2023年各地中考幾何壓軸題匯編附詳解

第第頁2023年各地中考幾何壓軸題匯編1.(2023·安徽)在中.是斜邊的中點(diǎn).將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至位置.點(diǎn)在直線外.連接．（1）如圖1.求的大??；（2）已知點(diǎn)和邊上的點(diǎn)滿足．（?。┤鐖D2.連接.求證：；（ⅱ）如圖3.連接.若.求的值．

2.(2023·北京)在中、.于點(diǎn)M.D是線段上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)M.C重合）.將線段繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）如圖1.當(dāng)點(diǎn)E在線段上時.求證：D是的中點(diǎn)；（2）如圖2.若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B.M重合）滿足.連接..直接寫出的大小.并證明．

3.(2023·福建)如圖1.在中.是邊上不與重合的一個定點(diǎn)．于點(diǎn).交于點(diǎn)．是由線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到的.的延長線相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）若是的中點(diǎn).如圖2．求證：．

4.(2023·廣西)如圖.是邊長為4的等邊三角形.點(diǎn)D.E.F分別在邊..上運(yùn)動.滿足．（1）求證：；（2）設(shè)的長為x.的面積為y.求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）結(jié)合（2）所得的函數(shù).描述的面積隨的增大如何變化．

5.(2023·河北)如圖1和圖2.平面上.四邊形中..點(diǎn)在邊上.且．將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的平分線所在直線交折線于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)在該折線上運(yùn)動的路徑長為.連接．（1）若點(diǎn)在上.求證：；（2）如圖2．連接．①求的度數(shù).并直接寫出當(dāng)時.的值；②若點(diǎn)到的距離為.求的值；（3）當(dāng)時.請直接寫出點(diǎn)到直線的距離．（用含的式子表示）．

6.(2023·山西)問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上.老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開.得到兩個全等的三角形紙片.表示為和.其中．將和按圖2所示方式擺放.其中點(diǎn)與點(diǎn)重合（標(biāo)記為點(diǎn)）．當(dāng)時.延長交于點(diǎn)．試判斷四邊形的形狀.并說明理由．（1）數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；（2）深入探究：老師將圖2中的繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn).使點(diǎn)落在內(nèi)部.并讓同學(xué)們提出新的問題．①“善思小組”提出問題：如圖3.當(dāng)時.過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)與交于點(diǎn)．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系.并加以證明．請你解答此問題；②“智慧小組”提出問題：如圖4.當(dāng)時.過點(diǎn)作于點(diǎn).若.求的長．請你思考此問題.直接寫出結(jié)果．

7.(2023·深圳)（1）如圖.在矩形中.為邊上一點(diǎn).連接.①若.過作交于點(diǎn).求證：；②若時.則______．（2）如圖.在菱形中..過作交的延長線于點(diǎn).過作交于點(diǎn).若時.求的值．（3）如圖.在平行四邊形中點(diǎn)在上.且.點(diǎn)為上一點(diǎn).連接.過作交平行四邊形的邊于點(diǎn).若時.請直接寫出的長．

8.(2023·無錫)如圖.四邊形是邊長為的菱形..點(diǎn)為的中點(diǎn).為線段上的動點(diǎn).現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．（1）當(dāng)時.求四邊形的面積；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上移動時.設(shè).四邊形的面積為.求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．

9.(2023·武漢)問題提出：如圖（1）.是菱形邊上一點(diǎn).是等腰三角形..交于點(diǎn).探究與的數(shù)量關(guān)系．問題探究：（1）先將問題特殊化.如圖（2）.當(dāng)時.直接寫出的大??；（2）再探究一般情形.如圖（1）.求與的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：（3）將圖（1）特殊化.如圖（3）.當(dāng)時.若.求的值．

10.(2023·徐州)【閱讀理解】如圖1.在矩形中.若.由勾股定理.得.同理.故．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2.四邊形為平行四邊形.若.則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判斷.并說明理由．【拓展提升】如圖3.已知為的一條中線.．求證：．【嘗試應(yīng)用】如圖4.在矩形中.若.點(diǎn)P在邊上.則的最小值為_______．

