2023-2024學(xué)年江西省南昌市十校聯(lián)考八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年江西省南昌市十校聯(lián)考八年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．下列圖形中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．下列各組線段中，能構(gòu)成三角形的是（）A．2，5，7 B．4，4，8 C．4，5，6 D．4，5，103．若一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比為1：2：3，那么這個三角形是（）A．銳角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形4．到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A．三條邊垂直平分線交點(diǎn) B．三個內(nèi)角平分線交點(diǎn) C．三條中線交點(diǎn) D．三條高交點(diǎn)5．如圖，△ABC≌△DEF，點(diǎn)A與D，B與E分別是對應(yīng)頂點(diǎn)，且測得BC＝5cm，BF＝7cm，則EC長為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm6．如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且CE＝1.5，則AB的長為（）A．3 B．4.5 C．6 D．7.5二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．已知一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，則它的邊數(shù)為．8．若點(diǎn)M（m﹣1，1）與點(diǎn)N（3，n﹣1）關(guān)于y軸成軸對稱，則m+n＝．9．如圖，在三角形ABC中，∠B＝90°，若按圖中虛線剪去∠B，則∠1+∠2等于．10．如圖，已知∠1＝∠2，請你添加一個條件：，使得△ABD≌△ACD．11．如圖，在由邊長為1的小正方形組成的5×5的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在小方格的頂點(diǎn)上，要在小方格的頂點(diǎn)確定一點(diǎn)C，連接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．則方格圖中滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)有個．12．如圖所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于點(diǎn)E，AD＝10cm，AB＝7cm，那么DE的長度為cm．三、解答題（本大題共5小題，每小題5分，共30分）13．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝DF，BF＝EC，且AB∥DE．求證：AB＝DE．14．已知a，b，c是△ABC的三邊長．（1）若a，b，c滿足|a﹣b|+|b﹣c|＝0，試判斷△ABC的形狀；（2）化簡：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．15．如圖，在△ABC中，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，∠C＝∠ABC＝2∠A．求∠DBC的度數(shù)．16．如圖，在所給正方形網(wǎng)格（每個小網(wǎng)格的邊長是1）圖中完成下列各題．（1）格點(diǎn)△ABC（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）的面積＝；（2）在DE上畫出點(diǎn)P，使PB+PC最?。?7．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，且AD，BE交于點(diǎn)F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，求線段AF的長度．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，BD與CE交于點(diǎn)O，給出下列三個條件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC．（1）上述三個條件中，由哪兩個條件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序號寫出所有成立的情形）（2）請選擇（1）中的一種情形，說明你的理由．19．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC延長線上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BD，垂足為H，且∠CEH＝50°．（1）求∠ACE的度數(shù)；（2）求證：AE平分∠CAF．20．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)．將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點(diǎn)分別與A、D重合，連接BE、EC．（1）求證：△ABE≌△DCE．（2）試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動．（1）當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動速度是1cm/s，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度是2cm/s，當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），當(dāng)t＝2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；（2）當(dāng)它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（s），則當(dāng)t為何值時，△PBQ是直角三角形？22．閱讀并填空．將三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（點(diǎn)P在△ABC內(nèi)），如圖①所示，三角尺的兩邊PM，PN恰好經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C．我們來探究：∠ABP與∠ACP是否存在某種數(shù)量關(guān)系．（1）特例探索：若∠A＝50°，則∠PBC+∠PCB＝度；∠ABP+∠ACP＝度；（2）類比探索：求∠ABP，∠ACP，∠A的關(guān)系，并說明理由；（3）變式探索：如圖②所示，改變?nèi)浅叩奈恢?，使點(diǎn)P在△ABC外，三角尺的兩邊PM，PN仍恰好經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，求∠ABP，∠ACP，∠A的關(guān)系，并說明理由．六、解答題（本大題共1小題，共12分）23．通過對如圖數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問題：[模型呈現(xiàn)]如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個數(shù)學(xué)模型稱為“K字”模型或“一線三等角”模型；[模型應(yīng)用]如圖2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積為．A.50B.62C.65D.68[深入探究]如圖3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；

