分子數(shù)三.速率分布函數(shù)f(v)

設(shè)某系統(tǒng)處于平衡態(tài)下，

總分子數(shù)為

N

，則在v～v+dv

區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的比率為f(v)

稱為速率分布函數(shù)意義：分布在速率v

附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率。四.麥克斯韋速率分布定律理想氣體在平衡態(tài)下分子的速率分布函數(shù)(麥克斯韋速率分布函數(shù))式中μ為分子質(zhì)量，T為氣體熱力學(xué)溫度，

k為玻耳茲曼常量k=1.38×10-23J/K1.麥克斯韋速率分布定律理想氣體在平衡態(tài)下，氣體中分子速率在v～v+dv

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為這一規(guī)律稱為麥克斯韋速率分布定律說(shuō)明(1)從統(tǒng)計(jì)的概念來(lái)看講速率恰好等于某一值的分子數(shù)多少，是沒(méi)有意義的。(2)麥克斯韋速率分布定律對(duì)處于平衡態(tài)下的混合氣體的各組分分別適用。(3)在通常情況下實(shí)際氣體分子的速率分布和麥克斯韋速率分布能很好的符合。任一速率間隔v1到v2中分子數(shù)與總分子數(shù)的比率可表示為速率分布函數(shù)滿足歸一化條件2.麥克斯韋速率分布曲線f(v)vOv(速率分布曲線)·由圖可見(jiàn)，氣體中速率很小、速率很大的分子數(shù)都很少。

·在dv間隔內(nèi),曲線下的面積表示速率分布在v～v+dv

中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率v＋dv···在v1~v2區(qū)間內(nèi),曲線下的面積表示速率分布在v1~v2之間的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率v1v2TvOT(速率分布曲線)·曲線下面的總面積，等于分布在整個(gè)速率范圍內(nèi)所有各個(gè)速率間隔中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率的總和最概然速率vp

f(v)出現(xiàn)極大值時(shí),所對(duì)應(yīng)的速率稱為最概然速率

·(歸一化條件)f(v)

不同氣體,不同溫度下的速率分布曲線的關(guān)系·①μ

一定,T越大,這時(shí)曲線向右移動(dòng)②

T一定,

μ

越大,這時(shí)曲線向左移動(dòng)vp越大,

vp越小,T1f(v)vOT2(>T1)μ1f(v)vOμ2(>μ1)由于曲線下的面積不變,由此可見(jiàn)五.分子速率的三種統(tǒng)計(jì)平均值

1.平均速率式中M為氣體的摩爾質(zhì)量，R為摩爾氣體常量思考：

是否表示在v1

~v2區(qū)間內(nèi)的平均速率？3.最概然速率

2.方均根速率T(1)一般三種速率用途各不相同

討論分子的碰撞次數(shù)用說(shuō)明討論分子的平均平動(dòng)動(dòng)能用討論速率分布一般用f(v)vO(2)同一種氣體分子的三種速率的大小關(guān)系:···氦氣的速率分布曲線如圖所示.解例求(2)氫氣在該溫度時(shí)的最概然速率和方均根速率O(1)試在圖上畫(huà)出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況，(2)有N個(gè)粒子，其速率分布函數(shù)為(1)作速率分布曲線并求常數(shù)a(2)速率大于v0

和速率小于v0

的粒子數(shù)解例求(1)由歸一化條件得O(2)因?yàn)樗俾史植记€下的面積代表一定速率區(qū)間內(nèi)的分與總分子數(shù)的比率，所以因此，v>v0

的分子數(shù)為(2N/3)同理v<v0

的分子數(shù)為(N/3)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為根據(jù)麥克斯韋速率分布律，試求速率倒數(shù)的平均值。根據(jù)平均值的定義，速率倒數(shù)的平均值為解例根據(jù)麥克斯韋速率分布率，試證明速率在最概然速率vp~vp+Δv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與溫度成反比(設(shè)Δv

很小)將最概然速率代入麥克斯韋速率分布定律中，有例證金屬導(dǎo)體中的電子，在金屬內(nèi)部作無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，與容器中的氣體分子很類似。設(shè)金屬中共有N個(gè)電子，其中電子的最大速率為vm，設(shè)電子速率在v~v+dv

之間的幾率為式中A

為常數(shù)解例求該電子氣的平均速率因?yàn)閮H在（0，vm）區(qū)間分布有電子，所以

氣體分子按平動(dòng)動(dòng)能的分布規(guī)律麥克斯韋速率分布定律上式表明理想氣體在平衡態(tài)下，分子動(dòng)能在

~

+

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率。意義：代入上式得思考最概然平動(dòng)動(dòng)能是否等于最概然速率所對(duì)應(yīng)的平動(dòng)動(dòng)能?兩邊微分§6-6

分子的平均自由程和平均碰撞次數(shù)一個(gè)分子單位時(shí)間內(nèi)和其它分子碰撞的平均次數(shù)，稱為分子的平均碰撞頻率。

一.分子的平均碰撞頻率假設(shè)·每個(gè)分子都可以看成直徑為d的彈性小球，分子間的碰撞為完全彈性碰撞。大量分子中，只有被考察的特定分子A以平均速率運(yùn)動(dòng)，其它分子都看作靜止不動(dòng)。單位時(shí)間內(nèi)與分子A

發(fā)生碰撞的分子數(shù)為考慮到所有分子實(shí)際上都在運(yùn)動(dòng)，則有平均碰撞頻率為用宏觀量p、T表示的平均碰撞頻率為···分子在連續(xù)兩次碰撞之間自由運(yùn)動(dòng)的平均路程，稱為分子的平均自由程。二.分子的平均自由程用宏觀量p、T表示的分子平均自由程為說(shuō)明在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，各種氣體分子的平均碰撞頻率的數(shù)量級(jí)約為109s-1，平均自由程的數(shù)量級(jí)約為10-7~10-8m。估算氫氣分子在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下的平均碰撞頻率常溫常壓下，一個(gè)分子在一秒內(nèi)平均要碰撞幾十億次，可見(jiàn)氣體分子之間的碰撞是多么的頻繁！解例在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，有對(duì)氫氣分子取，則真空管的線度為10-2m

，其中真空度為1.33×