第一章空間向量與立體幾何單元檢測(cè)-2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

高二數(shù)學(xué)單元檢測(cè)第一章空間向量與立體幾何(時(shí)間:120分鐘分值:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知a=(-3,2,5),b=(1,5,-1),則a·(a+3b)=()A.(0,34,10) B.(-3,19,7) C.44 D.232.已知直線l1的方向向量為a=(1,2,-2),直線l2的方向向量為b=(-2,3,m),若l1⊥l2,則m等于()A.1 B.2 C.123.已知二面角α-l-β的大小為π3,m,n為異面直線,且m⊥α,n⊥β,則m,n所成的角為(A.π6 B.π3C.π24.如圖所示,點(diǎn)P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn),PA⊥平面ABCD,PA=AB,則PB與AC所成的角是()A.90° B.60° C.45° D.30°5.如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為上底面對(duì)角線A1C1的中點(diǎn),若BE=AA1+xAB+yAD,則(A.x=-12,y=12 B.x=12,y=-12 C.x=-12,y=-12 6.如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,高為4,則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離為()A.83 B.38 C.437.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,2AC=AA1=BC=2,D為AA1上一點(diǎn).若二面角B1-DC-C1的大小為60°,則AD的長(zhǎng)為()A.2 B.3 C.2D.28.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC為正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)等于底面邊長(zhǎng),A1在底面的射影是△ABC的中心,則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于()A.13 B.23 C.33二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量a=(1,1,0),則與a共線的單位向量e=()A.-22,-22,0 B.(0,1,0)10.已知空間三點(diǎn)A(-1,0,1),B(-1,2,2),C(-3,0,4),則下列結(jié)論正確的是()A.AB·AC=3 B.AB∥AC C.|BC|=23 D.cos<AB,AC>=311.若a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a與b的夾角為120°,則λ的值為()A.17 B.-17 C.-1D.112.(2021全國(guó)卷Ⅰ)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,點(diǎn)P滿足BP=λBC+μBB1,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],則(A.當(dāng)λ=1時(shí),△AB1P的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)μ=1時(shí),三棱錐P-A1BC的體積為定值C.當(dāng)λ=12時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A1P⊥BPD.當(dāng)μ=12時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A1B⊥平面AB1三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知平面α的一個(gè)法向量為u=(1,2,-1),平面β的一個(gè)法向量為v=(λ2,2,8),若α⊥β,則λ=_____..14.如圖,在空間四邊形ABCD中,AC和BD為對(duì)角線,G為△ABC的重心,E是BD上一點(diǎn),BE=3ED,若以{AB,AC,AD}為基底,則GE=__________.15.如圖,在正四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1中,A1B1=1,AB=2,側(cè)棱與底面所成的角為60°,則異面直線AD1與B1C所成角的余弦值為_(kāi)_____.16.如圖,等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB,二面角C-AB-D的余弦值為33,M,N分別是AC,BC的中點(diǎn),則EM,AN所成角的余弦值為四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c與b+c夾角的余弦值.18.(12分)如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,CC1=3,CD=2,且∠C1CB=∠C1CD=60°.(1)設(shè)CD=a,CB=b,CC1=c,試用a,b,c表示(2)已知O為A1C的中點(diǎn),求CO的長(zhǎng).19.(12分)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=π2,D是棱AC的中點(diǎn),且AB=BC=BB1=2(1)求證:AB1∥平面BC1D.(2)求異面直線AB1與BC1所成角的大小.20.(12分)(2022全國(guó)卷甲)在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3.(1)證明:BD⊥PA.(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.21.(12分)(2022全國(guó)卷Ⅰ)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為4,△A1BC的面積為22.(1)求點(diǎn)A到平面A1BC的距離.(2)設(shè)D為A1C的中點(diǎn),AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.22.