11.(2023·黃岡)【問題呈現(xiàn)】和都是直角三角形..連接..探究.的位置關(guān)系．（1）如圖1.當(dāng)時.直接寫出.的位置關(guān)系：____________；（2）如圖2.當(dāng)時.（1）中的結(jié)論是否成立？若成立.給出證明；若不成立.說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）當(dāng)時.將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).使三點(diǎn)恰好在同一直線上.求的長．

12.(2023·十堰)過正方形的頂點(diǎn)作直線.點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn).連接.直線交直線于點(diǎn)．（1）如圖1.若.則___________；（2）如圖1.請?zhí)骄烤€段..之間的數(shù)量關(guān)系.并證明你的結(jié)論；（3）在繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動的過程中.設(shè).請直接用含的式子表示的長．

13.(2023·隨州)1643年.法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點(diǎn)A.B.C.求平面上到這三個點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置.意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明.該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”.該問題也被稱為“將軍巡營”問題．（1）下面是該問題的一種常見的解決方法.請補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空.②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空.③處填寫角度數(shù).④處填寫該三角形的某個頂點(diǎn)）當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時.如圖1.將繞.點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到.連接.由.可知為①三角形.故.又.故.由②可知.當(dāng)B.P..A在同一條直線上時.取最小值.如圖2.最小值為.此時的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”.且有③；已知當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時.“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個頂點(diǎn)．如圖3.若.則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．（2）如圖4.在中.三個內(nèi)角均小于.且.已知點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”.求的值；（3）如圖5.設(shè)村莊A.B.C的連線構(gòu)成一個三角形.且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A.B.C三個村莊鋪設(shè)電纜.已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A.B.C的鋪設(shè)成本分別為a元/.a元/.元/.選取合適的P的位置.可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用含a的式子表示）

14.(2023·東營)（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察．如圖.在四邊形中..是對角線的中點(diǎn).是的中點(diǎn).是的中點(diǎn).求證：．（2）用數(shù)學(xué)的思維思考．如圖.延長圖中的線段交的延長線于點(diǎn).延長線段交的延長線于點(diǎn).求證：．（3）用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)．如圖.在中..點(diǎn)在上..是的中點(diǎn).是的中點(diǎn).連接并延長.與的延長線交于點(diǎn).連接.若.試判斷的形狀.并進(jìn)行證明．

15.(2023·臨沂)如圖.．（1）寫出與的數(shù)量關(guān)系；（2）延長到.使.延長到.使.連接．求證：．（3）在（2）的條件下.作的平分線.交于點(diǎn).求證：．

16.(2023·煙臺)如圖.點(diǎn)為線段上一點(diǎn).分別以為等腰三角形的底邊.在的同側(cè)作等腰和等腰.且．在線段上取一點(diǎn).使.連接．（1）如圖1.求證：；（2）如圖2.若的延長線恰好經(jīng)過的中點(diǎn).求的長．

17.(2023·邵陽)如圖.在等邊三角形中.為上的一點(diǎn).過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn).點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)（點(diǎn)不與重合）．將繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn).得到.連接交于．（1）證明：在點(diǎn)的運(yùn)動過程中.總有．（2）當(dāng)為何值時.是直角三角形？

18.(2023·湘潭)問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識后.進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動：在正方形的邊上任意取一點(diǎn)G.以為邊長向外作正方形.將正方形繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)．特例感知：（1）當(dāng)在上時.連接相交于點(diǎn)P.小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為的中點(diǎn).如圖①．針對小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.請給出證明；（2）小紅繼續(xù)連接.并延長與相交.發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是中點(diǎn)P.如圖②.根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.請判斷的形狀.并說明理由；規(guī)律探究：（3）如圖③.將正方形繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn).連接.點(diǎn)P是中點(diǎn).連接...的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由．

19.(2023·岳陽)如圖1.在中..點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn).連接．初步嘗試：（1）與的數(shù)量關(guān)系是_________.與的位置關(guān)系是_________．特例研討：（2）如圖2.若.先將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（為銳角）.得到.當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時.與相交于點(diǎn).連接．（1）求的度數(shù)；（2）求的長．深入探究：（3）若.將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn).得到.連接.．當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足.點(diǎn)在同一直線上時.利用所提供的備用圖探究與的數(shù)量關(guān)系.并說明理由．

