工具變量(IV)：估計(jì)與檢驗(yàn)

工具變量回歸由來估計(jì)矩估計(jì)（不好）2SLS（最常用）GMM（異方差自相關(guān)）；LIML（若IV）工具變量有效性檢驗(yàn)相關(guān)性

F檢驗(yàn);PartialR2，單內(nèi)生解釋變量Minimumeigenvaluestatistic，最小特征值統(tǒng)計(jì)量，用于多內(nèi)生解釋變量外生性

過度識別約束檢驗(yàn)J統(tǒng)計(jì)量

（又稱Sargan統(tǒng)計(jì)量）解釋變量內(nèi)生性檢驗(yàn)Hausman檢驗(yàn)尋找工具變量的方法：幾個實(shí)例方法例子由來經(jīng)典假設(shè)

所有的解釋變量Xi與隨機(jī)誤差項(xiàng)彼此之間不相關(guān)。若解釋變量Xi和ui相關(guān)，則OLS估計(jì)量是非一致的，也就是即使當(dāng)樣本容量很大時，OLS估計(jì)量也不會接近回歸系數(shù)的真值。造成誤差項(xiàng)與回歸變量相關(guān)（內(nèi)生性）的原因很多，但我們主要考慮如下幾個方面：遺漏變量變量變量有測量誤差雙向因果關(guān)系。遺漏變量偏差可采用在多元回歸中加入遺漏變量的方法加以解決，但前提是只有當(dāng)你有遺漏變量數(shù)據(jù)時上述方法才可行。雙向因果關(guān)系偏差是指如果有時因果關(guān)系是從X到Y(jié)又從Y到X時，此時僅用多元回歸無法消除這一偏差。同樣，變量有測量誤差也無法用我們前面學(xué)過的方法解決。因此我們就必須尋找一種新的方法。工具變量(instrumentalvariable,IV)回歸是當(dāng)回歸變量X與誤差項(xiàng)u相關(guān)時獲得總體回歸方程未知系數(shù)一致估計(jì)量的一般方法。我們經(jīng)常稱其為IV估計(jì)。其基本思想是：假設(shè)方程是：我們假設(shè)ui與Xi相關(guān)，則OLS估計(jì)量一定是有偏的和非一致的。工具變量估計(jì)是利用另一個“工具”變量Z將Xi分離成與ui相關(guān)和不相關(guān)的兩部分。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中：（1）內(nèi)生變量：由模型內(nèi)的變量所決定的變量稱作內(nèi)生變量。（2）外生變量：由模型外的變量所決定的變量稱作外生變量。重要概念：內(nèi)生變量和外生變量在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中，把所有與擾動項(xiàng)相關(guān)的解釋變量都稱為“內(nèi)生變量”。這與一般經(jīng)濟(jì)學(xué)理論中的定義有所不同。1。與誤差項(xiàng)相關(guān)的變量稱為內(nèi)生變量(endogenousvariable)。2。與誤差項(xiàng)不相關(guān)的變量稱為外生變量(exogenousvariable)。我們的工作就是要尋找相應(yīng)的工具變量將解釋變量分解成內(nèi)生變量和外生變量，然后利用兩階段最小二乘法(TSLS)進(jìn)行估計(jì)。一個例子：考慮貨幣政策對宏觀經(jīng)濟(jì)的影響。由于貨幣政策的制定者會根據(jù)宏觀經(jīng)濟(jì)的運(yùn)行情況來調(diào)整貨幣政策，故貨幣政策是個內(nèi)生變量（雙向因果關(guān)系）。Romer(2004)通過閱讀歷史文獻(xiàn)將貨幣政策的變動分解為“內(nèi)生”（對經(jīng)濟(jì)的反應(yīng)）與“外生”（貨幣當(dāng)局的自主調(diào)整）的兩部分。誰開創(chuàng)了工具變量回歸？1928年的著作的“TheTariffonAnimalandVegetableOils”的附錄B。作者是誰？PhilipWright還是他的兒子SewallWright文體計(jì)量學(xué)的分析為什么IV回歸是有效的？例1:PhilipWright的問題PhilipWright關(guān)心的是那個時期的一個重要經(jīng)濟(jì)問題：即如何對諸如黃油，大豆油這樣的動植物油和食用動物設(shè)置進(jìn)口關(guān)稅。