2024年中考數(shù)學常見幾何模型全歸納之模型解讀與提分精練（全國通用）：專題06 三角形中的導角模型-平行線+拐點模型（原卷版）

專題06三角形中的導角模型-平行線+拐點模型近年來各地中考中常出現(xiàn)一些幾何導角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。平行線+拐點模型在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內(nèi)容，熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就平行線+拐點模型（豬蹄模型(M型)、鉛筆頭模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構(gòu)成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉(zhuǎn)化。模型1：豬蹄模型（M型）【模型解讀】圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.例1．（2022·河南·統(tǒng)考二模）如圖，，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．例2．（2023春·安徽蚌埠·九年級校聯(lián)考期中）太陽灶、衛(wèi)星信號接收鍋、探照燈及其他很多燈具都與拋物線有關(guān)．如圖，從點O照射到拋物線上的光線，反射后沿著與平行的方向射出，已知圖中，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．例3．（2023春·四川瀘州·七年級校考期末）如圖所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，應為（

）A． B． C． D．例4．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預測）北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮，谷愛凌的勵志故事也激勵著我們青少年，很多同學紛紛來到滑雪場，想親身感受一下奧運健兒在賽場上風馳電掣的感覺，但是第一次走進滑雪場的你，如果不想體驗人仰馬翻的感覺，學會正確的滑雪姿勢是最重要的，正確的滑雪姿勢是上身挺直略前傾，與小腿平行，使腳的根部處于微微受力的狀態(tài)，如圖所示，，當人腳與地面的夾角時，求出此時上身與水平線的夾角的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例5．（2023春·河南駐馬店·九年級專題練習）已知，，，若，則為（

）A．23° B．33° C．44° D．46°例6．（2022·浙江七年級期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過，木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，那么請你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學問題，我們不妨取名叫“木尺斷口問題”．（1）如圖（2）所示，已知，請問，，有何關(guān)系并說明理由；（2）如圖（3）所示，已知，請問，，又有何關(guān)系并說明理由；（3）如圖（4）所示，已知，請問與有何關(guān)系并說明理由．模型2：鉛筆頭模型圖1圖2圖3如圖1，①已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，結(jié)論：AM∥BN.如圖2，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如圖3，已知：AM∥BN，結(jié)論：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.例1．（2023·廣東·統(tǒng)考二模）如圖所示，已知，那么（

）

A．180° B．270° C．360° D．540°例2．（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預測）如圖，這是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行若，，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．例3．（2023·河南三門峽·校聯(lián)考一模）如圖，圖1是某小區(qū)車庫門口的“曲臂直桿道閘”，可抽象為圖2所示的數(shù)學圖形．已知垂直地面上的直線于點，當車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的段將繞點緩慢向上抬高，段則一直保持水平狀態(tài)上升（即始終平行于）．在該運動過程中，當時，的度數(shù)是（

）A． B． C． D．例4．（2023春·新疆·七年級?？茧A段練習）如圖，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝°．

例5．（2022春·河北保定·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，則，則等于（用含的式子表示）．模型3：牛角模型圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.例1．（2023·安徽滁州·校聯(lián)考二模）如圖，若，則（

）A． B． C． D．例2．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）如圖，若，則∠1+∠3-∠2的度數(shù)為例3．（2022·湖北洪山·七年級期中）如圖，已知AB∥CD，P為直線AB，CD外一點，BF平分∠ABP，DE平分∠CDP，BF的反向延長線交DE于點E，若∠FED＝a，試用a表示∠P為______．例4．（2023春·廣東深圳·九年級校校考期中）已知直線，點為直線，所確定的平面內(nèi)的一點，(1)問題提出：如圖1，，．求的度數(shù)：(2)問題遷移：如圖2，寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(3)問題應用：如圖3，，，，求的值．例5．（2023·余干縣八年級期末）已知直線AB∥CD，（1）如圖1，直接寫出∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為；（2）如圖2，∠BME與∠CNE的角平分線所在的直線相交于點P，試探究∠P與∠E之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，∠ABM=∠MBE，∠CDN=∠NDE，直線MB、ND交于點F，則=．模型4：羊角模型圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.例1．（2023春·上海·七年級專題練習）如圖所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝20°，則∠EAB的度數(shù)為．例2．（2022·江蘇七年級期中）如圖所示，已知AB∥CD，∠A=50°，∠C=∠E．則∠C等于（

）A．20° B．25° C．30° D．40°例3．（2023春·浙江·七年級專題練習）已知AB//CD，求證：∠B＝∠E＋∠D例4．（2023·河南·統(tǒng)考三模）如圖，已知，，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例5．（2023·河北滄州·校考模擬預測）如圖，，，，，點是上一點．

（1）的度數(shù)為；（2）若．則與（填“平行”或“不平行”）．模型5：蛇形模型（“5”字模型）基本模型：如圖，AB∥CD，結(jié)論：∠1+∠3－∠2=180°.圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結(jié)論：.如圖2，已知：AB∥DE，結(jié)論：.例1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考三模）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過B、C、D三點，拐彎后與原來方向相同，如圖，若，則等于（

）A．50° B．40° C．30° D．20°例2．（2023·湖南長沙·九年級校聯(lián)考期中）如圖，若，，，則的度數(shù)是（）A．115° B．130° C．140° D．150°例3．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，，，，則的度數(shù)是（）

