第22章 二次函數(shù)（六大熱考題型）（解析版）

第22章《二次函數(shù)》分層練習(xí)考查題型一二次函數(shù)的定義1．（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙?jí)?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】整理成一般形式后，根據(jù)二次函數(shù)的定義判定即可．【詳解】解：A選項(xiàng)：是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，為一次函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：是組合函數(shù)，不是二次函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義：函數(shù)（，a、b、c為常數(shù)）叫二次函數(shù)．2．（2023秋·安徽池州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析即可．【詳解】A．是一次函數(shù)，故不符合題意；B．是二次函數(shù)，故符合題意；C．是一次函數(shù)，故不符合題意；D．是反比例函數(shù)，故不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，一般地，形如（a，b，c為常數(shù)，）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．3．（2022秋·河南許昌·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義逐一判斷即可．【詳解】解：A、是一次函數(shù)，不符合題意；B、是一次函數(shù)，不符合題意；C、是二次函數(shù)，符合題意；D、是一次函數(shù)，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)定義，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的形式：一般地，形如（且a、b、c）是常數(shù)的函數(shù)叫做二次函數(shù)．4．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】二次函數(shù)的解析式必須是含自變量的整式，二次項(xiàng)系數(shù)不為0．【詳解】解：A、是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、二次項(xiàng)系數(shù)a不能確定是否為0，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；D、是正比例函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義及條件：二次函數(shù)的定義條件是：a、b、c為常數(shù)，，自變量最高次數(shù)為2．考查題型二根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)1．（2023春·四川內(nèi)江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）是二次函數(shù)，則m的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：是二次函數(shù)，∴，，解得，，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義條件：二次函數(shù)的定義條件是：a、b、c為常數(shù)，，自變量最高次數(shù)為2．2．（2023秋·浙江紹興·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知y關(guān)于x的二次函數(shù)解析式為，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義得，進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：∵y關(guān)于x的二次函數(shù)解析式為，∴解得，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義，正確計(jì)算．3．（2022秋·浙江溫州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則a的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】將點(diǎn)P代入函數(shù)表達(dá)式中，解方程可得a值．【詳解】解：將代入中，得：，解得：，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)，熟知二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·安徽淮北·九年級(jí)淮北市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若y＝（a﹣2）x2﹣3x+2是二次函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)≠2 B．a(chǎn)＞0 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)≠0【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)不為0可得關(guān)于a的不等式，解不等式即得答案．【詳解】解：由題意得：，則．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題型，掌握二次函數(shù)的概念是關(guān)鍵．考查題型三二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質(zhì)1．（2020秋·廣東東莞·九年級(jí)校聯(lián)考期中）二次函數(shù)圖象如圖，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（）

A．②③④ B．①②④ C．②③ D．①②③④【答案】C【分析】由二次函數(shù)圖象可知，，，即可判斷①；由二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線即可判斷②；將代入即可判斷③；將代入即可判斷④．【詳解】解：①∵開口向下，∴，∵對(duì)稱軸為∴，∵二次函數(shù)圖象與y軸交于正半軸∴∴，故①錯(cuò)誤；∵對(duì)稱軸為∴，即，故②正確；由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，故③正確；由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，故④錯(cuò)誤．綜上所述，正確的有②③．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考三模）函數(shù)（，）的圖象是由函數(shù)（，）的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成，如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）①；②；③；④將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線有3個(gè)交點(diǎn)．

