第02課 三角函數(shù)的計算 解直角三角形（解析版）

第02課三角函數(shù)的計算解直角三角形1.3-1.4課后培優(yōu)練課后培優(yōu)練級練培優(yōu)第一階——基礎過關練一、單選題1．下列計算錯誤的有（

）①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值逐個代入計算判斷即可；【解析】解：①，，故左右不相等，錯誤；②，正確；③，錯誤；④，錯誤．錯誤的有3個，故選擇：C【點睛】本題主要考查特殊三角函數(shù)值的計算，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．2．中，，a，b分別是、的對邊，，運用計算器計算的度數(shù)（精確到）為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題中所給的條件，在直角三角形中解題，根據(jù)角的正切值與三角形邊的關系即可求出．【解析】解：∵，∴設，∴，運用計算器得，，故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形，根據(jù)角正切值求出角的度數(shù)是解題的關鍵．3．用計算器求的值，以下按鍵順序正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)計算器的按鍵順序可知.【解析】根據(jù)計算器的按鍵順序可知，正確的按鍵順序是B選項，故選：B．【點睛】本題考查了根據(jù)計算器的按鍵順序，掌握計算器的按鍵順序是解題的關鍵.4．銳角滿足，利用計算器求時，依次按鍵，則計算器上顯示的結果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可知，，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【解析】解：由題意可知，，由特殊角的三角函數(shù)值可知依次按鍵，顯示的是的值，即的度數(shù)為．故選C【點睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．5．在Rt△ABC中，C90，AB5，AC4．下列四個選項，正確的是（

）A．tanB B．cotB C．sinB D．cosB【答案】C【分析】由勾股定理求得BC的長，進而可求得相應的三角函數(shù)值，進而判斷各個選項的正誤得到答案．【解析】解：如圖：∵C90，AB5，AC4∴∴，故選項A錯誤，不符合題意；，故選項B錯誤，不符合題意；，故選項C正確，符合題意；，故選項D錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查解直角三角形，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．6．如圖，在Rt△ABC中，直角邊BC的長為m，∠A＝40°，則斜邊AB的長是（）A．msin40° B．mcos40° C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)的定義即可求解．【解析】解：∵sinA＝，∴AB＝，故選：C．【點睛】本題考查了三角函數(shù)，正確理解三角函數(shù)的定義是關鍵．7．在△ABC中，∠C=90°，以下條件不能解直角三角形的是（

）A．已知a與∠A B．已知a與cC．已知∠A與∠B D．已知c與∠B【答案】C【分析】根據(jù)解直角三角形的方法和計算進行判斷．【解析】解：∵已知a和A，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠B＝∠C－∠A，c＝，b＝csinB.故選項A錯誤．∵已知c和a，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴b＝，sinA＝，sinB＝.故選項B錯誤．∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知A和B，∠A＋∠B＝∠C＝90°，∴只能知道直角三角形的三個角的大小，而三條邊無法確定大?。蔬x項C正確．∵已知c和B，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A＝∠C－∠B，a＝csinA，b＝csinB．故選項D錯誤．故選C．【點睛】此題主要考查解直角三角形的方法，解題的關鍵是熟知解直角三角形的方法．8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，CD⊥AB于D，設∠ACD＝α，則cosα的值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用互余的性質(zhì)證出∠ACD＝∠B，然后利用勾股定理求出BC的長，再求出∠B的余弦，即可得出答案.【解析】解：∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD＝α，在Rt△ABC中，∵，∴cos∠B＝∴cosα＝.故選A【點睛】本題考查了求三角函數(shù)——余弦的值.在圖形中找到α的等角是解題的關鍵.9．已知△AOC，如圖，建立平面直角坐標系，則點A的坐標是（）A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα）C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα）【答案】B【分析】過A作AD⊥x軸，交x軸于點D，在直角三角形AOD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AD與OD，表示出A的坐標即可．【解析】解：過A作AD⊥x軸，交x軸于點D，在Rt△AOD中，OA=c，∠AOD=α，∴AD=csinα，OD=ccosα，則A的坐標為（ccosα，csinα），故選B．【點睛】此題考查了解直角三角形，以及坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關鍵．10．如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知折痕AE＝5cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周長為（）A．18 B．25 C．32 D．36【答案】D【分析】根據(jù)tan∠EFC＝，設CE＝3k，在Rt△EFC中可得CF＝4k，EF＝DE＝5k，由∠BAF＝∠EFC，由三角函數(shù)的知識求出AF，在Rt△AEF中由勾股定理求出k，代入可得出答案．【解析】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折疊的性質(zhì)得：∠AFE＝∠D＝90°，EF＝ED，AF＝AD，∴tan∠EFC＝＝，設CE＝3k，則CF＝4k，由勾股定理得DE＝EF＝＝5k，∴DC＝AB＝8k，∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴tan∠BAF＝＝tan∠EFC＝，∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k，在Rt△AFE中，由勾股定理得AE＝＝＝5k＝5，解得：k＝1，∴矩形ABCD的周長＝2(AB+BC)＝2(8k+10k)＝36（cm），故選：D．【點睛】此題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)等知識，解答本題關鍵是根據(jù)三角函數(shù)定義，表示出每條線段的長度，然后利用勾股定理進行解答．二、填空題11．計算：________，_______，_________．【答案】

