山東省濰坊市壽光市、昌邑市2023-2024學年上學期九年級期中數(shù)學試卷

2023-2024學年山東省濰坊市壽光市、昌邑市九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，每小題選對得4分，共32分，多選、不選、錯選均記0分）1．（4分）若銳角A滿足cosA＝，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．75°2．（4分）方程（x+1）2＝4的解為（）A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣13．（4分）用配方法解方程x2+4x+1＝0時，配方結果正確的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝34．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，∠ABC＝25°，OC的延長線交PA于點P，則∠P的度數(shù)是（）A．25° B．35° C．40° D．50°5．（4分）已知點A（a，b）在第四象限，則關于x的一元二次方程ax2+2x+b＝0的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定6．（4分）如圖，已知所在圓的半徑為5，弦AB的長8，點P是的中點，繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，兩位同學提出了相關結論：小明：點P到AB的距離為2；小剛：點P走過的路線長為．下列論正確的是（）A．小明錯，小剛錯 B．小明對，小剛錯 C．小明錯，小剛對 D．小明對，小剛對7．（4分）現(xiàn)在手機導航極大方便了人們的出行，如圖，嘉琪一家自駕到風景區(qū)C游玩，到達A地后，導航顯示車輛應沿北偏西45°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東60°方向行駛一段距離到達風景區(qū)C，嘉琪發(fā)現(xiàn)風景區(qū)C在A地的北偏東15°方向，那么B，C兩地的距離為（）A．千米 B．千米 C．千米 D．5千米8．（4分）如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，點D是BC邊上一個動點，以AD為直徑作⊙O，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若弦EF長度的最小值為6，則AB的長為（）A． B． C． D．二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）9．（5分）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sinA的是（）A． B． C． D．10．（5分）下列說法正確的是（）A．三點確定一個圓 B．任意三角形有且只有一個內(nèi)切圓 C．平分弦的直徑垂直于這條弦 D．三角形的外心是三邊中線的交點11．（5分）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，則給出另一個方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（）A．﹣1或3 B．1或3 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3（多選）12．（5分）如圖，在銳角△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝45°．以BC為弦的⊙O交AG于點D，OD與BC交于點E，若AB與⊙O相切，則下列結論正確的是（）A．DO∥AB B．△BDE∽△BCD C．OD＝AD D．BE＝DE三、填空題（本大題共4小題，共20分，只要求填寫最后結果，每小題填對得5分）13．（5分）如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為18cm，深為30cm，為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設臺階的起點為A，斜坡的起始點為C，現(xiàn)設計斜坡BC的坡度i＝1：5，則AC的長度是cm．14．（5分）已知m、n是關于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的根，則m2﹣4m﹣2n+2023的值為．15．（5分）已知⊙O的面積為4π，則⊙O的內(nèi)接正六邊形的面積是．16．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸的正半軸上，OA＝1，將OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°到OA1，掃過的面積記為S1，A1A2⊥OA1交x軸于點A2；將OA2繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°到OA3，掃過的面積記為S2，A3A4⊥OA3交y軸于點A4；將OA4繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°到OA5，掃過的面積記為S3，A5A6⊥OA5交x軸于點A6；…；按此規(guī)律，則S2023的值為．四、解答題（本大題共7小題，共78分.解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）（1）計算：2cos45°﹣（sin30°）﹣2+tan30°×tan60°；（2）用配方法解方程：2m（m﹣2）﹣1＝0．18．