在20世紀(jì)20年代，進(jìn)口關(guān)稅是美國主要的稅收收入來源。而理解關(guān)稅的經(jīng)濟(jì)效應(yīng)的關(guān)鍵在于要有商品需求和供給曲線的定量估計(jì)。由前知供給彈性為價格上漲1%引起的供給量變化的百分率，而需求彈性為價格上漲1%引起的需求量的百分率變化。例如具休考慮黃油的需求彈性估計(jì)問題：根據(jù)11個均衡樣本點(diǎn)估計(jì)的方程究竟是需求函數(shù)還是供給函數(shù)？兩者都不是。由于這些點(diǎn)是由需求和供給兩者的變化確定的，因此用OLS擬合這些點(diǎn)的直線既不是需求曲線也不是供給曲線的估計(jì)。利用這些樣本點(diǎn)估計(jì)出來的OLS擬合線是需求曲線還是供給曲線，都不是！兩個極端的情況如圖：因此，由于這些點(diǎn)是由需求和供給兩者的變化確定的，因此用OLS擬合這些點(diǎn)的直線既不是需求曲線也不是供給曲線的估計(jì)。Wright的解決辦法：1。找到第三個變量，這個變量影響供給但不影響需求。這樣，所有的均衡價格和均衡量對都落在這條穩(wěn)定的需求曲線上，此時很容易估計(jì)出它的斜率。2?？梢?，這第三個變量，也就是工具變量，它與價格相關(guān)(它使供給曲線移動，于是導(dǎo)致價格發(fā)生變化)，但與u無關(guān)(需求曲線保持不變)。3。Wright考慮了幾個可能的工具變量；其中一個是天氣。例如，某牧場的降雨量低于平均值會使牧草減少從而減少給定價格時黃油的產(chǎn)量(會使供給曲線向左移動而使均衡價格上升)，因此牧場地區(qū)降雨量滿足工具變量相關(guān)性的條件。但牧場地區(qū)降雨量對黃油的需求沒有直接影響，因此牧場地區(qū)降雨量與ui的相關(guān)系數(shù)為零；也就是牧場地區(qū)降雨量滿足工具變量外生性條件。上圖表明若某個變量使供給曲線移動而使需求保待不變時會發(fā)生什么樣的情況?，F(xiàn)在所有的均衡價格和均衡量對都落在這條穩(wěn)定的需求曲線工具變量法的本質(zhì)是聯(lián)立方程，只不過，我們只關(guān)心原方程的可識別性估計(jì)：矩估計(jì)、TSLS、GMM、LIMLGMM估計(jì)TSLS估計(jì)量的抽樣分布為了簡單起見，我們僅考慮只有一個回歸變量X和一個工具變量Z的情況。即，參數(shù)的TSLS估計(jì)量為Z和Y的樣本協(xié)方差與Z和X的樣本協(xié)方差之比。假設(shè)原方程為：即總體系數(shù)為Z和Y的總體協(xié)方差與Z和X的總體協(xié)方差之比。在香煙需求中的應(yīng)用為了減少由于吸煙導(dǎo)致的疾病和死亡，以及這些生病的人對社會其他成員產(chǎn)生的成本或外部性，一種方法是對香煙征收重稅從而減少吸煙同時阻止?jié)撛诘男挛鼰熣?。但具體需要增加多大幅度的稅收來削減香煙的消費(fèi)呢？例如，若要使香煙消費(fèi)減少20%則香煙的稅后售價應(yīng)該是多少？若需求彈性為-1，使價格上漲20%就能達(dá)到減少20%消費(fèi)量的目標(biāo)。若彈性為-0.5，則價格必須上漲40%才能使消費(fèi)下降20%。同philipWright對黃油的研究一樣。我們無法通過數(shù)量對數(shù)關(guān)于價格對數(shù)的OLS回歸得到香煙需求彈性的一致估計(jì)。我們利用TSLS和1985-1995年美國48個大陸州的年度數(shù)據(jù)估計(jì)了香煙的需求彈性。模型假定：被解釋變量：香煙消費(fèi)，即為州內(nèi)每人購買的香煙包數(shù)。內(nèi)生解釋變量：包含所有稅收的每包香煙的實(shí)際平均價格。工具變量：由一般銷售稅征收的香煙稅收。這個工具變量設(shè)定是否合理？

