新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)講義03 不等式（含解析）

解密03講：不等式【考點解密】1．兩個實數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b,a－b＝0?a＝b,a－b<0?a<b))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1?a>b,\f(a,b)＝1?a＝b,\f(a,b)<1?a<b))(a∈R，b>0)2．不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對稱性a>b?b<a?傳遞性a>b，b>c?a>c?可加性a>b?a＋c>b＋c?可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bc注意c的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d?同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd?可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)a，b同為正數(shù)可開方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)a，b同為正數(shù)3．一元二次不等式的解集判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??4．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．5．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.6．用基本不等式求最值用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值應(yīng)注意：一正二定三相等.(1)a，b是正數(shù)；(2)①如果ab等于定值P，那么當(dāng)a＝b時，和a＋b有最小值2eq\r(P)；②如果a＋b等于定值S，那么當(dāng)a＝b時，積ab有最大值eq\f(1,4)S2.(3)討論等號成立的條件是否滿足．【方法技巧】一、比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結(jié)論．(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關(guān)系；④得出結(jié)論．(3)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。⑴袛嗖坏仁降某Ｓ梅椒?1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個驗證，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件．(2)利用特殊值法排除錯誤答案．(3)利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時，可以利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性來比較．三、利用基本不等式求最值(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三是消元法．【核心題型】題型一：比較兩個數(shù)（式）的大小1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】通過作差法，SKIPIF1<0，確定符號，排除D選項；通過作差法，SKIPIF1<0，確定符號，排除C選項；通過作差法，SKIPIF1<0，確定符號，排除A選項；【詳解】由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，故選：B.2．已知：SKIPIF1<0，則3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關(guān)系是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先將指數(shù)式化為對數(shù)式，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性以及運算法則比較大小，確定選項.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故選D.【點睛】本題考查指數(shù)式化與對數(shù)式關(guān)系以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．無法確定【答案】A【分析】利用作差法解出SKIPIF1<0的結(jié)果，然后與0進行比較，即可得到答案【詳解】解：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選：A題型二：不等式的基本性質(zhì)4．對于實數(shù)a，b，c，下列命題中正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】D【分析】由不等式性質(zhì)判斷各選項正誤即可.【詳解】對于選項A，注意到若SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.故A錯誤.對于選項B，設(shè)SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.故B錯誤.對于C選項，因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故C錯誤.對于D選項，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故D正確.故選：D5．已知a，b，c，d均為實數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若a>b，c>d，則a-d>b-c B．若a>b，c>d則ac>bdC．若ab>0，bc-ad>0，則SKIPIF1<0 D．若a>b，c>d>0，則SKIPIF1<0【答案】AC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和特殊值法逐項分析可求得答案.【詳解】解：由不等式性質(zhì)逐項分析：A選項：由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，根據(jù)不等式同向相加的原則SKIPIF1<0，故A正確B選項：若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，故B錯誤；C選項：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，故C正確；D選項：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，故D錯誤.故選：AC6．已知SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AC【分析】對A，對SKIPIF1<0兩邊同除ab化簡即可判斷；對B，對不等式移項進行因式分解得SKIPIF1<0，即可進一步判斷SKIPIF1<0的符號不確定，即可判斷；對C，對不等式移項進行因式分解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0即可判斷；對D，對不等式移項進行根式運算得SKIPIF1<0，即可進一步判斷【詳解】對A，SKIPIF1<0，A正確；對B，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，不等式不一定成立，B錯誤；對C，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，不等式成立，C正確；對D，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不等式不成立，D錯誤；故選：AC．題型三：不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用7．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用待定系數(shù)法得出SKIPIF1<0，并計算出SKIPIF1<0的取值范圍，利用不等式的性質(zhì)可得出SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由不等式的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0，故選D.【點睛】本題考查求代數(shù)式的取值范圍，解題的關(guān)鍵就是將所求代數(shù)式用已知的代數(shù)式加以表示，在求解可充分利用待定系數(shù)法，考查運算求解能力，屬于中等題.8．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用待定系數(shù)法求得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，從而可得結(jié)果.【詳解】令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，…∴①SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0…②∴①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0．故選C．【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，意在考查綜合運用所學(xué)知識解答問題的能力，屬于中檔題.9．已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的取值范圍為__________.【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0可以推出SKIPIF1<0，由不等式的性質(zhì)可以得到SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，根據(jù)不等式的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.