專題01第一章 勾股定理（中等類型10大類型）（原卷版）

專題01第一章勾股定理【專題過關(guān)】類型一、用勾股定理解三角形【解惑】如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為（

）

A．5 B．6 C．7 D．8【融會(huì)貫通】1．（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)度分別為6和8，則斜邊上的高為（

）A．10 B．4.8 C．9.6 D．52．（2023春·新疆阿克蘇·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個(gè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是和，則斜邊上的高為多少（

）A． B． C． D．3．（2023秋·陜西西安·八年級(jí)陜西師大附中?？奸_學(xué)考試）如圖，直線，正方形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別在直線上，點(diǎn)A到直線的距離是3，點(diǎn)C到直線的距離是6，則正方形的面積為．

4．（2023春·黑龍江黑河·八年級(jí)校考期中）如圖，四邊形中，，，，，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，且，求的長(zhǎng)．

5．（2023春·江蘇蘇州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四邊形中，，，連接，，過C作，垂足為E．

(1)求證：；(2)若，，求的面積．類型二、勾股樹（數(shù)）問題【解惑】如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是3、5、5、7，則最大正方形E的面積是（

）

A．14 B．108 C．58 D．72【融會(huì)貫通】1．（2023春·重慶忠縣·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，則正方形A、B、C、D的面積的和是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為，則正方形的面積之和為．3．（2023春·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面積分別足、、、，則正方形的邊長(zhǎng)是．4．（2023春·福建龍巖·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為5，4，4，9，則最大的正方形G的面積為．5．（2023春·山東菏澤·八年級(jí)校考階段練習(xí)）“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，如果第一個(gè)正方形面積為1，則第2023代勾股樹中所有正方形的面積為．

類型三、以直角三角形向外作正方形【解惑】如圖，在四邊形中，，分別以四邊形的四條邊為邊向外作四個(gè)正方形，面積依次為，，，，下列結(jié)論正確的是（

）

A． B．C． D．【融會(huì)貫通】1.（2023春·新疆阿克蘇·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，以的三邊向外作正方形，其面積分別為，且，則(

)A．21 B．3 C．9 D．2.（2022秋·山東泰安·七年級(jí)統(tǒng)考期中）有一個(gè)面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長(zhǎng)”后，變成了下圖，如果繼續(xù)“生長(zhǎng)”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請(qǐng)你算出“生長(zhǎng)”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（

）A． B． C． D．3．（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為、、，且，，則另一個(gè)的面積為的正方形的邊長(zhǎng)為（

）

A．3 B．4 C．5 D．4．（2023春·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，分別以的三邊長(zhǎng)，，為邊長(zhǎng)向外作正方形，正方形中標(biāo)注的數(shù)字代表所在正方形的面積，則x所在的正方形的面積為．5．（2023春·新疆伊犁·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，陰影部分是兩個(gè)正方形，圖中還有兩個(gè)直角三角形和一個(gè)空白的正方形，陰影部分的總面積為，直角三角形①的斜邊為，則直角三角形①的面積為．類型四、勾股定理與折疊問題【解惑】如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將直角邊沿折疊，使它落在斜邊上，則等于（

）

A． B． C． D．【融會(huì)貫通】1．（2023春·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交于，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)是．2．（2023秋·福建福州·七年級(jí)福州華倫中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，，，已知D是上一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)A沿翻折，若A落到內(nèi)（不包括邊），則的取值范圍為．3.（2023春·新疆巴音郭楞·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D是一張直角三角形的紙片，兩直角邊，現(xiàn)將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的長(zhǎng)為．

4．（2022秋·甘肅白銀·八年級(jí)校考期中）如圖，四邊形是長(zhǎng)方形，，，將沿折疊，使點(diǎn)恰好落在對(duì)角線上處，求的長(zhǎng)．

5．（2023秋·河南南陽·八年級(jí)校考期末）把一長(zhǎng)方形紙片按圖所示折疊，使頂點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為，若，，重疊部分的面積為多少？

類型五、利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）【解惑】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，則AB2+BC2+AC2的值為（

）A．6 B．9 C．12 D．18【融會(huì)貫通】1．（2023春·山西大同·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，和都是等腰直角三角形，，，的頂點(diǎn)A在的斜邊上，則的值為．

2．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）在中，斜邊，則．3．（2019秋·廣東梅州·八年級(jí)廣東梅縣東山中學(xué)校考期中）在中，斜邊長(zhǎng)，的值為4．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足為D，M為AD上任一點(diǎn)，則MC2﹣MB2等于．6．（2023春·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，中，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．

(1)求證：(2)若，，，直接寫出線段的長(zhǎng)．類型六、趙爽弦圖【解惑】如圖是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”，它由個(gè)全等的直角三角形拼成，已知大正方形面積為，小正方形面積為，若用，表示直角三角形的兩直角邊（），表示斜邊，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）

A． B． C． D．【融會(huì)貫通】1．（2023春·安徽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a，較短直角邊長(zhǎng)為b，若，大正方形的面積為625，則小正方形的邊長(zhǎng)為（

）A．7 B．24 C．17 D．252．（2023春·北京·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國(guó)漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，如果圖中勾，弦，則小正方形的面積為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2023春·山西呂梁·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制的一副“勾股圓方圖”（又稱“趙爽弦圖”），它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形無縫拼成的大正方形．若，，則的長(zhǎng)是．

