專題01 絕對值中的四類最值模型（解析版）

專題01絕對值中的四類最值模型最值問題一直都是初中數(shù)學中的最難點，但也是高分的必須突破點，而絕對值中的最值模型是初中學生第一次接觸最值類問題，該類最值模型解題的主要依據(jù)是絕對值的幾何意義或代數(shù)意義。本專題就絕對值中的四種最值模型進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便大家掌握。絕對值的性質(zhì)：①正數(shù)的絕對值是它本身，即；②0的絕對值是0，即；③負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即；④絕對值具有非負性，即。模型1.的最小值模型【模型解讀】式子在時，取得最小值為?！咀钪翟怼磕康氖窃跀?shù)軸上找一點x，使x到a和b的距離和的最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當時無法確定當時的值為定值，即為當無法確定另解：也可用絕對值的代數(shù)意義（即分類討論思想）完成絕對值的最值問題。例1.（2023·廣東七年級期中）閱讀下面材料：數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合思想的產(chǎn)物．有了數(shù)軸以后，可以用數(shù)軸上的點直觀地表示實數(shù)，這樣就建立起了“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系．在數(shù)軸上，若點，分別表示數(shù)，，則，兩點之間的距離為．反之，可以理解式子的幾何意義是數(shù)軸上表示實數(shù)與實數(shù)3兩點之間的距離．則當有最小值時，的取值范圍是（）A．或 B．或 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意將可以理解為數(shù)軸上表示實數(shù)x與實數(shù)-2的距離，實數(shù)x與實數(shù)5的距離，兩者的和，分三種情況分別化簡，根據(jù)解答即可得到答案.【解析】方法1：幾何法（根據(jù)絕對值的幾何意義）可以理解為數(shù)軸上表示實數(shù)x與實數(shù)-2的距離，實數(shù)x與實數(shù)5的距離，兩者的和，通過數(shù)軸分析反現(xiàn)當時，有最小值，最小值為7。故選：D.方法2：代數(shù)法（借助零點分類討論）當x<-2時，=（-2-x）+（5-x）=3-2x；當時，=（x+2）+（5-x）=7；當x>5時，=（x+2）+（x-5）=2x-3；∴有最小值，最小值為7，此時，故選：D.【點睛】此題考查依據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡絕對值，正確理解題意，得到表示的意義，再利用分類思想解答問題.例2．（2022·江蘇·七年級期中）我國著名數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與2所對應(yīng)的點之間的距離：因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與－1所對應(yīng)的點之間的距離．（ⅰ）發(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式的最小值是多少？（ⅱ）探究問題：如圖，點A、B、P分別表示數(shù)－1、2、x，AB＝3∵的幾何意義是線段PA與PB的長度之和，∴當點P在線段AB上時，PA＋PB＝3，當點P在點A的左側(cè)或點B的右側(cè)時，PA＋PB＞3∴的最小值是3請你根據(jù)上述自學材料，探究解決下列問題：(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；(3)當a為何值時，代數(shù)式的最小值是2【答案】(1)5(2)或(3)-2或-6【分析】（1）把原式轉(zhuǎn)化看作是數(shù)軸上表示x的點與表示3與-2的點之間的距離最小值，進而問題可求解；（2）根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)數(shù)軸可直接進行求解；（3）根據(jù)原式的最小值為2，得到表示4的點的左邊和右邊，且到4距離為2的點即可．【詳解】（1）解：，表示到與到的距離之和，當點在線段上，，當點在點的左側(cè)或點的右側(cè)時，，的最小值是5；（2）解：如圖所示，滿足，表示到和1距離之和大于4的范圍，當點在和1之間時，距離之和為4，不滿足題意；當點在的左邊或1的右邊時，距離之和大于4，則范圍為或；（3）解：當為或時，代數(shù)式為或，數(shù)軸上表示數(shù)2的點到表示數(shù)4的點的距離為，數(shù)軸上表示數(shù)6的點到表示數(shù)4的點的距離也為，因此當為或時，原式的最小值是．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上的動點問題及數(shù)軸上兩點之間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間的距離問題是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·浙江·七年級專題練習）閱讀下面的材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為∣AB∣，當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點，如圖1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；當A、B兩點都不在原點時：①如圖2，點A、B都在原點的右邊：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；②如圖3，點A、B都在原點的左邊：∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣；③如圖4，點A、B在原點的兩邊：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣，綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離∣AB∣=∣a-b∣．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是_________，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是________，數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是___________；(2)數(shù)軸上表示x和-1的兩點A和B之間的距離是________，如果∣AB∣=2，那么x為__________．(3)當代數(shù)式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值時，相應(yīng)的x的取值范圍是__________．【答案】(1)3，3，4(2)，1或-3(3)【分析】（1）根據(jù)材料提供的方法進行計算數(shù)軸上兩點之間的距離，緊緊抓住在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離∣AB∣=∣a-b∣解題即可．（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離得到，然后根據(jù)絕對值的意義求出x的值．（3）把原題看成點x到點-1和點2的距離之和，即可得到答案．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離為，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離為，數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離為；故答案為：3，3，4；（2）解：數(shù)軸上表示x和-1的兩點A和B之間的距離是，根據(jù)題意得，即，所以x=1或-3，故答案為，1或-3；（3）解：代數(shù)式∣x+1∣+∣x-2∣可以看成x到-1和2的距離和，只有在-1和2之間才會有最小距離3，所以x的取值為，故答案為：．