2023-2024學(xué)年山東省淄博市張店區(qū)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）（含解析）

2023-2024學(xué)年山東省淄博市張店區(qū)八年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（五四學(xué)制）一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項填涂在答題紙的相應(yīng)位置上）1．在式子；；；；；；中，分式的個數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．22．當(dāng)x＝1時，下列分式無意義的是（）A． B． C． D．3．下列等式由左邊至右邊的變形中，屬于因式分解且因式分解正確的是（）A．a(chǎn)2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b） B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x C．4xy2﹣4x2y﹣y3＝y(tǒng)（4xy﹣4x2﹣y2） D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）4．若分式可以進(jìn)行約分化簡，則該分式中的A不可以是（）A．1 B．x C．﹣x D．45．?dāng)?shù)學(xué)老師計算同學(xué)們一學(xué)期的總評成績時，將平時、期中和期末的成績按2：3：5計算，若小紅平時、期中和期末的成績分別是90分、80分、96分，則小紅一學(xué)期的數(shù)學(xué)總評成績是（）A．90分 B．91分 C．92分 D．93分6．將分式中的x，y的值同時擴(kuò)大為原來的3倍，則分式的值（）A．?dāng)U大6倍 B．?dāng)U大9倍 C．不變 D．?dāng)U大3倍7．為貫徹落實習(xí)近平總書記關(guān)于黃河流域生態(tài)保護(hù)和高質(zhì)量發(fā)展的重要講話精神，某學(xué)校組織初一、初二兩個年級學(xué)生到黃河岸邊開展植樹造林活動．已知初一植樹900棵與初二植樹1200棵所用的時間相同，兩個年級平均每小時共植樹350棵．求初一年級平均每小時植樹多少棵？設(shè)初一年級平均每小時植樹x棵，則下面所列方程中正確的是（）A． B． C． D．8．某中學(xué)籃球隊12名隊員的年齡情況如下表，關(guān)于這12名隊員的年齡，下列說法中正確的是（）年齡/歲1213141516人數(shù)13422A．眾數(shù)為14 B．極差為3 C．中位數(shù)為13 D．平均數(shù)為149．分式方程有增根，則m的值為（）A．3 B．6 C．1或﹣2 D．0或610．定義：如果兩個分式的積等于這兩個分式的差乘以一個常數(shù)，那么這兩個分式叫做和諧分式．如，則與是和諧分式．下列每組兩個分式是和諧分式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共計20分．不需寫出解答過程，請把最后結(jié)果直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）11．分解因式：x2y﹣y3＝．12．能使分式的值為零的x取值是．13．為迎接全市的禁毒知識競賽，某校進(jìn)行了相關(guān)知識測試，經(jīng)過層層預(yù)賽，小洋和小亮進(jìn)入了最后的決賽．如圖，是他們6次的測試成績，若要從中選一名測試成績穩(wěn)定的同學(xué)去參加競賽，則應(yīng)選．（填“小洋”或“小亮”）．14．關(guān)于x的方程＝﹣2的解為正數(shù)，則a的取值范圍為．15．我們在學(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時，可以用幾何圖形來推理驗證．觀察圖1，a2﹣1＝a（a﹣1）+（a﹣1）＝（a﹣1）（a+1）．接下來，觀察圖2，通過類比思考，因式分解a3﹣1＝＝．三、解答題（本題共8小題，請把解答過程寫在答題紙上）16．（1）因式分解：﹣9x2y+12xy2﹣4y3；（2）利用因式分解計算：（﹣2）101+2100．17．（1）化簡：；（2）先化簡：，再從﹣1，0，1中取一個你喜歡的數(shù)代入求值．18．解方程：（1）．（2）．19．將a克糖放入水中，得到b克糖水，此時糖水的含糖量我們可以記為（b＞a＞0）．（1）再往杯中加入m（m＞0）克糖，生活中的經(jīng)驗告訴我們糖水變甜了，用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為；A.＞B.＝C.＜（2）請證明你的選擇．20．某商廈進(jìn)貨員預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場，就用8萬元購進(jìn)這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求．