【點睛】本題考查了不等式的性質(zhì).不等式的性質(zhì)中沒有相除性，可以利用相乘性進行轉(zhuǎn)化，但是應(yīng)用不等式相乘性時，要注意不等式的正負(fù)性.題型四：利用基本不等式求最值命題點1配湊法10．設(shè)實數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．6【答案】A【解析】將函數(shù)變形為SKIPIF1<0，再根據(jù)基本不等式求解即可得答案.【詳解】解：由題意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，所以函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：A．【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方11．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，則xy的最大值為________．【答案】eq\f(3,2)【詳解】因為x>0，y>0,2x＋3y＝6，所以xy＝eq\f(1,6)(2x·3y)≤eq\f(1,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋3y,2)))2＝eq\f(1,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,2)))2＝eq\f(3,2).當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y，即x＝eq\f(3,2)，y＝1時，xy取到最大值eq\f(3,2).12．已知a>b>c，求(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))的最小值．【詳解】(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝(a－b＋b－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝1＋1＋eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c).∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴2＋eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c)≥2＋2eq\r(\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c，即2b＝a＋c時取等號，∴(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))的最小值為4.命題點2常數(shù)代換法13．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．7 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由“1”的妙用和基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，等號成立.結(jié)合SKIPIF1<0可知，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0.故選：D.14．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用“乘1法”將問題轉(zhuǎn)化為求SKIPIF1<0的最小值，然后展開利用基本不等式求解．【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時等號成立，故SKIPIF1<0的最小值為9．故選：A．【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.15．若實數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】D【分析】由條件變形SKIPIF1<0，再結(jié)合基本不等式求最小值.【詳解】由條件可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，結(jié)合條件SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0時，等號成立，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：D16．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_________．【答案】4【分析】根據(jù)已知條件，將所求的式子化為SKIPIF1<0，利用基本不等式即可求解.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0=4時取等號，結(jié)合SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0時，等號成立.故答案為：SKIPIF1<0【點睛】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，“1”的合理變換是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.命題點3消元法17．負(fù)實數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由已知可得SKIPIF1<0，再利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的最小值.【詳解】因為負(fù)實數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，即當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立.故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：A.18．若實數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))，則eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值為________．【答案】8【詳解】∵實數(shù)x，y滿足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))，∴x＝eq\f(3,y＋3)，∴0<eq\f(3,y＋3)<eq\f(1,2)，解得y>3.則eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)＝y(tǒng)＋3＋eq\f(1,y－3)＝y(tǒng)－3＋eq\f(1,y－3)＋6≥2eq\r(y－3·\f(1,y－3))＋6＝8，當(dāng)且僅當(dāng)y＝4，x＝eq\f(3,7)時取等號．19．已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】B【分析】依題意可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0，利用基本不等式計算可得；【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時取等號，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0；故選：B題型五：基本不等式的綜合應(yīng)用20．已知正實數(shù)a、b滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值為4，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題意可得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，所以有SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0，再利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的范圍.【詳解】解：因為SKIPIF1<0為正實數(shù)，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立，此時有SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由基本不等式可知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0時等號成立），所以SKIPIF1<0.故選：B.21．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用向量知識可得SKIPIF1<0，兩邊平方可得SKIPIF1<0，再利用不等式知識可求得結(jié)果.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：將向量條件SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0，利用向量數(shù)量積的運算律運算得到SKIPIF1<0是解題關(guān)鍵.22．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項和是Sn，若a1＝d＝1，則eq\f(Sn＋8,an)的最小值是________．【答案】eq\f(9,2)【詳解】an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝eq\f(n1＋n,2)，所以eq\f(Sn＋8,an)＝eq\f(\f(n1＋n,2)＋8,n)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(16,n)＋1))≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(n·\f(16,n))＋1))＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)n＝eq\f(16,n)，即n＝4時取等號，所以eq\f(Sn＋8,an)的最小值是eq\f(9,2).