【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離以及絕對值，重點是讀懂題干的兩點間的距離以及絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·河南鄭州·七年級統(tǒng)考階段練習）【探究問題】點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)，，A、B兩點之間的距離表示為，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離或；利用數(shù)形結(jié)合思想解決探究問題：【方法感悟】如圖，從數(shù)軸上看，若點A，B表示的數(shù)分別是，，則或；若點A，B表示的數(shù)分別是，，則或；若點A，B表示的數(shù)分別是，，則或．【歸納】若點A，B表示的數(shù)分別是，，則或；【知識遷移】(1)點A，B表示的數(shù)分別是，b，且，則_____；(2)如圖，若點A，B表示的數(shù)分別是，，令，若把線段向左平移個單位，則點A與重合；若把線段向右平移n個單位，則點B與重合，那么_____，_____；(3)利用數(shù)軸求出的最小值為__________，此時x可取哪些整數(shù)值_______【答案】(1)或0.5(2)；20(3)7；，，，0，1，2，3，4【分析】（1）根據(jù)兩點間的距離公式，列出絕對值方程進行計算即可；（2）根據(jù)把線段向左平移個單位，則點A與重合；若把線段向右平移n個單位，則點B與重合，得出，求出n的值，即可得出答案；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離，得出表示x在數(shù)軸上表示的數(shù)到的距離，表示x在數(shù)軸上表示的數(shù)到4的距離，得出當時，最小，求出最小值即可，找出與4之間的整數(shù)即可．【詳解】（1）解：∵點A，B表示的數(shù)分別是，b，且，∴，∴或，解得：或．故答案為：或0.5．（2）解：∵，∴，解得：，∴，，故答案為：；20．（3）解：∵表示x在數(shù)軸上表示的數(shù)到的距離，表示x在數(shù)軸上表示的數(shù)到4的距離，∴當x表示的數(shù)在數(shù)軸上位于與4之間，即時，最小，且最小值為；此時x可取的整數(shù)值有，，，0，1，2，3，4，故答案為：7；，，，0，1，2，3，4．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，解題的關(guān)鍵是理解題意，準確計算．模型2.的最小值和最大值模型【模型解讀】式子在時，取得最小值為；在時，取得最大值?！咀钪翟怼磕康氖窃跀?shù)軸上找一點x，使x到a和b的距離差的最大值和最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當時的值為定值，即為—當時當?shù)闹禐槎ㄖ?，即為?．（2022秋·福建泉州·七年級?？计谥校┤舸鷶?shù)式的最大值為a，最小值為b，則ab的值_________．【答案】-9【分析】分三種情況：當x≥1時；當-2＜x＜1時；當x≤-2時；進行討論可求代數(shù)式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a與b的值．【詳解】解：當x≥1時，|x-1|-|x+2|=x-1-x-2=-3；當-2＜x＜1時，|x-1|-|x+2|=-（x-1）-（x+2）=-2x-1；當x≤-2時，|x-1|-|x+2|=-（x-1）+（x+2）=3．∵代數(shù)式|x-1|-|x+2|的最大值為a，最小值為b，∴a=3，b=-3．∴ab=-9．故答案為：-9．【點睛】本題考查了絕對值，如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)-a；③當a是零時，a的絕對值是零．注意分類思想的運用．例2．（2022·重慶·七年級期末）數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作．數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)b的點的距離記作，如表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)5的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)－5的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)3的點的距離．根據(jù)以上材料回答下列問題：（將結(jié)果直接填寫在答題卡相應(yīng)位置，不寫過程）（1）若，則_______，若，則_______；（2）若，則x能取到的最小值是_______；最大值是_______；（3）若，則x能取到的最大值是_______；（4）關(guān)于x的式子的取值范圍是_______．【答案】（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3【分析】（1）根據(jù)絕對值表示的意義和中點計算方法得出答案；（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意義，得到x的取值范圍，進而得到最大值和最小值；（3）若|x-3|-|x+1|=4，所表示的意義，確定x的取值范圍，進而求出最大值；（4）根據(jù)|x-2|+|x+1|的意義，求出|x-2|+|x+1|的最小值為3，從而確定取值范圍．【詳解】解：（1）|x-2|=|x+2|表示數(shù)軸上表示x的點到表示2和-2的距離相等，因此到2和-2距離相等的點表示的數(shù)為，|x-3|=|x+1|表示數(shù)軸上表示x的點到表示3和-1的距離相等，因此到3和-1距離相等的點表示的數(shù)為=1，故答案為：0，1；（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意義是數(shù)軸上表示x的點到表示3和-1兩點的距離之和為4，可得-1≤x≤3，因此x的最大值為3，最小值為-1；故答案為：-1，3；（3）|x-3|-|x+1|=4表示的意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點與表示數(shù)3的點距離比它到表示-1的點的距離大4，根據(jù)數(shù)軸直觀可得，x≤-1，即x的最大值為-1，故答案為：-1；（4）式子|x-2|+|x+1|表示的意義是數(shù)軸上表示x的點到表示2和-1兩點的距離之和，由數(shù)軸直觀可得，|x-2|+|x+1|最小值為3，因此|x-2|+|x+1|≥3，故答案為：大于或等于3．【點睛】本題考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，理解絕對值的意義和兩點距離的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．變式1．（2022·陜西西安·七年級?？计谥校c、在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)、，則在數(shù)軸上、兩點之間的距離為，利用數(shù)軸上兩點間距離，可以得到的最大值是______．【答案】4【分析】分、、三種情況進行討論求解，分別確定最大值即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)題意，表示x到-1和3的距離之差，又-1和3的距離為，則當時，；當時，，則，此時無最大值；當時，，綜上，的最大值為4，故答案為：4．【點睛】本題考查數(shù)軸和絕對值的意義，理解題意，利用分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·山東青島·七年級?？