08 二次函數(shù)及其綜合應用大題綜合原卷版

08二次函數(shù)及其綜合應用1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）我們把一次函數(shù)（為常數(shù)，）與二次函數(shù)（為常數(shù)，）稱為一對“相伴函數(shù)”，比如：函數(shù)與就是一對“相伴函數(shù)”．如圖，一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像相交于A，兩點．(1)隨著a的變化，他們的圖像各自是一組直線與一組拋物線，一次函數(shù)的圖像總過點（寫坐標）；不等式的解集為；(2)若△OAB是直角三角形，求a的值．2．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，函數(shù)的圖像經(jīng)過點，．(1)求、滿足的等量關系式；(2)設拋物線與軸的另一個交點為，拋物線的頂點為，連接，，，．當時，求該二次函數(shù)的解析式；(3)在（2）的條件下，當時，函數(shù)的最大值是______；最小值是______．設函數(shù)在內的最大值為，最小值為，若，求的值．3．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）蘇州樂園森林世界位于美麗的大陽山東南角，包含25項森林主題演出與游樂項目，其中“沖上云霄”是其經(jīng)典項目之一，其軌道總長約1040米，極限高度62.5米.如圖所示，為“沖上云霄”過山車的一部分軌道（B為軌道最低點），它可以看成一段拋物線.其中米，米（軌道厚度忽略不計）．(1)求拋物線的函數(shù)關系式；(2)在軌道距離地面5米處有兩個位置P和C，當過山車運動到C處時，又進入下坡段（接口處軌道忽略不計）.已知軌道拋物線的形狀與拋物線完全相同，求的長度；(3)現(xiàn)需要對軌道下坡段進行一種安全加固，建造某種材料的水平和豎直支架、、、，且要求．如何設計支架，才能用料最少？最少需要材料多少米？4．（2023·江蘇揚州·校考一模）農(nóng)經(jīng)公司以30元/千克的價格收購一批農(nóng)產(chǎn)品進行銷售，為了得到日銷售量(千克)與銷售價格(元/千克)之間的關系，經(jīng)過市場調查獲得部分數(shù)據(jù)如表：銷售價格(元/千克)日銷售量(千克)(1)請你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，用所學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的知識確定與之間的函數(shù)表達式，并直接寫出n與x的函數(shù)表達式為；(2)農(nóng)經(jīng)公司應該如何確定這批農(nóng)產(chǎn)品的銷售價格，才能使日銷售利潤最大？(3)農(nóng)經(jīng)公司每銷售千克這種農(nóng)產(chǎn)品需支出元的相關費用，當時，農(nóng)經(jīng)公司的日獲利的最大值為元，求的值．(日獲利等于日銷售利潤減日支出費用)5．（2023·江蘇常州·?？级＃┮阎喝鐖D，拋物線交x軸于E、F兩點，交y軸于A點，直線：交x軸于E點，交y軸于A點．(1)求拋物線的解析式；(2)若Q為拋物線上一點，連接，設點Q的橫坐標為，的面積為S，求S與t函數(shù)關系式；（不要求寫出自變量t的取值范圍）(3)在（2）的條件下，點M在線段上，點N是位于Q、E兩點之間的拋物線上一點，，，且，求點N的坐標．6．（2023·江蘇徐州·模擬預測）在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點．為第一象限的拋物線上一點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)求面積的最大值；(3)過點作，垂足為點，求線段長的取值范圍；(4)若點、分別為線段、上一點，且四邊形是菱形，直接寫出的坐標．7．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）“五一”前某商場購進甲種水果60箱，乙種水果40箱，全部售完后，共盈利1300元，甲種水果比乙種水果每箱多盈利5元．(1)求甲、乙兩種水果每箱各盈利多少元？(2)甲、乙兩種水果全部售完后，為迎接“五一”小長假，該商場又購進一批甲種水果，在原每箱盈利不變的前提下，平均每天可賣出100箱．如調整價格，每降價1元，平均每天可多賣出20箱，那么當降價多少元時，該商場利潤最大？最大利潤是多少？8．（2023·江蘇無錫·?？家荒＃┠撑l(fā)商以24元/箱的進價購進某種蔬菜，銷往零售超市，已知這種蔬菜的標價為45元/箱，實際售價不低于標價的八折，且不高于標價．批發(fā)商通過分析銷售情況，發(fā)現(xiàn)這種蔬菜的日銷售量y（箱）與當天的售價x（元/箱）滿足一次函數(shù)關系，下表是其中的兩組對應值．售價x（元/箱）…3638…銷售量y（箱）…128124…(1)直接寫出y與x的函數(shù)關系式：；(2)若某天該批發(fā)商銷售這種蔬菜獲利1920元，則當天這種蔬菜售價為多少元/箱？(3)批發(fā)商搞優(yōu)惠活動，購買一箱這種蔬菜，贈送成本為6元的土豆，這種蔬菜的售價定為多少元/箱時，可使得日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少元？9．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）定義：若一個函數(shù)圖象上存在到坐標軸距離相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等距點”．