第2章《對稱圖形-圓》知識講練（教師版）

2023-2024學年蘇科版數(shù)學九年級上冊章節(jié)知識講練知識點01：圓的定義、性質(zhì)及與圓有關(guān)的角

1．圓的定義

(1)線段OA繞著它的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的封閉曲線，叫做圓.

(2)圓是到定點的距離等于定長的點的集合.

細節(jié)剖析：①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；

②圓是一條封閉曲線.2．圓的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.

在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對應的其他各組分別相等.

(2)軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸.

(3)垂徑定理及推論：

①垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

②平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

③弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧.

④平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夾的弧相等.

細節(jié)剖析：在垂經(jīng)定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的弦不能是直徑）3．兩圓的性質(zhì)

(1)兩個圓是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線.

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點.4．與圓有關(guān)的角

(1)圓心角：頂點在圓心的角叫圓心角.

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).

(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半.

②同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.

③90°的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角.

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

⑤圓內(nèi)接四邊形的對角互補；外角等于它的內(nèi)對角.

細節(jié)剖析：(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

知識點02：與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．判定一個點P是否在⊙O上

設(shè)⊙O的半徑為，OP=，則有

點P在⊙O外；點P在⊙O上；點P在⊙O內(nèi).

細節(jié)剖析：點和圓的位置關(guān)系和點到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系.2．判定幾個點在同一個圓上的方法

當時，在⊙O上.

3．直線和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O半徑為R，點O到直線的距離為.

(1)直線和⊙O沒有公共點直線和圓相離.

(2)直線和⊙O有唯一公共點直線和⊙O相切.

(3)直線和⊙O有兩個公共點直線和⊙O相交.

4．切線的判定、性質(zhì)

(1)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

②到圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線.

(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點的半徑.

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點.

③經(jīng)過切點作切線的垂線經(jīng)過圓心.

(3)切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點和切點之間的線段的長度叫做切線長.

(4)切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

5．圓和圓的位置關(guān)系

設(shè)的半徑為，圓心距.

(1)和沒有公共點，且每一個圓上的所有點在另一個圓的外部外離

.

(2)和沒有公共點，且的每一個點都在內(nèi)部內(nèi)含

(3)和有唯一公共點，除這個點外，每個圓上的點都在另一個圓外部外切.

(4)和有唯一公共點，除這個點外，的每個點都在內(nèi)部內(nèi)切.

(5)和有兩個公共點相交.

知識點03：三角形的外接圓與內(nèi)切圓、圓內(nèi)接四邊形與外切四邊形

1．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三條角平分線的交點，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示.

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點的距離相等，通常用O表示.

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點，在三角形內(nèi)部；它到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍，通常用G表示.

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點.細節(jié)剖析：(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等；(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.2．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個點都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角.

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等.

知識點04：圓中有關(guān)計算

1．圓中有關(guān)計算

圓的面積公式：，周長.

圓心角為、半徑為R的弧長.

圓心角為，半徑為R，弧長為的扇形的面積.

弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計算.

圓柱的側(cè)面圖是一個矩形，底面半徑為R，母線長為的圓柱的體積為，側(cè)面積為，全面積為.

圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為，高為的圓錐的側(cè)面積為，全面積為，母線長、圓錐高、底面圓的半徑之間有.細節(jié)剖析：(1)對于扇形面積公式，關(guān)鍵要理解圓心角是1°的扇形面積是圓面積的，即；

(2)在扇形面積公式中，涉及三個量：扇形面積S、扇形半徑R、扇形的圓心角，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.

(3)扇形面積公式，可根據(jù)題目條件靈活選擇使用，它與三角形面積公式有點類似，可類比記憶；

(4)扇形兩個面積公式之間的聯(lián)系：.