茧A段練習）我國著名數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學問題的重要思想方法．我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對應(yīng)的點到原點的距離，也就是說表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對應(yīng)點之間的距離．提出問題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別記為點A和點B，AB兩點之間的距離記為，那么與有理數(shù)a，b有怎樣的關(guān)系？探究問題：探究一：如果A，B兩點中有一點在原點，不妨假設(shè)A點在原點，即a＝0．當b＝2時，，如圖1所示；當b＝－3時，，如圖2所示；由此可以推斷當b＝n時，______．探究二：如果A，B兩點都不在原點，即，．（1）當A，B兩點都在原點的右側(cè)時，如圖3所示：；（2）當A，B兩點都在原點的左側(cè)時，如圖4所示：；（3）當A，B兩點在原點的兩側(cè)時，如圖5所示，請你仿照上述探究過程，寫出A，B兩點之間的距離______．解決問題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別記為點A和點B，AB兩點之間的距離記為，那么______．（用含有a，b的式子表示）實際應(yīng)用：（1）數(shù)軸上，表示有理數(shù)－6和－1的兩點之間的距離是______；（2）數(shù)軸上，表示x和2的兩點P和Q之間的距離是5，則x＝______．拓展延伸：結(jié)合數(shù)軸回答下列問題：（1）的最小值是_____；（2）的最大值是______．【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解決問題：；實際應(yīng)用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9【分析】探究一：根據(jù)絕對值的概念可得；探究二（2）根據(jù)絕對值的概念計算即可；（3）根據(jù)絕對值的概念計算即可；解決問題：根據(jù)絕對值的概念計算即可；實際應(yīng)用（1）根據(jù)絕對值的概念計算即可；（2）根據(jù)絕對值的概念列方程解答即可；拓展延伸（1）根據(jù)絕對值的概念計算即可；（2）根據(jù)絕對值的概念計算即可．【詳解】探究一：當b＝n時，，故答案為：n；探究二：（2），故答案為：；（3），故答案為：；解決問題：，故答案為：；實際應(yīng)用（1）有理數(shù)－6和－1的兩點之間的距離是，故答案為：5；（2）∵表示x和2的兩點P和Q之間的距離是5，∴，∴或，得或，故答案為：7或；拓展延伸（1）從數(shù)軸上可以看出，當x位于到1之間時它們的距離和最小，最小值為4，∴的最小值是4，故答案為：4；（2）從數(shù)軸上可以看出，當x位于到5之間時它們的距離差最大，最大值為9，∴的最大值是9，故答案為：9．【點睛】此題考查了絕對值概念的理解，解題的關(guān)鍵是要注意負數(shù)絕對值的計算方法．變式3．（2022·湖北武漢·七年級期中）我們知道，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，一般地，點A，B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，那么A，B之間的距離可表示為|a-b|，請根據(jù)絕對值的幾何意義并結(jié)合數(shù)軸解答下列問題：（1）數(shù)軸上的數(shù)x與1所對應(yīng)的點的距離為__，數(shù)x與-1所對應(yīng)的點的距離為__；（2）求的最大值；（3）直接寫出的最大值為______．【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20【分析】（1）根據(jù)題意即可列式解答；（2）由x的取值范圍分三種情況：①當x≤-1時，②當-1≤x≤1時，③當x≥1時，分別化簡絕對值，再計算整式的值即可得到答案；（3）根據(jù)（2）得到規(guī)律，依次進行計算即可．【詳解】（1）由題意得到：數(shù)軸上的數(shù)x與1所對應(yīng)的點的距離為，數(shù)x與-1所對應(yīng)的點的距離為，故答案為：，；（2）表示x到1之間的距離，表示x到-1之間的距離，①當x≤-1時，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2；②當-1≤x≤1時，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；③當x≥1時，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值為2（3）由（2）知：的最大值為2，由此可得：的最大值為4，的最大值是6，的最大值是8，∴的最大值是2+4+6+8=20【點睛】此題考查有理數(shù)的計算，絕對值的性質(zhì)，數(shù)軸上兩點間的距離公式．模型3.的最小值模型【模型解讀及原理】①當兩個絕對值相加：若已知，的最小值為，且數(shù)的點在數(shù)，的點的中間；②當三個絕對值相加：若已知，的最小值為，且此時=；③當有（奇數(shù)）個絕對值相加：且，則取中間數(shù)，即時，取得最小值；④當有（偶數(shù)）個絕對值相加：，且，則取中間段，即當時，取得最小值為：。例1.（2022·天津初一月考）若是有理數(shù)，則的最小值是________．【答案】509040【分析】首先判斷出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求數(shù)軸上某點到2、4、6、…、2018的距離和的最小值；然后根據(jù)某點在a、b兩點之間時，該點到a、b的距離和最小，當點x在2與2018之間時，到2和2018距離和最??；當點在4與2016之間時，到4和2016距離和最??；…，所以當x=1010之間時，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，據(jù)此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|最小值是多少即可．【解析】根據(jù)絕對值得幾何意義分析，知當x=1010時，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．【點睛】此題主要考查了絕對值的幾何意義：|x|表示數(shù)軸上表示x的點到原點之間的距離，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：|x-a|表示數(shù)軸上表示x的點到表示a的點之間的距離．例2．（2022秋·浙江杭州·七年級校聯(lián)考階段練習）【方法感悟】閱讀下面材料：點A，B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a，b，A，B兩點之間的距離表示為.如圖1，從數(shù)軸上看，若點A，B表示的分別是1，4則或；若點A，B表示的數(shù)分別是，4則或；若點A，B表示的數(shù)分別是，，則或．【歸納】若點A，B表示的數(shù)分別是，則或．【知識遷移】(1)如圖1，點A，B表示的數(shù)分別是，b且，則___________；(2)如圖2，點A，B表示的數(shù)分別是，，若把向左平移個單位，則點A與重合，若把向右平移個單位，則點B與70重合，那么___________，___________；【拓展應(yīng)用】(3)一天，美羊羊去問村長爺爺?shù)哪挲g，村長爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢，你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)是老壽星了，116歲了，哈哈！”美羊羊納悶，請問村長爺爺現(xiàn)在到底是多少歲？美羊羊現(xiàn)在又是幾歲？請寫出解題思路.