工具變量的相關(guān)性：由于高銷售稅增加了總的銷售價格，因此每包香煙的銷售稅滿足工具變量相關(guān)性的條件。工具變量的外生性：若銷售稅是外生的，則必須與需求方程中的誤差無關(guān)；即銷售稅必然只是通過價格間接影響香煙的需求。這看上去是合理的：主要是因?yàn)椴煌葸x擇了不同的銷售額、收入、財產(chǎn)和其他公共財政事業(yè)的混合稅收，所以不同州的一般銷售稅是不同的。其中關(guān)于公共財政的選擇受到政治考量的驅(qū)使而不是受香煙需求有關(guān)的因素影響。結(jié)論：這種工具變量的設(shè)置方法是合理的。因此我們利用兩階段最小二乘法(TSLS)：第一階段結(jié)果：第二階段結(jié)果：66香煙需求（續(xù)）

67STATA實(shí)例:香煙需求，第一階段68第二階段69結(jié)合到一個命令中一般IV回歸模型一般IV回歸模型因變量Yi。外生解釋變量Wi。內(nèi)生解釋變量Xi。我們引入的工具變量Zi。更為詳細(xì)的說明引入工具變量的個數(shù)假設(shè)我們有n個內(nèi)生解釋變量，引入了m個工具變量，n和m的關(guān)系是什么？n=m恰好識別n<m過度識別n>m不可識別只有恰好識別和過度識別才能用IV方法估計(jì)。一般IV模型的TSLS對一般的IV回歸模型，我們需要修改工具變量的相關(guān)性和外生性條件。相關(guān)性條件：1.當(dāng)包含一個內(nèi)生變量但有多個工具變量時，工具變量相關(guān)性的條件為給定W時至少有一個Z對預(yù)測X是有用的（相關(guān)的）。2.當(dāng)包含多個內(nèi)生變量時，不但要排除完全多重共線性問題，而且工具變量必須提供關(guān)于這些變量外生性變動的足夠信息，以分離出它們各自對Y的效應(yīng)。外生性條件：工具變量外生性條件的一般敘述為每個工具變量必須與誤差項(xiàng)ui不相關(guān)。一般IV模型中的工具變量相關(guān)性和外生性IV回歸假設(shè)和TSLS估計(jì)量的抽樣分布基于TSLS估計(jì)量的推斷在香煙需求中的應(yīng)用在上一節(jié)中，我們基于1995年美國48個州的年消費(fèi)數(shù)據(jù)利用包含一個回歸變量(每包香煙的實(shí)際價格對數(shù))和一個工具變量(每包香煙的實(shí)際銷售稅)的TSLS估計(jì)了香煙的需求彈性。但這個估計(jì)并非沒有問題的。收入會影響需求，它是總體回歸誤差的一部分。若州銷售稅與州的收入有關(guān)，則它與香煙需求方程誤差項(xiàng)中的某個變量相關(guān)。這違反了工具變量外生性的條件。會導(dǎo)致IV估計(jì)量是非一致的。因此我們需要在回歸中加入收入這一變量。除了工具變量SaleTaxi外，我們增加一個新的工具變量香煙專項(xiàng)稅CigTaxi，香煙專項(xiàng)稅提高了消費(fèi)者支付的香煙價格，因此可證明它滿足工具變量相關(guān)性的條件。同時它與州香煙需求方程中的誤差項(xiàng)不相關(guān)，因此它是外生工具變量。有了這個工具變量后我們就有了每包香煙的實(shí)際銷售稅和每包香煙的實(shí)際州專項(xiàng)稅兩個工具變量。因此需求彈性是過度識別的，即工具變量的個數(shù)(m=2)大于包含的內(nèi)生變量個數(shù)(k=1)?，F(xiàn)在我們就可以利用TSLS估計(jì)需求彈性了，其中第一階段回歸中的回歸變量為包含的外生變帚ln(Inci)和兩個工具變量。結(jié)果，使得標(biāo)準(zhǔn)誤差變小。85實(shí)例:香煙的需求86實(shí)例：香煙需求，一個工具

87實(shí)例:香煙需求,兩個工具88工具變量有效性檢驗(yàn)1.相關(guān)性：為什么弱工具變量是個問題如果工具變量是弱的，那么即使當(dāng)樣本容量較大時用正態(tài)分布近似TSLS估計(jì)量的抽樣分布效果仍然很差。因此即便是在大樣本下仍然缺乏常用統(tǒng)計(jì)推斷方法的理論依據(jù)。事實(shí)上，如果工具變量較弱，則TSLS估計(jì)量嚴(yán)重偏離OLS估計(jì)量的方向。弱工具變量會使得分母變得很小，甚至為0，導(dǎo)致結(jié)果嚴(yán)重偏離。直觀上看，由于"z"中僅包含很少與"x"有關(guān)的信息，利用這部分信息進(jìn)行的工具變量法估計(jì)就不準(zhǔn)確，即使樣本容量很大也很難收斂到真實(shí)的參數(shù)值。這種工具變量稱為弱工具變量，將使??