參考答案一、選擇題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）1．下列圖形中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形進(jìn)行分析即可．解：A、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；C、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了軸對稱圖形，正確掌握軸對稱圖形的定義是解題關(guān)鍵．2．下列各組線段中，能構(gòu)成三角形的是（）A．2，5，7 B．4，4，8 C．4，5，6 D．4，5，10【分析】根據(jù)三角形的三條邊必須滿足任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊即可判斷．解：A、2+5＝7，不能組成三角形，不符合題意；B、4+4＝8，不能組成三角形，不符合題意；C、4+5＞6，能組成三角形，符合題意；D、4+5＜10，不能組成三角形，不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查對三角形三邊關(guān)系的理解應(yīng)用．判斷是否可以構(gòu)成三角形，只要判斷兩個較小的數(shù)的和大于最大的數(shù)即可．3．若一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比為1：2：3，那么這個三角形是（）A．銳角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．直角三角形【分析】已知三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比，可以設(shè)一份為k°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列方程求三個內(nèi)角的度數(shù)，從而確定三角形的形狀．解：設(shè)一份為k°，則三個內(nèi)角的度數(shù)分別為k°，2k°，3k°．則k°+2k°+3k°＝180°，解得k°＝30°，∴k°＝30°，2k°＝60°，3k°＝90°，所以這個三角形是直角三角形．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了內(nèi)角和定理．解答此類題利用三角形內(nèi)角和定理列方程求解可簡化計(jì)算．4．到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是（）A．三條邊垂直平分線交點(diǎn) B．三個內(nèi)角平分線交點(diǎn) C．三條中線交點(diǎn) D．三條高交點(diǎn)【分析】根據(jù)線段垂直平分線的判定定理判斷即可．解：∵到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，∴到三角形各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是線段垂直平分線的判定，掌握到線段的兩個端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上是解題的關(guān)鍵．5．如圖，△ABC≌△DEF，點(diǎn)A與D，B與E分別是對應(yīng)頂點(diǎn)，且測得BC＝5cm，BF＝7cm，則EC長為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根據(jù)全等三角形性質(zhì)求出EF＝BC＝5cm，求出CF，代入EF﹣CF即可求出答案．解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝5cm，∵BF＝7cm，BC＝5cm，∴CF＝7﹣5＝2（cm），∴EC＝EF﹣CF＝3cm，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出BC和CF的長，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等．6．如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，且CE＝1.5，則AB的長為（）A．3 B．4.5 C．6 D．7.5【分析】由在等邊三角形ABC中，DE⊥BC，可求得∠CDE＝30°，則可求得CD的長，又由BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，由三線合一的知識，即可求得答案．解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE＝30°，∵EC＝1.5，∴CD＝2EC＝3，∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∴AD＝CD＝3，∴AB＝AC＝AD+CD＝6．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．已知一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，則它的邊數(shù)為8．【分析】首先設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，由n邊形的內(nèi)角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意得：180（n﹣2）＝1080，解得：n＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評】此題考查了多邊形的內(nèi)角和公式．此題比較簡單，注意熟記公式是準(zhǔn)確求解此題的關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．8．若點(diǎn)M（m﹣1，1）與點(diǎn)N（3，n﹣1）關(guān)于y軸成軸對稱，則m+n＝0．