例如，點和是函數(shù)圖象的“等距點”．(1)判斷函數(shù)的圖象是否存在“等距點”？如果存在，求出“等距點”的坐標；如果不存在，說明理由；(2)設函數(shù)圖象的“等距點”為A、B，函數(shù)圖象的“等距點”為C，若的面積為時，求函數(shù)的表達式；(3)若函數(shù)圖象恰存在2個“等距點”，試求出m的取值范圍．10．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）教師節(jié)前夕，某花店采購了一批鮮花禮盒，成本價為50元/件，物價局要求，銷售該鮮花禮盒獲得的利潤率不得高于．分析教師節(jié)同期的鮮花禮盒銷售情況，發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）（x為整數(shù)）近似的滿足一次函數(shù)關系，數(shù)據(jù)如右表：銷售單價（元/件）607075每天銷售量（件）240180150（注：利潤率=利潤/成本）(1)求y與x的函數(shù)關系式；(2)試確定銷售單價取何值時，花店銷售該鮮花禮盒每天獲得的利潤最大？并求出最大利潤；(3)花店承諾：每銷售一件鮮花禮盒就捐贈元（）給“希望工程”．若扣除捐贈后的日利潤隨著銷售單價的增大而增大，請直接寫出的取值范圍是．11．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考一模）科學研究表明：一般情況下，在一節(jié)45分鐘的課堂中，學生的注意力隨教師講課的時間變化而變化．經(jīng)過實驗分析，學生的注意力呈直線上升，學生的注意力指數(shù)y與時間x（分鐘）滿足，8分鐘以后，學生的注意力指數(shù)y與時間x（分鐘）圖像呈拋物線形，到第16分鐘時學生的注意力指數(shù)y達到最大值92，而后學生的注意力開始分散(1)當x＝8時，注意力指數(shù)y為，8分鐘以后，學生的注意力指數(shù)y與時間x（分鐘）的函數(shù)關系式是；(2)若學生的注意力指數(shù)不低于80，稱為“理想聽課狀態(tài)”，則在一節(jié)45分鐘的課中學生處于“理想聽課狀態(tài)”所持續(xù)的時間有多長？（精確到1分鐘）(3)現(xiàn)有一道數(shù)學壓軸題，教師必須持續(xù)講解24分鐘，為了使效果更好，則該教師上課后從第幾分鐘開始講解這道題？（精確到1分鐘）（參考數(shù)據(jù)：12．（2023·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D，直線交軸于點，交軸于點，拋物線過點，與軸交于點、．(1)求該拋物線的解析式．(2)如圖1，點在拋物線上，橫坐標為．是拋物線上的動點，且在直線上方．若恒成立，求點的橫坐標的取值范圍．(3)如圖2，連接，點為軸上一動點，將繞點逆時針旋轉，得到，若的邊與拋物線有交點，直接寫出的取值范圍．13．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線經(jīng)過和，點是拋物線上的一個動點，且在直線的上方．(1)_________，_________；(2)若面積是面積的3倍，求點的橫坐標；(3)若與相交于點，判斷是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．14．（2023·江蘇揚州·?？级＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，函數(shù)圖象上點坐標為，我們不妨約定：點縱坐標與其橫坐標的差“”叫做點的“雙減差”，而圖象上所有點的“雙減差”的最小值稱為函數(shù)圖象的“智慧數(shù)”，例如：拋物線上有一點，則點的“雙減差”為6，當時，，該拋物線的“智慧數(shù)”為，據(jù)約定，解答下列問題：(1)求函數(shù)圖象的“智慧數(shù)”；(2)若直線的“智慧數(shù)”為，求的值；(3)設拋物線頂點的橫坐標為，且該拋物線的頂點在直線上，當時，拋物線的“智慧數(shù)”是，求拋物線的解析式15．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點（A在B的右側），與y軸交于點C，頂點為D．拋物線對稱軸與x軸交于點F，E是對稱軸上的一個動點．(1)若，求的值；(2)若，求點E的坐標；(3)當取得最小值時，連接并延長交拋物線于點M，請直接寫出的長度．16．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）已知拋物線，拋物線的頂點的為．(1)若函數(shù)圖像經(jīng)過，對稱軸是過且垂直于軸的直線，求的值和頂點坐標；(2)若，，求關于的函數(shù)表達式，并直接寫出的取值范圍；(3)若，直接寫出拋物線的頂點與原點的距離的最小值．17．（2023·江蘇無錫·江蘇省錫山高級中學實驗學校?？家荒＃┠成痰隂Q定購A，B兩種“冰墩墩”紀念品進行銷售．已知每件A種紀念品比每件B種紀念品的進價高30元．用1000元購進A種紀念品的數(shù)量和用400元購進B種紀念品的數(shù)量相同．(1)求A，B兩種紀念品每件的進價分別是多少元？(2)該商場通過市場調查，整理出A型紀念品的售價與數(shù)量的關系如下表，售價x（元/件）銷售量（件）100①當x為何值時，售出A紀念品所獲利潤最大，最大利潤為多少？②該商場購進A，B型紀念品共200件，其中A型紀念品的件數(shù)小于B型紀念品的件數(shù)，但不小于50件．