1

1

1【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進行計算．【解析】解：，，，故答案為：1，1，1.【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是熟記特殊三角函數(shù)值.12．用科學計算器計算：135×sin13°≈_____（結果精確到0.1）【答案】301165.0【分析】運用科學計算器分別計算乘方、開方及銳角三角函數(shù)的值即可求出答案．【解析】解：原式＝135××0.22495≈135×3.605×0.225≈371293×3.605×0.225≈301165.0；故答案為：301165.0．【點睛】此題考查了計算器的應用，掌握科學計算器的使用方法是解題的關鍵．13．運用課本上的計算器進行計算，按鍵順序如下，則計算器顯示的結果是_________．【答案】-1【分析】根據(jù)計算器的按鍵代表的運算可得答案．【解析】解：故答案為：【點睛】本題考查的是計算器的使用，掌握使用計算器是解題的關鍵．14．在中，、、所對的邊分別為、、．（1）若，，則______；（2）若，，則______；（3）若，，則______；（4）若，，則______；【答案】

【分析】根據(jù)三角函數(shù)知識，結合勾股定理進行求解.屬于基礎題【解析】（1）若，，（2）若，,∴（3）若，，

（4）若，，

【點睛】本題考查正切值得正確計算，掌握其定義才是關鍵.15．在中，，（1）已知：，則__，___，________；（2）已知：，則_______，_______；（3）已知：，則______，_______，________；（4）已知：，則_______．【答案】

45°

45°

6

8

12

60°

45°【分析】（1）先利用勾股定理求出a，然后分別求出sinA，sinB即可得到答案；（2）根據(jù)，，先求出b，然后求出a即可；（3）根據(jù)，，即可得到，，，由此求解即可；（4）根據(jù)，得到，即，即可求解.【解析】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，，，∴，，，∴∠A=45°，∠B=45°，故答案為：45°，45°，；（2）∵，，∴，∴，故答案為：6，8；（3）∵，，∴，，，∠A=60°∴，，∴，∴，∴，∴，故答案為：12，，60°；（4）∵，∴，∴，∴∠A=45°，故答案為：45°.【點睛】本題主要考查了解直角三角形，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關知識進行求解.16．在中，邊上的高，則__________．【答案】【分析】由題意易得，則有，然后根據(jù)三角函數(shù)可得，，進而問題可求解．【解析】解：如圖，∵AD⊥BC，∴，∵，∴，∵，∴，，∴．故答案為．【點睛】本題主要考查解直角三角形，熟練掌握三角函數(shù)值是解題的關鍵．17．如圖，菱形的邊長為，，，則這個菱形的面積______.【答案】60【分析】由，易得的長，根據(jù)菱形的面積求解．【解析】解：根據(jù)題意可得：，,,故答案為：60.【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義以及菱形的性質(zhì)，解題關鍵在于能夠根據(jù)三角函數(shù)求出菱形的高.18．如圖，在四邊形中，，，，，則線段AD的長為___________.【答案】【分析】連結AC，先在Rt△ABC中，根據(jù)正切函數(shù)的定義求得tan∠ACB，進而求得∠ACB=30，于是AC=2AB=4，由∠BCD=120，得出∠ACD=∠BCD-∠ACB=90．然后在Rt△ADC中，利用勾股定理即可求出AD的長．【解析】如圖，連接AC，在中，，，，，∵，，，，，在中，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查的是解直角三角形，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意作出輔助線，得出∠ACD=90是解答此題的關鍵．三、解答題19．求下列各式的值：（1）；

（2）；（3）．【答案】（1）1；（2）；（3）【分析】（1）將角的三角函數(shù)值代入計算即可；（2）將角的三角函數(shù)值代入計算即可；（3）將角的三角函數(shù)值代入計算即可．【解析】解：（1）原式；（2）原式；（3）原式．【點睛】此題考查特殊角的三角函數(shù)值的混合計算，熟記角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．20．計算（1）