【分析】先根據(jù)點(diǎn)M（m﹣1，1）與點(diǎn)N（3，n﹣1）關(guān)于y軸成軸對稱求出m、n的值，再計(jì)算m+n即可．解：∵點(diǎn)M（m﹣1，1）與點(diǎn)N（3，n﹣1）關(guān)于y軸成軸對稱，∴m﹣1＝﹣3，n﹣1＝1，∴m＝﹣2，n＝2，∴m+n＝0，故答案為：0．【點(diǎn)評】本題考查了坐標(biāo)平面內(nèi)的軸對稱變換，關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．9．如圖，在三角形ABC中，∠B＝90°，若按圖中虛線剪去∠B，則∠1+∠2等于270°．【分析】根據(jù)直角三角形性質(zhì)求得∠A+∠C的度數(shù)，然后利用四邊形的內(nèi)角和即可求得答案．解：在三角形ABC中，∵∠B＝90°，∴∠A+∠C＝90°，∵四邊形內(nèi)角和為（4﹣2）×180°＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，故答案為：270°．【點(diǎn)評】本題考查直角三角形的性質(zhì)及四邊形內(nèi)角和，結(jié)合已知條件求得∠A+∠C的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，已知∠1＝∠2，請你添加一個條件：AB＝AC（答案不唯一），使得△ABD≌△ACD．【分析】要判定△ABD≌△ACD，已知AD＝AD，∠1＝∠2，具備了一組邊對應(yīng)相等，一組對應(yīng)角相等，故添加AB＝AC后可根據(jù)SAS判定△ABD≌△ACD．解：添加AB＝AC，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），故答案為：AB＝AC（答案不唯一）．【點(diǎn)評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．11．如圖，在由邊長為1的小正方形組成的5×5的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B在小方格的頂點(diǎn)上，要在小方格的頂點(diǎn)確定一點(diǎn)C，連接AC和BC，使△ABC是等腰三角形．則方格圖中滿足條件的點(diǎn)C的個數(shù)有6個．【分析】分兩種種情況，CA＝CB，BA＝BC．解：如圖所示：分兩種種情況：當(dāng)C在C1，C2，C3，C4位置上時，AC＝BC；當(dāng)C在C5，C6位置上時，AB＝BC；即滿足點(diǎn)C的個數(shù)是6，故答案為：6．【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的判定，分兩種情況討論是解題的關(guān)鍵．12．如圖所示，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于點(diǎn)E，AD＝10cm，AB＝7cm，那么DE的長度為1.5cm．【分析】過C作CF⊥AB，交AB的延長線于F，根據(jù)全等三角形的判定推出△BFC≌△DEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BF＝DE，根據(jù)全等三角形的判定得出Rt△FAC≌Rt△EAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AF＝AE，求出AD﹣AB＝2DE，再代入求出答案即可．解：過C作CF⊥AB，交AB的延長線于F，∵CF⊥AB，CE⊥AD，AC平分∠BAD，∴CE＝CF，∠F＝∠CED＝90°，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠FBC＝∠D，在△BFC和△DEC中，，∴△BFC≌△DEC（AAS），∴BF＝DE，在Rt△FAC和Rt△EAC中，，∴Rt△FAC≌Rt△EAC（HL），∴AF＝AE，∵AD＝10cm，AB＝7cm，∴AD﹣AB＝（AE+DE）﹣（AF﹣BF）＝AE+DE﹣AF+BF＝2DE＝10﹣7＝3（cm），解得：DE＝1.5cm，故答案為：1.5．【點(diǎn)評】本題考查了角平分線的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，能熟記角平分線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共5小題，每小題5分，共30分）13．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝DF，BF＝EC，且AB∥DE．求證：AB＝DE．【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)可得∠E＝∠B＝90°，根據(jù)BF＝EC可得BC＝EF，結(jié)合已知易證Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），從而得到結(jié)論．【解答】證明：∵AB∥DE，∠B＝90°，∴∠E＝∠B＝90°，∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，即BC＝EF，在Rt△ABC和Rt△DEF中，．∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．∴AB＝DE．【點(diǎn)評】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．14．已知a，b，c是△ABC的三邊長．（1）若a，b，c滿足|a﹣b|+|b﹣c|＝0，試判斷△ABC的形狀；（2）化簡：|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|．【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到a＝b＝c，得到△ABC為等邊三角形；（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得到a+b＞c，a+c＞b，根據(jù)絕對值的性質(zhì)計(jì)算即可．解：（1）∵|a﹣b|+|b﹣c|＝0，∴a﹣b＝0且b﹣c＝0，∴a＝b，b＝c，∴a＝b＝c，∴△ABC為等邊三角形；（2）∵a，b，c是△ABC的三邊長，∴a+b＞c，a+c＞b，∴|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|＝a+b﹣c+[﹣（b﹣c﹣a）]＝a+b﹣c﹣b+c+a＝2a．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系、絕對值的性質(zhì)，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在△ABC中，BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，∠C＝∠ABC＝2∠A．求∠DBC的度數(shù)．