新高考數(shù)學二輪復習培優(yōu)講義23 圓錐曲線的綜合問題（定值 最值 范圍 ）（含解析）

解密23圓錐曲線的綜合問題（定值最值范圍）【考點解密】1．解圓錐曲線綜合問題的一般步驟第一步：確定曲線方程(一般根據(jù)待定系數(shù)法或定義法)．第二步：設直線方程并與曲線方程聯(lián)立，得關于x或y的一元二次方程．第三步：寫出根與系數(shù)的關系(或求出交點出標)．第四步：將第三步得出的關系代入題目條件，解決范圍、最值或定點、定值等問題．第五步：反思回顧，考慮方程有解條件和圖形完備性．2.求動點的軌跡方程的基本步驟【方法技巧】1.解決圓錐曲線中的取值范圍問題應考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍．(2)利的等量關系．(3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(4)利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍．(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．2.處理圓錐曲線最值問題的求解方法圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解．3.圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值．依題意設條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關的等式，代入代數(shù)式、化簡即可得出定值．(2)求點到直線的距離為定值．利用點到直線的距離公式得出距離的解析式，再利用題設條件化簡、變形求得．(3)求某線段長度為定值．利用長度公式求得解析式，再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得．【核心題型】題型一：弦長問題1．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知雙曲線SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線與SKIPIF1<0的左、右兩支分別交于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的離心率為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，利用雙曲線的定義得到SKIPIF1<0，然后設SKIPIF1<0，與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式求解.【詳解】解：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由雙曲線的定義得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消去x得SKIPIF1<0，由韋達定理得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故選：D2．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知拋物線E：SKIPIF1<0（p>0），過點SKIPIF1<0的兩條直線l1，l2分別交E于AB兩點和C，D兩點．當l1的斜率為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0(1)求E的標準方程：(2)設G為直線AD與BC的交點，證明：點G必在定直線上．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)直線的點斜式方程寫出直線方程，與拋物線聯(lián)立方程，利用弦長公式，求出SKIPIF1<0的值，從而求出拋物線的標準方程；（2）設直線方程為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，與拋物線聯(lián)立方程，由韋達定理得出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出直線方程SKIPIF1<0和直線方程SKIPIF1<0，求出交點SKIPIF1<0的橫坐標，然后進行化簡，可以證明結論.【詳解】（1）當SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0時，得SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0,消元得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由弦長公式得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0.（2）法一：因為l1，l2分別交E于AB兩點和C，D兩點，所以直線斜率存在設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，同理，直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點SKIPIF1<0必在垂直于SKIPIF1<0軸的直線上，所以只需證SKIPIF1<0的橫坐標為定值即可．由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0，因為直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以點SKIPIF1<0的橫坐標為2，即直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點SKIPIF1<0在定直線SKIPIF1<0上．法二：設直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，同理，直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，．因為SKIPIF1<0在拋物線的對稱軸上，由拋物線的對稱性可知，交點SKIPIF1<0必在垂直于SKIPIF1<0軸的直線上，所以只需證SKIPIF1<0的橫坐標為定值即可．由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0，因為直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以點SKIPIF1<0的橫坐標為2，即直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點SKIPIF1<0在定直線SKIPIF1<0上．【點睛】關鍵點點睛：本題中的證明問題的關鍵是：設出直線的橫截距或者縱截距方程，聯(lián)立拋物線，結合韋達定理，把目標逐步化簡，得出待證明的結論.3．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點分別為A，B．直線l與C相切，且與圓SKIPIF1<0交于M，N兩點，M在N的左側．(1)若SKIPIF1<0，求l的斜率；(2)記直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0為定值．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)證明過程見解析.【分析】（1）根據(jù)圓弦長公式，結合點到直線距離公式、橢圓切線的性質(zhì)進行求解即可；（2）根據(jù)直線斜率公式，結合一元二次方程根與系數(shù)關系進行求解即可.【詳解】（1）當直線l不存在斜率時，方程為SKIPIF1<0，顯然與圓也相切，不符合題意，設直線l的斜率為SKIPIF1<0，方程為SKIPIF1<0，與橢圓方程聯(lián)立，得SKIPIF1<0，因為直線l與C相切，所以有SKIPIF1<0，圓SKIPIF1<0的圓心坐標為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，圓心SKIPIF1<0到直線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【點睛】關鍵點睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關系，結合橢圓切線的性質(zhì)進行求解是解題的關鍵.題型二：面積問題4．（2023秋·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點為F，直線l過點F且與C交于M，N兩點，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．5 D．10【答案】B【分析】由拋物線的定義得出點SKIPIF1<0坐標，再聯(lián)立直線和拋物線方程，得出SKIPIF1<0點坐標，由面積公式求解.【詳解】由題意可知，SKIPIF1<0，不妨設點SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：B5．（2023·廣東江門·統(tǒng)考一模）已知M是平面直角坐標系內(nèi)的一個動點，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直，A為垂足且位于第一象限，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形SKIPIF1<0（O為原點）的面積為8，動點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)已知SKIPIF1<0是軌跡C上一點，直線l交軌跡C于P，Q兩點，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和為1，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.