（12分）已知關于x的方程x2﹣5x﹣m2＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根分別是x1，x2，且x1+2x2＝4，求m的值．19．（10分）為了辦人民滿意的教育，某校大門口建造了供家長休息的涼亭（如圖1）．圖2是抽象出的平面幾何圖形，已知點D，A，E在同一水平線上，測得∠DAC＝80°，∠BCA＝110°，AC＝2米．BC＝2.2米．求涼亭最高點B到地面的距離BN的長．（sin80°?≈0.985，cos80°≈0.174，tan80°＝5.671，≈1.732．結果精確到0.01米）20．（10分）中國是世界上機械發(fā)展最早的國家之一，如圖1是一輛明代的運輸板車，該車沿用宋元制式和包鑲式結構，車身選材厚重、紋理精美，低重心的物理結構兼顧了承重性和安金性．如圖2是板車側面的部分示意圖，AB為車輪⊙O的直徑，過圓心O的車架AC一端點C著地時，地面CD與車輪⊙O相切于點D，連接AD，BD．（1）求證：∠ADC＝∠DBC．（2）圖2，若測得tan∠BDC＝，CD＝2.4m，求車輪⊙O的半徑長．21．（10分）第19屆杭州亞運會于2023年9月23日至10月8日舉行，杭州亞運會秉持“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦會理念，且亞運會的一套吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”．（1）據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某工廠今年8月份共生產(chǎn)5萬套“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”，為增大生產(chǎn)量，該工廠平均每月生產(chǎn)量增長率相同，10月份該工廠生產(chǎn)了7.2萬套吉祥物，求該工廠平均每月生產(chǎn)量增長率是多少？（2）已知某商店吉祥物平均每天可銷售20套，每套盈利40元，在每套吉祥物降價幅度不超過10元的情況下，每下降2元，則每天可多售10套．如果每天要盈利1440元，則每套吉祥物應降價多少元？22．（12分）請閱讀下面材料，并根據(jù)提供的解題思路求解問題：如圖1，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點D，N和E，C，DN和EC相交于點P，求cos∠CPN的值．【解題思路】要求一個銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構造出）一個直角三角形．觀察發(fā)現(xiàn)問題中∠CPN不在直角三角形中，我們可以利用網(wǎng)格畫平行線等方法解獲此類問題，比如連接格點M，N，可發(fā)現(xiàn)MN∥EC，則∠DNM＝∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中，進而求出答案．【解決問題】（1）根據(jù)上述方法歸納，請求圖1中cos∠CPN的值；（2）如圖2，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點P，求sin∠CPN的值．23．（14分）如圖，AB，CD是⊙O的兩條直徑，AB⊥CD，點E是劣弧BD上一動點（點E不與B，D重合）．連接AE，CE，分別交OD，OB于點F，G，連接AC．設⊙O的半徑為r，∠OAF＝α．（1）∠OCG＝（用含a的代數(shù)式表示）；（2）當α＝30°時，求；（3）判斷AG?CF是否為定值．若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

2023-2024學年山東省濰坊市壽光市、昌邑市九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，每小題選對得4分，共32分，多選、不選、錯選均記0分）1．（4分）若銳角A滿足cosA＝，則∠A的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值進而得出答案．【解答】解：∵cosA＝，∴∠A＝30°．故選：A．【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵．2．（4分）方程（x+1）2＝4的解為（）A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝3 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝﹣1【分析】首先直接開平方可得一元一次方程x+1＝±2，再解即可．【解答】解：（x+1）2＝4，x+1＝±2，則x+1＝2，x+1＝﹣2，∴x1＝1，x2＝﹣3，故選：A．【點評】此題主要考查了直接開平方法解一元二次方程，關鍵是掌握形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±．3．（4分）用配方法解方程x2+4x+1＝0時，配方結果正確的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結果，即可作出判斷．【解答】解：方程x2+4x+1＝0，整理得：x2+4x＝﹣1，配方得：（x+2）2＝3．故選：D．【點評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．4．（4分）如圖，AB是⊙O的直徑，PA與⊙O相切于點A，∠ABC＝25°，OC的延長線交PA于點P，則∠P的度數(shù)是（）A．25° B．35° C．40° D．50°【分析】由圓周角定理可求得∠AOP的度數(shù)，由切線的性質(zhì)可知∠PAO＝90°，則可求得∠P．【解答】解：∵∠ABC＝25°，∴∠AOP＝2∠ABC＝50°，∵PA是⊙O的切線，∴PA⊥AB，∴∠PAO＝90°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝90°﹣50°＝40°，故選：C．