(4)結(jié)合幾何意義，求最小值.【答案】(1)或(2)?10；30(3)村長爺爺現(xiàn)在64歲，美羊羊現(xiàn)在12歲(4)的最小值為6【分析】（1）根據(jù)題意可得，求出b的值即可；（2）由題意可得，再分別求出，即可；（3）設(shè)美羊羊現(xiàn)在x歲為數(shù)軸上的一個點，現(xiàn)在爺爺年齡y歲為數(shù)軸上的一個點，40年前在數(shù)軸上表示的數(shù)為，村長爺爺116歲時，在數(shù)軸行的點表示的數(shù)為116，村長爺爺與美羊羊的年齡差為m，得出，然后分別求出結(jié)果即可；（4）由絕對值的幾何意義可得，當時，的值最小．【詳解】（1）解：∵點A，B表示的數(shù)分別是，b，∴，解得或，故答案為：或；（2）解：∵把向左平移個單位，則點A與重合，若把向右平移個單位，則點B與70重合，∴把向右平移個單位得到，把向右平移個單位得到，向右平移個單位得到70，∴，∴，，故答案為：?10，30；（3）解：設(shè)美羊羊現(xiàn)在x歲為數(shù)軸上的一個點，現(xiàn)在爺爺年齡y歲為數(shù)軸上的一個點，40年前在數(shù)軸上表示的數(shù)為，村長爺爺116歲時，在數(shù)軸行的點表示的數(shù)為116，村長爺爺與美羊羊的年齡差為m，根據(jù)題意得：，，，∴，∴，，答：村長爺爺現(xiàn)在64歲，美羊羊現(xiàn)在12歲．（4）解：∵表示數(shù)軸上表示x的點與表示數(shù)1、2、3、4、5的距離和，∴當時，的值最小，∴，∴的最小值為6．【點睛】本題主要考查實數(shù)與數(shù)軸，數(shù)軸上點的特征，兩點間的距離求法，絕對值的幾何意義，熟練掌握數(shù)軸上兩點間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·陜西西安·七年級?？茧A段練習）數(shù)學探究點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離AB＝|a﹣b|．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和7兩點之間的距離是_______；(2)數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)﹣7所對應(yīng)兩點之間的距離用絕對值符號可以表示為_______；(3)若x表示一個有理數(shù)，且|x+1|+|x﹣3|≥4，則有理數(shù)x的取值范圍是_______；(4)若x表示一個有理數(shù)，則|x﹣3|+|x+2|+|x﹣1|有最_______值為________，此時x=_______．【答案】(1)5(2)|x+7|(3)全體實數(shù)；(4)小，5，1．【分析】（1）根據(jù)兩點間距離公式求解即可；（2）根據(jù)已知給出的求兩點間距離的公式表示即可；（3）根據(jù)已知的不等式進行分析，從而不難求得有理數(shù)x的取值范圍；（4）根據(jù)已知的不等式進行分析，從而不難求得x的取值范圍．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示2和7兩點之間的距離＝7?2＝5；故答案為：5（2）解：數(shù)軸上表示x和-7的兩點之間的距離表示為|x?（-7）|=|x+7|；故答案為：|x+7|（3）（3）|x+1|+|x﹣3|表示數(shù)軸上到-1和3的距離的和，則|x+1|+|x﹣3|≥4，故|x+1|+|x﹣3|≥4的解集為：全體實數(shù)；（4）（4）∵式子|x?3|＋|x＋2|＋|x?1|可看作是數(shù)軸上表示x的點到3、-2、1三點的距離之和，∴當x為1時，|x＋2|＋|x?3|＋|x?1|有最小值，∴|x＋2|＋|x?3|＋|x?1|的最小值＝|1＋2|＋|1?3|＋|1?1|＝5．故答案為：小，5，1．【點睛】本題考查了數(shù)軸，絕對值，兩點距離，理解新定義并能運用是本題的關(guān)鍵．變式2．（2022秋·浙江·七年級專題練習）已知數(shù)軸上兩個點之間的距離等于這兩個點表示的數(shù)的差的絕對值．如圖1，在數(shù)軸上點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為1，點C表示的數(shù)為3，則B，C之間的距離表示為：，A，C之間的距離表示為：．若點P在數(shù)軸上表示的數(shù)為x，則P，A之間的距離表示為：，P，B之間的距離表示為：．（1）如圖1，①若點P在點A左側(cè)，化簡_________；②若點P在線段上，化簡_______；③若點P在點B右側(cè)，化簡______；④由圖可知，的最小值是______．（2）請按照（1）問的方法思考：的最小值是_________．（3）如圖2，在一條筆直的街道上有E，F(xiàn)，G，H四個小區(qū)，且相鄰兩個小區(qū)之間的距離均為．已知E，F(xiàn)，G，H四個小區(qū)各有2個，2個，3個，1個小朋友在同一所小學的同一班級上學，安全起見，這8個小朋友約定先在街道上某處匯合，再一起去學校．聰明的小朋友們通過分析，發(fā)現(xiàn)在街道上的M處匯合會使所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和最小，請直接寫出匯合地點M的位置和所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和的最小值．【答案】（1）；②3；③；④3；（2）5；（3）匯合點M的位置在FG之間（包括F、G），所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和的最小值為1400m．【分析】（1）①根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行去絕對值即可；②根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行去絕對值即可；③根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行去絕對值即可；④結(jié)合數(shù)軸進行求解即可；（2）分別討論當P點在2的右側(cè)即時，當P點在-3的左側(cè)即時，當P點在-3和1之間時即時，當P點在1和2之間時即時，的值的情況，即可得到答案；（3）如圖所示，E、F、G、H分別在數(shù)軸上表示-400，-200，0，200，設(shè)M表示的數(shù)為x，路程之和為s，則路程之和，然后同（2）進行討論求解即可．【詳解】解：（1）①∵P在A點左側(cè)時，∴，∴，故答案為：；②∵P在線段AB上，∴，∴，故答案為：；③∵點P在點B右側(cè)，∴，∴，故答案為：；④由圖可知當P在A點左側(cè)時，由圖可知當P在AB之間時，由圖可知當P在B點右側(cè)時，∴的最小值為3，故答案為：3；（2）當P點在2的右側(cè)即時，∴，當P點在-3的左側(cè)即時，∴當P點在-3和1之間時即時，∴，∴此時，當P點在1和2之間時即時，∴，∴此時，∴綜上所述，的最小值為5，故答案為：5；（3）如圖所示，E、F、G、H分別在數(shù)軸上表示-400，-200，0，200，設(shè)M表示的數(shù)為x，路程之和為s，由題意得：路程之和當時，；當時，；當時，；∴此時；當時，；當時，；∴此時；∴s的最小值為1400，此時，∴匯合點M的位置在FG之間（包括F、G），所有小朋友從小區(qū)門口到匯合地點的路程之和的最小值為1400m．【點睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點的距離，絕對值的幾何意義，化簡絕對值，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握化簡絕對值的方法．變式3．（2022秋·浙江·七年級校聯(lián)考階段練習）我們知道，|a|可以理解為|a﹣0|，它表示：數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離，這是絕對值的幾何意義．