一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?宿城區(qū)一模）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，則∠B＝（）A．64° B．66° C．68° D．72°解：連接OA，∵OA＝OC，∠A＝36°，∴∠OAC＝∠C＝28°，∴∠OAB＝36°+28°＝64°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝64°．故選：A．2．（2分）（2023?建鄴區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標系中，點P的坐標是（4，5），⊙P與x軸相切，點A，B在⊙P上，它們的橫坐標分別是0，9．若⊙P沿著x軸向右作無滑動的滾動，當點B第一次落在x軸上時，此時點A的坐標是（）?A．（7+2π，9） B．（7+2.5π，9） C．（7+2π，8） D．（7+2.5π，8）解：如圖1，設(shè)⊙P與x軸的切點為D，過點P作PC⊥y軸于C，連接PD，PA，∴PD⊥x軸，∵點P的坐標是（4，5），∴PC＝4，PD＝5，即⊙P的半徑為5，∴PA＝PD＝5，在Rt△PCA中，由勾股定理得：，延長CP與⊙P相交，此時交點到點C的距離為9，而點B的橫坐標為9，故交點為點B，∴∠DPB＝90°，如圖2，當點B第一次落在x軸上時，⊙P滾動了90°，∴點B滾動的距離為：，點A的對應點為A'，點C的對應點為C'，點B的對應點為B'，點P的對應點為P'，此時A'C'＝AC＝3，P'C'＝PC＝4，點A'的縱坐標為P'C'+5＝4+5＝9，點A'的橫坐標為PC+A'C'+2.5π＝4+3+2.5π＝7+2.5π，∴點A'的坐標為（7+2.5π，9），即此時點A的坐標是（7+2.5π，9），故選：B．3．（2分）（2022秋?江都區(qū)校級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，，則∠BAC的度數(shù)為（）A．22.5° B．30° C．45° D．67.5°解：如圖，連接OC，∵＝3，∴∠AOC＝3∠BOC，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°×＝45°，∴∠BAC＝BOC＝22.5°．故選：A．4．（2分）（2023?錫山區(qū)校級三模）如圖，矩形OABC中，OA＝4，AB＝2，以O(shè)為圓心，OA為半徑作弧，且∠AOD＝60°，則陰影部分面積為（）A． B． C． D．解：如圖，過點E作EH⊥OF于H，由題意得，OF＝OA＝4，OC＝AB＝2，由勾股定理得，CF＝＝＝2，∴∠OFC＝30°，∴∠COF＝60°，∴∠AOF＝∠EOF＝∠COE＝30°，∵∠AOD＝60°，∴∠DOF＝∠AOD﹣∠AOF＝30°，∴∠OFC＝∠DOF，∠COE＝30°，∴OE＝FE，∵∠C＝90°，OC＝2，∴OE＝＝，∴EH＝，∴陰影部分的面積＝S扇形ODF﹣S△OEF＝﹣×4×＝﹣，故選：A．5．（2分）（2023?鎮(zhèn)江二模）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，分別剪出扇形ABC和⊙O，恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面．若點O在BD上，則BO的最大值是（）A． B． C． D．解：連接AC交BD于P點，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，PB＝PD，∠ABP＝∠ABC＝30°，AB∥DC，∴PA＝AB＝3，∠CDB＝∠ABD＝30°，∴BP＝AP＝3，∴BD＝2BP＝6，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝1，當⊙O與DA、DC相切時，BO的值最大，過O點作OH⊥DC于H，如圖，則OH＝1，∴OD＝2OH＝2，∴BO＝BD﹣OD＝6﹣2，即BO的最大值是6﹣2．故選：B．6．（2分）（2023?寶應縣校級三模）如圖，在菱形ABCD中，點E是AB的中點，以D為圓心、DE的長度為半徑作弧EF，交BC于F，連接DE、DF．若∠A＝60°，AD＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．解：連接BD，如圖所示：∵四邊形ABCD是菱形，AD＝4，∴AB＝4，∵∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∵點E是AB的中點，∴AE＝BE＝2，DE⊥AB，∴∠ADE＝∠DEB＝90°﹣60°＝30°，同理可得CF＝BF＝2，DF⊥BC，∴∠CDF＝∠FDB＝30°，∴∠EDF＝60°，由勾股定理得，∴S陰影＝S△BED+S△BFD﹣S扇形DEF＝＝，故選：A．7．（2分）（2023?泉山區(qū)校級三模）如圖，點A，B，C在⊙O上，∠AOB＝70°，則∠ACB等于（）?A．30° B．35° C．40° D．45°解：∵∠AOB＝70°，∴∠ACB＝∠AOB＝35°，故選：B．