【點評】本題主要考查切線的性質(zhì)及圓周角定理，根據(jù)圓周角定理和切線的性質(zhì)分別求得∠AOP和∠PAO的度數(shù)是解題的關鍵．5．（4分）已知點A（a，b）在第四象限，則關于x的一元二次方程ax2+2x+b＝0的根的情況是（）A．沒有實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．有兩個不相等的實數(shù)根 D．無法確定【分析】先根據(jù)點A的位置，判斷a，b的正負，從而判斷ab的正負，然后求出已知方程根的判別式，進行判斷即可．【解答】解：∵點A（a，b）在第四象限，∴a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴﹣4ab＞0，關于x的一元二次方程ax2+2x+b＝0，Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4ab＝4﹣4ab＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選：C．【點評】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解題關鍵是熟練掌握利用根的判別式判斷方程解的情況．6．（4分）如圖，已知所在圓的半徑為5，弦AB的長8，點P是的中點，繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，兩位同學提出了相關結論：小明：點P到AB的距離為2；小剛：點P走過的路線長為．下列論正確的是（）A．小明錯，小剛錯 B．小明對，小剛錯 C．小明錯，小剛對 D．小明對，小剛對【分析】設所在圓的圓心為O，連接OP、OA，AP'，AP，AB'，根據(jù)已知的半徑為5，所對的弦AB長為8，點P是的中點，利用垂徑定理可得AC＝4，PO⊥AB，再根據(jù)勾股定理可得AP的長，利用弧長公式即可求出點P的運動路徑長．【解答】解：設所在圓的圓心為O，連接OP、OA，AP'，AP，AB'，∵點P是的中點，∴OP⊥AB，AM＝BM＝AB＝4，∴OM＝＝3，∴PM＝5﹣3＝2，∴點P到AB的距離為2，故小明對，∵圓O半徑為5，所對的弦AB長為8，根據(jù)垂徑定理，得AC＝AB＝4，PO⊥AB，∴OC＝＝3，∴PC＝OP﹣OC＝5﹣3＝2，∴AP＝＝2，∵將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到，∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°，∴LPP′＝＝π．則在該旋轉(zhuǎn)過程中，點P的運動路徑長是π，故小剛對．故選：D．【點評】本題考查了軌跡、垂徑定理、勾股定理、圓心角、弧、弦的關系、弧長計算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解決本題的關鍵是綜合運用以上知識．7．（4分）現(xiàn)在手機導航極大方便了人們的出行，如圖，嘉琪一家自駕到風景區(qū)C游玩，到達A地后，導航顯示車輛應沿北偏西45°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東60°方向行駛一段距離到達風景區(qū)C，嘉琪發(fā)現(xiàn)風景區(qū)C在A地的北偏東15°方向，那么B，C兩地的距離為（）A．千米 B．千米 C．千米 D．5千米【分析】圖所示，過點B作BD⊥AC于D，由題意得，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠C＝45°，再求出∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C，得到千米，CD＝BD，利用勾股定理求出千米，即可利用勾股定理求出BC的長．【解答】解：如圖所示，過點B作BD⊥AC于D，由題意得，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝45°，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠BDA＝90°，∴∠ABD＝30°，∠DBC＝45°＝∠C，∴（千米），CD＝BD，∴（千米），∴（千米），故選：A．【點評】本題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的計算，方位角的表示，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．8．（4分）如圖，△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，點D是BC邊上一個動點，以AD為直徑作⊙O，分別交AB，AC于點E，F(xiàn)，若弦EF長度的最小值為6，則AB的長為（）A． B． C． D．【分析】首先連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，可求得半徑OE的長，又由當AD為△ABC的邊BC上的高時，AD最大時為直徑，OE最大，OH最大，EF最小，可求得AD的長，由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得AB的長．【解答】解：如圖，連接OE，OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H，∴EH＝FH＝EF＝×6＝3，在△ADB中，∠ABC＝60°，∠ACB＝75°，∴∠BAC＝45°，∴∠EOF＝2∠BAC＝90°，∵OE＝OF，∴∠EOH＝∠EOF＝45°，∴OE＝＝3，∵當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，即OE最小，則EF最小，∴AD＝2OE＝6，∴AB＝＝＝4．