專(zhuān)題15 三角形及全等三角形（共25道）（解析版）

專(zhuān)題15三角形及全等三角形（25道）一、單選題1．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中位線，點(diǎn)在上，．連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．若，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B．7 C． D．8【答案】C【分析】根據(jù)三角形中中位線定理證得，求出，進(jìn)而證得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，即可求出結(jié)論．【詳解】解：是的中位線，，，，，，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形中位線定理和相似三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)；②作直線交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N．連接．則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由作法可得垂直平分，由垂直平分線的性質(zhì)可得，利用等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理求出，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，則是等腰直角三角形，通過(guò)解直角三角形求出和即可．【詳解】解：由作法可得垂直平分，，，．，，，，如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)H，則是等腰直角三角形，，，，，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的作法及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形．3．（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖．在中，，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則（

）

A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】根據(jù)勾股定理可先求得的長(zhǎng)度，根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線與斜邊的數(shù)量關(guān)系，可求得的長(zhǎng)度，根據(jù)三角形的中位線定理可求得答案．【詳解】∵，∴為直角三角形．∴．∵點(diǎn)為的斜邊的中點(diǎn)，∴．∵，，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理、直角三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理，牢記勾股定理、直角三角形的性質(zhì)（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）、三角形的中位線定理（三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半）是解題的關(guān)鍵．4．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，，，，連接DE，設(shè)，，，給出下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③；

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】如圖，過(guò)作于，則四邊形是矩形，則，由，可得，進(jìn)而可判斷①的正誤；由，可得，，，，則，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，進(jìn)而可判斷②的正誤；由勾股定理得，即，則，進(jìn)而可判斷③的正誤．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，則四邊形是矩形，

∴，∵，∴，①正確，故符合要求；∵，∴，，，，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，由勾股定理得，，∵，∴，②正確，故符合要求；由勾股定理得，即，∴，③正確，故符合要求；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．二、填空題5．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中（如圖），點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，則S△ADE：S△ABC＝．【答案】1：4//0.25【分析】根據(jù)題意得出DE是△ABC的中位線，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出DEBC，DE=BC，證出△ADE∽△ABC，相似比為1∶2，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得到答案．【詳解】∵點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)∴DE是△ABC的中位線∴DEBC，DE=BC∴△ADE∽△ABC，相似比為：DE∶BC=1∶2∴S△ADE∶S△ABC=12∶22=1∶4故答案為：1∶4【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵在于利用三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半這一性質(zhì)，證出三角形相似，以及相似比為1∶2，在利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方，解出本題．6．（2023·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)D．交于點(diǎn)E．連接．若，，則的度數(shù)為．

【答案】/度【分析】先在中利用等邊對(duì)等角求出的度數(shù)，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，再利用等邊對(duì)等角得出，最后結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴，又，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，掌握等腰三角形的等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在與中，，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得．【答案】或或【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等可得，再添加邊相等，可利用或判定．【詳解】解：∵在與中，，，∴添加，則；或添加，則；或添加，則；故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．8．（2023·遼寧·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)為．

【答案】//1.5【分析】先根據(jù)證明，推出，再利用勾股定理求出，最后根據(jù)中點(diǎn)的定義即可求的長(zhǎng)．【詳解】解：，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，，又，，，中，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)等，證明是解題的關(guān)鍵．9．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，得到，使，我們稱(chēng)是的“旋補(bǔ)三角形”，的中線叫做的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”．下列結(jié)論正確的有．①與面積相同；②；③若，連接和，則；④若，，，則．【答案】①②③【分析】延長(zhǎng)，并截取，連接，證明，得出，，根據(jù)，，得出，證明，得出，即可判斷①正確；根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得出，根據(jù)，得出，判斷②正確；根據(jù)時(shí)，，得出，，，，根據(jù)四邊形內(nèi)角和得出，求出，判斷③正確；根據(jù)②可知，，根據(jù)勾股定理得出，求出，判斷④錯(cuò)誤．【詳解】解：延長(zhǎng)，并截取，連接，如圖所示：∵，∴，∵，∴，∴，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，即與面積相同，故①正確；∵，，∴是的中位線，∴，∵，∴，故②正確；當(dāng)時(shí)，，∴，，，，∵，∴，即，故③正確；∵，∴根據(jù)②可知，，∵當(dāng)時(shí)，，為中線，∴，∴，∴，∴，故④錯(cuò)誤；綜上分析可知，正確的是①②③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，中位線性質(zhì)，勾股定理，四邊形內(nèi)角和，補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明．10．（2023·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）如圖，，與交于點(diǎn)O，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使．（只填一種情況即可）

【答案】或或【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法處理．【詳解】∵∴，若，則；若，則；若，則；故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定；掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．11．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知，點(diǎn)D在上，以點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)E，連接，則的度數(shù)是度．

【答案】65【分析】根據(jù)題意可得，再根據(jù)等腰三角形兩個(gè)底角相等和三角形內(nèi)角和為180°進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，∴，∵，∴．故答案為：65．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和等知識(shí)點(diǎn)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，若，則°．

