高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)1 第1講　分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

第1講分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理課標(biāo)要求考情分析1.理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理．2．能利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理在高考中單獨(dú)命題較少，一般是與排列、組合結(jié)合進(jìn)行考查；兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的考查一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)．核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算兩個(gè)計(jì)數(shù)原理兩個(gè)計(jì)數(shù)原理目標(biāo)策略過(guò)程方法總數(shù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類(lèi)不同的方案在第1類(lèi)方案中有m種不同的方法，在第2類(lèi)方案中有n種不同的方法N＝m＋n種不同的方法分步乘法計(jì)數(shù)原理需要兩個(gè)步驟做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法N＝m×n種不同的方法【小題自測(cè)】1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，兩類(lèi)不同方案中的方法可以相同．()(2)在分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理中，每類(lèi)方案中的方法都能直接完成這件事．()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事件是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改編)已知某公園有4個(gè)門(mén)，從一個(gè)門(mén)進(jìn)，另一個(gè)門(mén)出，則不同的走法的種數(shù)為()A．16 B．13C．12 D．10解析：選C.將4個(gè)門(mén)編號(hào)為1，2，3，4，從1號(hào)門(mén)進(jìn)入后，有3種出門(mén)的方式，共3種走法，從2，3，4號(hào)門(mén)進(jìn)入，同樣各有3種走法，共有不同走法4×3＝12(種)．3．(分類(lèi)、分步標(biāo)準(zhǔn)不清致誤)從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加，其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為()A．30 B．20C．10 D．6解析：選D.從0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同數(shù)字相加和為偶數(shù)可分為兩類(lèi)：①取出的兩數(shù)都是偶數(shù)，共有3種方法；②取出的兩數(shù)都是奇數(shù)，共有3種方法，故由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得共有N＝3＋3＝6(種)．4．書(shū)架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書(shū)，第2層放有3本不同的文藝書(shū)，第3層放有2本不同的體育書(shū)．從書(shū)架中任取1本書(shū)，則不同取法的種數(shù)為_(kāi)_______．解析：分三類(lèi)：第一類(lèi)，從第1層取一本書(shū)有4種取法，第二類(lèi)，從第2層取一本書(shū)有3種取法，第三類(lèi)，從第3層取一本書(shū)有2種取法．共有4＋3＋2＝9(種)不同的取法．答案：95．把4封不同的信投入3個(gè)不同的信箱，不同的投法種數(shù)為_(kāi)_______．解析：每封信都有3種不同的投法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，4封信共有3×3×3×3＝34＝81(種)投法．答案：81考點(diǎn)一分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理(自主練透)1．甲、乙、丙三人踢毽子，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開(kāi)始踢，經(jīng)過(guò)4次傳遞后，毽子又被踢回給甲，則不同的傳遞方法共有()A．4種 B．6種C．10種 D．16種解析：選B.分兩類(lèi)：甲第一次踢給乙時(shí)，滿足條件的有3種方法(如圖)，同理，甲先傳給丙時(shí)，滿足條件的有3種方法．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，共有3＋3＝6(種)傳遞方法．2．橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m>0，n>0)的焦點(diǎn)在x軸上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為()A．10 B．12C．20 D．35解析：選A.因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以m＞n，以m的值為標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)，由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，可分為四類(lèi)：第一類(lèi)：m＝5時(shí)，使m＞n，n有4種選擇；第二類(lèi)：m＝4時(shí)，使m＞n，n有3種選擇；第三類(lèi)：m＝3時(shí)，使m＞n，n有2種選擇；第四類(lèi)：m＝2時(shí)，使m＞n，n有1種選擇．故符合條件的橢圓共有10個(gè)．故選A.3．在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：根據(jù)題意，將十位上的數(shù)字按1，2，3，4，5，6，7，8的情況分成8類(lèi)，在每一類(lèi)中滿足題目條件的兩位數(shù)分別有8個(gè)，7個(gè)，6個(gè)，5個(gè)，4個(gè)，3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，符合條件的兩位數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè))．