商廈又用17.6萬元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍，但單價貴了4元．（1）求兩次所購數(shù)量分別是多少？（列分式方程求解）（2）商廈銷售這種襯衫時每件定價都是60元，最后剩下150件按8折銷售，很快售完．在這兩筆生意中，商廈共盈利多少元？21．某校舞蹈隊共16名學(xué)生，測量并獲取了所有學(xué)生的身高（單位：cm），數(shù)據(jù)整理如下：a.16名學(xué)生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；b.16名學(xué)生的身高的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)166.75mn（1）寫出表中m，n的值；（2）對于不同組的學(xué)生，如果一組學(xué)生的身高的方差越小，則認(rèn)為該組舞臺呈現(xiàn)效果越好，據(jù)此推斷：在下列兩組學(xué)生中，舞臺呈現(xiàn)效果更好的是（填“甲組”或“乙組”）；甲組學(xué)生的身高162165165166166乙組學(xué)生的身高161162164165175（3）該舞蹈隊要選五名學(xué)生參加比賽，已確定三名學(xué)生參賽，他們的身高分別為168，168，172，他們的身高的方差為．在選另外兩名學(xué)生時，首先要求所選的兩名學(xué)生與已確定的三名學(xué)生所組成的五名學(xué)生的身高的方差小于，其次要求所選的兩名學(xué)生與已確定的三名學(xué)生所組成的五名學(xué)生的身高的平均數(shù)盡可能大，則選出的另外兩名學(xué)生的身高分別為和．22．如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”，兩個正整數(shù)為它的“智慧分解”．例如，因為16＝52﹣32，所以16就是一個智慧數(shù)，而5和3則是16的智慧分解．那么究竟哪些數(shù)為智慧數(shù)？第2022個智慧數(shù)是否存在，若存在，又是哪個數(shù)？為此，小明和小穎展開了如下探究．小穎的方法是通過計算，一個個羅列出來：3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，9＝52﹣42，…小明認(rèn)為小穎的方法太麻煩，他想到：設(shè)兩個數(shù)分別為k+1，k，其中k≥1，且k為整數(shù)．則（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．（1）根據(jù)上述探究，可以得出：除1外，所有都是智慧數(shù)，并請直接寫出11，15的智慧分解；（2）繼續(xù)探究，他們發(fā)現(xiàn)8＝32﹣12，12＝42﹣22，所以8和12均是智慧數(shù)，由此，他們猜想：4k（k≥2，且k為整數(shù)）均為智慧數(shù)．請證明他們的猜想；（3）根據(jù)以上所有探究，請直接寫出第2023個智慧數(shù)，以及它的智慧分解．23．閱讀理解：材料1：為了研究分式與其分母x的數(shù)量變化關(guān)系，小力制作了表格，并得到如下數(shù)據(jù)：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234……﹣0.25﹣0.﹣0.5﹣1無意義10.50.0.25…從表格數(shù)據(jù)觀察，當(dāng)x＞0時，隨著x的增大，的值隨之減小，若x無限增大，則無限接近于0；當(dāng)x＜0時，隨著x的增大，的值也隨之減小．材料2：在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式．如果分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．任何一個假分式都可以化為一個整式與一個真分式的和．例如：；根據(jù)上述材料完成下列問題：（1）當(dāng)x＞0時，隨著x的增大，的值（增大或減?。划?dāng)x＜0時，隨著x的增大，的值（增大或減小）；（2）當(dāng)x＞﹣3時，隨著x的增大，的值無限接近一個數(shù)，請求出這個數(shù)；（3）當(dāng)0＜x＜1時，直接寫出代數(shù)式值的取值范圍是．

參考答案一、選擇題（本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項填涂在答題紙的相應(yīng)位置上）1．在式子；；；；；；中，分式的個數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．解：在式子；；；；；；中，分式有：；；；，即分式有4個．故選：B．【點評】本題主要考查分式的定義，注意π不是字母，是常數(shù)，所以不是分式，是整式．2．當(dāng)x＝1時，下列分式無意義的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用分式有意義的條件分析得出答案．