A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出對(duì)稱軸為，進(jìn)而可得，故①正確；由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，可判段②；由函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，的圖象軸上方部分不變，下方部分沿軸向上翻折而成可知，故③錯(cuò)誤；求出翻折前的二次函數(shù)解析式，然后根據(jù)平移的性質(zhì)可得④正確．【詳解】解：由函數(shù)圖象可得：與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－1和3，∴對(duì)稱軸為，即，∴整理得：，故①正確；由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，故②正確；∵與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，可知，開口向上，圖中函數(shù)圖象是由原函數(shù)下方部分沿軸向上翻折而成，∴，故③錯(cuò)誤；設(shè)拋物線的解析式為，代入得：，解得：，∴，∴，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∵點(diǎn)向上平移1個(gè)單位后的坐標(biāo)為，∴將圖象向上平移1個(gè)單位后與直線有3個(gè)交點(diǎn)，故④正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式，頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北黃岡·校考二模）拋物線（a，b，c是常數(shù)，且）開口向下且過點(diǎn)，，其中，以下結(jié)論：①；②；③；④若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由拋物線開口方向、二次函數(shù)對(duì)稱軸位置及，從而判斷①②，由及可判斷③，將方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為拋物線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的問題可判斷④．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，∵過點(diǎn)，∴，，∴，∴，故①正確；拋物線開口向下，，時(shí)，，故②正確．拋物線開口向下，，，，時(shí)，，，③正確．若有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線開口向下，拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)大于1，即，，故④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．4．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？既＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，其中，下列結(jié)論：①．②．③．④．⑤．其中，結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】A【分析】由拋物線的開口方向判斷a的符號(hào)，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c的符號(hào)，然后根據(jù)對(duì)稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵拋物線的開口向下，∴，∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為在y軸的正半軸上，∴，∵拋物線對(duì)稱軸所在的直線在y軸和直線之間，∵，又∵，∴，∴，故①錯(cuò)誤；∵，∴，∴，故②正確；∵當(dāng)時(shí)，，∴，故③正確；∵拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)大于2，∵，∴，故④錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，∴,∵當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,∴，，∴,∴，，∴，∴，故⑤錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)系數(shù)符號(hào)的確定由拋物線開口方向、對(duì)稱軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)、拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等，解答本題關(guān)鍵明確二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小、一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置．考查題型四二次函數(shù)與方程和不等式1．若對(duì)稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則一元二次方程的根是．【答案】，【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出的對(duì)稱點(diǎn)，即可得到答案；【詳解】解：∵對(duì)稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是：，即，∴方程的根是，，故答案為：，；【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的性質(zhì)及二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)稱性求出對(duì)稱點(diǎn)．2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）二次函數(shù)與軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)與軸有交點(diǎn)，令，可解出的值，代入計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵二次函數(shù)與軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，∴令，則，∴，則，∴或，當(dāng)時(shí)，∴；當(dāng)時(shí)，∴；故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題及解一元二次方程，掌握二次函數(shù)與軸有交點(diǎn)，可求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值，整式的混合運(yùn)算等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線和直線交于點(diǎn)和點(diǎn)，則不等式的解集為．

【答案】【分析】根據(jù)已知圖象，確定交點(diǎn)橫坐標(biāo),再找出直線在拋物線上方的部分，即可得到答案．【詳解】解：由圖象可知，拋物線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0、3，當(dāng)時(shí)，直線在拋物線上方，不等式的解集為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是解題關(guān)鍵．4．（2020秋·廣東廣州·九年級(jí)執(zhí)信中學(xué)?？计谥校┤鐖D是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知不等式的解集是．

【答案】或【分析】由圖象判斷是對(duì)稱軸，與x軸一個(gè)交點(diǎn)是，則另一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象即可求解．【詳解】解：由圖象可知二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，與x軸一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，由函數(shù)的對(duì)稱性可得，與x軸另一個(gè)交點(diǎn)是，∴的解集為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的應(yīng)用；能夠根據(jù)二次函數(shù)圖象特點(diǎn)求出函數(shù)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合解不等式是解題的關(guān)鍵．考查題型五用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式1．（2023·黑龍江佳木斯·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)在該拋物線上，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）將點(diǎn)，的坐標(biāo)分別代入，求出，；（2）以為底，求出的高，即點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，進(jìn)而將的縱坐標(biāo)代入拋物線的表達(dá)式，求解其橫坐標(biāo)．【詳解】（1）解：點(diǎn)，在拋物線上，，解得，拋物線的解析式為．（2）解：，，．又，，即．①令，該方程無解，不符合題意；②令，解得，．或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與三角形面積的綜合，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，且．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知得出點(diǎn)，進(jìn)而待定系數(shù)法求解析式即可求解．（2）根據(jù)解析式化為頂點(diǎn)式求得，待定系數(shù)法求得直線的解析式，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，且．∴，即，設(shè)拋物線解析式為，將代入得，解得：，∴拋物線解析式為（2）解：∵，∴,如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

