河南省周口市項城市2024屆高三5校青桐鳴大聯(lián)考9月數(shù)學試題（含答案解析）

數(shù)學全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?班級?考場號?座位號?考生號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，復數(shù)，是實數(shù)，則（）A.5 B.10 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)可求a的值，從而可求z及其模.【詳解】，故，解得，故.故選：C2.已知全集，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，結合對數(shù)不等式的運算可得，進而求解.【詳解】，，故.故選：B.3.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇偶性、區(qū)間函數(shù)值符號及對應冪、指數(shù)復合函數(shù)的增長趨勢，應用排除法確定答案即可.【詳解】由且定義域，即是偶函數(shù)，排除D；當時，，即，此時，排除C；當趨向時，、均趨向，但隨變大，的增速比快，所以趨向于，排除B.故選：A.4.已知，是函數(shù)圖象上兩條相鄰的對稱軸，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的對稱性和周期性計算即可.【詳解】由題意得：，故，則當時，，又，故.故選：A.5.已知函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.的圖象關于直線對稱 D.的圖象關于點成中心對稱【答案】D【解析】分析】對AB，根據(jù)判斷即可；對C，舉反例判斷即可；對D，計算可得即可判斷.【詳解】對AB，由，易知選項A，B不正確；對C，易得，，故，故選項C不正確；對D，，故，故的圖象關于點中心對稱.故選：D.6.畢業(yè)典禮上，某班有六人站一排照相，要求，兩人均不在排頭，且兩人不相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）A.160 B.288 C.336 D.480【答案】C【解析】【分析】先排兩人不相鄰，再減去或在排頭的排法即可.【詳解】按插空法，，不相鄰的排法種數(shù)為，而其中或在排頭的排法種數(shù)為,故不同的排法種數(shù)為.故選:C.7.已知拋物線的焦點為，點，過的直線垂直于，且交拋物線于兩點，則（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】D【解析】【分析】方法1：聯(lián)立直線與，設，，得出韋達定理，代入坐標求解即可；方法2：設點，在準線上的射影分別為點，，根據(jù)幾何關系可證得，可得即可.【詳解】（方法1）易知焦點，故，則，故直線的方程為，代入得，，設，，則，，.（方法2）設點，在準線上的射影分別為點，，如圖，易知，，，則，則，同理，則，又，由此可得，故.故選：D.8.在正四棱錐中，分別為的中點，直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，，根據(jù)得即為與所成的角，設，再根據(jù)幾何關系可求得，再根據(jù)，結合錐體體積求解即可.【詳解】連接，，如圖，設，由，得即為與所成的角，在中，易知，，解得.設，在中，①，因為，故，則在中，，即②，①②兩式相加求得，因為，解得.因為為的中點，故，因為，，所以三角形為等腰直角三角形，則在等腰直角三角形中，易求得到的距離即到底面的距離為，故到平面的距離為，，故所求三棱錐的體積為.故選：B二?選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】A選項可去特殊值判斷；B選項可構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性即可；C選項可根據(jù)不等式同向同正可乘的性質進行判斷；D選項可以用作差法進行判斷.【詳解】對于A：取，，則，故A錯誤；對于B：構造函數(shù)，則，故在為增函數(shù)，故，即，故B正確；對于C：，故與兩式相乘得，故C正確；對于D：，故D錯誤.故選：BC10.已知，為坐標原點，終邊上有一點.則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】對于A，利用任意角的三角函數(shù)的定義結合已知條件分析判斷，對于B，利用距離公式求解判斷，對于CD，利用三角函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可【詳解】，故，又，，故是第一象限角，又，故，故A正確；對于B，，故，故B正確；對于C，因為在上單調(diào)遞增，且，所以，故C錯誤；對于D，因為在上單調(diào)遞減，，所以，故D錯誤.故選：AB.11.已知在等邊△中，，為的中點，為的中點，延長交占，則（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】在△ABD中，根據(jù)AE是中線可得，再根據(jù)D是AC中點即可表示出，從而判斷A；設，得到，根據(jù)，，三點在一條直線上及三點共線定理的推論可得k的值，從而可判斷B；用表示出，根據(jù)向量數(shù)量積運算方法即可計算，從而判斷C；根據(jù)E是BD中點及D是AC中點可得，，從而可判斷D．【詳解】如圖，，故A正確；設，則，又，，三點在一條直線上，故，故，即，，故，故B正確；，故，故C錯誤；，，故，故D錯誤.故選：AB.12.若數(shù)列滿足（為正整數(shù)），為數(shù)列的前項和則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】直接代入遞推公式求得，可知A正確；根據(jù)遞推式求，構造數(shù)列為常數(shù)列，求得數(shù)列通項，得，B正確；代入等差數(shù)列求和公式可得，C錯誤；先放縮，再利用裂項相消求和可證明D正確.【詳解】，故A正確；由知，，兩式相減得，故，故當時，為常數(shù)列，故，故，故，故B正確；，故C錯誤；，故，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知雙曲線的離心率為2，則實數(shù)________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線標準方程的性質和離心率的定義即可求解.【詳解】由題意得，，又，則.故答案為：14.已知是上的減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由題意可知，對任意的恒成立，可得出關于的不等式組，解出的取值范圍為，結合檢驗即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則對任意的恒成立，所以，，因為，則，所以，，，不等式即為，所以，，解得.