解：A、當(dāng)x＝1時，分式有意義，不符合題意；B，當(dāng)x＝1時，分式有意義，不符合題意；C、當(dāng)x＝1時，x﹣1＝0，分式無意義，符合題意；D、當(dāng)x＝1時，x+1≠0，分式有意義，不符合題意；故選：C．【點評】此題主要考查了分式有意義的條件，正確把握分式的定義是解題關(guān)鍵．3．下列等式由左邊至右邊的變形中，屬于因式分解且因式分解正確的是（）A．a(chǎn)2﹣4b2＝（a+4b）（a﹣4b） B．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x C．4xy2﹣4x2y﹣y3＝y(tǒng)（4xy﹣4x2﹣y2） D．x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3）【分析】根據(jù)題目中給出的選項逐一進(jìn)行正確地因式分解即可得出答案．解：∵a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b），因此選項A不正確；∵x2﹣4+3x＝（x﹣1）（x+4），因此選項B不正確；∵4xy2﹣4x2y﹣y3＝﹣y（4x2+y2﹣4xy）＝﹣y（2x﹣y）2，因此選項C不正確；∵x2﹣5x+6＝（x﹣2）（x﹣3），因此選項D正確．故選：D．【點評】此題主要考查了因式分解，理解因式分解的定義，熟練掌握因式分解的方法是解決問題的關(guān)鍵．4．若分式可以進(jìn)行約分化簡，則該分式中的A不可以是（）A．1 B．x C．﹣x D．4【分析】考慮x2﹣A有公因式x﹣1，x+2即可．解：A＝1或x或4時，分子分母有公因式，可以約分．故選：C．【點評】本題考查約分，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．5．?dāng)?shù)學(xué)老師計算同學(xué)們一學(xué)期的總評成績時，將平時、期中和期末的成績按2：3：5計算，若小紅平時、期中和期末的成績分別是90分、80分、96分，則小紅一學(xué)期的數(shù)學(xué)總評成績是（）A．90分 B．91分 C．92分 D．93分【分析】按2：3：5的比例算出本學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)期總評成績即可．解：小紅一學(xué)期的數(shù)學(xué)總評成績是（分），故選：A．【點評】此題考查加權(quán)平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握加權(quán)平均數(shù)的計算方法．6．將分式中的x，y的值同時擴(kuò)大為原來的3倍，則分式的值（）A．?dāng)U大6倍 B．?dāng)U大9倍 C．不變 D．?dāng)U大3倍【分析】將原式中的x、y分別用3x、3y代替，化簡，再與原分式進(jìn)行比較．解：∵把分式中的x與y同時擴(kuò)大為原來的3倍，∴原式變?yōu)椋海剑?×，∴這個分式的值擴(kuò)大9倍．故選：B．【點評】本題考查了分式的基本性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是抓住分子、分母變化的倍數(shù)，解此類題首先把字母變化后的值代入式子中，然后約分，再與原式比較，最終得出結(jié)論．7．為貫徹落實習(xí)近平總書記關(guān)于黃河流域生態(tài)保護(hù)和高質(zhì)量發(fā)展的重要講話精神，某學(xué)校組織初一、初二兩個年級學(xué)生到黃河岸邊開展植樹造林活動．已知初一植樹900棵與初二植樹1200棵所用的時間相同，兩個年級平均每小時共植樹350棵．求初一年級平均每小時植樹多少棵？設(shè)初一年級平均每小時植樹x棵，則下面所列方程中正確的是（）A． B． C． D．【分析】設(shè)初一年級平均每小時植樹x棵，根據(jù)初一植樹900棵與初二植樹1200棵所用的時間相同列出方程解答即可．解：設(shè)初一年級平均每小時植樹x棵，根據(jù)題意可得：，故選：D．【點評】此題考查由實際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是根據(jù)題意得出方程解答．8．某中學(xué)籃球隊12名隊員的年齡情況如下表，關(guān)于這12名隊員的年齡，下列說法中正確的是（）年齡/歲1213141516人數(shù)13422A．眾數(shù)為14 B．極差為3 C．中位數(shù)為13 D．平均數(shù)為14【分析】根據(jù)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與極差的定義逐一計算即可判斷．解：由圖表可得：14歲的有4人，故眾數(shù)是14，故選項A符合題意；極差是：16﹣12＝4，故選項B不合題意；中位數(shù)是：＝14，故選項C不合題意；平均數(shù)是：（12+13×3+14×4+15×2+16×2）÷12＝14.75，故選項D不合題意．故選：A．【點評】本題主要考查眾數(shù)、極差、中位數(shù)和平均數(shù)，熟練掌握眾數(shù)、極差、中位數(shù)和平均數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．