（2）（3）

（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）先計算特殊角的正弦、余弦、正切值，再計算二次根式的乘法與加減法即可得；（2）先計算特殊角的正弦、余弦值，再計算二次根式的乘除法與減法即可得；（3）先計算特殊角的正弦、余弦、正切、余切值，再計算二次根式的除法與加減法即可得；（4）先計算特殊角的正弦、余弦、正切、余切值，再計算二次根式的乘除法與加法即可得．【解析】（1）原式，，；（2）原式，，；（3）原式，，，，；（4）原式，，，．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的加減乘除運算，熟記各運算法則是解題關鍵．21．在Rt中，．（1）已知，c，寫出解Rt的過程；（2）已知，a，寫出解Rt的過程；（3）已知a，c，寫出解Rt的過程．【答案】（1），，；（2），，；（3），由求出，【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)得出；由三角函數(shù)定義得出，；（2）由直角三角形的性質(zhì)得出；由三角函數(shù)定義得出，；（3）由勾股定理得出，由三角函數(shù)定義求出的度數(shù)，得出．【解析】解：（1），；，，，；（2），；，，，；（3），，，求出的度數(shù)，則．【點睛】本題考查了解直角三角形以及勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握勾股定理和三角函數(shù)．22．如圖，在中，是BC邊上的高，，，．（1）求線段的長度：（2）求的值．【答案】（1）5；（2）【分析】（1）根據(jù)sinB=求得AB=15，由勾股定理得BD=9，從而計算出CD；（2）利用三角函數(shù)的定義，求出cos∠C的值即可．【解析】解：（1）∵AD是BC上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵sinB=，AD=12，∴AB=15，∴BD=，∵BC=14，∴DC=BC-BD=14-9=5；（2）由（1）知，CD=5，AD=12，∴AC=，∴cosC=．【點睛】本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應用，熟練掌握好三角形邊角之間的關系是解題的關鍵．23．如圖，菱形的邊長為15，對角線交于點，．（1）求的長；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，得到Rt△AOB，再由正弦函數(shù)求出BO的長度，由勾股定理求出AO長度，從而計算出AC的長度即可；（2）在中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求出．【解析】解：（1）∵四邊形是菱形，∴.∵，∴，∴，∴.（2）在中，，，∴．【點睛】本題考查了正弦函數(shù)的定義及計算問題，解題的關鍵是掌握正弦函數(shù)的定義．24．如圖，在中，，D是的中點，連接，過點B作的垂線，交延長線于點E．已知．(1)求線段的長；(2)求的值．【答案】(1)25(2)【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)求出AB的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CD的長即可；（2）先運用勾股定理求出BC，再由于D為AB上的中點可得AD=BD=CD=25，設DE=x、EB=y，利用勾股定理列方程組即可求出x的值，最后運用正弦的定義即可解答．（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=30，∴cosA=，解得：AB=50.∵△ACB為直角三角形，D是邊AB的中點，∴CD==25．（2）解：在Rt△ABC中，.又∵AD=BD=CD=25，設DE=x，EB=y，則在Rt△BDE中，①，在Rt△BCE中，②，聯(lián)立①②，解得x=7∴．【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識點，根據(jù)勾股定理列方程求解是解答本題的關鍵培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練一、單選題1．下列式子錯誤的是（）A．cos40°=sin50° B．tan15°?tan75°=1C．sin225°+cos225°=1 D．sin60°=2sin30°【答案】D【解析】試題分析：選項A，sin40°=sin（90°﹣50°）=cos50°，式子正確；選項Btan15°?tan75°=tan15°?cot15°=1，式子正確；選項C，sin225°+cos225°=1正確；選項D，sin60°=，sin30°=，則sin60°=2sin30°錯誤．故答案選D．考點：互余兩角三角函數(shù)的關系；同角三角函數(shù)的關系；特殊角的三角函數(shù)值．2．用科學記算器算得①293=24389；②≈7.615773106；③sin35°≈0.573576436；④若tana=5，則銳角a≈0.087488663°．其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】A【解析】試題分析：①②③利用計算器計算可得是正確的，④tan45°=1，tana=5，說明α的度數(shù)應大于45°，所以錯誤，故選A．3．三角函數(shù)sin30°、cos16°、cos43°之間的大小關系是（