【高考必刷】一、單選題1．（2021·山西太原·高一階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用作差法，令SKIPIF1<0，結(jié)果配方，判斷符號后得出結(jié)論．【詳解】SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，故選：D．【點睛】本題考查用比較法證明不等式的方法，作差﹣﹣變形﹣﹣判斷符號﹣﹣得出結(jié)論涉及完全平方公式的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題.2．（2022·湖北·葛洲壩中學(xué)高一階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關(guān)系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．不能確定【答案】A【分析】作差法比較大小，即得解【詳解】由題意，SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0故選：A【點睛】本題考查了作差法比較大小，考查了學(xué)生綜合分析，數(shù)學(xué)運算能力，屬于基礎(chǔ)題3．（2022·江蘇宿遷·高一期中）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用不等式的性質(zhì)，通過舉特例結(jié)合作差法比較大小即可判斷各個選項正誤.【詳解】對于A，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然A錯誤；對于B，∵SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即B正確；對于C：當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然C錯誤；對于D：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然D錯誤；故選：B.4．（2022·江西·貴溪市實驗中學(xué)高三階段練習(xí)（文））若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】化簡函數(shù)，利用基本不等式求出最值，并驗證取等條件．【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0故選：C【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生計算能力，屬于中檔題．5．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學(xué)高三階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0為正實數(shù)且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．3【答案】D【分析】由題知SKIPIF1<0，再結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】解：因為SKIPIF1<0為正實數(shù)且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立；所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等號成立；故選：D6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知兩個正實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．8 D．3【答案】A【分析】根據(jù)題中條件，得到SKIPIF1<0，展開后根據(jù)基本不等式，即可得出結(jié)果.【詳解】因為正實數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立.故選：SKIPIF1<0．【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.7．（2022·全國·高一單元測試）已知正數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，再將代數(shù)式SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相乘，利用基本不等式可求出SKIPIF1<0的最小值．【詳解】SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立，因此，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故選SKIPIF1<0．【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，對代數(shù)式進行合理配湊，是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題．8．（2022·浙江·高一期中）已知實數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】構(gòu)造SKIPIF1<0，利用均值不等式即得解【詳解】SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時等號成立故選：B【點睛】本題考查了均值不等式在最值問題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算能力，屬于中檔題9．（2021·安徽合肥·高一期末）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】運用乘1法，可得由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]?（SKIPIF1<0）﹣1，化簡整理再由基本不等式即可得到最小值．【詳解】由x+y＝（x+1）+y﹣1＝[（x+1）+y]?1﹣1＝[（x+1）+y]?2（SKIPIF1<0）﹣1＝2（2SKIPIF1<01≥3+4SKIPIF1<07．當(dāng)且僅當(dāng)xSKIPIF1<0，y＝4取得最小值7．故選C．【點睛】本題考查基本不等式的運用：求最值，注意乘1法和滿足的條件：一正二定三等，考查運算能力，屬于中檔題．10．（2022·黑龍江·哈爾濱市第一中學(xué)校高一階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0至少有一個大于2B．SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】A【分析】結(jié)合反證法、全稱量詞命題、不等式、函數(shù)解析式的求法等知識求得正確答案.【詳解】A選項，依題意，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0都不大于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，與已知SKIPIF1<0矛盾，所以SKIPIF1<0至少有一個大于SKIPIF1<0，A選項正確.B選項，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以B選項錯誤.C選項，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以C選項錯誤.D選項，依題意，SKIPIF1<0①，以SKIPIF1<0替換SKIPIF1<0得SKIPIF1<0②，由①②解得SKIPIF1<0，所以D選項錯誤.故選：A11．（2022·甘肅省會寧縣第一中學(xué)高一期中）若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取最小值，則SKIPIF1<0等于（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】A【分析】將函數(shù)SKIPIF1<0的解析式配湊為SKIPIF1<0，再利用基本不等式求出該函數(shù)的最小值，利用等號成立得出相應(yīng)的SKIPIF1<0值，可得出SKIPIF1<0的值.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0

SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，即當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立，因此，SKIPIF1<0，故選A.【點睛】本題考查基本不等式等號成立的條件，利用基本不等式要對代數(shù)式進行配湊，注意“一正、二定、三相等”這三個條件的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.12．（2015·湖南·高考真題（文））若實數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【詳解】SKIPIF1<0，（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號），所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，故選C.考點：基本不等式【名師點睛】基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍．如果條件等式中，同時含有兩個變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對兩個正數(shù)的和與積進行轉(zhuǎn)化，然后通過解不等式進行求解．13．（2022·山東·青島二中高一期中）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國資學(xué)家哈利奧特首次使用“>”和“<”符號，并逐步被數(shù)學(xué)界接受志不等號的引入對不等式的發(fā)展景響深遠．已知a，b為非零實數(shù)，且SKIPIF1<0；則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)各項不等式，利用作差法、特殊值，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷正誤即可.