回歸方程的穩(wěn)定性和回歸直線的比較

回歸方程的穩(wěn)定性和回歸直線的比較

1.元線性回歸回歸問(wèn)題是根據(jù)兩個(gè)或多個(gè)變量的收集值確定相關(guān)性，或線性或非線性相關(guān)性，或結(jié)論相關(guān)性的接近性。線性回歸系數(shù)是指在搜索自變量和因子變量之間的線性關(guān)系回歸問(wèn)題。在最終回歸方程中，僅包含一個(gè)自變量，最大次數(shù)為一個(gè)，稱為回歸直線，并且通常由y=t+bx、系數(shù)b和b計(jì)算。在一元線性回歸中,回歸方程的穩(wěn)定性和兩條回歸直線的比較是回歸方程應(yīng)用中的重要實(shí)際問(wèn)題,它將解決回歸方程能否有效使用的問(wèn)題,本文即介紹回歸方程的穩(wěn)定性及如何比較兩條回歸直線,具有一定的指導(dǎo)意義。2.回歸方程剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差的修正回歸方程的建立依賴于所觀測(cè)的數(shù)據(jù),當(dāng)試驗(yàn)條件不變時(shí),根據(jù)不同批次的觀測(cè)數(shù)據(jù)所求出回歸方程之間的差異是隨機(jī)因素引起的正常波動(dòng)。這是質(zhì)量控制的一個(gè)重要問(wèn)題?；貧w直線的穩(wěn)定性就是衡量這種正常波動(dòng)和幅度。所謂回歸方程的穩(wěn)定性,是指在除x外其它實(shí)驗(yàn)條件基本不變的情況下,由不同的觀測(cè)數(shù)據(jù)得到的回歸方程的系數(shù)b及常數(shù)α的波動(dòng)情況。波動(dòng)程度小時(shí),回歸方程就穩(wěn)定;波動(dòng)程度大時(shí),回歸方程就不穩(wěn)定。在實(shí)際使用回歸方程時(shí),當(dāng)然希望它們?cè)椒€(wěn)定越好。利用文獻(xiàn)介紹的方法求出的回歸系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)α實(shí)際上都是隨機(jī)變量,故可用其標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)衡量它們的波動(dòng)情況,b和α的標(biāo)準(zhǔn)偏差Vb和Vα由下式計(jì)算:其中為剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差,公式(1)、(2)的推導(dǎo)可參見文獻(xiàn)。由式(1)可知,b的波動(dòng)大小與剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差成正比,與x的方差Sxx的平方根成反比。可見擴(kuò)大子樣容量和加大自變量x的變化范圍對(duì)減小b的波動(dòng)是有效的。由式(2)可以看出,n、、Sxx都是影響α的波動(dòng)的因素,減小α的波動(dòng)措施也與減小b的波動(dòng)的措施大體相同。事實(shí)上,假定變量x的真值為x,而每次測(cè)量誤差為δ,那么實(shí)際觀測(cè)值就是:y=x+δ根據(jù)實(shí)際觀測(cè)值y求得的回歸系數(shù)記為b*,根據(jù)真值x求得的回歸系數(shù)記為b,則有:可知:|b*|<|b|。且有,當(dāng)誤差較大時(shí),例如,則b*就只有b的一半左右,而當(dāng)Sxx較大時(shí),即x的變化范圍加大時(shí),測(cè)量誤差對(duì)回歸系數(shù)的影響就會(huì)變小,故為了使回歸方程有較好的穩(wěn)定性,就要努力提高觀測(cè)數(shù)據(jù)本身的精確度,增加觀測(cè)次數(shù),并且盡量增大觀測(cè)數(shù)據(jù)中自變量的離散程度。3.兩條回歸直線的比較在回歸方程的實(shí)際使用中常常遇到這樣的問(wèn)題:對(duì)某兩個(gè)有相關(guān)關(guān)系的變量x和y,根據(jù)過(guò)去的觀測(cè)數(shù)據(jù)建立了回歸方程:L1:y=α1+b1x現(xiàn)又根據(jù)近期的數(shù)據(jù),建立了新的回歸方程:L2:y=α2+b2x很顯然,α1≠α2,b1≠b2那么,這種差異是生產(chǎn)變化所致?還是隨機(jī)誤差引起?到底使用哪一條為好?這些問(wèn)題歸結(jié)為兩條回歸直線是否有顯著性差異的問(wèn)題,而解決這一問(wèn)題的手段就是對(duì)回歸直線進(jìn)行比較或檢驗(yàn),亦即對(duì)回歸直線的系數(shù)b、常數(shù)α項(xiàng)和剩余標(biāo)準(zhǔn)差是否存在顯著性差異進(jìn)行檢驗(yàn)。