進一步地，數(shù)軸上的兩個點A，B，分別用數(shù)a，b表示，那么A，B兩點之間的距離為AB＝|a﹣b|，反過來，式子|a﹣b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點和表示數(shù)b的點之間的距離．利用此結(jié)論，回答以下問題：（一）數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)3的點之間的距離是．（二）數(shù)軸上點A用數(shù)a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是．（2）當|a+2|+|a﹣3|＝5時，這樣的整數(shù)a有個．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是．【答案】（一）11；（二）（1）8或；（2）6；（3）2025；（4）2031；（5）15．【分析】（一）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式求解可得；（二）（1）利用絕對值的意義知，然后分別求解可得；（2）的幾何意義是表示數(shù)軸上到表示和表示3的點的距離之和是5的點的坐標，據(jù)此可得；（3）表示數(shù)軸上到表示3與表示的點距離之和，求其最小值即可；（4）表示數(shù)軸上到表示，，3，3，3的點的距離的和，根據(jù)兩點間線段最短和絕對值的幾何意義可知，當a取最中間（或兩個）數(shù)時即當時值最小，然后去掉絕對值符號計算求解；（5）表示數(shù)軸上到表示，，，，2，2，2，2的點的距離的和，當或時值最小，然后去絕對值求解即可．【詳解】（一）解：數(shù)軸上表示數(shù)-8的點和表示數(shù)3的點之間的距離是=11；故答案為：11．（二）（1）解：，，或，故答案為8或．（2）解：的意義是表示數(shù)軸上到表示和表示3的點的距離之和是5的點的坐標，，是整數(shù)，共6個；故答案為：6．（3）解：表示數(shù)軸上到表示3與表示的點距離之和，當時，有最小值，最小值為：=2025；故答案為：2025．（4）解：表示數(shù)軸上到表示，，3，3，3的點的距離的和，當時，取最小值，即最小值==2025+6=2031，故答案為：2031．（5）解：表示數(shù)軸上到表示，，，，2，2，2，2的點的距離的和，當時有最小值，即最小值==15，故答案為：15．【點睛】此題考查絕對值的性質(zhì)，熟練掌握絕對值的意義和性質(zhì)，逐步探索變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．模型4.絕對值的最值的其他應(yīng)用例1．（2023·重慶沙坪壩·校考一模）在多項式中，除首尾項a、外，其余各項都可閃退，閃退項的前面部分和其后面部分都加上絕對值，并用減號連接，則稱此為“閃減操作”．每種“閃減操作”可以閃退的項數(shù)分別為一項，兩項，三項．“閃減操作”只針對多項式進行．例如：“閃減操作”為，與同時“閃減操作”為，…，下列說法：①存在對兩種不同的“閃減操作”后的式子作差，結(jié)果不含與e相關(guān)的項；②若每種操作只閃退一項，則對三種不同“閃減操作”的結(jié)果進行去絕對值，共有8種不同的結(jié)果；③若可以閃退的三項，，滿足：，則的最小值為．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①根據(jù)“閃減操作”的定義，舉出符合條件的式子進行驗證即可；②先根據(jù)“閃減操作”的定義進行運算，再分類討論去絕對值，即可判斷；③根據(jù)“閃減操作”的定義和絕對值的幾何意義，求出，，的最小值，即可得出結(jié)論．【詳解】①“閃減操作”后的式子為，“閃減操作”后的式子為，對這兩個式子作差，得：，結(jié)果不含與e相關(guān)的項，故①正確；②若每種操作只閃退一項，共有三種不同“閃減操作”：“閃減操作”結(jié)果為，當時，，當時，，當時，，當時，，“閃減操作”結(jié)果為，當時，，當時，，當時，，當時，，“閃減操作”結(jié)果為，當時，，當時，，當時，，當時，，共有12種不同的結(jié)果，故②錯誤；③∵，在數(shù)軸上表示點與和的距離之和，∴當距離取最小值時，的最小值為，同理：，在數(shù)軸上表示點與和的距離之和，∴當距離取最小值時，的最小值為，，在數(shù)軸上表示點與和的距離之和，∴當距離取最小值時，的最小值為，∴當，，都取最小值時，，此時，的最小值為，故③正確；故選C．【點睛】本題主要考查了新定義運算，絕對值的幾何意義，熟練掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022秋·湖南郴州·七年級校聯(lián)考期末）對于有理數(shù)，，，，若，則稱和關(guān)于的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為，例如，則，則2和3關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為3．(1)和5關(guān)于2的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為______；(2)若和2關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為4，求的值；(3)若和關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，和關(guān)于2的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，和關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，…，和的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，…．①的最小值為______；②的值為______．【答案】(1)8(2)或；(3)①1；②840【分析】（1）認真讀懂題意，利用新定義計算即可；（2）利用新定義計算求未知數(shù)x；（3）①讀懂題意尋找規(guī)律，利用規(guī)律計算；②由①得到的規(guī)律寫出含有絕對值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距離和為1的時候兩點表示的數(shù)的和的最小值，最后得出最小值．【詳解】（1）解：，故答案為：8；（2）解：∵x和2關(guān)于3的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為4，∴，∴，解得或；（3）解：①∵和關(guān)于1的“美好關(guān)聯(lián)數(shù)”為1，∴，∴在數(shù)軸上可以看作數(shù)到1的距離與數(shù)到1的距離和為1，∴只有當時，有最小值1，故答案為：1；②由題意可知：，的最小值；，的最小值；，的最小值；，的最小值；，的最小值；∴的最小值：．故答案為：840．【點睛】本題考查了絕對值的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值的意義，數(shù)軸上點與點的距離．變式2．（2022·重慶渝北·七年級校考期中）閱讀下列材料：一般地，我們把按一定順序排列的三個數(shù)x1，x2，x3，叫做數(shù)列x1，x2，x3，計算：|x1|，，，我們把計算結(jié)果的最小值稱為數(shù)列x1，x2，x3的價值．例如，對于數(shù)列2，﹣1，3，因為|2|＝2，＝，＝．所以數(shù)列2，﹣1，3的價值為，改變這三個數(shù)的順序按照上述方法可計算出其它數(shù)列的價值．比如，數(shù)列﹣1，2，3的價值為；數(shù)列3，﹣1，2的價值為1，通過計算，發(fā)現(xiàn)：對于“2，﹣1，3”這三個數(shù)，按照不同的排列順序可得到不同的數(shù)列，這些數(shù)列的價值的最小值為．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)求數(shù)列﹣2，7，1的價值；(2)由“﹣2，7，1”這三個數(shù)按照不同的順序排列共有多少種不同的數(shù)列，寫出這些數(shù)列，并求出它們的價值的最小值和最大值；(3)將2，﹣7，a（a＞1）這三個數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個數(shù)列．