8．（2分）（2023?東?？h二模）小明用一個破損的量角器按照如圖所示的方式測量∠ABC的度數(shù)，讓∠ABC的頂點恰好在量角器的圓弧上，兩邊分別經(jīng)過圓弧上的A、C兩點．若點A、C對應的刻度分別為55°，135°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．135° B．140° C．145° D．150°解：連接OA，OC，DA，DC，設(shè)⊙O的直徑為EF，如圖，∵∠AOE＝55°，∠EOC＝135°，∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE＝135°﹣55°＝80°，∴，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣40°＝140°．故選：C．9．（2分）（2023?梁溪區(qū)校級二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，C為的三等分點（更靠近A點），點P是⊙O上個動點，取弦AP的中點D，則線段CD的最大值為（）A．2 B． C． D．解：如圖，連接OD，OC，∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，∴點D的運動軌跡為以AO為直徑的⊙K，連接CK，AC，當點D在CK的延長線上時，CD的值最大，∵C為的三等分點，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等邊三角形，∴CK⊥OA，在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK＝＝，∵DK＝OA＝1，∴CD＝+1，∴CD的最大值為+1，故選：D．10．（2分）（2023?宜興市一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CD⊥AB，垂足為D，AD＝2，點E是⊙O上的動點（不與C重合），點F為CE的中點，若在E運動過程中DF的最大值為4，則CD的值為（）A． B． C． D．解：如圖所示：連接OE、OC，取OC的中點M，連接MF和DM，設(shè)⊙O的半徑為r，∵點F為CE的中點，∴MF＝OE＝，∵點E是⊙O上的動點（不與C重合），點C為頂點，∴點F的運動軌跡是以點M圓心，以MF的長為半徑的圓上，則DF≤DM+MF，∴當點D、M、F三點共線時，DF有最大值4，此時DF＝DM+MF，∴DM＝4﹣，∵CD⊥AB，∴∠CDO＝90°，∵點M為OC的中點，∴DM＝OC＝，∴，解得：r＝4，∴OD＝OA﹣AD＝2，在Rt△CDO中，CD＝＝2；故選：A．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023春?儀征市期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，，BE＝1，則OC＝2．解：設(shè)OC＝x，則OE＝x﹣1，在Rt△COE中由勾股定理得，OC2＝CE2+OE2，即x2＝（）2+（x﹣1）2，解得x＝2，即OC＝2，故答案為：2．12．（2分）（2023?邗江區(qū)校級二模）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為4，以AB為邊作等邊△ABF，則圖中陰影部分的面積為．解：在正五邊形ABCDE中，，∵△ABF是等邊三角形，∴∠FAB＝60°，∴∠EAF＝48°，∴，故答案為：．13．（2分）（2023?邳州市一模）如圖，某同學準備用一根內(nèi)半徑為5cm的塑料管裁一個引水槽，使槽口寬度AB為8cm，則槽的深度CD為2cm．解：如圖，由題意可知，OA＝5cm，OC⊥AB，則cm，在Rt△ADO中，由勾股定理得，OD＝＝3（cm），∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2（cm）．故答案為2．14．（2分）（2023?姜堰區(qū)二模）如圖，已知AB＝1，，BC與相切于點C，則的長＝π．?解：如圖，設(shè)所在的圓心為O，連接OA、OC、AC，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝1，BC＝，∴AC＝＝2，∵AB＝AC，∴∠ACB＝30°，∵⊙O與BC相切于點C，∴∠OCB＝90°，∴∠OCA＝90°﹣30°＝60°，又∵OA＝OC，∴△AOC是正三角形，∴∠AOC＝60°，OA＝OC＝AC＝2，∴的長為＝π，故答案為：π．15．（2分）（2023?東海縣二模）如圖所示，將扇形OAB沿OA方向平移得對應扇形CDE，線段CE交弧AB點F，當OC＝CF時平移停止．若∠O＝60°，OB＝3，則兩個扇形重疊部分的面積為．解：如圖所示，連接OF，過點C作CH⊥OF，由平移性質(zhì)知，CE∥OB，∴∠CFO＝∠BOF，∵CO＝CF，∴∠COF＝∠CFO，∴，在等腰△OCF中，，∴CH＝OH?tan30°＝×＝，∴．故答案為：．16．（2分）（2022秋?