【詳解】A：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，錯誤；B：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，錯誤；C：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，錯誤；D：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，正確.故選：D14．（2022·福建·福州第十五中學(xué)高三階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】首先求得SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的取值范圍，再把SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為關(guān)于SKIPIF1<0的代數(shù)式SKIPIF1<0，利用函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性去求SKIPIF1<0的取值范圍即可解決【詳解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0單調(diào)遞減SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故選：C15．（2021·山西·太原市第五十六中學(xué)校高一階段練習(xí)）若正數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0取得最小值時，SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．5【答案】B【分析】將方程變形SKIPIF1<0代入可得3x+4y=（3x+4y）（SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0×3，然后利用基本不等式即可求解．【詳解】∵x+3y=5xy，x＞0，y＞0∴SKIPIF1<0∴3x+4y=（3x+4y）（SKIPIF1<0）=SKIPIF1<0×3SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即x=2y=1時取等號,SKIPIF1<0的值為2.故答案為B.【點睛】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．解決二元的范圍或者最值問題，常用的方法有：不等式的應(yīng)用，二元化一元的應(yīng)用，線性規(guī)劃的應(yīng)用，等.16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由題可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，利用基本不等式解答即可．【詳解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號，∵當(dāng)SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0恒成立，∴只需SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0的取值范圍為：SKIPIF1<0．故選A．【點睛】本題主要考查基本不等式，解題的關(guān)鍵是得出SKIPIF1<0，屬于一般題．17．（2022·天津·靜海一中高一期中）已知正數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由已知可得出SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相乘，利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的最小值，即可得出實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時等號成立．又SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0．故選：C.18．（2022·福建·莆田一中高一階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數(shù)SKIPIF1<0的最大值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【解析】由已知可得SKIPIF1<0，即求SKIPIF1<0的最小值，由基本不等式可得答案.【詳解】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0等號成立，要使不等式恒成立，所以SKIPIF1<0所以實數(shù)SKIPIF1<0的最大值為8.故選：C.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.二、多選題19．（2022·全國·高一單元測試）下列命題為真命題的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】AD【分析】A．由不等式的性質(zhì)判斷；B.舉例判斷；C.由SKIPIF1<0判斷；D.作差判斷.【詳解】A．由不等式的性質(zhì)可知同向不等式相加，不等式方向不變，故正確；B.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故錯誤；C.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0故錯誤；D.SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故正確；故選：AD20．（2022·河南省浚縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）若正實數(shù)a，b滿足SKIPIF1<0則下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)b有最大值SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0有最小值2 D．SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0【答案】AB【解析】對A,根據(jù)基本不等式求SKIPIF1<0的最大值；對B,對SKIPIF1<0平方再利用基本不等式求最大值；對C,根據(jù)SKIPIF1<0再展開求解最小值；對D,對SKIPIF1<0平方再根據(jù)基本不等式求最值.【詳解】對A,SKIPIF1<0,當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號.故A正確.對B,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號.故B正確.對C,SKIPIF1<0.當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時取等號.所以SKIPIF1<0有最小值4.故C錯誤.對D,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0.故D錯誤.故選：AB【點睛】本題主要考查了基本不等式求解最值的問題,需要根據(jù)所給形式進行合適的變形,再利用基本不等式.屬于中檔題.三、填空題21．（2022·山東·乳山市銀灘高級中學(xué)高一階段練習(xí)）若實數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為________．【答案】SKIPIF1<0【分析】設(shè)SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用不等式的性質(zhì)求取值范圍，變形SKIPIF1<0是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.22．（2018·天津·高考真題（理））已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_____________.【答案】SKIPIF1<0【分析】由題意首先求得SKIPIF1<0的值，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論整理計算即可求得最終結(jié)果，注意等號成立的條件.【詳解】由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，且：SKIPIF1<0，因為對于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得：SKIPIF1<0.當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立.綜上可得SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.【點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．23．（2023·廣東·惠來縣第一中學(xué)高一期中）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為________．【答案】1【分析】直接利用基本不等式求最大值.【詳解】SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時取等號．故答案為：SKIPIF1<024．（2022·天津市第四中學(xué)高三期中）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將已知條件簡化為SKIPIF1<0；將SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示，分離常數(shù)，再使用“乘1法”轉(zhuǎn)化后利用基本不等式即可求得最小值．【詳解】解：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取“SKIPIF1<0”，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0