故選：B．【點評】此題考查了圓周角定理、勾股定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）9．（5分）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sinA的是（）A． B． C． D．【分析】利用銳角三角函數(shù)定義判斷即可．【解答】解：在Rt△ABC中，sinA＝，在Rt△ACD中，sinA＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sinA＝．故選：B．【點評】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關鍵．10．（5分）下列說法正確的是（）A．三點確定一個圓 B．任意三角形有且只有一個內(nèi)切圓 C．平分弦的直徑垂直于這條弦 D．三角形的外心是三邊中線的交點【分析】根據(jù)三角形的外接圓及垂徑定理可得出答案．【解答】解：A．不在同一條直線上的三個點確定一個圓，原說法錯誤，不符合題意；B．任意三角形有且只有一個內(nèi)切圓，原說法正確，符合題意；C．平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，原說法錯誤，不符合題意；D．三角形的外心是三邊垂直平分線的交點，原說法正確，符合題意；故選：B．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，垂徑定理，確定圓的條件，熟記概念及性質(zhì)是解題關鍵．11．（5分）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，則給出另一個方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（）A．﹣1或3 B．1或3 C．﹣1或﹣3 D．1或﹣3【分析】先根據(jù)已知方程和方程的解，從而得到方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0中的2x+3相當于第1個方程中的x，從而得到2x+3＝1和2x+3＝﹣3，解方程即可．【解答】解：∵方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，∴方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，2x+3＝1，2x+3＝﹣3，2x＝﹣2，2x＝﹣6，x1＝﹣1，x2＝﹣3，故選：C．【點評】本題主要考查了一元二次方程的解，解題關鍵是熟練掌握利用換元法解一元二次方程．（多選）12．（5分）如圖，在銳角△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝45°．以BC為弦的⊙O交AG于點D，OD與BC交于點E，若AB與⊙O相切，則下列結論正確的是（）A．DO∥AB B．△BDE∽△BCD C．OD＝AD D．BE＝DE【分析】由切線的性質(zhì)得∠ABO＝90°，而∠BOD＝2∠ACB＝90°，所以∠BOD+∠ABO＝180°，則DO∥AB，可判斷A正確；由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠ODB＝∠OBD＝45°，所以∠EDB＝∠DCB＝45°，而∠EBD＝∠DBC，則△BDE∽△BCD，可判斷B正確；作DF⊥AB于點F，則DF＝OB＝OD，由DF＜AD，得OD＜AD，可判斷C錯誤；連接OC，可證明△COD是等邊三角形，則OD＝CD，所以BD＝OD＝CD，由△BDE∽△BCD，得＝，于是得＝＝，所以BE＝DE，可判斷D正確，于是得到問題的答案．【解答】解：∵AB與⊙O相切于點B，∴AB⊥OB，∴∠ABO＝90°，∵∠ACB＝45°，∴∠BOD＝2∠ACB＝90°，∴∠BOD+∠ABO＝180°，∴DO∥AB，故A正確；∵OB＝OD，∠BOD＝90°，∴∠ODB＝∠OBD＝45°，∴∠EDB＝∠DCB＝45°，∵∠EBD＝∠DBC，∴△BDE∽△BCD，故B正確；作DF⊥AB于點F，則DF＝OB＝OD，∵DF＜AD，∴OD＜AD，故C錯誤；連接OC，則OC＝OD，∵∠ODC＝∠A＝60°，∴△COD是等邊三角形，∴OD＝CD，∴BD＝＝＝OD＝CD，∵△BDE∽△BCD，∴＝，∴＝＝，∴BE＝DE，故D正確，故選：ABD．【點評】此題重點考查切線的性質(zhì)、勾股定理、平行線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．三、填空題（本大題共4小題，共20分，只要求填寫最后結果，每小題填對得5分）13．（5分）如圖，某公園入口處原有三級臺階，每級臺階高為18cm，深為30cm，為方便殘疾人士，擬將臺階改為斜坡，設臺階的起點為A，斜坡的起始點為C，現(xiàn)設計斜坡BC的坡度i＝1：5，則AC的長度是210cm．【分析】首先過點B作BD⊥AC于D，根據(jù)題意即可求得AD與BD的長，然后由斜坡BC的坡度i＝1：5，求得CD的長，繼而求得答案．【解答】解：過點B作BD⊥AC于D，根據(jù)題意得：AD＝2×30＝60（cm），BD＝18×3＝54（cm），∵斜坡BC的坡度i＝1：5，∴BD：CD＝1：5，∴CD＝5BD＝5×54＝270（cm），∴AC＝CD﹣AD＝270﹣60＝210（cm）．∴AC的長度是210cm．故答案為：210．【點評】此題考查了解直角三角形的應用：坡度問題．此題難度適中，注意掌握坡度的定義，注意數(shù)形結合思想的應用與輔助線的作法．14．（5分）已知m、n是關于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的根，則m2﹣4m﹣2n+2023的值為2020．