船舶運(yùn)動(dòng)方程nomoo模型的簡(jiǎn)化及修正方案

船舶運(yùn)動(dòng)方程nomoo模型的簡(jiǎn)化及修正方案

0操證響應(yīng)方程日本科學(xué)家野本謙基于船舶縱軸運(yùn)動(dòng)的線性方程學(xué)，從操作員的角度研究了船舶縱軸運(yùn)動(dòng)。為了忽略轉(zhuǎn)向角，改變轉(zhuǎn)向角引起的各種操縱運(yùn)動(dòng)，確定輸入轉(zhuǎn)向角對(duì)輸入轉(zhuǎn)向角的響應(yīng)關(guān)系，并導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)角變化的反應(yīng)方程。那就是近似模型。Nomoto模型是船舶運(yùn)動(dòng)控制領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的一種線性數(shù)學(xué)模型,在線性控制器的設(shè)計(jì)和簡(jiǎn)單的系統(tǒng)仿真中能夠保證較高的精度,文獻(xiàn)給出了該模型的得出過(guò)程,文獻(xiàn)補(bǔ)充了其數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程。自文獻(xiàn)發(fā)表50年來(lái),其應(yīng)用一直未受到任何質(zhì)疑,最近,筆者在授課及研究時(shí)發(fā)現(xiàn),盡管Nomoto模型的結(jié)構(gòu)是正確的,結(jié)果是可用的,但其推導(dǎo)過(guò)程存在著不足,對(duì)于小型及快速船舶,其結(jié)果應(yīng)加以修正。本文重新順著Nomoto的研究思路,給出了應(yīng)用Nomoto模型時(shí)的一些注意事項(xiàng)及參數(shù)修正的建議。1傳統(tǒng)拉普拉斯算子僅考慮船舶的兩個(gè)自由度橫漂速度v和轉(zhuǎn)艏角速度r,船舶操縱運(yùn)動(dòng)的線性方程如下:式中δ為舵角輸入,系數(shù)a11,a12,a21,a22,b11,b21由船舶的基本參數(shù)確定,求取方法見(jiàn)文獻(xiàn)。式(1)可轉(zhuǎn)換為一個(gè)描述操舵對(duì)艏搖響應(yīng)的簡(jiǎn)單方程,即式中K,T1,T2,T3為操縱性指數(shù),通常T1>T2,T3數(shù)值一般與T2相近,求取方法見(jiàn)文獻(xiàn)。對(duì)式(2)作拉氏變換,可得到如下的傳遞函數(shù)式中s為拉普拉斯算子。野本謙作對(duì)式(3)所示的二階傳遞函數(shù)做了一項(xiàng)出色的簡(jiǎn)化工作,使之降為一階。論證的出發(fā)點(diǎn)在于,對(duì)于船舶這種大慣性的運(yùn)載工具來(lái)說(shuō),其動(dòng)態(tài)特性只在低頻段是重要的,故在式(3)中令s=jω→0,按冪級(jí)數(shù)展開(kāi),可得另外對(duì)一階慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)按冪級(jí)數(shù)展開(kāi)得若令T=T1+T2-T3,在低頻范圍,即對(duì)于較小的s,式(4)和式(5)近似相等,于是得到Grδ(s)的一階近似為根據(jù)關(guān)系r=ψ,用船舶方位角ψ替換式(6)中的r,得到對(duì)應(yīng)的方程和這就是船舶操縱運(yùn)動(dòng)一階K-T方程(對(duì)于r來(lái)說(shuō)),也稱為Nomoto模型。它既能抓住其響應(yīng)特性本質(zhì),又比二階方程更為簡(jiǎn)化。式(7)被廣泛應(yīng)用于船舶自動(dòng)舵的控制器設(shè)計(jì)中,因?yàn)橛肗omoto模型進(jìn)行船舶運(yùn)動(dòng)控制器設(shè)計(jì)有兩個(gè)好處:一是在低頻范圍,其頻譜與高階模型的頻譜非常相近;二是設(shè)計(jì)出的控制器階次低,易于實(shí)現(xiàn)。2關(guān)于改進(jìn)的操縱性指數(shù)t和b、c、te-tc1的發(fā)現(xiàn)關(guān)于式(3)到式(6)的簡(jiǎn)化過(guò)程,理論上看似乎是完全正確的。但在實(shí)際的教學(xué)實(shí)踐中,我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題,那就是s→0并不等于Ts→0。海浪頻譜范圍為0.3～1.25rad/s,在航海實(shí)踐中認(rèn)為海浪頻譜為高頻,故只要頻率低于海浪的頻譜就算低頻有效的頻率。假設(shè)s=jω中的頻率ω取為0.1rad/s,而實(shí)船的操縱性指數(shù)T一般為幾十到幾百的量級(jí),Ts→0的條件很容易就被破壞了,所以從式(3)到式(6)的簡(jiǎn)化過(guò)程是不成立的。故重新仔細(xì)研讀文獻(xiàn),并找出高等數(shù)學(xué)書(shū)重新驗(yàn)證Nomoto的推導(dǎo)過(guò)程。根據(jù)文獻(xiàn),函數(shù)若想展開(kāi)成x的冪級(jí)數(shù),要求—1<x<1;同理或若想展開(kāi)成s的冪級(jí)數(shù),則要求滿足相應(yīng)的邊界約束條件,而在文獻(xiàn)的簡(jiǎn)化過(guò)程中并未提到這一邊界約束條件。