若這些數(shù)列的價值的最小值為1，請直接寫出a的值．【答案】(1)2(2)最小值是，最大值是2(3)2或9【分析】（1）根據(jù)新定義，即可求解；（2）根據(jù)題意可得由“﹣2，7，1”這三個數(shù)按照不同的順序排列的數(shù)列有6種，然后分別求出每個數(shù)列的價值，即可求解；（3）根據(jù)題意可得或或，且a＞1，可得a＝5或9或2或8，然后根據(jù)這些數(shù)列的價值的最小值為1，即可求解．【詳解】（1）解：∵|﹣2|＝2，，＝2，∴數(shù)列﹣2，7，1的價值為2；（2）解：由“﹣2，7，1”這三個數(shù)按照不同的順序排列的數(shù)列有6種，具體如下：數(shù)列﹣2，7，1；數(shù)列﹣2，1，7；數(shù)列7，﹣2，1；數(shù)列7，1，﹣2；數(shù)列1，7，﹣2；數(shù)列1，﹣2，7；由（1）知數(shù)列﹣2，7，1的價值是2；∵|﹣2|＝2，，，∴數(shù)列﹣2，1，7的價值是；同理可求：數(shù)列7，﹣2，1的價值是2；數(shù)列7，1，﹣2的價值是2；數(shù)列1，7，﹣2的價值是1；數(shù)列1，﹣2，7的價值是；綜上可知，這些數(shù)列的價值的最小值是，最大值是2；（3）解：若這些數(shù)列的價值的最小值為1，則或或，且a＞1，解得：a＝5或9或2或8，當a＝5時，，∴a＝5不符合，舍去；當a＝8時，則，∴a＝8，不符合，舍去；綜上，a的值為2或9．【點睛】本題主要考查了絕對值的應(yīng)用，理解新定義，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022秋·成都市七年級專題練習）數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離叫做數(shù)的絕對值，記作．數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)的點距離記作，如表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)5的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)3的點的距離．根據(jù)以上材料回答一列問題：(1)若，則______．若，則_____．(2)若，則能取到的最小值是______，最大值是______．(3)當，求的最大值和最小值．【答案】(1)0；或0；(2)；；(3)最大值是15；最小值是；【分析】（1）根據(jù)絕對值表示的意義和中點計算方法得出答案；（2）根據(jù)數(shù)軸的定義和絕對值的意義進行計算，即可得到答案；（3）由絕對值意義和數(shù)軸的定義，先求出，，，然后分解求出最大值和最小值即可【詳解】（1）解：∵表示數(shù)軸上表示x的點到表示1和1的距離相等，∴到1和1距離相等的點表示的數(shù)為：；∵，表示數(shù)軸上表示x的點到表示和1的距離的和等于5，∴或；故答案為：0；或0；（2）解：∵，表示數(shù)軸上表示x的點到表示和1的距離的和等于4，又∵，∴能取到的數(shù)在和1之間，即，∴能取到的最小值是，最大值是；故答案為：；；（3）解：根據(jù)題意，∵，，，∴，∵，∴，，，∴，，，∴當，，時，有最大值，∴最大值為：；∴當，，時，有最小值，∴最小值為：；【點睛】本題考查了絕對值意義、最值、數(shù)軸、兩點間的距離及相反數(shù)的知識，綜合的知識點較多，難度一般，注意理解絕對值的幾何意義是關(guān)鍵．課后專項訓練1．（2023秋·貴州銅仁·七年級統(tǒng)考期末）在解決數(shù)學實際問題時，常常用到數(shù)形結(jié)合思想，比如：的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)-2的點的距離，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)3的點的距離．當取得最小值時，的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．【答案】B【分析】以和3為界點，將數(shù)軸分成三部分，對的值進行分類討論，然后根據(jù)絕對值的意義去絕對值符號，分別求出代數(shù)式的值進行比較即可．【詳解】解：如圖，當時，，，；當時，，，；當時，，，；綜上所述，當時，取得最小值，所以當取得最小值時，的取值范圍是．故選：B．【點睛】本題結(jié)合數(shù)軸考查了絕對值的意義以及絕對值的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是以和3為界點對的值進行分類討論，進而得出代數(shù)式的值．2．（2022秋·廣西·七年級期末）對于有理數(shù)，，，若，則稱是關(guān)于的“相關(guān)數(shù)”，例如，，則3是2關(guān)于2的“相關(guān)數(shù)”．若是關(guān)于1的“相關(guān)數(shù)”，是關(guān)于2的“相關(guān)數(shù)”，…，是關(guān)于4的“相關(guān)數(shù)”．則______．（用含的式子表示）【答案】9﹣3|x﹣1|【分析】先讀懂“相關(guān)數(shù)”的定義，列出對應(yīng)等式，再根據(jù)等式分析各個數(shù)的取值范圍，去絕對值，進而求出結(jié)果．【詳解】解：依題意有：|x1﹣1|+|x﹣1|＝1，①|(zhì)x2﹣2|+|x1﹣2|＝1，②|x3﹣3|+|x2﹣3|＝1，③|x4﹣4|+|x3﹣4|＝1，④由①可知0≤x，x1≤2，若否，則①不成立，由②可知1≤x1，x2≤3，若否，則②不成立，同理可知2≤x2，x3≤4，3≤x3，x4≤5，∴x1﹣1+|x﹣1|＝1，⑤x2﹣2+2﹣x1＝1，⑥x3﹣3+3﹣x2＝1，⑦3×⑤+2×⑥+⑦，得x1+x2+x3﹣3+3|x﹣1|＝6，∴x1+x2+x3＝9﹣3|x﹣1|．故答案為：9﹣3|x﹣1|．【點睛】本題考查絕對值和新定義問題．解題的關(guān)鍵在于讀懂題意，列出等式，根據(jù)等式判斷出五個數(shù)的取值范圍，進而去絕對值符號，最后得出結(jié)果．注意可以取特殊值，如x＝1或x＝2，來驗證計算的結(jié)果是否正確．3.（2022·湖北十堰·七年級期中）設(shè)﹣1≤x≤3，則|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值與最小值之和為__．【答案】8.5．【分析】先根據(jù)-1≤x≤3，確定x-3與x+2的符號，再對x的符號進行討論即可．【詳解】∵﹣1≤x≤3，當﹣1≤x≤0時，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值為5，最小值為4.5；當0≤x≤3時，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值為5，最小值為3.5，∴最大值與最小值之和為8.5；故答案為：8.5．【點睛】本題考查絕對值的化簡，掌握求絕對值的法則以及分類討論的思想方法，是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·陜西西安·七年級?？计谀崝?shù)a，b滿足，則的最小值為______．【答案】【分析】利用絕對值的定義：“絕對值代表與原點的距離”可知答案．【詳解】解：∵，∴，表示a到，2的距離與b到的距離之和為8，∵時，時，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了絕對值，掌握絕對值的意義是關(guān)鍵．5．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級?？