）A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43°C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16°【答案】C【解析】試題解析：∵sin30°=cos60°，又16°＜43°＜60°，余弦值隨著角的增大而減小，∴cos16°＞cos43°＞sin30°．故選C．4．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E為AB邊的中點，連接DE交AC于F．若CD＝1，則線段AF的長度為（）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】延長AD、BC交于點G，將圖形補充成等邊三角形，利用△ACD和△ABC都是含30°角的直角三角形得出AC，AD，AB的長度，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出EC的長度，用等邊三角形的性質(zhì)推導ECAD，繼而得出△EFC∽△DFA，，最后結合CF=AC-AF利用這個比例式得到關于AF的方程，解出即可．【解析】∵∠DAB＝∠B＝60°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝30°，∵AD⊥CD，CD＝1，∴AD＝，AC＝2，延長AD、BC交于點G，如圖，∵∠DAB＝∠B＝60°，∴∠G＝60°，∴△ABG為等邊三角形，∵AC平分∠DAB，∴C為GB的中點，且AC⊥GB，∴AB＝，連接EC，∵E為AB邊的中點，AC⊥GB∴EC＝AB＝，∵C為GB的中點，∴ECAD，∴△EFC∽△DFA，∴，即∴∴AF＝．故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用判定△EFC∽△DFA并用其列出關于AF的方程是解題的關鍵．5．如圖，等腰三角形ABC中，，，D為AC上一點，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖：過點D作DE⊥AB于點E，根據(jù)等腰三角形ABC，得出∠A=45°，從而得到?DEA為等腰直角三角形，求出AE=ADsin45°=2，在求出∠DBE=30°，所以在Rt?DBE中得到BD=4，在Rt?DBC中，設BC=x，則CD=x-2由勾股定理可得，【解析】如圖：過點D作DE⊥AB于點E，∵等腰三角形ABC，，，∴∠A=45°，因為DE⊥AB，∴∠DEA=90°∴∠EDA=∠DAE=45°，∴?DEA為等腰直角三角形，在Rt?ABC中，∵AD=2∴AE=ADsin45°=2∵∠DBE=∠ABC-∠DBC=45°-15°=30°∴在Rt?DBE中BD=2DE=2×2=4，在Rt?DBC中，設BC=x，則CD=x-2由勾股定理可得，，∴，解得：（舍去），所以sin∠BDC=，故選：A【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)．解題的關鍵是正確作出輔助線，構造好直角三角形，再解直角三角形．6．如圖，正方形ABCD的面積為3，點E在邊CD上，且CE=1，∠ABE的平分線交AD于點F，點M，N分別是BE，BF的中點，則MN的長為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】如圖，連接EF，先證明再求解可得再求解可得為等腰直角三角形，求解再利用三角形的中位線的性質(zhì)可得答案．【解析】解：如圖，連接EF，∵正方形ABCD的面積為3，∵∴∴∴∵平分∴∴∴為等腰直角三角形，∵分別為的中點，故選D【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應用，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的中位線的性質(zhì)，求解是解本題的關鍵．7．如圖，已知菱形的邊長為4，E是的中點，平分交于點F，交于點G，若，則的長是（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】過點A作AH垂直BC于點H，延長FG交AB于點P，由題干所給條件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=，即可得到FG的長；【解析】過點A作AH垂直BC于點H，延長FG交AB于點P，由題意可知，AB=BC=4，E是BC的中點，∴BE=2，又∵，∴BH=1，即H是BE的中點，∴AB=AE=4，又∵AF是∠DAE的角平分線，，∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，又∵，，∴PF=AD=4，設FG=x，則AG=x，EG=PG=4-x，∵，∴∠AGP=∠AEB=∠B，∴cos∠AGP===，解得x=；故選B．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和解直角三角形，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和解直角三角形的方法是解決本題的關鍵．8．圖，在正方形的對角線上取一點E，使得，連接并延長到F，連接，使得．若，則有下面四個結論：①；②；③F到的距離為；④．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】①利用正方形的對稱性即可判斷；②在取一點，使得，證明，得到，由此進一步判斷；③過作于，在中，計算的值即可；④過作于，利用三角函數(shù)的定義求出與，進而求其面積．【解析】解：①正方形關于直線對稱，且點在對稱軸上，點與點為對應點，，①正確；②在取一點，使得，又，是等邊三角形，，，．，．在與中，，．．，②正確；③過作于．，，在中，，點到的距離為，③錯誤；④過作于．，在中，；在中，．，④錯誤；正確的有①②．故選B．【點睛】本題考查了正方形的綜合應用，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)的應用，等邊三角形性質(zhì)與判定，解決本題的關鍵是作出正確的輔助線．二、填空題9．已知α是銳角，且2cosα=1，則α=______；若tan(α+15°)=1，則tanα=______.【答案】

60°

【分析】根據(jù)特殊角度的三角函數(shù)值求解．【解析】(1)α是銳角，且2cosα=1，∴cosα=，∴α=60°；(2)tan(α+15°)=1.∴α+15°=45°，∴α=30°.∴tanα=tan30°=.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)，熟練掌握特殊角度的三角函數(shù)值是解題的關鍵.10．計算：sin45°+tan60°?tan30°﹣cos60°=_____．【答案】【解析】原式＝＝1＋1－＝．故答案為．11．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，D為AB邊上一動點．（1）若，則CD的長為__________；（2）若，則tan∠ACD的值為__________．【答案】