【分析】在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理，可求出∠A的度數(shù)，將其代入∠C＝2∠A中，可求出∠C的度數(shù)，由BD⊥AC，可得出∠BDC＝90°，再利用三角形內(nèi)角和定理，即可求出∠DBC的度數(shù)．解：在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠A＝＝36°，∴∠C＝2∠A＝2×36°＝72°．∵BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＝180°﹣∠BDC﹣∠C＝180°﹣90°﹣72°＝18°．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，牢記“三角形內(nèi)角和是180°”是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在所給正方形網(wǎng)格（每個小網(wǎng)格的邊長是1）圖中完成下列各題．（1）格點(diǎn)△ABC（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）的面積＝5；（2）在DE上畫出點(diǎn)P，使PB+PC最?。痉治觥浚?）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可．（2）取點(diǎn)B關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)B'，連接B'C，交直線DE于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．解：（1）△ABC的面積為＝5.故答案為：5．（2）如圖，取點(diǎn)B關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)B'，連接B'C，交直線DE于點(diǎn)P，連接BP，此時滿足PB+PC最?。畡t點(diǎn)P即為所求．【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖、軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．17．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，且AD，BE交于點(diǎn)F，若BF＝AC，CD＝3，BD＝8，求線段AF的長度．【分析】利用AAS證明△BDF≌△ADC，得DF＝CD＝3，AD＝BD＝8，即可得出答案．解：∵AD是BC邊上的高，BE是AC邊上的高，∴∠ADB＝∠AEB＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠CAD＝∠DBF，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（AAS），∴DF＝CD＝3，AD＝BD＝8，∴AF＝AD﹣DF＝8﹣3＝5．【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，證明△BDF≌△ADC是解題的關(guān)鍵．四、解答題（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，BD與CE交于點(diǎn)O，給出下列三個條件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC．（1）上述三個條件中，由哪兩個條件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序號寫出所有成立的情形）（2）請選擇（1）中的一種情形，說明你的理由．【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定得出答案；（2）由等腰三角形的性質(zhì)，得出∠OBC＝∠OCB，又∠EBO＝∠DCO，得到∠ABC＝∠ACB，進(jìn)而證出AB＝AC．解：（1）由①②或①③可以判定△ABC是等腰三角形；（2）由①②判定△ABC是等腰三角形，理由如下：在△BOE和△COD中，∵∠EBO＝∠DCO，BE＝CD，∠BOE＝∠COD，∴△BOE≌△COD，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC+∠EBO＝∠OCB+∠DCO，即：∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．①③判定△ABC是等腰三角形，理由如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，又∵∠EBO＝∠DCO，∴∠OBC+∠EBO＝∠OCB+∠DCO，即：∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．【點(diǎn)評】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等等知識，利用三角形全等得出角相等，線段相等進(jìn)而證出結(jié)論是常用的方法．19．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊BC延長線上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EH⊥BD，垂足為H，且∠CEH＝50°．（1）求∠ACE的度數(shù)；（2）求證：AE平分∠CAF．【分析】（1）由∠ACB＝100°，利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，可求出∠ACD的度數(shù)，由EH⊥BD，可得出∠CHE＝90°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，可求出∠ECH的度數(shù)，再結(jié)合∠ACE＝∠ACD﹣∠ECH，即可求出∠ACE的度數(shù)；（2）過點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)M，作EN⊥AC于點(diǎn)N，由BE平分∠ABC，利用角平分線的性質(zhì)，可得出EM＝EH，由∠ACE＝∠ECH＝40°，可得出CE平分∠ACD，，利用角平分線的性質(zhì)，可得出EN＝EH，結(jié)合EM＝EH，可得出EM＝EN，進(jìn)而可證出AE平分∠CAF．【解答】（1）解：∵∠ACB＝100°，∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣100°＝80°，∵EH⊥BD，∴∠CHE＝90°，∴∠ECH＝180°﹣∠CHE﹣∠CEH＝180°﹣90°﹣50°＝40°，∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECH＝80°﹣40°＝40°；（2）證明：過點(diǎn)E作EM⊥BF于點(diǎn)M，作EN⊥AC于點(diǎn)N，∵BE平分∠ABC，∴EM＝EH，∵∠ACE＝∠ECH＝40°，∴CE平分∠ACD，∴EN＝EH，∴EM＝EN，∴AE平分∠CAF．