當(dāng)然,α1和α2、b1和b2、和其數(shù)值是不會(huì)相等的,這里所說(shuō)的它們之間不存在顯著差異,就是指它們之間的差異是由試驗(yàn)誤差引起的,而不是由生產(chǎn)的變化引起的,只有當(dāng)α1和α2、b1和b、和均不存在明顯差異時(shí),才認(rèn)為兩條回歸直線存在顯著差異,才能將它們合并成一條回歸直線;并α1和α2、b1和b2、和三者中至少有一項(xiàng)存在明顯差異,則都認(rèn)為這兩條回歸直線存在顯著差異。這說(shuō)明生產(chǎn)狀況已發(fā)生了明顯變化,現(xiàn)正使用的回歸直線已不能準(zhǔn)確反映生產(chǎn)狀況,應(yīng)對(duì)現(xiàn)有的回歸直線加以修正或者重建回歸方程。下面簡(jiǎn)要敘述剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差,回歸系數(shù)b及回歸系數(shù)α的檢驗(yàn),詳細(xì)的推導(dǎo)可參見文獻(xiàn)。1.剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差的檢驗(yàn),使用F檢驗(yàn)法,其具體做法為:(1)原假設(shè)H0:σ12=σ22;(2)確定信度α;(3)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量:F0=V1/V2(5)判斷:若λ1<F<λ2,則接受H0:σ12=σ22,和之間不存在顯著差異;若F0>λ2或F0<λ1,則拒絕H0:σ12=σ22,和之間存在顯著差異。(6)處理:若和之間存在顯著差異,則認(rèn)為兩條回歸直線存在顯著差異,停止檢驗(yàn),考慮修正或者重建回歸方程。若和之間不存在顯著差異,則按下式將和合并成,作為兩條回歸直線合并后所得回歸直線的剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差:為兩條回歸直線L1和L2的剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差和的自由度,n1和n2分別是建立回歸直線L1和L2時(shí)的樣本容量。2.l1和l1的回歸系數(shù)(1)原假設(shè):H0:b1-b2=0;(2)確定信度α;(4)查t表得到臨界值為:(5)判斷:若|t0|<tα/2,接受H0:b1-b2=0,即L1和L2的回歸系數(shù)b1和b2不存在顯著差異;若|t0|>tα/2,拒絕H0:b1-b2=0,b1和b2之間存在顯著差異。(6)處理:b1和b2存在顯著差異時(shí),停止檢驗(yàn),考慮修正或者重建回歸方程;b1和b2沒(méi)有顯著差異時(shí),按下式將b1和b2合并成b,作為L(zhǎng)1和L2合并后所得回歸直線的回歸系數(shù):式中,b1、Sx1x1為回歸直線L1的回歸系數(shù)和自變量X1的偏差平方和;b2、Sx2x2為回歸直線L2的回歸系數(shù)和自變量x2的偏差平方和。3.回歸直線的剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差(1)原假設(shè)H0:α1-α2=0;(3)計(jì)算統(tǒng)計(jì)量:(4)查t表,自由度為n1+n2-4,得tα/2;(5)判斷:若,接受原假設(shè)H0:α1-α2=0,它們之間不存在顯著差異;若,拒絕H0:α1-α2=0,α1和α2存在顯著差異。(6)處理:若α1和α2之間存在顯著差異,則判定兩條回歸直線有顯著差異,停止檢驗(yàn),考慮修正或者重建回歸方程;若α1和α2之間不存在顯著差異,則按下式將α1和α2合并成α,作為L(zhǎng)1和L2合并后所得回歸直線的常數(shù)項(xiàng):通過(guò)上述三個(gè)檢驗(yàn),若b1和b2,α1和α2,和均無(wú)明顯差別,則將回歸直線L1和L2合并成新的回歸直線L:y=α+bx式中α、b由式(4)、(5)給出,其剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差由式(3)給出。合并后的回歸直線將作為繼續(xù)應(yīng)用的工具。必須指出的是:檢驗(yàn)順序一定要按、b和α的順序進(jìn)行,因?yàn)楹笠徊降臋z驗(yàn)將用到前一步檢驗(yàn)的結(jié)果。4.32.2剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差的計(jì)算對(duì)電流周波x與第一導(dǎo)絲盤速度y曾得到兩條回歸直線:試比較之并進(jìn)行相應(yīng)處理。附:已知條件匯總?cè)缦?解:(1)的檢驗(yàn):取α=0.10查F表,得:比較之,有λ1<F0<λ2故接受原假設(shè)H0:σ12=σ22,即和無(wú)明顯差別,故將其合并成新的剩余標(biāo)準(zhǔn)偏差,由式(3)有:本例在計(jì)算F0值時(shí),按F檢驗(yàn)的習(xí)慣,將較大V2的置于分子。查表時(shí)第一自由度為分子自由度,第二自由度為分母自由度,這一點(diǎn)需要記清。(2)b的檢驗(yàn)H0:b1-b2=0查t表,得由于b1和b2無(wú)明顯差別,按式(4)將