設(shè)直線的解析式為，將代入得，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，面積問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)．

(1)求該拋物線的解析式；(2)將該拋物線向下平移n個(gè)單位，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求n的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）把點(diǎn)代入可求出b，從而得解；（2）根據(jù)拋物線向下平移n個(gè)單位，得到新拋物線的解析式，再將點(diǎn)代入可求出n的值．【詳解】（1）解：把點(diǎn)代入得：，解得，∴拋物線的解析式為：（2）拋物線向下平移n個(gè)單位后得：，把點(diǎn)代入得：解得：即n的值為1．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法和拋物線的平移，掌握待定系數(shù)法和拋物線的平移是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋·浙江衢州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上．(1)求a，b的值．(2)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，比較，，的大小，并簡(jiǎn)述理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解答．【詳解】（1）解：將代入中，得，解得，∴（2）∵，∴二次函數(shù)的解析式為，∵，對(duì)稱軸為直線，∴當(dāng)時(shí)y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)y隨x的增大而增大，∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，，且∴．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的增減性，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．考查題型六實(shí)際問題與二次函數(shù)1．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某商店銷售一種商品，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品的周銷售量y（件）是售價(jià)x（元/件）的一次函數(shù)，其售價(jià)、周銷售量、周銷售利潤(rùn)w（元）的三組對(duì)應(yīng)值如下表：售價(jià)x（元/件）506070周銷售量y（件）806040周銷售利潤(rùn)w（元）80012001200注：周銷售利潤(rùn)=周銷售量×（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式：___________；(2)求該商品的進(jìn)價(jià)和周銷售的最大利潤(rùn)：(3)由于某種原因，該商品進(jìn)價(jià)提高了m元/件（），物價(jià)部門規(guī)定該商品售價(jià)不得超過60元/件，該商店在今后的銷售中，周銷售量與售價(jià)仍然滿足（1）中的函數(shù)關(guān)系．若周銷售最大利潤(rùn)是1080元，求m的值．【答案】(1)(2)售價(jià)為65元/件時(shí)，周銷售利潤(rùn)最大，為1250元(3)【分析】（1）依題意設(shè)，解方程組即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，周銷售利潤(rùn)=周銷售量×（售價(jià)-進(jìn)價(jià)）列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)性質(zhì)解答即可；（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為，將分別代入得，，解得，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式是；故答案為：；（2）解：設(shè)進(jìn)價(jià)為a元，由售價(jià)50元時(shí)，周銷售量為80件，周銷售利潤(rùn)為800元，得，解得：即該商品的進(jìn)價(jià)為40元/件；依題意有∵，∴拋物線開口向下，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值為1250，即售價(jià)為65元/件時(shí)，周銷售利潤(rùn)最大，為1250元．（3）解：依題意有，∵，∴對(duì)稱軸，∵，∵∴w隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，熟練掌握題目中的等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，有一座拋物線型拱橋，在正常水位時(shí)水面寬，當(dāng)水位上升時(shí)，水面寬．