【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關系得出m2﹣2m＝1，m+n＝2，將原式化簡求值即可．【解答】解：∵m、n是關于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的根，∴m2﹣2m＝1，m+n＝2，∴m2﹣4m﹣2n+2023＝m2﹣2m﹣2（m+n）+2023＝1﹣2×2+2023＝2020．故答案為：2020．【點評】本題主要考查一元二次方程的根及根與系數(shù)的關系以及一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題關鍵．15．（5分）已知⊙O的面積為4π，則⊙O的內(nèi)接正六邊形的面積是6．【分析】過點O作OH⊥AB于點H，連接OA，OB，先求出⊙O的半徑，又由圓的內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，即可求得答案．【解答】解：∵⊙O的面積為4π，∴⊙O的半徑為2，過點O作OH⊥AB于點H，連接OA，OB，∴AH＝AB，∵∠AOB＝×360°＝60°，OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形，∴AB＝OA＝2，∴AH＝OA＝1，∴OH＝AH＝，∴S正六邊形ABCDEF＝6S△OAB＝6××2×＝6，故答案為：6．【點評】本題考查的是正多邊形和圓，熟知正六邊形的半徑與邊長相等是解答此題的關鍵．16．（5分）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸的正半軸上，OA＝1，將OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°到OA1，掃過的面積記為S1，A1A2⊥OA1交x軸于點A2；將OA2繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°到OA3，掃過的面積記為S2，A3A4⊥OA3交y軸于點A4；將OA4繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°到OA5，掃過的面積記為S3，A5A6⊥OA5交x軸于點A6；…；按此規(guī)律，則S2023的值為22019π．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到△A1OA2、△A3OA4、△A5OA6、?、都是等腰直角三角形，分別求出，OA4＝2，，利用扇形面積求出S1，S2，S3，S4，抽象概括出相應的數(shù)字規(guī)律，進而得出結論即可．【解答】解：將OA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)45°到OA1，A1A2⊥OA1交x軸于點A2∴∠AOA1＝45°，OA＝OA1＝1，∠OA1A2＝90°，∴∠A1OA2＝90°﹣∠AOA1＝45°，∴∠OA2A1＝90°﹣∠A1OA2＝45°，∴△A1OA2是等腰直角三角形，∴A1A2＝OA1＝1，∴；同理可得：△A3OA4、△A5OA6、?、都是等腰直角三角形，OA4＝2，…，∴，，，，?；∴，∴，故答案為：22019π．【點評】本題考查坐標與旋轉(zhuǎn)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積．熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，扇形的面積公式，抽象概括出相應的數(shù)字規(guī)律，是解題的關鍵．四、解答題（本大題共7小題，共78分.解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（10分）（1）計算：2cos45°﹣（sin30°）﹣2+tan30°×tan60°；（2）用配方法解方程：2m（m﹣2）﹣1＝0．【分析】（1）將特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可；（2）利用配方法得到（m﹣1）2＝，然后利用直接開平方法解方程．【解答】解：（1）原式＝2×﹣（）﹣2+×＝﹣4+1＝﹣3；（2）原方程化為m2﹣2m＝，配方，得m2﹣2m+1＝+1，即（m﹣1）2＝，∴m﹣1＝±，∴m1＝1+，m2＝1﹣．【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值和解一元二次方程﹣配方法，解答本題的關鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值和配方法的步驟．18．（12分）已知關于x的方程x2﹣5x﹣m2＝0．（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根分別是x1，x2，且x1+2x2＝4，求m的值．【分析】（1）證明判別式的值大于0即可；（2）首先求出x2＝﹣1，再代入方程求出m即可．【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣m2）＝25+4m2＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）解：∵方程的兩個實數(shù)根分別是x1，x2，∴x1+x2＝5，∵x1+2x2＝4，∴5+x2＝4，∴x2＝﹣1，∴1+5﹣m2＝0，∴m2＝6，∴m＝±．【點評】本題考查根與系數(shù)關系，根的判別式等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．19．（10分）為了辦人民滿意的教育，某校大門口建造了供家長休息的涼亭（如圖1）．圖2是抽象出的平面幾何圖形，已知點D，A，E在同一水平線上，測得∠DAC＝80°，∠BCA＝110°，AC＝2米．BC＝2.2米．求涼亭最高點B到地面的距離BN的長．