答案：36分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)條件(1)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)能確定一個(gè)適合它的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類(lèi)．(2)完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)，并且分別屬于不同類(lèi)的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理．考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理(自主練透)1．一個(gè)小朋友從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)不同的數(shù)字組成三位數(shù)，則他寫(xiě)出的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．1000 B．900C．720 D．648解析：選D.分三個(gè)步驟：第一步確定百位數(shù)字，有9種方法，第二步確定十位數(shù)字，有9種方法，第三步確定個(gè)位數(shù)字，有8種方法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理得他寫(xiě)出的三位數(shù)有9×9×8＝648(個(gè))．2．如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑的條數(shù)為()A．24B．18C．12D．9解析：選B.由題意可知E→F共有6種走法，F(xiàn)→G共有3種走法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有6×3＝18(種)走法，故選B.3．有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有________種不同的報(bào)名方法．解析：每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法共有6×5×4＝120(種)．答案：120利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的策略(1)要按事件發(fā)生的過(guò)程合理分步，即分步是有先后順序的．(2)分步要做到“步驟完整”，只有完成了所有步驟，才完成任務(wù)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總方法數(shù)．[提醒]分步必須滿足兩個(gè)條件：一是步驟互相獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用(師生共研)(1)生產(chǎn)過(guò)程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人，則不同的安排方案共有()A．24種 B．36種C．48種 D．72種(2)現(xiàn)有5種不同顏色的染料，要對(duì)如圖所示的四個(gè)不同區(qū)域進(jìn)行涂色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能使用同一種顏色，則不同的涂色方法的種數(shù)是()A．120 B．140C．240 D．260【解析】(1)分兩類(lèi)：①第一道工序安排甲時(shí)有1×1×4×3＝12(種)；②第一道工序不安排甲時(shí)有1×2×4×3＝24(種)．所以共有12＋24＝36(種)．(2)由題意，先涂A處共有5種涂法，再涂B處有4種涂法，然后涂C處，若C處與A處所涂顏色相同，則C處共有1種涂法，D處有4種涂法；若C處與A處所涂顏色不同，則C處有3種涂法，D處有3種涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(種)．【答案】(1)B(2)D完成一件事的方法種數(shù)的計(jì)算步驟第一步，審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的；第二步，分析完成這件事應(yīng)采用分類(lèi)、分步、先分類(lèi)后分步、先分步后分類(lèi)這四種方法中的哪一種；第三步，弄清在每一類(lèi)或每一步中的方法種數(shù)；第四步，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算出完成這件事的方法種數(shù)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1．用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有()A．144個(gè) B．120個(gè)C．96個(gè) D．72個(gè)解析：選B.①首位為5，末位為0：4×3×2＝24(個(gè))；②首位為5，末位為2：4×3×2＝24(個(gè))；③首位為5，末位為4：4×3×2＝24(個(gè))；④首位為4，末位為0：4×3×2＝24(個(gè))；⑤首位為4，末位為2：4×3×2＝24(個(gè))．由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(個(gè))．故選B.2．(2022·蘇北新高考適應(yīng)性考試)甲、乙、丙、丁、戊5名黨員參加“黨史知識(shí)競(jìng)賽”，決出第一名到第五名的名次(無(wú)并列名次)，已知甲排第三，乙不是第一，丙不是第五．據(jù)此推測(cè)5人的名次排列情況的種數(shù)為()A．5 B．8C．14 D．21解析：選C.當(dāng)乙排第五時(shí)，丙的排名有3種可能，丁、戊兩人全排列，有3×2×1＝6(種)情況；當(dāng)乙排第二或第四時(shí)，丙的排名有2種可能，丁、戊兩人全排列，有2×2×2×1＝8(種)情況，故5人的名次排列情況的種數(shù)為6＋8＝14.故選C.3．如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱(chēng)此直線與該平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是________．解析：分類(lèi)討論：第1類(lèi)，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2×12＝24(個(gè))；第2類(lèi)，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)．