20.(2023·大連)綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動課上.王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知.點(diǎn)為上一動點(diǎn).將以為對稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過思考后進(jìn)行如下探究：獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)落在上時.．”小紅：“若點(diǎn)為中點(diǎn).給出與的長.就可求出的長．”實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1.請你回答：問題1：在等腰中.由翻折得到．（1）如圖1.當(dāng)點(diǎn)落在上時.求證：；（2）如圖2.若點(diǎn)為中點(diǎn)..求的長．問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成的等腰三角形.可以將問題進(jìn)一步拓展．問題2：如圖3.在等腰中.．若.則求的長．

2023年各地中考幾何壓軸題匯編詳解1.(2023·安徽)在中.是斜邊的中點(diǎn).將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至位置.點(diǎn)在直線外.連接．（1）如圖1.求的大??；（2）已知點(diǎn)和邊上的點(diǎn)滿足．（?。┤鐖D2.連接.求證：；（ⅱ）如圖3.連接.若.求的值．【答案】（1）（2）（?。┮娊馕?；（ⅱ）【小問1詳解】解：∵.∴.在中..∴.【小問2詳解】證明：（?。┳C法一：如圖.延長.交于點(diǎn).則.∵..∴．又∵.∴四邊形是平行四邊形．∴．∵是的中點(diǎn)..∴．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵.∴是菱形．∴．∵.∴．∴．∵.即.∴.即點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)．∴．證法二：∵.是斜邊的中點(diǎn).∴點(diǎn)在以為圓心.為直徑的上．∵.∴垂直平分．∴．∴．∵.∴．∴．∴．證法三：∵..∴．又∵.∴四邊形是平行四邊形．∴．∵是的中點(diǎn).∴．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵.∴是菱形．∴．∵.是斜邊的中點(diǎn).∴點(diǎn)在以為圓心.為直徑的上．∴．（2）如圖所示.過點(diǎn)作于點(diǎn).∵.∴.則.∵.∴.∴.∴.∴.∴.2.(2023·北京)在中、.于點(diǎn)M.D是線段上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)M.C重合）.將線段繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）如圖1.當(dāng)點(diǎn)E在線段上時.求證：D是的中點(diǎn)；（2）如圖2.若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B.M重合）滿足.連接..直接寫出的大小.并證明．【答案】（1）見解析（2）.證明見解析【小問1詳解】證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：..∵.∴.∴.∴.∴.即D是的中點(diǎn)；【小問2詳解】；證明：如圖2.延長到H使.連接..∵.∴是的中位線.∴..由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：..∴.∵.∴.是等腰三角形.∴..設(shè)..則..∴.∴.∵.∴.∴.∴.在和中..∴.∴.∵.∴.即．3.(2023·福建)如圖1.在中.是邊上不與重合的一個定點(diǎn)．于點(diǎn).交于點(diǎn)．是由線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到的.的延長線相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的度數(shù)；（3）若是的中點(diǎn).如圖2．求證：．【答案】（1）見解析（2）（3）見解析.【小問1詳解】解：是由線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到的...．.．．.．．【小問2詳解】解：如圖1：設(shè)與的交點(diǎn)為....．..．又.．.．【小問3詳解】解：如圖2：延長交于點(diǎn).連接...．是的中點(diǎn).．又..．..．由（2）知..．即．...4.(2023·廣西)如圖.是邊長為4的等邊三角形.點(diǎn)D.E.F分別在邊..上運(yùn)動.滿足．（1）求證：；（2）設(shè)的長為x.的面積為y.求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；（3）結(jié)合（2）所得的函數(shù).