2【分析】（1）過點D作DE⊥AC，垂足為E，在Rt△ACB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出tanA的值，然后設DE＝x，在Rt△ADE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE的長，再在Rt△CED中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CE的長，最后根據(jù)AC＝10，列出關于x的方程，進行計算可求出DE，CE的長，從而在Rt△CED中，利用勾股定理進行計算即可解答；（2）過點D作DF⊥AC，垂足為F，設DF＝y(tǒng)，然后在Rt△ADF中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長，從而求出CF＝（10﹣2y），再在Rt△CFD中，利用勾股定理列出關于y的方程，進行計算即可求出DF，CF的長，最后在Rt△CDF中，利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答．【解析】解：（1）過點D作DE⊥AC，垂足為E，在Rt△ACB中，AC＝10，BC＝5，，設DE＝x，在Rt△ADE中，，在Rt△CED中，，，∵AE+EC＝AC，∴2x+3x＝10，∴x＝2，∴CE＝3x＝6，DE＝x＝2，，故答案為：；（2）過點D作DF⊥AC，垂足為F，設DF＝y(tǒng)，在Rt△ADF中，，∵AC＝10，AF＝2y，∴CF＝AC﹣AF＝（10﹣2y），在Rt△CFD中，，∵CF2+DF2＝CD2，∴（10﹣2y）2+y2＝20，∴y1＝y(tǒng)2＝4，∴DF＝4，CF＝10﹣2y＝2，，故答案為：2．【點睛】本題考查了解直角三角形，勾股定理，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．12．如圖，在Rt△ABC中，AB=BC=4，以AB為邊作等邊三角形ABD，使點D與點C在AB同側，連接CD，則CD=______．【答案】##【分析】過點D作DE⊥BC于點E，由等邊三角形的性質(zhì)可知BD=AB=AD=4，∠ABD=60°，結合題意可求出∠DBC=30°，從而可求出DE=2，，進而可求出，最后根據(jù)勾股定理即可求出CD的長．【解析】如圖，過點D作DE⊥BC于點E，∵△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=AD=4，∠ABD=60°．∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°．∵DE⊥BC，∴DEBD=2．∴．∴．∵DE⊥BC，∴．故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識．正確的作出輔助線是解題關鍵．13．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，過點E作EF⊥AB交AC于點F．若BC＝4，，則AC的長為__________．【答案】8【分析】連接BF，交CE于點D，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得CE＝AE，從而可得∠ECA＝∠A，再根據(jù)已知可知EF是AB的垂直平分線，從而可得BF＝AF，進而可得∠A＝∠ABF，然后可得∠ABF＝∠ACE，從而證明△CDF∽△BDE，進而可得∠CFD＝∠BED，最后利用等角的余角相等可得∠CBF＝∠CEF，從而在Rt△BCF中，利用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理求出CF，BF的長，從而求出AF的長，進行計算即可解答．【解析】解：連接BF，交CE于點D，∵∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，，∴∠ECA＝∠A，∵EF⊥AB，∴EF是AB的垂直平分線，∴BF＝AF，∴∠A＝∠ABF，∴∠ABF＝∠ACE，∵∠CDF＝∠BDE，∴△CDF∽△BDE，

∴∠CFD＝∠BED，∵∠CFD+∠CBF＝90°，∠BED+∠CEF＝90°，∴∠CBF＝∠CEF，，，，，∴AF＝BF＝5，∴AC＝CF+AF＝3+5＝8，故答案為：8．【點睛】本題考查了解直角三角形，直角三角形斜邊上的中線，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．14．如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，對角線ACBD交于點O，點E是邊CD上方一點，且∠CED＝90°，若DE＝2，則EO的長為_______.【答案】【分析】過O作OF⊥EO，交EC的延長線于F，利用正方形的性質(zhì)，先判定△DOE≌△COF（AAS），即可得出△EOF是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出CE，解直角三角形即可得到OE的長．【解析】解：如圖所示，過O作OF⊥EO，交EC的延長線于F，在Rt△EOF中，∠CEO+∠F＝90°，∵∠CED＝90°，∴∠CEO+∠OED＝90°，∴∠OED＝∠F，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠COD＝∠DOE+∠COE＝90°，DO＝CO，又∵∠COF+∠COE＝90°，∴∠DOE＝∠COF，在△DOE和△COF中，，∴△DOE≌△COF（AAS），∴EO＝FO，DE＝CF＝2，又∵∠EOF＝90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∵正方形ABCD的邊長為8，∴在Rt△CDE中，CE＝＝＝2，∴EF＝+2，∴OE＝EF·cos45°＝（+2）×＝，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．三、解答題15．計算：（1）（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先計算特殊角的正弦、余弦、正切值，再計算二次根式的加減乘除運算即可得；（2）先計算特殊角的正弦、余弦、正切、余切值，再計算二次根式的乘除法與加法即可得．【解析】（1）原式，，，，；（2）原式，，，，．【點睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的加減乘除運算，熟記各運算法則是解題關鍵．16．計算或化簡：(1)cos30°+sin45°;(2)·tan30°;(3)(sin60°+cos45°)(sin60°－cos45°);(4)6tan230°－sin60°－2sin45°．【答案】(1);(2)

;(3)