9．分式方程有增根，則m的值為（）A．3 B．6 C．1或﹣2 D．0或6【分析】先解分式方程可得x＝m﹣2，再由題意可得m﹣2＝1或m﹣2＝﹣2，求出m即可．解：將原式去分母得：2x（x+2）﹣2（x﹣1）（x+2）＝m，2x2+4x﹣2x2﹣2x+4＝m，x＝m﹣2，∵方程有增根，∴x＝1或x＝﹣2，∴m﹣2＝1或m﹣2＝﹣2，∴m＝6或m＝0，當(dāng)m＝0時，方程無解，∴m＝6．故選：B．【點評】本題考查分式方程的增根，熟練掌握分式方程的解法，理解方程增根的定義是解題的關(guān)鍵．10．定義：如果兩個分式的積等于這兩個分式的差乘以一個常數(shù)，那么這兩個分式叫做和諧分式．如，則與是和諧分式．下列每組兩個分式是和諧分式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與【分析】分別算出各分式的差與積，再由和諧分式的定義即可得出結(jié)論．解：∵﹣＝＝，?＝，∴和不是和諧分式，故A不符合題意；∵﹣＝＝，?＝，∴和不是和諧分式，故B不符合題意；∵﹣＝＝，?＝，∴?＝（﹣），故C符合題意；﹣＝＝，?＝，∴和不是和諧分式，故D不符合題意．故選C．【點評】本題考查的是分式的加減法，熟知分式的加減法則是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共計20分．不需寫出解答過程，請把最后結(jié)果直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）11．分解因式：x2y﹣y3＝y(tǒng)（x+y）（x﹣y）．【分析】先提取公因式y(tǒng)，再利用平方差公式進(jìn)行二次分解．解：x2y﹣y3＝y(tǒng)（x2﹣y2）＝y(tǒng)（x+y）（x﹣y）．故答案為：y（x+y）（x﹣y）．【點評】本題考查了提公因式法與公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式進(jìn)行二次因式分解是解題的關(guān)鍵，分解要徹底．12．能使分式的值為零的x取值是x＝1．【分析】根據(jù)分式值為零的條件可得：x2﹣1＝0，且x+1≠0，再解即可．解：由題意得：x2﹣1＝0，且x+1≠0，解得：x＝1，故答案為：x＝1．【點評】此題主要考查了分式值為零的條件，關(guān)鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不為零”這個條件不能少．13．為迎接全市的禁毒知識競賽，某校進(jìn)行了相關(guān)知識測試，經(jīng)過層層預(yù)賽，小洋和小亮進(jìn)入了最后的決賽．如圖，是他們6次的測試成績，若要從中選一名測試成績穩(wěn)定的同學(xué)去參加競賽，則應(yīng)選小亮．（填“小洋”或“小亮”）．【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計圖的波動情況可判斷兩名同學(xué)誰的成績更加穩(wěn)定．解：由折線統(tǒng)計圖可得，小洋的波動大，小亮的波動小，∴小亮的成績更加穩(wěn)定，∴應(yīng)選小亮．故答案為：小亮．【點評】本題考查方差與折線統(tǒng)計圖，掌握折線統(tǒng)計圖的意義是解答本題的關(guān)鍵．14．關(guān)于x的方程＝﹣2的解為正數(shù)，則a的取值范圍為a＜5且a≠3．【分析】解分式方程，用含a的代數(shù)式表示出x，根據(jù)解為正數(shù)得不等式，求解后確定a的取值范圍．解：去分母，得2﹣（5﹣a）＝﹣2（x﹣1），去括號，得2﹣5+a＝﹣2x+2，整理，得2x＝5﹣a，∴x＝．若方程的解為正數(shù)，則＞0且≠1．∴a＜5且a≠3．【點評】本題考查了分式方程和不等式，掌握分式方程的解法和不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵．15．我們在學(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時，可以用幾何圖形來推理驗證．觀察圖1，a2﹣1＝a（a﹣1）+（a﹣1）＝（a﹣1）（a+1）．接下來，觀察圖2，通過類比思考，因式分解a3﹣1＝a2（a﹣1）+a（a﹣1）+（a﹣1）＝（a﹣1）（a2+a+1）．【分析】把圖2可有兩種計算方法：①三個長方體相加；②大正方體減去小正方體，按要求列出式子，即可解答．解：將圖2看作三個長方體相加時，可得式子：a×a×（a﹣1）+1×1×（a﹣1）+1×a×（a﹣1）＝a2（a﹣1）+a（a﹣1）+（a﹣1）；原式兩邊提取a﹣1，可得原式＝（a﹣1）（a2+a+1）．故答案為：a2（a﹣1）+a（a﹣1）+（a﹣1）；（a﹣1）（a2+a+1）．【點評】本題考查了整式的乘法，因式分解，觀察圖形的體積如何計算是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本題共8小題，請把解答過程寫在答題紙上）16．（1）因式分解：﹣9x2y+12xy2﹣4y3；（2）利用因式分解計算：（﹣2）101+2100．