式(5)的展開(kāi)要求滿足-1<Ts<1,按前面的假設(shè),如果ω=0.1rad/s,只要船舶的操縱性指數(shù)T在10以上,該條件就不能滿足,故該式就不能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)形式,但在給出結(jié)論前我們驗(yàn)證了表1給出的幾條船的Bode圖,發(fā)現(xiàn)操縱性指數(shù)T數(shù)值較大的船的帶寬頻率都遠(yuǎn)小于0.1rad/s,-1<Ts<1的條件能夠滿足,故其展開(kāi)是正確的。這是什么原因呢?原來(lái)我們犯了一個(gè)偷梁換柱的概念性錯(cuò)誤,即小于海浪高頻的系統(tǒng)頻帶不等于船舶運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型的頻帶,經(jīng)過(guò)控制的系統(tǒng)頻帶要小于0.3rad/s,而大型船舶的航向保持?jǐn)?shù)學(xué)模型的頻帶要遠(yuǎn)小于0.1rad/s,另外,式(5)左端為一階慣性系統(tǒng),近似地其帶寬頻率剛好為1/T,這樣-1<Ts<1自動(dòng)滿足,故式(5)的展開(kāi)是成立的?，F(xiàn)在來(lái)驗(yàn)證式(4)的展開(kāi)是否正確。因文獻(xiàn)并未給出展開(kāi)式的約束條件,直接冪級(jí)數(shù)展開(kāi)還是不清楚冪級(jí)數(shù)展開(kāi)的約束條件。我們將分成三部分的乘積,即,K(1+T3s)三部分的乘積,驗(yàn)證一下他們分別展開(kāi)相乘后是否與式(4)展開(kāi)一致,如果一致,則說(shuō)明他們的展開(kāi)也要滿足相應(yīng)的約束條件。式(9)與式(10)相乘后并不寫(xiě)四階以上的項(xiàng)得:將式(11)再乘以K(1+T3s)并不寫(xiě)四階以上的項(xiàng)得:比較式(4)與式(12)展開(kāi)的s的平方項(xiàng)以前的各項(xiàng)完全一致,我們認(rèn)為文獻(xiàn)s的立方項(xiàng)沒(méi)有寫(xiě)出來(lái),可以認(rèn)為式(4)與式(12)是一致的。那么,顯然式(9)與式(10)的展開(kāi)也要滿足-1<T1s<1和-1<T2s<1的約束條件。假設(shè)T>T2,如果式(9)的約束條件滿足,則式(10)的約束條件自動(dòng)滿足。我們驗(yàn)證了表1給出的幾條船。設(shè)帶寬頻率為ωb,T1sls=jωb,則第1條船的T1ωb=1.28,第2條船的T1ωb=1.03,第3條船的T1ωb=0.99,發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律,對(duì)于大型的速度稍慢的船舶,式(4)的展開(kāi)是成立的,而對(duì)于小型及速度稍快的船舶(一般情況下,T1<50s),式(4)的展開(kāi)從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)是不嚴(yán)密的。解決辦法,觀察表1中給出的幾條船的T1,T2,T3三個(gè)參數(shù),一般情況下,T2,T3這一對(duì)零極點(diǎn)的數(shù)值較為接近,他們與T1這一極點(diǎn)的數(shù)據(jù)相差較大,在近似的情況下,可將T2,T3這一對(duì)零極點(diǎn)對(duì)消,結(jié)果變?yōu)槭?13)與式(7)的區(qū)別在于式(7)中的T=T1+T2-T3,而式(13)直接用T1了,一般情況下,T1>T。故對(duì)于大型船舶來(lái)說(shuō),其操縱性指數(shù)較大,用未修正的原Nomoto模型,其最終的T小于T1;而對(duì)于小型及快速船舶來(lái)說(shuō),因Nomoto模型推導(dǎo)不嚴(yán)密,改用近似的T1代替未修正的T,對(duì)于小時(shí)間常數(shù)的快速船來(lái)說(shuō),因T的稍微增加更利于控制了,物理意義更明顯了。例如,對(duì)于第一條船,采用未修正的Nomoto模型T=4.1s,其時(shí)間常數(shù)快趕上汽車的性能了,取修正后的T=T1=5.9s,時(shí)間常數(shù)就不會(huì)快得那么讓人難以置信了(根據(jù)一階慣性系統(tǒng)的特性,其物理意義為船舶回轉(zhuǎn)角速度的穩(wěn)定時(shí)間約為3T)。文獻(xiàn)從Bode圖圖形近似上也提到了零極點(diǎn)對(duì)消的近似,但直接給出了推導(dǎo)的簡(jiǎn)化結(jié)果,文獻(xiàn)補(bǔ)上了簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)過(guò)程。從Bode圖近似來(lái)說(shuō),采用T或T1來(lái)近似,兩者的Bode圖幾乎重合,近似的精度差不多。3nomoto模型基本思想(1)船舶Nomoto模型簡(jiǎn)化的推導(dǎo)過(guò)程未說(shuō)明約束條件,從數(shù)學(xué)上對(duì)于小型及快速船舶存在著不嚴(yán)密性;(2