(1)按如圖所示的直角坐標(biāo)系，求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)有一條船以的速度向此橋徑直駛來，當(dāng)船距離此橋時(shí)，橋下水位正好在處，之后水位每小時(shí)上漲．為保證安全，當(dāng)水位達(dá)到距拱橋最高點(diǎn)時(shí)，將禁止船只通行．如果該船的速度不變，那么它能否安全通過此橋？【答案】(1)(2)如果該船的速度不變，那么它不能安全通過此橋【分析】（1）根據(jù)題意可得，然后利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出船到達(dá)橋下水面的高度，再求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到船到達(dá)橋下時(shí)水面距離最高點(diǎn)的高度，由此即可得到答案．【詳解】（1）解：由題意得，，設(shè)拋物線解析式為，∴，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：船行駛到橋下的時(shí)間為：小時(shí)，水位上升的高度為：．∵拋物線解析式為，∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴當(dāng)船到達(dá)橋下時(shí)，此時(shí)水面距離拱橋最高點(diǎn)的距離為，∴如果該船的速度不變，那么它不能安全通過此橋．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．3．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，D為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)Q，與相交于點(diǎn)M．于E．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求線段長(zhǎng)度的最大值；(3)連接，是否存在點(diǎn)D，使得中有一個(gè)角與相等？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或【分析】（1）設(shè)拋物線解析式為，將代入，得：，解得，即可求出拋物線解析式為；（2）設(shè)，且，設(shè)直線的解析式為，將，代入，求出直線BC的解析式為，證明，得出，，即可解得；（3）設(shè)，且，由(2)知，分兩種情況討論即可①若，，解得或0(舍去)；②若，，解得或0(舍去)，即可解得．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)，∴設(shè)拋物線解析式為，將代入，得：，解得，∴，∴拋物線解析式為；（2）解：設(shè)，且，在中，，，，設(shè)直線的解析式為，將，代入，得，解得，∴直線BC的解析式為，∴，∴，∵，∴，∵軸，∴軸，∴，∴，∴，即，∴，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值是；（3）存在點(diǎn)D，使得中有一個(gè)角與相等．∵，，，∴，，∴，∵軸，∴，∵，∴，設(shè)，且，則，∴，由(2)知，∴，①若，∴，∵，∴，∴，解得或0(舍去)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；②若，則，∵，∴，∴，解得或0(舍去)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為；綜上，存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟悉求二次函數(shù)的解析式和極值問題．4．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）一名運(yùn)動(dòng)員在高的跳臺(tái)進(jìn)行跳水，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度與離起跳點(diǎn)A的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)A的水平距離為時(shí)離水面的距離為．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)求運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng)．【答案】(1)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為；(2)運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng)為．【分析】（1）由題意得拋物線的對(duì)稱軸為，經(jīng)過點(diǎn)，，利用待定系數(shù)法即可求解；（2）令，解方程即可求解．【詳解】（1）解：由題意得拋物線的對(duì)稱軸為，經(jīng)過點(diǎn)，，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，∴，解得，∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：令，則，解得（負(fù)值舍去），∴運(yùn)動(dòng)員從起跳點(diǎn)到入水點(diǎn)的水平距離的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合并熟練掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式是解題的關(guān)鍵．1．（2023·河南信陽·校考三模）如圖，在平面直觓坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)．

(1)求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)當(dāng)時(shí)，求二次函數(shù)的最大值與最小值的差．(3)若點(diǎn)是軸上方拋物線上的點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，當(dāng)線段的長(zhǎng)隨的增大而增大時(shí)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．【答案】(1)，(2)12(3)或【分析】（1）先運(yùn)用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，然后再運(yùn)用配方法求得出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)即可；（2）先根據(jù)該二次函數(shù)的性質(zhì)求得其在上的最大值和最小值，然后作差即可解答；（3）先求出直線的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)（且），則點(diǎn)．然后分點(diǎn)在點(diǎn)的下方和上方兩種情況解答即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，∴解得：∴拋物線的表達(dá)式為．∵，∴拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）解：∵拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。喈?dāng)時(shí)，在處，取得最大值；在處，取得最小值．∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值與最小值的差為．（3）解：設(shè)直線的表達(dá)式為，∵點(diǎn)，解得：直線的表達(dá)式為，設(shè)點(diǎn)（且），則點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的下方，即時(shí)，，∴時(shí)，線段的長(zhǎng)隨的增大而增大；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的上方時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)隨的增大而增大．綜上所述，當(dāng)線段的長(zhǎng)隨的增大而增大時(shí)，的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)的最值、二次函數(shù)增減性等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）綜合與探究如圖，已知直線與x軸，y軸交于B，A兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，B，點(diǎn)P為線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線交拋物線于點(diǎn)N，交直線于點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