【答案】(1)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）(2)SKIPIF1<0【分析】（1）設動點SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，化簡可得軌跡C的方程；（2）設直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，斜率為k，直線SKIPIF1<0傾斜角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0斜率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由過點T直線與曲線C有兩個交點確定SKIPIF1<0的范圍，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，從而可得直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程，與曲線C的方程聯(lián)立解得SKIPIF1<0的坐標，求出SKIPIF1<0及點Q到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0的面積.【詳解】（1）設動點SKIPIF1<0，由題意知M只能在直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所夾的范圍內(nèi)活動.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0右側，有SKIPIF1<0，同理有SKIPIF1<0，∵四邊形SKIPIF1<0的面積為8，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以所求軌跡C方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.（2）如圖，設直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，斜率為k，直線SKIPIF1<0傾斜角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0斜率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在曲線C上，過點T直線與曲線C有兩個交點，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，同時SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.

SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）.SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消y得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0，消y得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點Q到直線SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0

，SKIPIF1<0.方法二：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.6．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）已知橢圓SKIPIF1<0離心率為SKIPIF1<0，經(jīng)過SKIPIF1<0的左焦點SKIPIF1<0斜率為1的直線與SKIPIF1<0軸正半軸相交于點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)設M，N是SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0的兩點，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率和直線SKIPIF1<0斜率即可求出SKIPIF1<0，則得到SKIPIF1<0值，即得到橢圓方程；（2）設直線SKIPIF1<0，聯(lián)立橢圓方程得SKIPIF1<0，得到韋達定理式，再利用SKIPIF1<0得到直線過定點SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0，通過換元和導數(shù)即可求出面積最值.【詳解】（1）由已知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0斜率為1，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0軸.設直線SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0①因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.將①代入上式可得SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0經(jīng)過定點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面積SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0面積取最大值SKIPIF1<0.【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是采用設線法，設直線SKIPIF1<0，聯(lián)立橢圓方程得到韋達定理式，利用SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再將韋達定理式整體代入化簡得SKIPIF1<0，從而得到直線SKIPIF1<0經(jīng)過定點SKIPIF1<0，再求出面積表達式SKIPIF1<0，利用換元法和導數(shù)即可求出面積最值.題型三：中點弦問題7．（2023秋·遼寧遼陽·高三統(tǒng)考期末）已知直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于A，B兩點，線段SKIPIF1<0的中點為SKIPIF1<0，則橢圓C的離心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由題意，利用點差法，整理方程，根據(jù)斜率公式和中點坐標公式，可得答案.【詳解】設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．由題意可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，故橢圓C的離心率SKIPIF1<0．故選：A.8．（2023秋·江西·高三校聯(lián)考期末）如圖，已知拋物線E：SKIPIF1<0的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段AB的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，SKIPIF1<0軸于點N.若四邊形SKIPIF1<0的面積等于8，則E的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的坐標，然后得SKIPIF1<0的方程，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0的坐標，利用直角梯形的面積求出SKIPIF1<0，可得拋物線方程.【詳解】易知SKIPIF1<0，直線AB的方程為SKIPIF1<0，四邊形OCMN為直角梯形，且SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.所以MC直線方程為SKIPIF1<0，∴令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.所以四邊形OCMN的面積為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故拋物線E的方程為SKIPIF1<0.故選：B.9．（2023·全國·高三專題練習）已知如圖，橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，與SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸分別交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，若SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再根據(jù)點差法解決中點弦問題，求出離心率.【詳解】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選：C題型四：范圍問題10．