所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24＋12＝36(個(gè))．答案：36[A級(jí)基礎(chǔ)練]1．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．30 B．42C．36 D．35解析：選C.因?yàn)閍＋bi為虛數(shù)，所以b≠0，即b有6種取法，a有6種取法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知可以組成6×6＝36個(gè)虛數(shù)．2．已知兩條異面直線a，b上分別有5個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)，則這13個(gè)點(diǎn)可以確定不同的平面?zhèn)€數(shù)為()A．40 B．16C．13 D．10解析：選C.分兩類(lèi)情況討論：第1類(lèi)，直線a分別與直線b上的8個(gè)點(diǎn)可以確定8個(gè)不同的平面；第2類(lèi)，直線b分別與直線a上的5個(gè)點(diǎn)可以確定5個(gè)不同的平面．根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知，共可以確定8＋5＝13(個(gè))不同的平面．3．(2022·蘭州市高三診斷考試)兩位同學(xué)同時(shí)去乘坐地鐵，一列地鐵有6節(jié)車(chē)廂，兩人進(jìn)入車(chē)廂的方法共有()A．15種 B．30種C．36種 D．64種解析：選C.設(shè)這兩位同學(xué)分別為甲、乙，由題意，可分為兩步：第一步，甲同學(xué)從這6節(jié)車(chē)廂中選擇一節(jié)進(jìn)入有6種選法，第二步，乙同學(xué)從這6節(jié)車(chē)廂中選擇一節(jié)進(jìn)入有6種選法，所以兩人進(jìn)入車(chē)廂的方法共有6×6＝36(種)，故選C.4．某電商為某次活動(dòng)設(shè)計(jì)了“和諧”“愛(ài)國(guó)”“敬業(yè)”三種紅包，活動(dòng)規(guī)定每人可以依次點(diǎn)擊4次，每次都會(huì)獲得三種紅包的一種，若集全三種即可獲獎(jiǎng)，但三種紅包出現(xiàn)的順序不同對(duì)應(yīng)的獎(jiǎng)次也不同．員工甲按規(guī)定依次點(diǎn)擊了4次，直到第4次才獲獎(jiǎng)．則他獲得獎(jiǎng)次的不同情形種數(shù)為()A．9 B．12C．18 D．24解析：選C.根據(jù)題意，若員工甲直到第4次才獲獎(jiǎng)，則其第4次才集全“和諧”“愛(ài)國(guó)”“敬業(yè)”三種紅包，則甲第4次獲得的紅包有3種情況，前三次獲得的紅包為其余的2種，有23－2＝6種情況，則他獲得獎(jiǎng)次的不同情形種數(shù)為3×6＝18.5．滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為()A．14 B．13C．12 D．10解析：選B.當(dāng)a＝0時(shí)，關(guān)于x的方程為2x＋b＝0，此時(shí)有序數(shù)對(duì)(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)均滿足要求；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，此時(shí)滿足要求的有序數(shù)對(duì)為(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(－1，2)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)，(2，－1)，(2，0)．綜上，滿足要求的有序數(shù)對(duì)共有13個(gè)，故選B.6．從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這樣的等比數(shù)列的個(gè)數(shù)為()A．3 B．4C．6 D．8解析：選D.以1為首項(xiàng)的等比數(shù)列為1，2，4；1，3，9；以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列為2，4，8；以4為首項(xiàng)的等比數(shù)列為4，6，9；把這4個(gè)數(shù)列的順序顛倒，又得到另外的4個(gè)數(shù)列，所以所求的數(shù)列共有2(2＋1＋1)＝8(個(gè))．7.如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有()A．256種 B．128種C．72種 D．64種解析：選C.首先涂A有4種涂法，則涂B有3種涂法，C與A，B相鄰，則C有2種涂法，D只與C相鄰，則D有3種涂法，所以共有4×3×2×3＝72(種)涂法．8．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在直角坐標(biāo)系中，第一、二象限不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：分兩類(lèi)：一是以集合M中的元素為橫坐標(biāo)，以集合N中的元素為縱坐標(biāo)有3×2＝6(個(gè))不同的點(diǎn)；二是以集合N中的元素為橫坐標(biāo)，以集合M中的元素為縱坐標(biāo)有4×2＝8(個(gè))不同的點(diǎn)．故由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得，共有6＋8＝14(個(gè))不同的點(diǎn)．答案：149.如圖，在由電鍵組A與B所組成的并聯(lián)電路中要接通電源且僅閉合其中一個(gè)電鍵，使電燈發(fā)光的方法有________種．解析：電燈發(fā)光有兩種不同的方案，分別是接通電鍵組A中的2種方法和接通電鍵組B中的3種方法，應(yīng)用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理得，共有2＋3＝5(種)使電燈發(fā)光的方法．答案：510．從集合{1，2，3，4，…，10}中，選出5個(gè)數(shù)組成子集，使得這5個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都不等于11，則這樣的子集有________個(gè)．解析：將和等于11的數(shù)放在一組：1和10，2和9，3和8，4和7，5和6.從每一小組中取一個(gè)，有Ceq\o\al(1,2)＝2種，共有2×2×2×2×2＝32(個(gè))子集．答案：3211.工人在安裝一個(gè)正六邊形零件時(shí)，需要固定如圖所示的六個(gè)位置的螺栓．若按一定順序?qū)⒚總€(gè)螺栓固定緊，但不能連續(xù)固定相鄰的2個(gè)螺栓．則不同的固定螺栓方式的種數(shù)是________．解析：根據(jù)題意，第一個(gè)可以從6個(gè)螺栓里任意選一個(gè)，共有6