【分析】（1）先找出公因式﹣y，提出公因式，再用公式法進(jìn)行因式分解即可；（2）先統(tǒng)一底數(shù)，再提出公因式即可解答．解：（1）﹣9x2y+12xy2﹣4y3＝﹣y（9x2﹣12xy+4y2）＝﹣y（3x﹣2y）2．（2）（﹣2）101+2100＝（﹣2）101+（﹣2）100＝（﹣2）100×（﹣2）+（﹣2）100＝（﹣2）100×[﹣2）+1]＝2100×（﹣1）＝﹣2100．【點評】本題考查因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出式子中的公因式．17．（1）化簡：；（2）先化簡：，再從﹣1，0，1中取一個你喜歡的數(shù)代入求值．【分析】（1）先將分式變形，然后通分，再化簡即可；（2）先通分括號內(nèi)的式子，再算括號外的除法，然后從﹣1，0，1中取一個使得原分式有意義的值代入化簡后的式子計算即可．解：（1）＝＝＝＝＝；（2）＝＝＝a﹣1，∵a＝0或1時，原分式無意義，∴a＝﹣1，當(dāng)a＝﹣1時，原式＝﹣2．【點評】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．18．解方程：（1）．（2）．【分析】（1）方程兩邊都乘x（x+2）得出2（x+2）＝3x，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗即可；（2）方程兩邊都乘x﹣2得出1＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2），求出方程的解，再進(jìn)行檢驗即可．解：（1），方程兩邊都乘x（x+2），得2（x+2）＝3x，解得：x＝4，檢驗：當(dāng)x＝4時，x（x+2）≠0，所以x＝4是原方程的解，即原方程的解是x＝4；（2），方程兩邊都乘x﹣2，得1＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2），解得：x＝2，檢驗：當(dāng)x＝2時，x﹣2＝0，所以x＝2是增根，即原方程無解．【點評】本題考查了分式方程，能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程是解此題的關(guān)鍵．19．將a克糖放入水中，得到b克糖水，此時糖水的含糖量我們可以記為（b＞a＞0）．（1）再往杯中加入m（m＞0）克糖，生活中的經(jīng)驗告訴我們糖水變甜了，用數(shù)學(xué)關(guān)系式可以表示為A；A.＞B.＝C.＜（2）請證明你的選擇．【分析】（1）根據(jù)題意，可以寫出相應(yīng)的不等式，從而可以解答本題；（2）根據(jù)作差比較法，可以證明（1）中的結(jié)論成立．解：（1）由題意可得，＞，故選：A；（2）證明：﹣＝＝＝，∵m＞0，b＞a＞0，∴b﹣a＞0，∴＞0，∴＞成立．【點評】本題考查分式的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是寫出相應(yīng)的式子，會用作差比較法比較兩個式子的大?。?0．某商廈進(jìn)貨員預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場，就用8萬元購進(jìn)這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求．商廈又用17.6萬元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍，但單價貴了4元．（1）求兩次所購數(shù)量分別是多少？（列分式方程求解）（2）商廈銷售這種襯衫時每件定價都是60元，最后剩下150件按8折銷售，很快售完．在這兩筆生意中，商廈共盈利多少元？【分析】（1）根據(jù)題意找出等量關(guān)系即第二批襯衫的單價﹣第一批襯衫的單價＝4元，列出方程，可求得兩批購進(jìn)襯衫的數(shù)量；（2）設(shè)這筆生意盈利y元，可列方程為y+80000+176000＝58（2000+4000﹣150）+80%×58×150，可求出商廈的總盈利．解：（1）設(shè)第一批購進(jìn)x件襯衫，則第二批購進(jìn)了2x件，依題意可得：﹣＝4，解得x＝2000．經(jīng)檢驗x＝2000是方程的解，答：第一批購進(jìn)襯衫2000件，第二批購進(jìn)了4000件；（2）設(shè)這筆生意盈利y元，可列方程為：y+80000+176000＝60（2000+4000﹣150）+80%×60×150，解得y＝102200．答：在這兩筆生意中，商廈共盈利102200元．【點評】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找出題中的等量關(guān)系．注意：求出的結(jié)果必須檢驗且還要看是否符合題意．21．