江都區(qū)期末）如圖所示，矩形紙片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作一個圓錐的側(cè)面和底面，則AB的長為4cm．解：設(shè)AB＝xcm，則DE＝（6﹣x）cm，根據(jù)題意，得＝π（6﹣x），解得x＝4．故答案為：4．17．（2分）（2023?海州區(qū)二模）如圖，一把打開的雨傘可近似的看成一個圓錐，傘骨（面料下方能夠把面料撐起來的支架）末端各點所在圓的直徑AC長為12分米，傘骨AB長為10分米，那么制作這樣的一把雨傘至少需要綢布面料為60π平方分米．解：∵AC＝12分米，∴該圓錐底面周長為12π分米，∴該圓錐側(cè)面積＝（平方分米），故答案為：60π．18．（2分）（2023?海州區(qū)校級三模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，若∠AOC＝160°，則∠ABC的度數(shù)是100°．?解：∵∠AOC＝160°，∴∠D＝AOC＝80°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠D+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝100°．故答案為：100°．19．（2分）（2023?淮安模擬）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OF⊥BC于點F，∠BOF＝65°，則∠AOD為50°．?解：∵OF⊥BC，∴∠OFB＝90°，∵∠BOF＝65°，∴∠ABC＝90°﹣65°＝25°，∴的度數(shù)是2×25°＝50°，∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴＝，∴的度數(shù)是50°，∴∠AOD＝50°．故答案為：50°．20．（2分）（2022秋?南京期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，動點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿著A﹣B﹣C的路線運動，則以P為圓心，2為半徑的⊙P與△ABC三邊都有公共點的時間共秒．解：當P在AB上時，作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，設(shè)P運動的時間是t秒，∴AP＝t，∵∠C＝90°，∴AB＝＝＝5，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴PN：BC＝AN：AC＝AP：AB，∴PN：3＝AN：4＝t：5，∴PN＝t，AN＝t，∴CN＝4﹣t，∵四邊形PNCM是矩形，∴PM＝CN＝4﹣t，∵⊙P與△ABC三邊都有公共點，∴t≤2，4﹣t≤2，∴≤t≤，∴⊙P與△ABC三邊都有公共點的時間是﹣＝（秒）；當點P在BC上時，作PH⊥AB于H，設(shè)P從B出發(fā)運動的時間是t秒，∴PB＝t，PC＝3﹣t，∵∠B＝∠B，∠BHP＝∠C，∴△BPH∽△BAC，∴PH：AC＝PB：AB，∴PH：4＝t：5，∴PH＝t，∵⊙P與△ABC三邊都有公共點，∴t≤2，3﹣t≤2，∴1≤t≤，當1＜PC＜2時⊙P與BC無公共點，無公共點的時間（2﹣1）÷1＝1（秒）∴⊙P與△ABC三邊都有公共點時的時間是﹣1﹣1＝（秒），∴P從A出發(fā)到C，⊙P與△ABC三邊都有公共點時的時間+＝（秒）故答案．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?如皋市期末）如圖，CE是⊙O的直徑，半徑OA⊥弦BC，垂足為點D，連AB，AC，AE．（1）求證：∠ACB＝∠E；（2）若∠ACB＝30°，AC＝3，求的長．（1）證明：∵OA⊥弦BC，∴＝，∴∠ACB＝∠E；（2）解：∵∠E＝∠ACB＝30°，∴∠AOC＝2∠E＝60°，∵OA＝OC，∴△OAC為等邊三角形，∴OA＝AC＝3，∴的長為＝π．22．（6分）（2023?姑蘇區(qū)校級二模）如圖，AB是⊙O的直徑，AM是⊙O的切線，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足為E，連接BD并延長，交AM于點P．（1）求證：∠CAB＝∠APB；（2）若⊙O的半徑5，AC＝8，求線段BD的長．（1）證明：∵AM是⊙O的切線，∴∠BAM＝90°，∵∠CEA＝90°，∴AM∥CD，∴∠CDB＝∠APB，∵∠CAB＝∠CDB，∴∠CAB＝∠APB．（2）解：如圖，連接AD，∵AB是直徑，∴∠CDB+∠ADC＝90°，∵∠CAB+∠C＝90°，∠CDB＝∠CAB，∴∠ADC＝∠C，∴AD＝AC＝8，∵AB＝10，∴BD＝6，23．（8分）（2023?亭湖區(qū)校級二模）如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，在AB上取點O，以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑作圓，與AC相切于點D，并分別與AB，BC相交于點E，F(xiàn)（異于點B）．