若B型紀念品的售價為每件元時，商場將A，B型紀念品均全部售出后獲得的最大利潤為2800元，直接寫出m的值．18．（2023·江蘇無錫·?？级＃o錫陽山是聞名遐邇的“中國水蜜桃之鄉(xiāng)”，每年6至8月，總會吸引大批游客前來品嘗，當?shù)啬成碳覟榛仞侇櫩?，兩周內將標價為20元/千克的水蜜桃經(jīng)過兩次降價后變?yōu)?6.2元/千克，并且兩次降價的百分率相同．(1)求水蜜桃每次降價的百分率．(2)①從第一次降價的第1天算起，第天（為整數(shù)）的售價、銷量及儲存和損耗費用的相關信息如表所示：時間天售價/（元/千克）第1次降價后的價格第2次降價后的價格銷量/千克儲存和損耗費用/元已知該種水果的進價為8.2元/千克，設銷售該水果第（天）的利潤為（元），求與之間的函數(shù)解析式，并求出第幾天時銷售利潤最大？②在①的條件下，問這14天中有多少天的銷售利潤不低于930元，請直接寫出結果．19．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·校聯(lián)考一模）如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點和點，與y軸交于點C，頂點為點D．(1)求二次函數(shù)表達式和點D的坐標；(2)連接、，求外接圓的半徑；(3)點P為x軸上的一個動點，連接，求的最小值；(4)如圖2，點E為對稱軸右側的拋物線上一點，且點E的縱坐標為，動點M從點C出發(fā)，沿平行于x軸的直線a向右運動，連接，過點M作的垂線b，記直線b與拋物線對稱軸的交點為N，當直線b與直線a重合時運動停止，請直接寫出點N的運動總路程．20．（2023·江蘇泰州·模擬預測）如圖，已知二次函數(shù)的圖像交軸于點、，交軸于點．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若點在軸上，過點作軸的垂線，分別交直線和拋物線于點、．①若點在線段上，求的最大值；②以為斜邊作等腰直角，當點落在拋物線上時，求此時點的坐標．21．（2023·江蘇鹽城·?？级＃┮阎簰佄锞€與x軸交于點和點，與y軸交于點C．(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)如圖（1），點P是第一象限內拋物線上的點，連接，交直線于點D．設點P的橫坐標為m，，求y與m之間的函數(shù)表達式；(3)如圖（2），點Q是拋物線對稱軸上的點，連接、，點M是外接圓的圓心，當?shù)闹底畲髸r，求點M的坐標．22．（2023·江蘇揚州·校考二模）如圖，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側），與軸交于點，連接，，點的坐標是，點是拋物線上的一個動點，其橫坐標為，且．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點是直線上的一個動點，且位于軸的上方，當軸時，作，交拋物線于點（點在點的右側），以，為鄰邊構造矩形，求該矩形周長的最小值；(3)設拋物線在點與點之間的部分（含點和）最高點與最低點的縱坐標之差為．①求關于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍；②當時，直接寫出的面積．23．（2023·江蘇蘇州·?？家荒＃┤鐖D1，拋物線經(jīng)過點，對稱軸為直線與x軸的交于點B．(1)求拋物線L的解析式；(2)點C在拋物線上，若的內心恰好在x軸上，求點C的坐標；(3)如圖2，將拋物線L向上平移個單位長度得到拋物線，拋物線與y軸交于點M，過點M作y軸的垂線交拋物線于另一點N．P為線段上一點．若與相似，并且符合條件的點P恰有2個，求k的值．24．（2023·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點A和點，與y軸交于點C．(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)若點P是拋物線上一點，滿足，求點P的坐標；(3)若點Q在第四象限內，且，點M在y軸正半軸，，線段是否存在最大值，如果存在，直接寫出最大值；如果不存在，請說明理由．25．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖1，拋物線經(jīng)過，且與x軸正半軸交于點B，與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，連接，直線l過點B、C．(1)填空：；直線l的函數(shù)表達式為：．(2)已知直線平行于y軸，交拋物線及x軸于點P、G．當時（如圖2），直線與線段分別相交于E、F兩點，試證明線段總能組成等腰三角形．(3)在（2）的條件下，如果此等腰三角形的頂角是的2倍，請求出此時t的值．26．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學?？寄M預測）定義：對于某個函數(shù)y，若存在實數(shù)m，當其自變量時，其函數(shù)值，則稱m為這個函數(shù)的三中值．在函數(shù)存在三中值時，該函數(shù)的最大三中值與最小三中值之差稱為這個函數(shù)的三中橫距．特別地當函數(shù)只有一個三中值時，其三中橫距記為0．如下圖中的函數(shù)有兩個三中值0和1，那么它的三中橫距等于1．(1)分別判斷函數(shù)，是否有三中值？若有，直接寫出三中橫距；(2)函數(shù)．①若其三中橫距為0，求b的值；②若，求其三中橫距n的取值范圍；(3)記函數(shù)（）的圖象為，將沿翻折后得到的函數(shù)圖象記為，由和兩部