;(4)－【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計算．【解析】（1）原式==+1=；（2）原式===；（3）原式=sin260°-cos245°=（）2-（）2=-=；（4）原式=6×（）2--2×=2－=－．【點睛】本題考查特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．17．如圖，在中，，是邊上的中線，過點作，垂足為，交于點，．（1）求的值：（2）若，求的長．【答案】（1）；（2）4【分析】（1）根據(jù)∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，可得出CD=BD，則∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可證明∠B=∠CAM，由AM=2CM，可得出CM：AC=1：，即可得出sinB的值；（2）根據(jù)sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=，得AC=2，根據(jù)勾股定理即可得出結論．【解析】（1）∵，是斜邊的中線，∴，∴，∵，∴．∵，∴．∴．在中，∵，∴．∴．（2）∵，∴．由（1）知，∴．∴．【點睛】本題主要考查了勾股定理和銳角三角比，熟練掌握根據(jù)銳角三角比解直角三角形是解題的關鍵．18．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AD：AB=2：3，BD=，AD⊥BC．（1）求sin∠ABD的值．（2）若∠BCD=120°，求CD的長．【答案】（1）sin∠ABD=；（2）CD=【分析】（1）作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F．設AE=a．在Rt△BDE中，利用勾股定理構建方程求出a，即可解決問題；（2）作CF⊥DE于F．首先證明四邊形CFEB是矩形，解直角三角形△CFB即可解決問題．【解析】解：（1）作DE⊥AB于E，設AE=a．在Rt△ADE中，∵∠A=60°，AE=a，∴∠ADE=30°，∴AD=2a，DE=a，∵AD：AB=2：3，∴AB=3a，EB=2a，在Rt△DEB中，（a）2+（2a）2=（）2，解得a=1，∴DE=，BE=2，∴sin∠ABD=．（2）CF⊥DE于F．∵CB⊥AB，CF⊥DE，∴∠CFE=∠FEB=∠CBE=90°，∴四邊形CFEB是矩形，∴CF=EB=2，BC=EF，∵∠DCB=120°，∠FCB=90°，∴∠DCF=30°，∴DF=CF?tan30°=，∴CD=2DF=．【點睛】本題考查解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形30度角性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．19．如圖，中，是中點，過點作直線的垂線，垂足為點．求的值．連接求四邊形的面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）在Rt△ABC中先利用勾股定理計算出AC＝6，在根據(jù)三角形面積相等法計算出BE＝，然后在Rt△BDE中利用余弦的定義求解；（2）在中，利用勾股定理計算出DE＝，求出，再根據(jù)中點的性質(zhì)得到，再利用即可求解．【解析】在中，而，，是中點，；在中，，，是中點，，即，在中，；在中，，是中點，，【點睛】本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)和三角形面積公式．20．在中，，，為銳角且．(1)求的面積；(2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）過點作，根據(jù)的正切值確定的度數(shù)，再利用直角三角形的邊角間關系求出、，最后利用三角形的面積公式算出的面積；（2）先利用線段的和差關系求出，然后在中利用勾股定理求出；（3）在中利用直角三角形的邊角間關系求出的余弦值．（1）解：過點作，垂足為，∴，∵為銳角且，∴，∴，∴，∴，在，∵，，∴，∵，∴．∴的面積為．（2）∵，，∴，在中，．∴的值為．（3）在中，，，∴．∴的值為．【點睛】本題主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關系、特殊角的三角函數(shù)值、三角形的面積公式及勾股定理是解題的關鍵．21．如圖，Rt△ABC中，，點D是邊BC的中點，以AD為底邊在其右側作等腰三角形ADE．使，連接CE．則：(1)求證：；(2)若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可知，即得出，再結合題意，即得出，從而證明；（2）過點E作于點H，由，即得出，，從而得出，得出．根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，從而得出．又易證，得出，即可證明．（1）∵，點D是邊BC的中點，∴，∴．∵，∴，∴；（2）如圖，過點E作于點H，∵，∴，∵，∴，∴．∵，∴，∴．又∵，DE=DE，∴，∴，∴，即．【點睛】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，解直角三角形以及全等三角形的判定和性質(zhì)．正確作出輔助線是解題關鍵．22．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對（記作sad）．如圖①，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對記作sadA，這時sadA＝底邊÷腰＝．容易知道一個角的大小與這個角的正對值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對定義，解下列問題：(1)sad＝；(2)如圖②，△ABC中，CB＝CA，若sadC＝，求tanB的值；(3)如圖③，Rt△ABC中，∠C＝，若sinA＝，試求sadA的值．【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意可知，sad指的是頂角為的等腰三角形底邊與腰之比，從而可以求得sad的值；（2）根據(jù)中，，可以求得與的關系，從而可以求得與邊上的高的關系，從而可得答案；（3）根據(jù)Rt中，，構造以為頂角的等腰三角形，然后根據(jù)新定義的含義解得即可．