當時，，不合乎題意.因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.15.已知一個圓臺內(nèi)切球的半徑為，圓臺的表面積為，則這個圓臺的體積為________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)圓臺與球的性質結合圓臺的表面積、體積公式計算即可.【詳解】設內(nèi)切球的半徑為，圓臺上、下底面圓半徑分別為，，則圓臺的高，如圖為圓臺的軸截面圖形，可得母線長，故，故.故答案為：16.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)：，共項，（是這一組數(shù)據(jù)的第項），有以下結論：①這組數(shù)據(jù)的極差為；②這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為；③這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為；④.其中正確結論的個數(shù)為___________.（參考公式：）【答案】【解析】【分析】分析可知，在這組數(shù)據(jù)中，共有個，個，個，，個，個，利用極差的定義可判斷①；利用中位數(shù)的定義可判斷②；利用平均數(shù)的定義可判斷③；利用，化簡所求代數(shù)式可判斷④.【詳解】設，其中，則，其中數(shù)列的項數(shù)為，因為，所以，這組數(shù)據(jù)的最大數(shù)為，最小數(shù)為，在這組數(shù)據(jù)中，共有個，個，個，，個，個，對于①，這組數(shù)據(jù)的極差為，①對；對于②，因為，，則，所以，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，②對；對于③，這組數(shù)據(jù)平均數(shù)，③錯；對于④，，④對.故①②④對，③錯，即正確命題的個數(shù)為.故答案為：.四?解答題：共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足，且為等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求滿足的最大整數(shù).【答案】（1）；（2）11【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義計算即可；（2）根據(jù)等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式計算即可判定.【小問1詳解】由得，，，故等比數(shù)列的公比為2，則，故；【小問2詳解】由（1）可得：，當時，，當時，，又易知當時，，故時，和式，故滿足最大整數(shù)為11.18.在直四棱柱中，四邊形是菱形，，平面.（1）求；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）連接交于點，連接，則可得，則可得，從而得，再結合已知條件可求得結果，（2）以為原點，，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求解.【小問1詳解】連接交于點，連接，因為平面，平面，所以，所以，因為所以，又，所以，所以.因為四邊形是菱形，，，所以，所以，所以.【小問2詳解】以為原點，，，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，則，，設平面的法向量為，則，取，則，因為平面，所以為平面的法向量，所以，所以所以二面角的正弦值為.19.在中，，的面積為，為的中點，于點于點.（1）求的面積；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，可得，，作于點，于點，可得，，代入上式得解；（2）延長到點，使，連接，在中，利用余弦定理可得，在中由正弦定理可求得結果.【小問1詳解】在四邊形中，，，故，故，作于點，于點，又為的中點，則，，故.【小問2詳解】設的三條邊，，分別為，，，由，知，延長到點，使，連接，則，，則在中，，，故由與可得，，則，，則，由正弦定理得，則.20.某地乒乓球協(xié)會在年55歲65歲的乒乓球運動愛好者中，進行一次“快樂兵兵”比賽，3人一組先進行預賽，選出1名參賽人員進入正式比賽.已知甲、乙、丙在同一組，抽簽確定第一輪比賽次序為：甲對乙、甲對丙、乙對丙，先累計獲勝2場的選手，進入正式比賽.若前三場比賽甲、乙、丙各勝負一場，則根據(jù)抽簽確定由甲、乙加賽一場、勝者參加正式比賽.已知甲勝乙、甲勝丙、乙勝丙的概率分別為，各場比賽互不影響且無平局.（1）求甲進入正式比賽的概率；（2）若比賽進行了四場結束，記甲獲勝的場數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）分類討論由乘法公式計算即可；（2）根據(jù)離散型隨機變量的分布列及期望公式計算即可.【小問1詳解】由題意，可分為兩種情況，即分甲連勝兩場和前三場甲、乙、丙各勝負一場，第4場甲勝乙：①甲連勝兩場的概率為；②前三場甲、乙、丙各勝負一場，第4場甲勝乙的概率為，則甲進入正式比賽的概率為.【小問2詳解】由題意得若要比四場，則前3場甲、乙、丙必然各勝一場，此時第四場甲對乙，故的可能取值為1，2，第四場甲輸，則，第四場甲贏，則，故的分布列為12則.21.已知是橢圓上的兩點，關于原點對稱，是橢圓上異于的一點，直線和的斜率滿足.（1）求橢圓的標準方程；（2）若斜率存在且不經(jīng)過原點的直線交橢圓于兩點異于橢圓的上、下頂點），當?shù)拿娣e最大時，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩點的斜率公式計算化簡即可；（2）設直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理、弦長公式計算面積，結合基本不等式求出面積最大時的關系式，再計算斜率之積即可.【小問1詳解】設，易知，由，得，化簡得，故橢圓的標準方程為.【小問2詳解】設的方程為，，，將代入橢圓方程整理得，，，，，則，又原點到的距離為，故，當且僅當時取等號，此時，的面積最大.故.22.已知函數(shù)，.（1）求實數(shù)的值；（2）證明：時，.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出，由可得出，構造函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，求出其最小值，即可得出實數(shù)的值；（2）分析可知，所求不等式等價于，利用導數(shù)證明出，當時，，構造函數(shù)，其中，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出，即可證得結論成立.【小問1詳解】解：因為，則，則，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的