描述的面積隨的增大如何變化．【答案】（1）見詳解;（2）;（3）當(dāng)時.的面積隨的增大而增大.當(dāng)時.的面積隨的增大而減小.【小問1詳解】證明：∵是邊長為4的等邊三角形.∴..∵.∴.在和中..∴；【小問2詳解】解：分別過點(diǎn)C、F作..垂足分別為點(diǎn)H、G.如圖所示：在等邊中...∴.∴.設(shè)的長為x.則..∴.∴.同理（1）可知.∴.∵的面積為y.∴；【小問3詳解】解：由（2）可知：.∴.對稱軸為直線.∴當(dāng)時.y隨x的增大而增大.當(dāng)時.y隨x的增大而減小；即當(dāng)時.的面積隨的增大而增大.當(dāng)時.的面積隨的增大而減?。?.(2023·河北)如圖1和圖2.平面上.四邊形中..點(diǎn)在邊上.且．將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的平分線所在直線交折線于點(diǎn).設(shè)點(diǎn)在該折線上運(yùn)動的路徑長為.連接．（1）若點(diǎn)在上.求證：；（2）如圖2．連接．①求的度數(shù).并直接寫出當(dāng)時.的值；②若點(diǎn)到的距離為.求的值；（3）當(dāng)時.請直接寫出點(diǎn)到直線的距離．（用含的式子表示）．【答案】（1）見解析（2）①.；②或.（3）.【小問1詳解】∵將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到.∴.∵的平分線所在直線交折線于點(diǎn).∴.又∵.∴.∴；【小問2詳解】①∵...∴.∵..∴..∴.∴；如圖所示.當(dāng)時.∵平分.∴.∴.∴∽.∴.∵..∴.∴..∴.∵..∴∽.∴.即.∴解得.∴．②如圖所示.當(dāng)點(diǎn)在上時...∵.∴..∴.∴∴；如圖所示.當(dāng)在上時.則.過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn).延長交的延長線于點(diǎn).∵.∴.∴.∴.即.∴..∴.∵.∴.∴.∴.∴.解得：.∴.綜上所述.的值為或；【小問3詳解】解：∵當(dāng)時.∴在上.如圖所示.過點(diǎn)作交于點(diǎn).過點(diǎn)作于點(diǎn).則四邊形是矩形.∴..∵.∴.∴.又.∴.又∵.∴.∴.∵..設(shè).即.∴..∴.整理得.即點(diǎn)到直線的距離為．6.(2023·山西)問題情境：“綜合與實(shí)踐”課上.老師提出如下問題：將圖1中的矩形紙片沿對角線剪開.得到兩個全等的三角形紙片.表示為和.其中．將和按圖2所示方式擺放.其中點(diǎn)與點(diǎn)重合（標(biāo)記為點(diǎn)）．當(dāng)時.延長交于點(diǎn)．試判斷四邊形的形狀.并說明理由．（1）數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問題；（2）深入探究：老師將圖2中的繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn).使點(diǎn)落在內(nèi)部.并讓同學(xué)們提出新的問題．①“善思小組”提出問題：如圖3.當(dāng)時.過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)與交于點(diǎn)．試猜想線段和的數(shù)量關(guān)系.并加以證明．請你解答此問題；②“智慧小組”提出問題：如圖4.當(dāng)時.過點(diǎn)作于點(diǎn).若.求的長．請你思考此問題.直接寫出結(jié)果．【答案】（1）正方形.見解析.（2）①.見解析；②.【小問1詳解】解：四邊形為正方形．理由如下：∵.∴．∵.∴．∴．∵.∴四邊形為矩形．∵.∴．∴矩形為正方形．【小問2詳解】：①．證明：∵.∴．∵.∴．∵.即.∴．∵.∴．由（1）得.∴．②解：如圖：設(shè)的交點(diǎn)為M.過M作于G.∵.∴..∴；∵.∴.∴.∵.∴點(diǎn)G是的中點(diǎn)；由勾股定理得.∴；∵.∴.即；∴；∵..∴.∴.∴.即的長為．7.(2023·深圳)（1）如圖.在矩形中.為邊上一點(diǎn).連接.①若.過作交于點(diǎn).求證：；②若時.則______．（2）如圖.在菱形中..過作交的延長線于點(diǎn).過作交于點(diǎn).若時.求的值．（3）如圖.在平行四邊形中點(diǎn)在上.且.點(diǎn)為上一點(diǎn).連接.過作交平行四邊形的邊于點(diǎn).若時.請直接寫出的長．【答案】（1）①見解析；②；（2）；（3）或或.【詳解】解：（1）①∵四邊形是矩形.則.∴.又∵.∴..∴.又∵.∴；②由①可得..∴.∴.又∵.∴.故答案為：．（2）∵在菱形中..∴..則.∵.∴.∵.∴.∴.∵..∴.又.∴.∴.∴；（3）①當(dāng)點(diǎn)在邊上時.如圖所示.延長交的延長線于點(diǎn).連接.過點(diǎn)作于點(diǎn).∵平行四邊形中...∴..∵.∴.∴.∴.∴.在中..則..∴.∴.∵.∴.∴.∴.∴.設(shè).則...∴.解得：或.即或.②當(dāng)點(diǎn)在邊上時.如圖所示.連接.延長交的延長線于點(diǎn).過點(diǎn)作.則.