A． B． C． D．例4．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，，，平分，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例5．（2023·江西·九年級?？茧A段練習）如圖于點D，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使，則的最小值為．課后專項訓練1．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，已知：，，求證：．在證明該結(jié)論時，需添加輔助線，則以下關(guān)于輔助線的作法不正確的是（

）

A．延長交的延長線于點B．連接C．分別作，的平分線，D．過點作（點在點左側(cè)），過點作（點在點左側(cè)）3．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）如圖是路政工程車的工作示意圖，工作籃底部與支撐平臺平行．若，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．4．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，兩直線、平行，則（

）．A． B． C． D．5．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，若，，那么（

）A． B． C． D．6．（2022·安徽蕪湖·七年級期中）如圖，AB∥CD，BF,DF分別平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F與∠ABE互補，則∠F的度數(shù)為A．30° B．35° C．36° D．45°7．（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考三模）如圖是一款手推車的平面示意圖，其中，，，則的度數(shù)為（

）A．56 B．66 C．98 D．1048．（2023春·重慶江津·七年級校聯(lián)考期中）如圖，ABCD，∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，設(shè)∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，則α，β，γ的數(shù)量關(guān)系是（）A．4β﹣α+γ＝360°B．3β﹣α+γ＝360°C．4β﹣α﹣γ＝360°D．3β﹣2α﹣γ＝360°9．（2022·江蘇七年級期末）如圖，AB∥CD，則∠1+∠3－∠2的度數(shù)等于__________．10．（2023·湖南長沙·校聯(lián)考二模）如圖所示，，，，則度．11．（2022·四川成都·七年級期末）已知直線，射線、分別平分，，兩射線反向延長線交于點，請寫出，之間的數(shù)量關(guān)系：________．12．（2022·黑龍江·七年級月考）如圖，，E是上的點，過點E作，若，平分，，，則_______．13．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，已知，，求的度數(shù)．14．（2023春·重慶南岸·九年級?？计谥校┰跀?shù)學課上老師提出了如下問題：如圖，，當與滿足什么關(guān)系時，?小明認為時，他解答這個問題的思路和步驟如下，請根據(jù)小明的思路完成下面的作圖與填空：解：用直尺和圓規(guī)，在的右側(cè)找一點M，使（只保留作圖痕跡）．∵，∴①_____________∵∴②_________，∵，∴③__________，∴④_____________∴．所以滿足的關(guān)系為：當時，．15．（2023春·河北廊坊·七年級校考階段練習）（1）如圖（1），猜想與的關(guān)系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知，猜想圖中的與的關(guān)系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知，猜想圖中的與的關(guān)系，不需要說明理由．

16．（2023秋·廣東江門·八年級校考階段練習）（1）如圖①，如果，求證：．（2）如圖②，，根據(jù)上面的推理方法，直接寫出___________．（3）如圖③，，若，則___________（用x、y、z表示）．17．（2023春·山東淄博·九年級?？计谥校┤鐖D，，點E為兩直線之間的一點．(1)如圖1，若，，則；如圖1，若，，則；(2)如圖2，試說明，；(3)如圖3，若的平分線與的平分線相交于點F，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．18．（2022·湖南株洲市八年級期末）已知直線a∥b，直線EF分別與直線a，b相交于點E，F(xiàn)，點A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點P是直線EF上一動點（不與點E，F(xiàn)重合），設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．（1）如圖1，當點P在線段EF上運動時，試說明∠1+∠3=∠2；（提示：過點P作PM∥a）（2）當點P在線段EF外運動時有兩種情況，①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明．②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系（不要求證明）．19．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·七年級校考期中）問題探究：如下面四個圖形中，ABCD．（1）分別說出圖1、圖2、圖3、圖4中，∠1與∠2、∠3三者之間的關(guān)系．（2）請你從中任選一個加以說明理由．解決問題：（3）如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于O點的燈泡發(fā)出兩束光線OB、OC經(jīng)燈碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°．20．（2023春·湖北黃岡·七年級?？计谥校┤鐖D，已知：點A、C、B不在同一條直線，

(1)求證：：(2)如圖②，分別為的平分線所在直線，試探究與的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖③，在（2）的前提下，且有，直線交于點P，，直接寫出．21．（2023春·廣東·七年級專題練習）（1）如圖1，，，，直接寫出的度數(shù)．（2）如圖2，，點為直線間的一點，平分，平分，寫出與之間的關(guān)系并說明理由．（3）如圖3，與相交于點，點為內(nèi)一點，平分，平分，若，，直接寫出的度數(shù)．22．（2023春·福建三明·七年級?？计谥校┨剿鳎盒∶髟谘芯繑?shù)學問題：已知，AB和CD都不經(jīng)過點P，探索與、的數(shù)量關(guān)系．發(fā)現(xiàn)：在圖1中，；如圖5小明是這樣證明的：過點Р作∴___________∵，．∴__________∴∴即（1）為小明的證明填上推理的依據(jù)；（2）理解：①在圖2中，與、的數(shù)量關(guān)系為_____________________；②在圖3中，若，，則的度數(shù)為_________________；（3）拓展：在圖4中，探究與、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．23．（2023春·山東·七年級專題練習）如圖1，直線ABCD，點P在兩平行線之間，