【答案】/55度【分析】先由鄰補(bǔ)角求得，，進(jìn)而由平行線的性質(zhì)求得，，最后利用三角形的內(nèi)角和定理即可得解．【詳解】解：∵，，，∴，，∵，∴，，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了鄰補(bǔ)角，平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題13．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在，上，，，相交于點(diǎn)，．求證：．小虎同學(xué)的證明過(guò)程如下：證明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步(1)小虎同學(xué)的證明過(guò)程中，第___________步出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)寫(xiě)出正確的證明過(guò)程．【答案】(1)二(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)證明過(guò)程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性質(zhì)即可求證結(jié)論．【詳解】（1）解：則小虎同學(xué)的證明過(guò)程中，第二步出現(xiàn)錯(cuò)誤，故答案為：二．（2）證明：∵，，在和中，，，，在和中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖．已知銳角，，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在內(nèi)部求作一點(diǎn)．使．且．（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）

【答案】見(jiàn)解析【分析】先作的平分線，再作的垂直平分線，直線交于點(diǎn)，則點(diǎn)滿足條件．【詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求．

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖：解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．15．（2023·陜西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，延長(zhǎng)至點(diǎn)．使．在邊上截取，連接．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】利用三角形內(nèi)角和定理得的度數(shù)，再根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】證明：在中，，，．．．，．在和中，，∴．．【點(diǎn)睛】此題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．16．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，平分，，重足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作、交于點(diǎn)F，G為的中點(diǎn)，連接．求證：．

【答案】證明見(jiàn)解析【分析】如圖，延長(zhǎng)交于，證明，則，證明，則，即，解得，即是的中點(diǎn)，是的中位線，進(jìn)而可得．【詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)交于，

∵平分，，∴，，∵，，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，即，解得，∴是的中點(diǎn)，又∵是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，中位線．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．17．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，．

(1)尺規(guī)作圖：①作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)O；②在直線上截取，使，連接．（保留作圖痕跡）(2)猜想證明：作圖所得的四邊形是否為菱形？并說(shuō)明理由．【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(2)四邊形是菱形，見(jiàn)解析【分析】（1）①根據(jù)垂直平分線的畫(huà)法作圖；②以點(diǎn)O為圓心，為半徑作圓，交于點(diǎn)E，連線即可；（2）根據(jù)菱形的判定定理證明即可．【詳解】（1）①如圖：直線即為所求；②如圖，即為所求；

；（2）四邊形是菱形，理由如下：∵垂直平分，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】此題考查了基本作圖－線段垂直平分線，截取線段，菱形的判定定理，熟練掌握基本作圖方法及菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．18．（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是五邊形的一邊，若垂直平分，垂足為M，且____________，____________，則____________．給出下列信息：①平分；②；③．請(qǐng)從中選擇適當(dāng)信息，將對(duì)應(yīng)的序號(hào)填到橫線上方，使之構(gòu)成真命題，補(bǔ)全圖形，并加以證明．

【答案】②③，①；證明見(jiàn)詳解【分析】根據(jù)題意補(bǔ)全圖形，連接、，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等可得出，在求證三角形全等得出角相等，求得，進(jìn)而得出結(jié)論平分．【詳解】②③，①證明：根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如圖所示：

垂直平分，，（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等），在與中，，，，在與中，，，，又，，即，平分．故答案為：②③①．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形全等的判定，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是本題的解題關(guān)鍵．19．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，，，，垂足分別為，．

(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用“”可證明；（2）先利用全等三角形的性質(zhì)得到，再利用勾股定理計(jì)算出，從而得到的長(zhǎng)，然后計(jì)算即可．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，；（2）解：，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．20．（2023·遼寧營(yíng)口·統(tǒng)考中考真題）如圖．點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線的兩側(cè)，且，．．

(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）直接利用證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，則．【詳解】（1）證明：在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判定條件是解題的關(guān)鍵．21．（2023·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，連接．求證：

(1)；(2)四邊形是平行四邊形．【答案】見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線定理得到，，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)D、E分別為的中點(diǎn)，∴，，∴，在與中，，∴；（2）證明：由（1）證得，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，平行四邊形的判定，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22．（2023·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）將兩個(gè)完全相同的含有角的直角三角板在同一平面內(nèi)按如圖所示位置擺放．點(diǎn)A，E，B，D依次在同一直線上，連結(jié)、．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)已知，當(dāng)四邊形是菱形時(shí)．的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意可知易得，即，依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可證明；（2）如圖，在中，由角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余易得，；由菱形得對(duì)角線平分對(duì)角得，再由三角形外角和易證即可得，最后由求解即可．【詳解】（1）證明：由題意可知，，，，四邊形地平行四邊形；（2）如圖，在中，，，，，，四邊形是菱形，平分，，，，，，，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半和直角三角形銳角互余，三角形外角及等角對(duì)等邊；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)綜合求解．23．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個(gè)已知角．”即：作一個(gè)已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在和上分別取點(diǎn)C和D，使得，連接，以為邊作等邊三角形，則就是的平分線．

請(qǐng)寫(xiě)出平分的依據(jù)：____________；類(lèi)比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：不一定必須是等邊三角形，只需即可．他查閱資料：我國(guó)古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在的邊，上分別取，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點(diǎn)M，N重合，則過(guò)角尺頂點(diǎn)C的射線是的平分線，請(qǐng)說(shuō)明此做法的理由；拓展實(shí)踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實(shí)踐．如圖4，校園的兩條小路和，匯聚形成了一個(gè)岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