?_"IV"的小樣本性質(zhì)變得很差，且基于大樣本理論的統(tǒng)計(jì)推斷失效此外，用TSLS估計(jì)量1.96標(biāo)準(zhǔn)誤差構(gòu)造的95%置信區(qū)問包含系數(shù)真值的次數(shù)遠(yuǎn)小于95%，簡言之，若工具變量較弱則TSLS不再是可靠的了。F檢驗(yàn)(只有一個內(nèi)生解釋變量)當(dāng)只有一個內(nèi)生解釋變量時檢驗(yàn)弱工具變量的一種方法是利用F統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)TSLS第一階段回歸中工具變量系數(shù)都為零的假設(shè)。第一階段F統(tǒng)計(jì)量，度量了工具變量中包含的信息：包含的信息越多，則F統(tǒng)計(jì)量的期望值越大。經(jīng)驗(yàn)法則是如果第一階段F統(tǒng)計(jì)量應(yīng)該超過10。即檢驗(yàn)Z1、Z2、…、Zm的聯(lián)合顯著性。testZ1=Z2=…=Zm=0計(jì)算F值然后和10比較。偏R2檢驗(yàn)(只有一個內(nèi)生解釋變量)Minimumeigenvaluestatistic(最小特征值統(tǒng)計(jì)量)經(jīng)驗(yàn)上此數(shù)應(yīng)該大于10。這個方法類似于與書上的“第一階段F統(tǒng)計(jì)量”（但允許有多個內(nèi)生變量）。如果存在弱工具變量該怎么辦？1.如果有很多工具變量，有少數(shù)強(qiáng)工具變量和許多弱工具變量，可以忽略最弱的工具變量而選用相關(guān)性最強(qiáng)的工具變量子集。2.但如果系數(shù)是恰好識別的，則你不能略去弱工具變量。即使系數(shù)是過度識別的，但你可能沒有足夠的強(qiáng)工具變量用于識別，因此略去一些弱工具變量也沒有什么幫助。在這種情況下，有兩個選擇：第一個選擇是尋找其他較強(qiáng)的工具變量。(難度較大)第二個選擇是利用弱工具變量繼續(xù)進(jìn)行實(shí)證分析，但采用的方法不再是TSLS。而是對弱工具變量不太敏感的有限信息極大似然法(LIML)。在大樣本下，LIML與2SLS是漸近等價的，但在存在弱工具變量的情況下，LIML的小樣本性質(zhì)可能優(yōu)于2SLS。按：從更根本上說，應(yīng)該跳出IV框架，尋找IV方法本身的替代工具，這就是DID和RegressionDiscontinuity的作用——有可能正式其由來。參教育報酬率的文獻(xiàn)，Angrist&Kruger(1991);Oreopoulos(2006,AER)2.外生性：過度識別約束檢驗(yàn)剛才我們提到：只有恰好識別和過度識別才能用IV方法估計(jì)。恰好識別：工具變量個數(shù)=內(nèi)生變量個數(shù)過度識別：工具變量個數(shù)>內(nèi)生變量個數(shù)一個很重要的命題是：只有過度識別情況下才能檢驗(yàn)工具變量的外生性，而恰好識別情況下無法檢驗(yàn)。過度識別條件下，可以檢驗(yàn)外生性又稱Sargan統(tǒng)計(jì)量在恰好識別情況下，假設(shè)考慮只包含一個內(nèi)生變量(k=1)的情況。此時如果有兩個工具變量，可以計(jì)算出兩個TSLS估計(jì)量，其中每個工具變量對應(yīng)一個估計(jì)量，然后可以將兩者進(jìn)行比較看看它們是否接近。但如果你只有一個工具變量，則只能計(jì)算出一個TSLS估計(jì)量，這樣就無法進(jìn)行比較了。更直觀地看，如果系數(shù)是恰好識別的，此時m=k，那么過度識別檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量J恰好為零。