茧A段練習）同學們都知道，表示5與1差的絕對值，也可以表示數(shù)軸上5和1這兩點間的距離；表示3與之差的絕對值，實際上也可理解為3與在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離；自然地，對進行變式得，同樣可以表示3與兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．試探索：(1)________；(2)表示與________之間的距離；表示與________之間的距離；(3)當時，可取整數(shù)__________．（寫出一個符合條件的整數(shù)即可）(4)由以上探索，結(jié)合數(shù)軸猜想：對于任何有理數(shù)，的最小值為__________．【答案】(1)5(2)2，(3)2（答案不唯一）(4)10【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離的表示方法即可解答；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離的表示方法即可解答；（3）利用絕對值及數(shù)軸求解即可；（4）根據(jù)數(shù)軸及絕對值，即可解答．【詳解】（1）解：表示數(shù)軸上表示3的點到表示的點的距離，即為5．故答案為5．（2）解：表示與2之間的距離；表示與之間的距離．故答案為：2，．（3）解：∵表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點到2和所對應(yīng)的點的距離之和為5，∴當x在與2之間的線段上（即），∴可取整數(shù)．故答案為：2（答案不唯一）．（4）解：∵理解為：在數(shù)軸上表示x到和6的距離之和，∴當x在與6之間的線段上（即）時，即的值有最小值，最小值為．故答案為：10．【點睛】本題主要考查了整式的加減、數(shù)軸、絕對值等知識點，掌握整式加減、去絕對值符號以及數(shù)軸的特點是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022秋·浙江·七年級專題練習）同學們都知道，表示5與之差的絕對值，實際上也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．試探索：（1）計算_____________；（2）使得這樣的整數(shù)有____________（寫出所有符合條件的整數(shù)）；（3）由以上探索猜想對于任何有理數(shù)，式子是否有最小值？如果有，請寫出其最小值，如果沒有，請說明理由．【答案】（1）7；（2），，，，，0，1；（3）有，最小值為5.5．【分析】（1）直接去括號，再按照去絕對值的方法去絕對值就可以了．（2）要x的整數(shù)值可以進行分段計算，令x+5=0或x-2=0時，分為3段進行計算，最后確定x的值．（3）根據(jù)（2）方法去絕對值，分為3種情況去絕對值符號，計算三種不同情況的值，最后討論得出最小值．【詳解】解：（1）原式=|5+2|=7故答案為：7；（2）令x+5=0或x-1=0時，則x=-5或x=1當x＜-5時，∴-（x-1）-（x+5）=6，-x+1-x-5=6，x=-5（范圍內(nèi)不成立）當-5≤x≤1時，∴-（x-1）+（x+5）=6，x+5-x+1=6，6=6，∴x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1當x＞1時，∴（x-1）+（x+5）=6，x-1+x+5=6，2x=2，x=1，x=1（范圍內(nèi)不成立）∴綜上所述，符合條件的整數(shù)x有：-5，-4，-3，-2，-1，0，1；（3）令x-2=0或x+3.5=0時，則x=2或x=-3.5當時，當時，當時，∴對于任何有理數(shù)x，式子|也有最小值，為5.5【點睛】此題主要考查了去絕對值和數(shù)軸相聯(lián)系的綜合試題以及去絕對值的方法和去絕對值在數(shù)軸上的運用，難度較大，去絕對的關(guān)鍵是確定絕對值里面的數(shù)的正負性．7．（2022秋·浙江·七年級專題練習）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是_____；表示和2兩點之間的距離是_____；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)和數(shù)的兩點之間的距離等于．如果表示數(shù)和的兩點之間的距離是3，那么_____；(2)若數(shù)軸上表示數(shù)的點位于與2之間，求的值；(3)當取何值時，的值最小，最小值是多少？請說明理由．【答案】(1)3，5，1或(2)6(3)當時，式子的值最小，最小值是9，理由見解析【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式求解即可；（2）先確定a+4、a-2的正負，然后再化簡絕對值，最后再合并同類項即可；（3）根據(jù)表示一點到-5，1，4三點的距離的和．即可求解．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是4-1=3；表示-3和2兩點之間的距離是2-（-3）=5；依題意有|a-（-2）|=3，∴a-（-2）=3或a-（-2）=-3解得a=1或-5．故答案為：3，5，1或-5．（2）解：∵數(shù)a的點位于-4與2之間，∴a+4＞0，a-2＜0∴|a+4|+|a-2|=a+4-a+2=6．（3）解：∵表示一點到-5，1，4三點的距離的和．∴當a=1時，式子的值最小，∴的最小值是9．【點睛】本題主要考查了絕對值的意義、數(shù)軸、數(shù)軸上兩點之間的距離等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想成為解答本題的關(guān)鍵．8．（2022秋·湖北武漢·七年級?？茧A段練習）（1）閱讀材料：從代數(shù)角度上看，數(shù)軸上兩點間的距離等于這兩點所對應(yīng)的數(shù)的差的絕對值；從幾何角度上看，數(shù)軸上兩點間的距離等于以這兩點為端點組成的線段的長度．例如：點A、B在數(shù)軸上分別對應(yīng)的數(shù)為a、b，則A、B兩點間的距離可表示為．（完成下面填空）Ⅰ．數(shù)軸上有三點A、B、P，分別對應(yīng)的數(shù)為、2、x，如圖①，當時，；如圖②，當時，_____；如圖③，當時，_______；Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，，∴，，∴在時有最小值為_______．（2）直接應(yīng)用：求的最小值．（3）應(yīng)用拓展：若，當時，直接寫出S的取值范圍_______．【答案】（1）I、，；II、5；（2）9；（3）．【分析】（1）I根據(jù)絕對值的意義即可得到答案；II根據(jù)I比較三種情況即可得到答案；（2）根據(jù)（1）可得到當x在兩點之間時最短即可得到答案；（3）根據(jù)（1）可得到當時最小值，即可得到答案．【詳解】（1）I．解：由題意可得，當時，，當時，故答案為，；II．由題意可得，在時有最小值為5，故答案為5；（2）解：由（1）可得，當x在，4兩點之間時最短，即當時，的最小值，最小值為，故的最小值為9；（3）由（1）可得，表示到1，6，三點的距離之和，∴可得到當時最小值，最小值為：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查絕對值的意義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到最小距離的點在最小與最大亮點之間．9．（2022秋·浙江溫州·七年級?？茧A段練習）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學解題中的一種重要思想，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m，n的兩點之間的距離等于，如：數(shù)軸上表示4和的兩點之間的距離是，根據(jù)以上材料，結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：(1)若數(shù)軸上表示數(shù)x的點位于表示與5的點之間，求的值．(2)若P是數(shù)軸上一點，它表示數(shù)p，若對任意的有理數(shù)p都成立，求a的最大值．