某校舞蹈隊共16名學(xué)生，測量并獲取了所有學(xué)生的身高（單位：cm），數(shù)據(jù)整理如下：a.16名學(xué)生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；b.16名學(xué)生的身高的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)166.75mn（1）寫出表中m，n的值；（2）對于不同組的學(xué)生，如果一組學(xué)生的身高的方差越小，則認(rèn)為該組舞臺呈現(xiàn)效果越好，據(jù)此推斷：在下列兩組學(xué)生中，舞臺呈現(xiàn)效果更好的是甲組（填“甲組”或“乙組”）；甲組學(xué)生的身高162165165166166乙組學(xué)生的身高161162164165175（3）該舞蹈隊要選五名學(xué)生參加比賽，已確定三名學(xué)生參賽，他們的身高分別為168，168，172，他們的身高的方差為．在選另外兩名學(xué)生時，首先要求所選的兩名學(xué)生與已確定的三名學(xué)生所組成的五名學(xué)生的身高的方差小于，其次要求所選的兩名學(xué)生與已確定的三名學(xué)生所組成的五名學(xué)生的身高的平均數(shù)盡可能大，則選出的另外兩名學(xué)生的身高分別為170cm和172cm．【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義進(jìn)行計算；（2）根據(jù)方差的計算公式計算方差，然后根據(jù)方差的意義進(jìn)行比較；（3）根據(jù)方差進(jìn)行比較．解：（1）數(shù)據(jù)按由小到大的順序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，則舞蹈隊16名學(xué)生身高的中位數(shù)為m＝＝166（cm），眾數(shù)為n＝165（cm），故答案為：166，165；（2）甲組學(xué)生身高的平均值是：＝164.8（cm），甲組學(xué)生身高的方差是：×[（164.8﹣162）2+（164.8﹣165）2+（164.8﹣165）2+（164.8﹣166）2+（164.8﹣166）2]＝2.16，乙組學(xué)生身高的平均值是：＝165.4（cm），乙組學(xué)生身高的方差是：×[（165.4﹣161）2+（165.4﹣162）2+（165.4﹣164）2+（165.4﹣165）2+（165.4﹣175）2]＝25.04，∵25.04＞2.6，∴甲組舞臺呈現(xiàn)效果更好．故答案為：甲組；（3）∵168，168，172的平均數(shù)為（168+168+172）＝169（cm），且所選的兩名學(xué)生與已確定的三名學(xué)生所組成的五名學(xué)生的身高的方差小于，∴數(shù)據(jù)的差別較小，可供選擇的有170cm，172cm，平均數(shù)為：（168+168+170+172+172）＝170（cm），方差為：[（168﹣170）2+（168﹣170）2+（170﹣170）2+（172﹣170）2+（172﹣170）2]＝3.2＜，∴選出的另外兩名學(xué)生的身高分別為170cm和172cm．故答案為：170cm，172cm．【點評】本題考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差，熟記方差的計算公式以及方差的意義是解題的關(guān)鍵．22．如果一個正整數(shù)能表示為兩個正整數(shù)的平方差，那么稱這個正整數(shù)為“智慧數(shù)”，兩個正整數(shù)為它的“智慧分解”．例如，因為16＝52﹣32，所以16就是一個智慧數(shù)，而5和3則是16的智慧分解．那么究竟哪些數(shù)為智慧數(shù)？第2022個智慧數(shù)是否存在，若存在，又是哪個數(shù)？為此，小明和小穎展開了如下探究．小穎的方法是通過計算，一個個羅列出來：3＝22﹣12，5＝32﹣22，7＝42﹣32，9＝52﹣42，…小明認(rèn)為小穎的方法太麻煩，他想到：設(shè)兩個數(shù)分別為k+1，k，其中k≥1，且k為整數(shù)．則（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．（1）根據(jù)上述探究，可以得出：除1外，所有奇數(shù)都是智慧數(shù)，并請直接寫出11，15的智慧分解；（2）繼續(xù)探究，他們發(fā)現(xiàn)8＝32﹣12，12＝42﹣22，所以8和12均是智慧數(shù)，由此，他們猜想：4k（k≥2，且k為整數(shù)）均為智慧數(shù)．請證明他們的猜想；（3）根據(jù)以上所有探究，請直接寫出第2023個智慧數(shù)，以及它的智慧分解．【分析】（1）由小明的探究可得，2k+1（k≥1，且為整數(shù)）是除1外，所有的奇數(shù)．根據(jù)探究可求得11、15的智慧分解；（2）借助小明的探究思路，可證猜想；（3）根據(jù)探究，前四個正整數(shù)只有3是智慧數(shù)，后面的正整數(shù)每連續(xù)四個中就有三個是智慧數(shù)，由此可得第2023個智慧數(shù)．【解答】（1）解：∵（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1（k≥1，且k為整數(shù)），∴智慧