解釋變量內(nèi)生性檢驗(yàn)究竟該用OLS還是IV還有一個重要問題沒有考慮：我們只是假設(shè)解釋變量中具有內(nèi)生性。那么解釋變量是否真的存在內(nèi)生性？假設(shè)能夠找到方程外的工具變量。1。如果所有解釋變量都是外生變量，則OLS比IV更有效。在這種情況下使用IV，雖然估計(jì)量仍然是一致的，會增大估計(jì)量的方差。2。如果存在內(nèi)生解釋變量，則OLS是不一致的，而IV是一致的。檢驗(yàn)方法：豪斯曼檢驗(yàn)豪斯曼檢驗(yàn)（Hausmanspecificationtest）H0：所有解釋變量均為外生變量。H1：至少有一個解釋變量為內(nèi)生變量。

quietlyreglw80s80expr80tenure80iqeststoreolsquietlyivregress2slslw80expr80tenure80(s80iq=medkwwmrtage)eststoreivhausmanivols在香煙需求中的應(yīng)用在香煙的案例中我們增加了兩個工具變量：銷售稅與香煙專項(xiàng)稅。我們現(xiàn)在判定這兩個工具變量的外生性。我們發(fā)現(xiàn)：香煙專項(xiàng)稅可能不具有外生性，例如，種植煙草的州的吸煙率要高于大多數(shù)其他州的吸煙率。而這個因素與稅收相關(guān)，原因是如果煙草種植和香煙生產(chǎn)是這個州的重要產(chǎn)業(yè)，那么這些企業(yè)會努力讓香煙專項(xiàng)稅維持在低水平上，所以，這個州是否種植煙草和生產(chǎn)香煙，它可能與香煙專項(xiàng)稅相關(guān)。1.由于這是一份面板數(shù)據(jù)，所以我們可以利用離差的形式消除這種不隨時間變化的內(nèi)生變量的影響。2.兩個不同年份間的時間跨度會影響彈性估計(jì)的解釋。這是因?yàn)橄銦熓悄茏屓松习a的，所以只有在較長的時間范圍，價格的改變才會改變吸煙者的習(xí)慣。即對于香煙來說，短期內(nèi)的需求可能沒有彈性，但長期內(nèi)可能富有彈性。3.因此，我們把時間差定為10年。被解釋變量內(nèi)生解釋變量外生解釋變量工具變量1工具變量2尋找工具變量的方法：幾個實(shí)例獲得工具變量的方法使用工具變量法的前提是存在有效的工具變量。因此，如果尋找工具變量在實(shí)踐中十分重要。由于工具變量的兩個要求（“相關(guān)性”與“外生性”）常常是自相矛盾的，即與內(nèi)生解釋變量相關(guān)的變量常常與被解釋變量的擾動項(xiàng)也相關(guān)。故在實(shí)踐上尋找合適的工具變量常常比較困難，有時需要一定的創(chuàng)造性與想象力。第一種方法是利用經(jīng)濟(jì)理論提出工具變量。例如,PhilipWright對農(nóng)業(yè)市場經(jīng)濟(jì)的了解促使他找尋使供給曲線移動但需求曲線不動的工具變量，于是他找到了天氣。第二種構(gòu)造工具變量的方法是找出實(shí)際上是由導(dǎo)致內(nèi)生回歸變量移動的隨機(jī)現(xiàn)象引起的內(nèi)生回歸變量X變化的某個外生因素。例如，在上面的假想例子中，地震造成的損害使某些學(xué)區(qū)的平均班級規(guī)校增大了，顯然班級規(guī)模的這種變動與影響學(xué)生成績的潛在遺漏變量不相關(guān)。在實(shí)際操作中：尋找工具變量的步驟大致可以分為兩步，（i）列出與內(nèi)生解釋變量（X）相關(guān)的盡可能多的變量的清單（這一步較容易）；（ii）從這一清單中剔除與擾動項(xiàng)相關(guān)的變量（這一步較難）。幾個實(shí)例例1。把罪犯關(guān)進(jìn)監(jiān)獄會減少犯罪嗎？