四邊形是平行四邊形.設(shè).則..∵.∴.∴.∴.∴.∵.∴.過點(diǎn)作于點(diǎn).在中..∴..∴.則.∴.∴...∴.∴.即.∴.即.解得：（舍去）.即；③當(dāng)點(diǎn)在邊上時.如圖所示.過點(diǎn)作于點(diǎn).在中...∴.∵.∴.∵.∴點(diǎn)不可能在邊上.綜上所述.的長為或或．8.(2023·無錫)如圖.四邊形是邊長為的菱形..點(diǎn)為的中點(diǎn).為線段上的動點(diǎn).現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．（1）當(dāng)時.求四邊形的面積；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上移動時.設(shè).四邊形的面積為.求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．【答案】（1）（2）【小問1詳解】如圖.連接、.四邊形為菱形...為等邊三角形．為中點(diǎn)．.為等腰直角三角形...翻折；同理...∴；【小問2詳解】如圖.連接、.延長交于點(diǎn)．...．∵...．.則...．∵.．9.(2023·武漢)問題提出：如圖（1）.是菱形邊上一點(diǎn).是等腰三角形..交于點(diǎn).探究與的數(shù)量關(guān)系．問題探究：（1）先將問題特殊化.如圖（2）.當(dāng)時.直接寫出的大小；（2）再探究一般情形.如圖（1）.求與的數(shù)量關(guān)系．問題拓展：（3）將圖（1）特殊化.如圖（3）.當(dāng)時.若.求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【小問1詳解】延長過點(diǎn)F作.∵..∴.在和中∴.∴..∴.∴.∴．故答案為：．【小問2詳解】解：在上截取.使.連接．..．.．．.．．【小問3詳解】解：過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn).設(shè)菱形的邊長為.．在中...．.由（2）知.．.．...在上截取.使.連接.作于點(diǎn)O．由（2）知..∴.∵.∴.．∵.∴..∴.．10.(2023·徐州)【閱讀理解】如圖1.在矩形中.若.由勾股定理.得.同理.故．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2.四邊形為平行四邊形.若.則上述結(jié)論是否依然成立？請加以判斷.并說明理由．【拓展提升】如圖3.已知為的一條中線.．求證：．【嘗試應(yīng)用】如圖4.在矩形中.若.點(diǎn)P在邊上.則的最小值為_______．【答案】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立.理由見解析；拓展提升：證明見解析；嘗試應(yīng)用：.【詳解】探究發(fā)現(xiàn)：結(jié)論依然成立.理由如下：作于點(diǎn)E.作交的延長線于點(diǎn)F.則.∵四邊形為平行四邊形.若.∴.∵..∴.∴.∴.∴；拓展提升：延長到點(diǎn)C.使.∵為的一條中線.∴.∴四邊形是平行四邊形.∵．∴由【探究發(fā)現(xiàn)】可知..∴.∴.∴；嘗試應(yīng)用：∵四邊形是矩形..∴..設(shè).則.∴.∵.∴拋物線開口向上.∴當(dāng)時.的最小值是.故答案為：.11.(2023·黃岡)【問題呈現(xiàn)】和都是直角三角形..連接..探究.的位置關(guān)系．（1）如圖1.當(dāng)時.直接寫出.的位置關(guān)系：____________；（2）如圖2.當(dāng)時.（1）中的結(jié)論是否成立？若成立.給出證明；若不成立.說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）當(dāng)時.將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn).使三點(diǎn)恰好在同一直線上.求的長．【答案】（1）（2）成立；理由見解析（3）或【小問1詳解】解：∵.∴..∵.∴.∴.∴.∴.∵..∴.∴；故答案為：．【小問2詳解】解：成立；理由如下：∵.∴.∴.∵.∴.∴.∵..∴.∴；【小問3詳解】解：當(dāng)點(diǎn)E在線段上時.連接.如圖所示：設(shè).則.根據(jù)解析（2）可知..∴.∴.根據(jù)解析（2）可知..∴.根據(jù)勾股定理得：.即.解得：或（舍去）.∴此時；當(dāng)點(diǎn)D在線段上時.連接.如圖所示：設(shè).則.根據(jù)解析（2）可知..∴.∴.根據(jù)解析（2）可知..∴.根據(jù)勾股定理得：.即.解得：或（舍去）.∴此時；綜上分析可知.或．12.(2023·十堰)過正方形的頂點(diǎn)作直線.點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn).連接.直線交直線于點(diǎn)．（1）如圖1.若.則___________；（2）如圖1.請?zhí)骄烤€段..之間的數(shù)量關(guān)系.