（2023秋·內(nèi)蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中學校考期末）已知點F為拋物線C：SKIPIF1<0的焦點，過點F作兩條互相垂直的直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與C交于A，B兩點，直線SKIPIF1<0與C交于D，E兩點，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．64 B．54 C．50 D．48【答案】C【分析】利用韋達定理表示出弦長SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，利用基本不等式可求最小值.【詳解】拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0斜率存在，且均不為0.設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以將SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0替換為SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號.故SKIPIF1<0的最小值是50.故選:C.11．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知雙曲線SKIPIF1<0的離心率為2，右焦點F到漸近線的距離為SKIPIF1<0，過右焦點F作斜率為正的直線l交雙曲線的右支于A，B兩點，交兩條漸近線于C，D兩點，點A，C在第一象限，O為坐標原點．(1)求雙曲線E的方程；(2)設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)離心率和焦點到漸近線的距離，列出SKIPIF1<0的方程組，解得結果即可.（2）設出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)題目條件，寫出SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0的范圍即可求出結果.【詳解】（1）設雙曲線SKIPIF1<0的右焦點SKIPIF1<0，漸近線方程為SKIPIF1<0，則右焦點SKIPIF1<0到漸近線的距離SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴雙曲線的方程為SKIPIF1<0.（2）設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0聯(lián)立方程得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0漸近線方程為SKIPIF1<0則A到兩條漸近線的距離SKIPIF1<0滿足，SKIPIF1<0聯(lián)立方程得SKIPIF1<0

SKIPIF1<0聯(lián)立方程得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立即SKIPIF1<0恒成立，∴所求SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<012．（2021·北京·高三?？紡娀媱潱┤鐖D，已知拋物線SKIPIF1<0，點A在拋物線上，且在第一象限，以點A為切點作拋物線的切線l交x軸于點B，過點B作垂直于l的直線SKIPIF1<0交拋物線于C，D兩點，其中點C在第一象限，設SKIPIF1<0與y軸交于點K．(1)若點A的橫坐標為2，求切線l的方程．(2)連結SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的面積分別為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)8【分析】（1）切線方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立直線方程和拋物線方程后利用判別式為零可求斜率，從而得到切線方程.（2）設SKIPIF1<0，利用（1）中的方法可求切線方程，從而得到SKIPIF1<0的坐標，從而得到直線SKIPIF1<0，聯(lián)立直線方程和拋物線方程后可求SKIPIF1<0的值，從而可求SKIPIF1<0，利用換元法和基本不等式可求表達式的最小值.【詳解】（1）根據(jù)題意，有SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0處的切線的斜率存在，設切線方程為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故切線的方程為：SKIPIF1<0．（2）設SKIPIF1<0，同（1）可得SKIPIF1<0，進而SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0即SKIPIF1<0因此設SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且由點到直線的距離公式SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，等號當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時取得，因此所求最小值為8．題型五：定點問題13．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知雙曲線C：SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在雙曲線上．(1)求雙曲線C的方程；(2)若A，B為雙曲線的左、右頂點，SKIPIF1<0，若MA與C的另一交點為P，MB與C的另一交點為Q（P與A，Q與B均不重合）求證：直線PQ過定點，并求出定點坐標．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析，定點坐標為SKIPIF1<0【分析】（1）把點SKIPIF1<0代入雙曲線的標準方程SKIPIF1<0，結合其離心率SKIPIF1<0來聯(lián)立方程求解即可；（2）根據(jù)題意當SKIPIF1<0時，設出直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，并設交點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立直線與曲線的方程，利用韋達定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而由題意SKIPIF1<0推出直線PQ恒過定點SKIPIF1<0，最后檢驗當SKIPIF1<0時，也符合題意即可.【詳解】（1）由題意可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,故雙曲線C的方程為SKIPIF1<0．（2）證明：①A，B為雙曲線SKIPIF1<0的左、右頂點，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又點P在雙曲線SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，與雙曲線C的方程聯(lián)立得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時滿足SKIPIF1<0，∴直線PQ恒過點SKIPIF1<0．②當SKIPIF1<0時，P與B重合，Q與A重合，此時直線PQ的方程為SKIPIF1<0．綜上，直線PQ恒過點SKIPIF1<0．14．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知點SKIPIF1<0在雙曲線C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）上，過P作x軸的平行線，分別交雙曲線C的兩條漸近線于M，N兩點，SKIPIF1<0．(1)求雙曲線C的方程；(2)若直線l：SKIPIF1<0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，設直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從下面兩個條件中選一個（多選只按先做給分），證明：直線l過定點．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)選①直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0；選②直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0【分析】（1）求出雙曲線的漸近線，得到SKIPIF1<0兩點的坐標，利用SKIPIF1<0及點在雙曲線上可得方程；（2）選擇兩個條件都是先聯(lián)立方程，得出韋達定理，結合斜率之和或者之積得到SKIPIF1<0的關系式，從而可得定點.【詳解】（1）由題意可知：點SKIPIF1<0在雙曲線上，所以SKIPIF1<0；過SKIPIF1<0做SKIPIF1<0軸的平行線SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點，那么SKIPIF1<0兩點可求：SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；代入SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，所以雙曲線的方程為SKIPIF1<0.