（sin80°?≈0.985，cos80°≈0.174，tan80°＝5.671，≈1.732．結果精確到0.01米）【分析】過點C作CG⊥DE于點G，過點B作BF⊥GC交GC的延長線于點F，在Rt△ACG與Rt△BFC中，分別通過解直角三角形求出CG與FC的長即可求解．【解答】解：如圖，過點C作CG⊥DE于點G，過點B作BF⊥GC交GC的延長線于點F，則GF＝BN，∵sin∠DAC＝＝sin80°≈0.985，AC＝2米，∴CG＝2×0.985＝1.97（米），∵∠DAC＝80°，∴∠ACG＝10°，又∵∠BCA＝110°，∴∠BCF＝60°，又∵BC＝2.2米，∴FC＝BC?cos60°＝2.2×＝1.1（米），∴GF＝GC+CF＝1.97+1.1＝3.07（米）．∴涼亭最高點B到地面的距離BN的長約為3.07米．【點評】本題考查了解直角三角形的應用，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．20．（10分）中國是世界上機械發(fā)展最早的國家之一，如圖1是一輛明代的運輸板車，該車沿用宋元制式和包鑲式結構，車身選材厚重、紋理精美，低重心的物理結構兼顧了承重性和安金性．如圖2是板車側面的部分示意圖，AB為車輪⊙O的直徑，過圓心O的車架AC一端點C著地時，地面CD與車輪⊙O相切于點D，連接AD，BD．（1）求證：∠ADC＝∠DBC．（2）圖2，若測得tan∠BDC＝，CD＝2.4m，求車輪⊙O的半徑長．【分析】（1）由直徑所對的角成90°，CD是⊙O的切線等條件，可證；（2）圓心角所對的弧度等于圓周角的兩倍，運用二倍角公式可求．【解答】（1）證明：∵AB為車輪⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∠ADO+∠ODB＝90°，∵地面CD與車輪⊙O相切于點D，∴OD⊥CD，∠ODC＝90，∠ODB+∠BDC＝90°，∴∠ADO＝∠BDC，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO＝∠BDC，∵∠DBC＝∠A+∠ADB＝∠A+∠ADO+∠ODB，∴∠DBC＝∠ADO+∠ODB+∠BDC，∠ADC＝∠ADC+∠ODB+∠BDC，∴∠DBC＝∠ADC；（2）解：∵∠BDC＝∠A，∴tan∠A＝tan∠BDC＝，∵∠DOB＝2∠A，∴tan∠DOB＝tan2∠A＝＝，∵CD＝2.4m，∴在Rt△ODC中，OD＝＝0.54m，∴車輪⊙O的半徑長0.54m．【點評】本題考查了解直角三角形，關鍵是對圓的條件熟練運用．21．（10分）第19屆杭州亞運會于2023年9月23日至10月8日舉行，杭州亞運會秉持“綠色、智能、節(jié)儉、文明”的辦會理念，且亞運會的一套吉祥物是“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”．（1）據(jù)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，某工廠今年8月份共生產(chǎn)5萬套“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”，為增大生產(chǎn)量，該工廠平均每月生產(chǎn)量增長率相同，10月份該工廠生產(chǎn)了7.2萬套吉祥物，求該工廠平均每月生產(chǎn)量增長率是多少？（2）已知某商店吉祥物平均每天可銷售20套，每套盈利40元，在每套吉祥物降價幅度不超過10元的情況下，每下降2元，則每天可多售10套．如果每天要盈利1440元，則每套吉祥物應降價多少元？【分析】（1）設該工廠平均每月生產(chǎn)量增長率為x，根據(jù)某工廠今年8月份共生產(chǎn)5萬套“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”，10月份該工廠生產(chǎn)了7.2萬套吉祥物，列出一元二次方程，解之取其正值即可；（2）設每套吉祥物應降價a元，則每天銷售量為（20+5a）套，每套盈利為（40﹣a）元，根據(jù)每天要盈利1440元，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．【解答】解：（1）設該工廠平均每月生產(chǎn)量增長率是x，由題意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去），答：該工廠平均每月生產(chǎn)量增長率是20%；（2）設每套吉祥物應降價a元（0≤a≤10），則每天銷售量為（20+5a）套，每套盈利為（40﹣a）元，由題意得：（20+5a）（40﹣a）＝1440，整理得：a2﹣36a+128＝0，解得：a1＝4，a2＝32（不符合題意，舍去），答：每套吉祥物應降價4元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．22．（12分）請閱讀下面材料，并根據(jù)提供的解題思路求解問題：如圖1，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點D，N和E，C，DN和EC相交于點P，求cos∠CPN的值．【解題思路】要求一個銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構造出）一個直角三角形．觀察發(fā)現(xiàn)問題中∠CPN不在直角三角形中，我們可以利用網(wǎng)格畫平行線等方法解獲此類問題，比如連接格點M，N，可發(fā)現(xiàn)MN∥EC，則∠DNM＝∠CPN，連接DM，那么∠CPN就變換到Rt△DMN中，進而求出答案．【解決問題】（1）根據(jù)上述方法歸納，請求圖1中cos∠CPN的值；（2）如圖2，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，AN與CM相交于點P，求sin∠CPN的值．【分析】（1）連接格點M，N，D，先利