（1）求證：BD平分∠ABC；（2）若點E恰好是AO的中點，求扇形BOF的面積．?（1）證明：連接OD，如圖，∵AC與⊙O相切于點D，∴OD⊥AC，∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∴OD∥BC，∴∠CBD＝∠ODB，∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠OBD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC；（2）解：連接DE、OD、OF，如圖，∵AB＝8，E是AO的中點，∴AE＝OE＝OB＝，在Rt△AOD中，DE＝＝OE，∴DE＝OD＝OE，∴△DOE為等邊三角形，∴∠DOE＝60°，∵OD∥BC，∴∠FBO＝∠DOE＝60°，∵OF＝OB，∴△FBO為等邊三角形，∴∠BOF＝60°，∴S扇形BOF＝＝π．24．（8分）（2023?阜寧縣二模）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，D是AB邊上一點，以BD為直徑的半圓O與邊AC相切，切點為E，過點O作OF⊥BC，垂足為F．（1）求證：OF＝EC；（2）若∠A＝30°，BD＝2，求線段AD、AE與弧DE圍成的陰影部分面積．（1）證明：連接OE，∵AC是⊙O的切線，∴OE⊥AC，又∵∠C＝∠OEC＝∠OFC＝90°，∴四邊形OECF是矩形，∴OF＝CE．（2）解：∵∠A＝30°，BD＝2，∴∠EOD＝60°，OE＝OD＝1，，∴S陰影＝S△AOE﹣S扇形DOE＝＝．25．（8分）（2023?宿遷）（1）如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點F，弦AD平分∠BAC，點E在AC上，連接DE、DB，①（答案不唯一）．求證：②（答案不唯一）；從①DE與⊙O相切；②DE⊥AC中選擇一個作為已知條件，余下的一個作為結(jié)論，將題目補充完整（填寫序號），并完成證明過程；（2）在（1）的前提下，若AB＝6，∠BAD＝30°，求陰影部分的面積．解：（1）若選擇：①作為條件，②作為結(jié)論，如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點F，弦AD平分∠BAC，點E在AC上，連接DE、DB，DE與⊙O相切，求證：DE⊥AC，證明：連接OD，∵DE與⊙O相切于點D，∴∠ODE＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠AED＝180°﹣∠ODE＝90°，∴DE⊥AC；若選擇：②作為條件，①作為結(jié)論，如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點F，弦AD平分∠BAC，點E在AC上，連接DE、DB，DE⊥AC，求證：DE與⊙O相切，證明：連接OD，∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠EAD＝∠ADO，∴AE∥DO，∴∠ODE＝180°﹣∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴DE與⊙O相切；故答案為：①（答案不唯一）；②（答案不唯一）；（2）連接OF，DF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵AB＝6，∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝3，AD＝BD＝3，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠DAB＝30°，在Rt△AED中，DE＝AD＝，AE＝DE＝，∵∠EAD＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°，∠DOF＝2∠EAD＝60°，∵OD＝OF，OD＝OB，∴△DOB和△DOF都是等邊三角形，且△ODB的面積＝△ODF的面積，∴∠ODF＝60°，∴∠DOB＝∠ODF＝60°，∴DF∥AB，∴△ADF的面積＝△ODF的面積，∴△ADF的面積＝△ODB的面積，∵OA＝OB，∴△ADF的面積＝△ODB的面積＝△ADB的面積＝×AD?BD＝××3×3＝，∴陰影部分的面積＝△AED的面積﹣△ADF的面積＝AE?DE﹣＝××﹣＝﹣＝，∴陰影部分的面積為．26．（8分）（2023?新吳區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，E為AB上一點，作EF∥AC，與BC交于點F，經(jīng)過點B、E、F的⊙O與AC相切于點D，連接BD、ED．（1）求證：BD平分∠ABC；（2）若AE＝4，BE＝5，求AD的長．（1）證明：連接OD、OE、FD，則OF＝OD，∴∠ODE＝∠OED，∴∠DOE+∠ODE+∠OED＝∠DOE+2∠ODE＝180°，∴∠DOE+∠ODE＝90°，∵∠ABD＝∠DOE，∴∠ABD+∠ODE＝90°，∵⊙O與AC相切于點D