（2）選①：由題意可知，直線SKIPIF1<0與雙曲線C交于不同的兩點A,B,設SKIPIF1<0，聯(lián)立方程:SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0由條件SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，代入韋達定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，不合題意；綜上可得，直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0.選②：由題意可知，直線SKIPIF1<0與雙曲線C交于不同的兩點A,B,設SKIPIF1<0，聯(lián)立方程:SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0由條件SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0代入韋達定理，整理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，不合題意；綜上可得，直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0.【點睛】關鍵點點睛：本題求解的關鍵是利用韋達定理把SKIPIF1<0或SKIPIF1<0進行轉(zhuǎn)化，然后把求解方程得出SKIPIF1<0的關系式，從而可得定點，定點問題雖然運算過程繁瑣，但是求解思路較為明確.15．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知雙曲線SKIPIF1<0的右頂點為SKIPIF1<0，左焦點SKIPIF1<0到其漸近線SKIPIF1<0的距離為2，斜率為SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交雙曲線SKIPIF1<0于A，B兩點，且SKIPIF1<0．(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0交于P，Q兩點，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與直線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，試問：以線段SKIPIF1<0為直徑的圓是否過定點?若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)以線段SKIPIF1<0為直徑的圓過定點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離公式即可求解SKIPIF1<0，進而聯(lián)立直線與雙曲線方程，根據(jù)弦長公式即可求解SKIPIF1<0，（2）聯(lián)立直線與曲線的方程得韋達定理，根據(jù)圓的對稱性可判斷若有定點則在SKIPIF1<0軸上，進而根據(jù)垂直關系得向量的坐標運算，即可求解.【詳解】（1）∵雙曲線SKIPIF1<0的左焦點SKIPIF1<0到雙曲線SKIPIF1<0的一條漸近線SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．依題意直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0消去y整理得：SKIPIF1<0，依題意：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點A，B的橫坐標分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），且SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴雙曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）依題意直線SKIPIF1<0的斜率不等于0，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．同理可得SKIPIF1<0．由對稱性可知，若以線段SKIPIF1<0為直徑的圓過定點，則該定點一定在SKIPIF1<0軸上，設該定點為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故以線段SKIPIF1<0為直徑的圓過定點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵是根據(jù)圓的對稱性可判斷定點在坐標軸上，結合向量垂直的坐標運算化簡求解就可，對計算能力要求較高.題型六：定值問題16．（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預測）已知SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的右焦點，且SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程.(2)過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0（異于點SKIPIF1<0）兩點，SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0上一點.設直線SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，證明：點SKIPIF1<0的橫坐標為定值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)點SKIPIF1<0的坐標以及SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸，可得SKIPIF1<0，再將點SKIPIF1<0的坐標代入橢圓方程在結合橢圓SKIPIF1<0的關系解出SKIPIF1<0，即可得出橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）設SKIPIF1<0，根據(jù)已知設出直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，則設點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0的方程與橢圓SKIPIF1<0的方程聯(lián)立，根據(jù)韋達定理得出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，根據(jù)斜率的兩點公式得出SKIPIF1<0，再根據(jù)直線SKIPIF1<0的方程消去式子中的SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，再結合韋達定理結果即可得出SKIPIF1<0，再結合已知與斜率的兩點公式即可解出SKIPIF1<0，即證明.【詳解】（1）由SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸，可得SKIPIF1<0.將點SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0；（2）證明：由（1）知，SKIPIF1<0，則橢圓SKIPIF1<0的右焦點坐標為SKIPIF1<0.設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0的方程與橢圓SKIPIF1<0的方程聯(lián)立得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，由韋達定理知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0的橫坐標為定值.17．（2023·陜西咸陽·陜西咸陽中學?？寄M預測）設拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0，動直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.(1)求拋物線SKIPIF1<0的方程；(2)連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0并延長分別交拋物線SKIPIF1<0于兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0是定值，并求出該值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析，SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)聯(lián)立方程，結合韋達定理，利用弦長公式即可求出方程；（2）通過分別聯(lián)立直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與拋物線，用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點的坐標表示出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐標，再化簡SKIPIF1<0即可得到定值.【詳解】（1）聯(lián)立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍)，故拋物線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）由題意知SKIPIF1<0,由（1）得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0