并證明你的結(jié)論；（3）在繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動的過程中.設(shè).請直接用含的式子表示的長．【答案】（1）（2）（3）.或.或【小問1詳解】解：如圖.連接..∵點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn).∴.關(guān)于對稱.∵四邊形是正方形.∴.∴.故答案為：20．【小問2詳解】解：；理由如下：如圖.由軸對稱知...而.∴.∴中..中..∴即；【小問3詳解】∵..∴.∵.∴.如圖.當(dāng)點(diǎn)F在D.H之間時..如圖.當(dāng)點(diǎn)D在F.H之間時..如圖.當(dāng)點(diǎn)H在F.D之間時..13.(2023·隨州)1643年.法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點(diǎn)A.B.C.求平面上到這三個點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置.意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明.該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”.該問題也被稱為“將軍巡營”問題．（1）下面是該問題的一種常見的解決方法.請補(bǔ)充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空.②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空.③處填寫角度數(shù).④處填寫該三角形的某個頂點(diǎn)）當(dāng)?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時.如圖1.將繞.點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到.連接.由.可知為①三角形.故.又.故.由②可知.當(dāng)B.P..A在同一條直線上時.取最小值.如圖2.最小值為.此時的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”.且有③；已知當(dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時.“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個頂點(diǎn)．如圖3.若.則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為④點(diǎn)．（2）如圖4.在中.三個內(nèi)角均小于.且.已知點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”.求的值；（3）如圖5.設(shè)村莊A.B.C的連線構(gòu)成一個三角形.且已知．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A.B.C三個村莊鋪設(shè)電纜.已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A.B.C的鋪設(shè)成本分別為a元/.a元/.元/.選取合適的P的位置.可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用含a的式子表示）【答案】（1）①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③；④A．（2）.（3）.【小問1詳解】解：∵.∴為等邊三角形；∴..又.故.由兩點(diǎn)之間線段最短可知.當(dāng)B.P..A在同一條直線上時.取最小值.最小值為.此時的P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”.∴..∴..又∵∴∴∴；∵∴.∴.∴三個頂點(diǎn)中.頂點(diǎn)A到另外兩個頂點(diǎn)的距離和最?。帧咭阎?dāng)有一個內(nèi)角大于或等于時.“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個頂點(diǎn)．∴該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)A故答案為：①等邊；②兩點(diǎn)之間線段最短；③；④．【小問2詳解】將繞.點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到.連接.由（1）可知當(dāng)B.P..A在同一條直線上時.取最小值.最小值為∵∴又∵∴由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：∴∴最小值為.【小問3詳解】∵總的鋪設(shè)成本∴當(dāng)最小時.總的鋪設(shè)成本最低將繞.點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)得到.連接.