（1）解：頂角為的等腰三角形是等邊三角形，∴＝底邊÷腰．故答案為：1．（2）如圖②所示：作于點，中，即（3）∵設則．∴如圖③所示，在上截取，作于點，∵Rt中，∴．即．【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關鍵是能明確題目中給出的新定義，前提必須是等腰三角形，會做合適的輔助線，構造等腰三角形．培優(yōu)第三階——中考沙場點兵一、單選題1．（2022·廣東·東莞市光明中學一模）關于三角函數(shù)有如下的公式：，由該公式可求得的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)，代入特殊三角函數(shù)值計算即可．【解析】解：，故選：B．【點睛】本題考查了實數(shù)的運算，特殊角的三角函數(shù)值，靈活運用公式把一般角轉化為特殊角的和或者差是解題的關鍵．2．（2022·山東煙臺·一模）如圖所示，若用我們數(shù)學課本上采用的科學計算器進行計算，其按鍵順序如下：按鍵的結果為m，按鍵的結果為n，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】由題意知，，，分別求出的值，然后比較大小即可．【解析】解：由題意知，，，∴，故選A．【點睛】本題考查了計算器的使用，實數(shù)的運算．明確二次根式的副功能是立方根是解題的關鍵．3．（2022·陜西·西安市中鐵中學三模）如圖，在中，，，，平分交于點，則線段的長為A．+1 B．2 C． D．-【答案】B【分析】作于，作于，分別解直角三角形求得，和，從而求得，設，在直角三角形中表示出，進而根據(jù)列出方程求得，進而求得結果．【解析】如圖，作于，作于，在Rt中，，在Rt中，，，，在Rt中，設，在Rt中，，，由得，，，，故答案為：B．【點睛】本題考查了解直角三角形，解決問題的關鍵是將作輔助線，將斜三角形劃分為直角三角形．4．（2022·廣東·南山實驗教育麒麟中學模擬預測）如圖，在中，，，，，，分別在，，上，則周長的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別作點E關于AB，AC的對稱點P，Q．連接AE，AP，AQ，DP，F(xiàn)Q，PQ，根據(jù)兩點之間線段最短以及垂線段最短，即可得出△DEF周長的最小值．【解析】解：分別作點E關于AB，AC的對稱點P，Q，連接AE，AP，AQ，DP，F(xiàn)Q，PQ，作AM⊥PQ于點M，如圖所示：則DE＝PD，EF＝FQ，，，∵，∴，根據(jù)軸對稱可知，AP＝AE＝AQ，∴，∵AM⊥PQ，∴，∴，過點A作AH⊥BC于點H，∴，∵，∴，∴△DEF的周長為：，∵，∴，即周長的最小值是，故D正確．【點睛】本題主要考查了最短距離問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關于某直線的對稱點．對“動點”進行兩次軸對稱變換是解決問題的難點．5．（2021·四川樂山·三模）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠B＝60°，AD⊥CD，AC平分∠DAB，E為AB邊的中點，連接DE交AC于F．若CD＝1，則線段AF的長度為（）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】延長AD、BC交于點G，將圖形補充成等邊三角形，利用△ACD和△ABC都是含30°角的直角三角形得出AC，AD，AB的長度，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出EC的長度，用等邊三角形的性質(zhì)推導ECAD，繼而得出△EFC∽△DFA，，最后結合CF=AC-AF利用這個比例式得到關于AF的方程，解出即可．【解析】∵∠DAB＝∠B＝60°，AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB＝30°，∵AD⊥CD，CD＝1，∴AD＝，AC＝2，延長AD、BC交于點G，如圖，∵∠DAB＝∠B＝60°，∴∠G＝60°，∴△ABG為等邊三角形，∵AC平分∠DAB，∴C為GB的中點，且AC⊥GB，∴AB＝，連接EC，∵E為AB邊的中點，AC⊥GB∴EC＝AB＝，∵C為GB的中點，∴ECAD，∴△EFC∽△DFA，∴，即∴∴AF＝．故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用判定△EFC∽△DFA并用其列出關于AF的方程是解題的關鍵．6．（2022·廣東·景中實驗中學二模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，點G在CD邊上，，AG交BF于點H，連接．下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個．【答案】B【分析】先證明△AHE≌△BCF（AAS），即可判斷①，由三角形的中位線定理可證GEBF，即可判斷②，由勾股定理可求BF的長，即可求sin∠ABF＝sin∠BFC，即可判斷③，由相似三角形的性質(zhì)可求FH，CH，AO的長，即可求出，即可判斷④．【解析】解：如圖，設BF與AE的交點為O，設AB＝4a，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4a，∠ABC＝∠BCD＝90°，∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，∴CF＝DF＝2a＝CE＝BE，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，BF＝AE，∠AEB＝∠BFC，∵∠ABF+∠CBF＝90°＝∠ABF+∠BAE，∴∠AOB＝90°＝∠AOH，又∵∠BAE＝∠GAE，AO＝AO，∴△AOH≌△AOB（ASA），∴AH＝AB，∠AOB＝∠AOH＝90°，∴AE垂直平分BH，∴BE＝EH，∠ABE＝∠AHE＝90°，∴∠AHE＝∠BCF＝90°，AH＝AB＝BC，∠GAE＝∠BAE＝∠BCF，∴△AHE≌△BCF（AAS），故①正確；∵AH＝AB，∴∠AHB＝∠ABH，∵ABCD，∴∠ABF＝∠CFB，∴∠CFB＝∠AHB＝∠CHF，∴FG＝GH，∵HE＝BE＝CE，∴∠CHE＝∠ECH，∠EHB＝∠EBH，∵∠CHE＋∠ECH＋∠EHB＋∠EBH＝2∠CHE＋2∠EHB＝180°，∴∠BHC＝∠CHE＋∠EHB＝90°，∴∠GHC＝∠GCH，∴CG＝GH，∴FG＝GC＝GH＝a，又∵CE＝BE，∴GEBF，故②正確；∵，∴sin∠ABF＝sin∠BFC＝，故③正確；∵∠CHF＝∠BCF＝90°，∠CFH＝∠CFB，∴△CFH∽△BFC，∴，∴，∴，，∴，∵sin∠ABF＝，∴，∵FG＝GC，∴，∵，∴，故④錯誤，故選：B．