(12分)在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為長(zhǎng)方形,SB⊥底面ABCD,其中BS=2,BA=2,BC=λ,λ的可能取值為:①λ=14;②λ=12;③λ=32;④λ=32;(1)求直線AS與平面ABCD所成角的正弦值.(2)若線段CD上能找到點(diǎn)E,滿足AE⊥SE,則λ可能的取值有幾種情況?請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)在(2)的條件下,當(dāng)λ為所有可能情況的最大值時(shí),線段CD上滿足AE⊥SE的點(diǎn)有兩個(gè),分別記為E1,E2,求平面BSE1與平面BSE2的夾角的大小.高二數(shù)學(xué)單元檢測(cè)參考答案第一章空間向量與立體幾何一.單項(xiàng)選擇題（5×8=40）題號(hào)12345678答案CBBBACAB二.多項(xiàng)選擇題（5×4=20，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）題號(hào)9101112答案ACACACBD二.填空題（5×4=20）13.±2.14.-112AB-13AC+34AD15.三.解答題（6道共70分）17.解:(1)因?yàn)閍∥b,所以x-2=4y解得x=2,y=-4,所以a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).因?yàn)閎⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2).(2)由(1),得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),設(shè)a+c與b+c的夾角為θ,所以cosθ=5-12+33818.解:(1)由CD=a,CB=b,CC1=c,得CA1=a+b+c,所以A1C=-(2)由(1)和已知條件,得|a|=|b|=2,|c|=3,a·b=0,<a,c>=60°,<b,c>=60°.CA1=a+b+則|CA1|2=CA12=(a+=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=22+22+32+0+2×2×3×cos60°+2×2×3×cos60°=29.所以A1C的長(zhǎng)為29,所以CO的長(zhǎng)為29219.(1)證明:如圖,連接B1C交BC1于點(diǎn)O,連接OD.因?yàn)镺為B1C的中點(diǎn),D為AC的中點(diǎn),所以O(shè)D∥AB1.因?yàn)锳B1?平面BC1D,OD?平面BC1D,所以AB1∥平面BC1D.(2)解:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,2),B1(0,0,2).所以AB1=(0,-2,2),Bcos<AB1,BC1>=AB設(shè)異面直線AB1與BC1所成的角為θ,則cosθ=12因?yàn)棣取?,π2,所以20.(1)證明:因?yàn)镻D⊥底面ABCD,BD?平面ABCD,所以PD⊥BD,如圖取AB中點(diǎn)E,連接DE,因?yàn)锳D=DC=CB=1,AB=2,所以BE=CD,又CD∥AB,所以四邊形BCDE為平行四邊形,所以DE=CB=1,所以△ADE為正三角形,所以∠DAE=∠AED=60°,又BE=DE,所以∠DBE=30°,所以∠ADB=90°,所以BD⊥AD,又PD∩AD=D,PD?平面PAD,AD?平面PAD,所以BD⊥平面PAD,又PA?平面PAD,所以BD⊥PA.(2)解:由(1)知,PD,AD,BD兩兩互相垂直,故建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,BD=AB2-則D(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,3),所以PD=(0,0,-3),PA=(1,0,-3),AB=(-1,3,0),設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則n·PA=x-3設(shè)PD與平面PAB所成的角為θ,則sinθ=|cos<PD,n>|=PD·n|PD||n|=55,所以21.解:(1)由于V三棱柱ABC-A1所以V三棱錐A-設(shè)點(diǎn)A到平面A1BC的距離為h,所以V三棱錐A-A1BC所以h=4S△A1BC(2)因?yàn)镈為A1C的中點(diǎn),又平面A1BC⊥平面ABB1A1,直三棱柱平面ABC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABC=BC,所以BC⊥平面ABB1A1,又AB?平面ABB1A1,所以BC⊥AB.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥A1B,因?yàn)锳H?平面ABB1A1,BC⊥平面ABB1A1,所以BC⊥AH,又因?yàn)锳1B∩BC=B,所以AH⊥平面A1BC,故AH的長(zhǎng)度為點(diǎn)A到平面A1BC的距離,AH=2,因?yàn)锳A1=AB,A1B=2AH=22,所以AB=AA1=2,由S△A1BC=22=1所以BC=2.以B為原點(diǎn),以BC,BA,BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則C(2,0,0),A(0,2,0),A1(0,2,2),D(1,1,1),設(shè)n⊥平面ABD,n為(x,y,z),則n·BA令x=1,所以n=(1,0,-1),設(shè)m⊥平面BCD,m為(x0,y0,z0),則m·BC令y0=1,所以m=(0,1,-1),所以|cos<m·n>|=12×2=12,所以sin<m·所以二面角A-BD-C的正弦值為3222.解:(1)因?yàn)镾B⊥底面ABCD,所以∠SAB即為直線AS與平面ABCD所成的角.在Rt△SAB中,tan∠SAB=SBAB=22所以sin∠SAB=22故直線AS與平面ABCD所成角的正弦值為22(2)以B為原點(diǎn),以BC,BA,BS所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)CE=m,則A(0,2,0),S(0,0,2),E(λ,m,0),B(0,0,0),所以AE=(λ,m-2,0),SE=(λ,m,-2).因?yàn)锳E⊥SE,所以AE·SE=(λ,m-2,0)·(λ,m,-2)=λ2+m(m-2)=0.因?yàn)閙∈[0,2],所以λ2=-m(m-2)