由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：∴∴當(dāng)B.P..A在同一條直線上時.取最小值.即取最小值為過點(diǎn)作.垂足為∵.∴∴∴∴∴的最小值為.總的鋪設(shè)成本（元）.故答案為：.14.(2023·東營)（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察．如圖.在四邊形中..是對角線的中點(diǎn).是的中點(diǎn).是的中點(diǎn).求證：．（2）用數(shù)學(xué)的思維思考．如圖.延長圖中的線段交的延長線于點(diǎn).延長線段交的延長線于點(diǎn).求證：．（3）用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)．如圖.在中..點(diǎn)在上..是的中點(diǎn).是的中點(diǎn).連接并延長.與的延長線交于點(diǎn).連接.若.試判斷的形狀.并進(jìn)行證明．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）是直角三角形.證明見解析．【詳解】證明：（1）是中點(diǎn).是的中點(diǎn).同理（2）是中點(diǎn).是的中點(diǎn).同理..由（1）可知.（3）是直角三角形.證明如下：如圖.取的中點(diǎn).連接.是的中點(diǎn)..同理又是等邊三角形.又..是直角三角形.故答案為：是直角三角形.15.(2023·臨沂)如圖.．（1）寫出與的數(shù)量關(guān)系；（2）延長到.使.延長到.使.連接．求證：．（3）在（2）的條件下.作的平分線.交于點(diǎn).求證：．【答案】（1）.（2）見解析（3）見解析【小問1詳解】解：∵∴∵∴即；【小問2詳解】證明：如圖所示.∴∴∵∴∵..∴∴∴∴.【小問3詳解】證明：如圖所示.延長交于點(diǎn).延長交于點(diǎn)∵.∴∴.∵是的角平分線∴∴.∴.∵∴.∴又∵∴即∴又.則在中∴∴.16.(2023·煙臺)如圖.點(diǎn)為線段上一點(diǎn).分別以為等腰三角形的底邊.在的同側(cè)作等腰和等腰.且．在線段上取一點(diǎn).使.連接．（1）如圖1.求證：；（2）如圖2.若的延長線恰好經(jīng)過的中點(diǎn).求的長．【答案】（1）見解析;（2）．【小問1詳解】證明：∵等腰和等腰∴..∵∴∴∴∵∴在和中.∴∴；【小問2詳解】解：取的中點(diǎn)H.連接∵點(diǎn)是的中點(diǎn)∴是的中位線∴.設(shè).則∵∴∵∴∴∴.即整理得解得（負(fù)值已舍）經(jīng)檢驗(yàn)是所列方程的解.且符合題意∴．17.(2023·邵陽)如圖.在等邊三角形中.為上的一點(diǎn).過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn).點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)（點(diǎn)不與重合）．將繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn).得到.連接交于．（1）證明：在點(diǎn)的運(yùn)動過程中.總有．（2）當(dāng)為何值時.是直角三角形？【答案】（1）見解析;（2）.【小問1詳解】∵等邊三角形∴.∵∴∵繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn).得到∴∴時等邊三角形∴∴∴四點(diǎn)共圓∴∴．【小問2詳解】如圖.根據(jù)題意.只有當(dāng)時.成立∵繞點(diǎn)逆時針方向旋轉(zhuǎn).得到∴∴時等邊三角形∴∵∴∵等邊三角形∴∵∴∴∴．18.(2023·湘潭)問題情境：小紅同學(xué)在學(xué)習(xí)了正方形的知識后.進(jìn)一步進(jìn)行以下探究活動：在正方形的邊上任意取一點(diǎn)G.以為邊長向外作正方形.將正方形繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)．特例感知：（1）當(dāng)在上時.連接相交于點(diǎn)P.小紅發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P恰為的中點(diǎn).如圖①．針對小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.請給出證明；（2）小紅繼續(xù)連接.并延長與相交.發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)恰好也是中點(diǎn)P.如圖②.根據(jù)小紅發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.請判斷的形狀.并說明理由；規(guī)律探究：（3）如圖③.將正方形繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn).連接.點(diǎn)P是中點(diǎn).連接...的形狀是否發(fā)生改變？請說明理由．【答案】（1）見解析；（2）是等腰直角三角形.理由見解析；（3）的形狀不改變.見解析.【詳解