(1)求拋物線解析式；(2)當(dāng)，t的值為___________；(3)若點(diǎn)N到直線的距離為d，求d的最大值；(4)在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使是以為腰的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)1(3)(4)存在，，，【分析】（1）先求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，然后代入二次函數(shù)求解即可；（2）根據(jù)點(diǎn)，確定點(diǎn)，，得出，，根據(jù)題意代入求解即可；（3）點(diǎn)N到直線的距離為d，求d的最大值即為求面積的最大值，連接，根據(jù)（2）中代入確定面積最大值，然后由等面積法求解即可；（4）分兩種情況分析：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別利用全等三角形的判定和性質(zhì)及二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，解得；，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為．將，代入，得：，解得：，∴這個(gè)拋物線的解析式為；（2）點(diǎn)，則點(diǎn)，，∴，，∵，∴，解得：或（與點(diǎn)B重合，舍去），故答案為：1；（3）點(diǎn)N到直線的距離為d，求d的最大值即為求面積的最大值，連接，如圖所示：

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為．∴，，由（2）得，∴，∴面積最大為：8，∵，∴，解得：；（4）存在，，，，理由如下：當(dāng)時(shí)，如圖所示：，

過點(diǎn)N作軸，過點(diǎn)B作軸交延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，∴，，，，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，解得：，（負(fù)值舍去）∴；當(dāng)時(shí)，如圖所示：，

∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴，解得：，∴或，∵點(diǎn)Q在x軸下方，∴，；綜上可得：，，．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合問題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，線段及面積問題，特殊三角形的問題及全等三角形的判定和性質(zhì)，理解題意，作出相應(yīng)輔助線，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．3．（2023·河南省直轄縣級(jí)單位·統(tǒng)考二模）火流星過山車是倍受人們喜愛的經(jīng)典娛樂項(xiàng)目．如圖所示，為火流星過山車的一部分軌道，它可以看成一段拋物線．其中米，米（軌道厚度忽略不計(jì)）．

(1)直接寫出拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(2)在軌道距離地面4.5米處有兩個(gè)位置P和G，當(dāng)過山車運(yùn)動(dòng)到G處時(shí)，平行于地面向前運(yùn)動(dòng)了5米至K點(diǎn)，又進(jìn)入下坡段（K接口處軌道忽略不計(jì)，點(diǎn)H為軌道與地面交點(diǎn)）．已知軌道拋物線的形狀與拋物線完全相同，在G到Q的運(yùn)動(dòng)過程中，求OH的距離；(3)現(xiàn)需要在軌道下坡段進(jìn)行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架AM、CM、BN、DN，且要求．已知這種材料的價(jià)格是80000元/米，如何設(shè)計(jì)支架，會(huì)使造價(jià)最低？最低造價(jià)為多少元？【答案】(1)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為(2)OH的距離為米(3)當(dāng)時(shí)，造價(jià)最低，最低造價(jià)為元．【分析】（1）根據(jù)題意，由，，得到，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）先求出，坐標(biāo)，再求出長(zhǎng)度，當(dāng)過山車運(yùn)動(dòng)到G處時(shí)，平行于地面向前運(yùn)動(dòng)了5米至點(diǎn)，即可知，再通過拋物線的形狀與拋物線完全相同，即可得結(jié)論；（3）先設(shè)出，橫坐標(biāo)，再代入解析式，分別求出，的縱坐標(biāo)，然后求出，，