4．（2023春·江西贛州·八年級(jí)校聯(lián)考期末）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就如圖，小穎同學(xué)把圖中長(zhǎng)和寬分別和的兩個(gè)全等矩形沿對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形，將這四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖所示的“趙爽弦圖”，則圖中小正方形的面積為．5．（2023春·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理，成為中國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的標(biāo)志之一，如圖，若弦圖中四個(gè)全等的直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為和，則中間小正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為．

類型七、勾股定理構(gòu)造圖形【解惑】為預(yù)防新冠疫情，民生大院入口的正上方A處裝有紅外線激光測(cè)溫儀（如圖所示），測(cè)溫儀離地面的距離米，測(cè)溫儀就會(huì)自動(dòng)測(cè)溫并報(bào)告人體體溫．當(dāng)身高為米的市民正對(duì)門緩慢走到離門0.8米的地方時(shí)（即米），測(cè)溫儀自動(dòng)顯示體溫（

）A．米 B．米 C．米 D．米【融會(huì)貫通】1．（2023秋·廣東揭陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，某小區(qū)有一塊長(zhǎng)方形花圃，為了方便居民不用再走拐角，打算用瓷磚鋪上一條新路，居民走新路比走拐角近（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·陜西西安·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有開門去間一尺，不合二寸，向門廣幾何．”大意是說：如圖，推開兩扇門（和），門邊緣兩點(diǎn)到門檻的距離為1尺（1尺10寸）兩扇門間的縫隙為2寸，那么門的寬度（兩扇門寬度）的和為寸．

3．（2023春·陜西商洛·八年級(jí)?？计谥校毒耪滤阈g(shù)》是我國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)著作，其中記載了一道有趣的題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)．問甲乙行各幾何?”其大意如下：已知甲、乙兩人同時(shí)從一地出發(fā)，甲的速度為7步/秒（步為古代長(zhǎng)度計(jì)量單位，與現(xiàn)在的米類似），乙的速度為3步/秒．乙一直向東行走，甲向南行走10步后，偏離原方向，朝北偏東的方向直行一段后與乙相遇，問甲、乙各行走了多少步?設(shè)乙經(jīng)過秒后兩人相遇，則根據(jù)題意，可列方程為．4．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）暑假中，小明到某海島探寶，如圖，他到達(dá)海島登陸點(diǎn)后先往東走8，又往北走2，遇到障礙后又往西走3，再折向北走6處往東一拐，僅1就找到寶藏，問登陸點(diǎn)到埋寶藏點(diǎn)的直線距離是多少？

5．（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，小麗蕩秋千，秋千架高2.4米，秋千座位離地0.4米，小紅蕩起最高時(shí)，坐位離地0.8米．此時(shí)小紅蕩出的水平距離是多少？（蕩到秋千架兩邊的最高點(diǎn)之間的距離）

類型八、小鳥飛行問題【解惑】如圖，有一只喜鵲在一棵高的小樹上覓食，它的巢筑在與該樹水平距離（）為的一棵高的大樹上，喜鵲的巢位于樹頂下方的處，當(dāng)它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即飛過去，如果它飛行的速度為，那么它要飛回巢中所需的時(shí)間至少是(

)

A． B． C． D．【融會(huì)貫通】1．（2023春·重慶云陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米，一只小鳥從一棵樹的樹稍飛到另一棵樹的樹稍，問小鳥至少要飛行（

）A．6米 B．8米 C．10米 D．14米2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高4米，兩樹相距8米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．12米3．（2023春·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在公園內(nèi)有兩棵樹相距8米，一棵樹高15米．另一棵樹高9米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛米．4．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行米．5．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）有兩棵樹，一棵高6米，另一棵高3米，兩樹相距4米，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，至少飛了多少米？類型九、勾股定理的證明方法【解惑】意大利著名畫家達(dá)·芬奇用如圖所示（四邊形，四邊形，四邊形都為正方形，設(shè)圖①中空白部分的面積為，圖③中空白部分的面積為）的方法驗(yàn)證了勾股定理，步驟如下所示，則下列判斷不正確的是（

）第一步：由圖①可得；第二步：由圖③可得第三步：由，可驗(yàn)證

A．★表示B．●表示C．◆表示= D．▲表示【融會(huì)貫通】1．（2023春·河南周口·八年級(jí)?？计谥校?shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)用火柴盒研究證明勾股定理的新方法．如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面倒下到的位置，連接，此時(shí)，，，．

(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)請(qǐng)利用直角梯形的面積證明勾股定理：．2．（2023秋·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，對(duì)任意符合條件的直角三角形，繞其銳角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，所以，且四邊形是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形面積相等，而四邊形面積等于和的面積之和，根據(jù)圖形寫出一種證明勾股定理的方法．3．（2023春·北京密云·八年級(jí)?？计谀┙獯?1)請(qǐng)你根據(jù)圖甲中的直角三角形敘述勾股定理（用文字及符號(hào)語言敘述）．

(2)以圖甲中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以，為底，以為高的直角梯形，如圖乙所示，請(qǐng)你利用圖乙驗(yàn)證勾股定理．

4．（2023春·安徽蕪湖·八年級(jí)統(tǒng)考期中）觀察，思考與驗(yàn)證

(1)如圖1是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請(qǐng)你寫出這個(gè)公式____________；(2)如圖2所示，，且，，在同一直線上，試說明，；(3)伽菲爾德（1881年任美國(guó)第20屆總統(tǒng)）利用