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，三角形中位線定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關鍵．二、填空題7．（2022·陜西·西安輔輪中學三模）若sin(α+15°)=1，則∠α等于_____________度．【答案】75【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值即可求解．【解析】解：∵sin（α+15°）=1，∴α+15°=90°，∴α=75°，故答案為：75．【點睛】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．8．（2022·廣東·華南師大附中模擬預測）如圖，點D、E分別是△ABC的AB、AC邊上的點，AD=AC，∠B=45°，DE⊥AC于E，四邊形BCED的面積為8，tan∠C=7，AC=______．【答案】5【分析】過A作AM⊥BC于M，過C作CN⊥AB于N，由tan∠ACB=7，設CM=x，則AM=7x，AC=5x=AD，根據(jù)∠ABM=45°即得BM=AM=7x，BC=BM+CM=8x，而△NBC是等腰直角三角形，知CN=4x，由△DAE≌△CAN（AAS），即得DE=CN=4x，AE=3x，又四邊形BCED的面積為8，列出方程，解方程再計算即可求解．【解析】解：過A作AM⊥BC于M，過C作CN⊥AB于N，如圖：∵tan∠ACB=7，∴，設CM=x，則AM=7x，∴AC=AD，∵∠ABM=45°，∴△ABM是等腰直角三角形，∴BM=AM=7x，∴BC=BM+CM=8x，在Rt△BCN中，∠NBC=45°，∴△NBC是等腰直角三角形，∴CN=BC=4x，∵∠AED=∠ANC=90°，AD=AC，∠DAE=∠CAN，∴△DAE≌△CAN（AAS），∴DE=CN=4x，在Rt△DAE中，AE=，∵四邊形BCED的面積為8，∴，∴，即，解得x=或x=-（舍去），∴AC=5x=5×=5，故答案為：5．【點睛】本題考查全等三角形、銳角三角函數(shù)、等腰直角三角形等知識，解題的關鍵是作輔助線，構造直角三角形，用含字母的式子表示相關線段的長度．9．（2022·廣東廣州·二模）如圖，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點，把沿直線AB翻折后得到，則點的坐標是________．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式求得點的坐標，進而根據(jù)，得，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠O'AB=∠OAB=30°，O'A=OA=.勾股定理求得，，即可求解．【解析】解：如圖，過點O'作O'C⊥OA，垂足為C.∵點A是直線與x軸的交點，又∵當y=0時，，∴，∴點A的坐標為(,0)，∴OA=.∵點B是直線與y軸的交點，又∵當x=0時，，∴點B的坐標為(0,1)，∴OB=1.∴在Rt△AOB中，.∵在Rt△AOB中，AB=2，OB=1，∴，∴∠OAB=30°.∵△AOB沿直線AB翻折得到△AO'B，∴△AOB≌△AO'B，∴∠O'AB=∠OAB=30°，O'A=OA=.∴∠OAO'=∠OAB+∠O'AB=60°，即∠CAO'=60°，∴在Rt△O'CA中，∠AO'C=90°-∠CAO'=90°-60°=30°，∴在Rt△O'CA中，，，∴OC=OA-AC=-=.∵OC=，O'C=，∴點O'的坐標為故答案為：.【點睛】本題綜合考查了一次函數(shù)和軸對稱的相關知識，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求角度，勾股定理，坐標與圖形，求得是解題的關鍵．10．（2021·內(nèi)蒙古包頭·模擬預測）如圖，點A在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，點B在第二象限，AB⊥OA，∠AOB=60°，連接AB交y軸于點P．若BP=3AP，則點B的坐標為__________．【答案】(－，7)【分析】根據(jù)題意求得tan∠AOB，過B點作BC⊥y軸，過A點作AE⊥x軸，它們的交點為D，則∠ADB＝90°，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得BC＝3CD＝3m，則BD＝4m，然后通過證得△BAD∽△AOE，得出，從而求得m的值，即可求得BD和DE的長，從而求得B點的坐標．【解析】解：過B點作BC⊥y軸，過A點作AE⊥x軸，它們的交點為D，則∠ADB＝90°，如圖，∵DE∥y軸，BD∥x軸，∴CD＝OE，設A（m，），則CD＝OE＝m，AE，∵AD∥PC，BP=3AP，∴3，∴BC＝3CD＝3m，∴BD＝4m，∵AB⊥OA，∠AOB＝60°，∴tan∠AOB，∵∠BAD+∠OAE＝90°，∠AOE+∠OAE＝90°，∴∠BAD＝∠AOE，∵∠ADB＝∠OEA＝90°，∴△BAD∽△AOE，∴，∴，∴ADm，m2＝3，∴m或m（舍去），∴AD＝3，A（，4），∴BC＝3，DE＝3+4＝7，∴B（﹣3，7）．故答案為（﹣3，7）．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形等，求得A點的坐標是解題的關鍵．11．（2022·貴州·仁懷市教育研究室一模）如圖，在等邊中，是邊上的高，點是上一動點，連接，將線段繞點E順時針旋轉得到線段，連接，若，，則的長為______．【答案】【分析】利用旋轉的性質(zhì)可得是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)并結合是邊上的高，，利用三角函數(shù)可得，然后根據(jù)證明，可得