要考察的問題：入獄人口增加1%引起的犯罪率的變化。估計(jì)這個效應(yīng)的一種方法是利用美國的州的年度數(shù)據(jù)建立犯罪率對監(jiān)禁率的回歸。此外，該回歸中應(yīng)該包含一些衡量經(jīng)濟(jì)環(huán)境的控制變量，人口統(tǒng)計(jì)變量等等。遺漏變量偏差問題：雙向因果偏差：一方面，被監(jiān)禁的人增多使犯罪率下降；但另一方面，犯罪率上升會有更多的人被監(jiān)禁。因此，我們必須選擇工具變量，這個工具變量必須與監(jiān)禁率相關(guān)(它必須是相關(guān)的)，同時也必須與感興趣犯罪率方程中的誤差項(xiàng)無關(guān)(它必須是外生的)。Levitt(1996)尋找了以下工具變量：監(jiān)獄容量，即減少監(jiān)獄過分擁擠的訴訟。1。監(jiān)獄過度擁擠訴訟減慢了數(shù)據(jù)中囚犯監(jiān)禁的發(fā)展速度，這表明這個工具變量是相關(guān)的。2。監(jiān)獄過度擁擠訴訟是由監(jiān)獄條件而不是由犯罪率或其決定因素導(dǎo)致的程度，我們得出這個工具變量是外生的。例2。縮小班級規(guī)模能提高測試成績嗎?第二篇我們看到了，小班的學(xué)校往往比較富有，并且他們的學(xué)生也能獲得更多的校內(nèi)和校外學(xué)習(xí)機(jī)會，所以當(dāng)時我們控制了各種度量學(xué)生富裕狀況和英語學(xué)習(xí)能力等的變量，利用多元回歸解決了遺漏變量偏差的威脅。遺漏變量偏差：但還有可能遺漏掉其他無法獲得的變量，如校外的學(xué)習(xí)機(jī)會等。因此我們需要找到一個工具變量，這個變量與班級規(guī)模相關(guān)(相關(guān)性)，但與組成誤差項(xiàng)的因素(如父母對學(xué)習(xí)的興趣、課外的學(xué)習(xí)機(jī)會、教師的質(zhì)量和學(xué)校設(shè)施)等不相關(guān)(外生性)。Hoxby(2000)找到的工具變量：出生日期導(dǎo)致的潛在入學(xué)人數(shù)距離其長期趨勢的偏差1。這一變量與班級規(guī)模相關(guān)。2。這一變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)。例3。對心臟病的積極治療能延長壽命嗎？模型的設(shè)置：被解釋變量是患者期望壽命，解釋變量包括二元治療變量(患者是否接受了心導(dǎo)管術(shù))和其他影響死亡率的控制變量(年齡、體重、其他健康狀況指標(biāo)等等)。變量內(nèi)生性問題：所有決定接受治療的人都是被認(rèn)為治療有效的人，如果他們的決定部分取決于數(shù)據(jù)集中沒有包含的但與健康結(jié)果有關(guān)的不可觀測因素，則治療決定與回歸誤差項(xiàng)相關(guān)。McClellan，McNeil和Newhouse(1994)找到的工具變量：地理位置。大部分醫(yī)院都不是專攻心導(dǎo)管術(shù)的。因此許多患者到?jīng)]有提供這種治療的“普通”醫(yī)院的距離比到心導(dǎo)管術(shù)醫(yī)院的距離近。所以可以把患者的家到最近的心導(dǎo)管術(shù)醫(yī)院的距離和到最近的任何類型醫(yī)院的距離之差作為工具變量，若距離最近的醫(yī)院為心導(dǎo)管術(shù)醫(yī)院，則距離之差為零，否則取正。如果這個相對距離影響到患者接受這種治療的概率則它是相關(guān)的。同時它在患者間是隨機(jī)分配的，因此它是外生的。例4：警力與犯罪率。一般認(rèn)為，警察人數(shù)越多，執(zhí)法力度越大，則犯罪率應(yīng)該越低。為了度