【點(diǎn)評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、垂線以及鄰補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是：（1）利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)及三角形內(nèi)角和定理，求出∠ACD及∠ECH的度數(shù)；（2）牢記“角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”．20．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)．將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點(diǎn)分別與A、D重合，連接BE、EC．（1）求證：△ABE≌△DCE．（2）試猜想線段BE和EC的數(shù)量及位置關(guān)系，并證明你的猜想．【分析】（1）根據(jù)SAS證△ABE≌△DCE；（2）BE＝EC，BE⊥EC，證△ABE≌△DCE，推出BE＝EC，∠AEB＝∠DEC，求出∠DEC+∠BED＝90°即可．【解答】（1）證明：∵∠EAD＝45°，∠BAC＝90°，∴∠BAE＝135°，∵∠EDC＝135°，∴∠BAE＝∠CDE，∵點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AC＝2CD，又∵AC＝2AB，∴CD＝AB，在△ABE和△DCE中．∴△ABE≌△DCE（SAS）；（2）解：BE＝EC，BE⊥EC，理由如下：由（1）知，△ABE≌△DCE，∴BE＝EC，∠AEB＝∠DEC，∵∠AED＝90°，∴∠AEB+∠BED＝90°，∴∠DEC+∠BED＝90°，即：∠BEC＝90°，∴BE⊥EC．【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，AAS，ASA，SSS，全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動．（1）當(dāng)點(diǎn)P的運(yùn)動速度是1cm/s，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度是2cm/s，當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），當(dāng)t＝2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；（2）當(dāng)它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t（s），則當(dāng)t為何值時，△PBQ是直角三角形？【分析】（1）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得：AB＝6cm，∠B＝60°，當(dāng)t＝2時，計(jì)算BP和BQ的長，根據(jù)等邊三角形的判定可得結(jié)論；（2）若△PBQ是直角三角形，則∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，根據(jù)直角三角形含30度角的性質(zhì)列方程可解答．解：（1）如圖，根據(jù)題意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，當(dāng)t＝2時，AP＝2cm，BQ＝4cm，∵△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，∴AB＝6cm，∠B＝60°，∴BP＝4cm，∴BP＝BQ，∴△BPQ是等邊三角形；（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，則∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，①當(dāng)∠BQP＝90°時，∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即t＝，解得：t＝2；②當(dāng)∠BPQ＝90°時，同理得：BP＝BQ，即6﹣t＝t，解得：t＝4，答：當(dāng)t＝2s或t＝4s時，△PBQ是直角三角形．【點(diǎn)評】本題主要考查了直角三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，幾何動點(diǎn)問題，熟練掌握直角三角形含30度角的性質(zhì)是關(guān)鍵．22．閱讀并填空．將三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（點(diǎn)P在△ABC內(nèi)），如圖①所示，三角尺的兩邊PM，PN恰好經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C．我們來探究：∠ABP與∠ACP是否存在某種數(shù)量關(guān)系．（1）特例探索：若∠A＝50°，則∠PBC+∠PCB＝90度；∠ABP+∠ACP＝40度；（2）類比探索：求∠ABP，∠ACP，∠A的關(guān)系，并說明理由；（3）變式探索：如圖②所示，改變?nèi)浅叩奈恢?，使點(diǎn)P在△ABC外，三角尺的兩邊PM，PN仍恰好經(jīng)過點(diǎn)B和點(diǎn)C，求∠ABP，∠ACP，∠A的關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．（2）結(jié)論：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形內(nèi)角和定理即可證明．（3）不成立；存在結(jié)論：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．解：（1）∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∵∠P＝90°，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°，故答案為：90，40；（2）結(jié)論：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．證明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．故答案為：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；（3）結(jié)論：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，理由是：設(shè)AB交PC于O，如圖2：∵∠AOC＝∠POB，∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP，∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，故答案為：∠ACP﹣∠ABP＝