【答案】(1)(2)a的最大值為7【分析】（1）直接化簡絕對值即可得到答案；（2）分當時，當時，當時，三種情況化簡絕對值即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：當時，；當時，當時，；當時，；∴要使得無論p取何值都成立，a的最大值為7．【點睛】本題主要考查了化簡絕對值，熟知化簡絕對值的方法是解題的關(guān)鍵．10．（2022·湖南·長沙市怡海中學七年級階段練習）如圖1，點A，B，C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點，分別對應(yīng)的數(shù)為﹣5，b，4．某同學將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點A，發(fā)現(xiàn)點B對齊刻度1.8cm，點C對齊刻度5.4cm．（1）求數(shù)軸上點B所對應(yīng)的數(shù)b；（2）點P是圖1數(shù)軸上一點，P到A的距離是到B的距離的兩倍，求點P所表示的數(shù)；（3）若點Q在數(shù)軸上表示的數(shù)為x，則|x+5|+|x﹣4|的最小值為，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值為．【答案】（1）；（2）或；（3），【分析】（1）根據(jù)的距離求得單位為多少cm，再根據(jù)長度求得的距離即可求解；（2）設(shè)點表示的數(shù)為，求得P到A的距離和P到B的距離，列方程求解即可；（3）對點Q在數(shù)軸上表示的數(shù)x，分情況討論求解即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得的距離為，的長度為，的長度為由此可知一個單位長度為則的距離為在的右邊，∴數(shù)軸上點B所對應(yīng)的數(shù)為；（2）設(shè)點表示的數(shù)為，則P到A的距離為，P到B的距離為由題意可得：，即或解得或故答案為或（3）當時，，∴當時，，∴當時，，∴綜上所述的最小值為，的最大值為故答案為，【點睛】此題考查了數(shù)軸上的動點問題，涉及了數(shù)軸的定義，數(shù)軸上兩點之間的距離，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)軸的基本性質(zhì)．11．（2022秋·江蘇蘇州·七年級?？计谥校┩瑢W們都知道，表示5與之差的絕對值，實際上也可理解為5與兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．試探索：(1)求___．(2)找出所有符合條件的整數(shù)x，使得這樣的整數(shù)是___．(3)由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x，是否有最小值？如果有請列式并寫出最小值如果沒有請說明理由．【答案】(1)7(2)、、、、、0、1、2(3)有最小值，最小值是7．【分析】（1）先計算有理數(shù)的減法，再化簡絕對值即可得；（2）根據(jù)絕對值的幾何意義找出所有符合條件的整數(shù)x，再利用有理數(shù)的加減運算法則求和即可得；（3）由（2）的方法去絕對值，即可得．【詳解】（1）解：，故答案為：7；（2）解：當時，，解得（舍去），故此種情況不存在；當時，，此時，使得的整數(shù)是、、、、、0、1、2；當時，，解得（舍去），故此種情況不存在；故答案為：、、、、、0、1、2；（3）解：有最小值，最小值是7，由（2）的探索可得，當時，，故有最小值，最小值是7．【點睛】本題考查數(shù)軸、絕對值，解答本題的關(guān)鍵是明確數(shù)軸的特點和絕對值，利用數(shù)軸和分類討論的數(shù)學思想解答．12．（2022秋·重慶·七年級期末）如圖，請回答問題：(1)點B表示的數(shù)是，點C表示的數(shù)是．(2)折疊數(shù)軸，使數(shù)軸上的點B和點C重合，則點A與數(shù)字重合．(3)m、n兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離可以表示為|m﹣n|，如5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離可以表示為|5﹣（﹣2）|，從而很容易就得出在數(shù)軸上表示5與﹣2兩點之間的距離是7．①若x表示一個有理數(shù)，則|x﹣3|+|x﹣6|的最小值＝．②若x表示一個有理數(shù)，且|x﹣4|+|x+3|＝7，則滿足條件的所有整數(shù)x的和是．③當x＝時，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|取最小值．④當x取何值時，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|取最小值？最小值為多少？【答案】(1)﹣2，6(2)9(3)①3；②4；③4；④x＝，最小值為【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上點的特點，直接求解即可；（2）由折疊可知，折痕點對應(yīng)的數(shù)是2，再由對稱性可知點A與數(shù)字9重合；（3）①當3≤x≤6時，|x﹣3|+|x﹣6|的值最?。虎诋敥?≤x≤4時，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值為7，再求出符合條件的整數(shù)即可求解；③找到2，2，3，3，4，4，4，4，4的中間數(shù)即為所求；④由2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，可得4個，3個，1個，2個，3個3的中間數(shù)是，當x＝時，式子有最小值．【詳解】（1）解：由圖可得，點B表示的數(shù)是﹣2，點C表示的數(shù)是6，故答案為：﹣2，6；（2）解：∵折疊后點B和點C重合，∴BC的中點為折痕點，∴折痕點對應(yīng)的數(shù)是2，∴點A與數(shù)字9重合，故答案為：9；（3）解：①|(zhì)x﹣3|+|x﹣6|表示數(shù)軸上表示x的點到表示3的點和6的點的距離之和，∴當3≤x≤6時，|x﹣3|+|x﹣6|的值最小，∴|x﹣3|+|x﹣6|的最小值為3，故答案為：3；②|x﹣4|+|x+3|表示數(shù)軸上表示x的點到表示﹣3的點和4的點的距離之和，∴當﹣3≤x≤4時，|x﹣4|+|x+3|的值最小，最小值為7，∵|x﹣4|+|x+3|＝7，∴x的整數(shù)值為﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，∴，∴滿足條件的所有整數(shù)x的和是4，故答案為：4；③2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|表示2倍的x到2的距離，2倍的x到3的距離，5倍的x到4的距離之和，∴2，2，3，3，4，4，4，4，4的中間數(shù)是4，∴當x＝4時，2|x﹣2|+2|x﹣3|+5|x﹣4|的最小值；故答案為：4；④2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|＝4|x﹣|+3|x﹣|+|x﹣|+2|x﹣|+3|x﹣3|，表示4倍的x到的距離，3倍x到的距離，x到的距離，2倍x到的距離，3倍x到3的距離之和，∴4個，3個，1個，2個，3個3的中間數(shù)是，∴當x＝時，2|2x﹣1|+|3x﹣2|+|x﹣|+|2x﹣7|+|3x﹣9|的值最小，最小值為．【點睛】本題考查絕對值的幾何意義，根據(jù)絕對值的幾何意義，探索出最小值存在時x的取值的一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵．13．（2023秋·江蘇揚州·七年級?？计谀?shù)軸是初中數(shù)學的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形進行完美地結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了很多重要的規(guī)律，例如；數(shù)軸上點、點表