人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期中測(cè)試題及答案（一）

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期中測(cè)試題（一）一、選擇題（在各小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上指定的位置填涂符合要求的選項(xiàng)前面的字母代號(hào).本大題共15小題，每題3分，計(jì)45分）1．（3分）若正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，2），則這個(gè)圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）2．（3分）直線y=3x+6與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A．6 B．12 C．3 D．243．（3分）直角三角形兩銳角的平分線相交得到的鈍角為（）A．150o B．135o C．120o D．120o或135o4．（3分）已知正方形ABCD中，A（﹣3，1），B（1，1），C（1，﹣3），則D點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，1） C．（﹣3，3） D．（1，3）5．（3分）某公司準(zhǔn)備與汽車租憑公司簽訂租車合同，以每月用車路程xkm計(jì)算，甲汽車租憑公司每月收取的租賃費(fèi)為y1元，乙汽車租憑公司每月收取的租賃費(fèi)為y2元，若y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示（其中x=0對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為月固定租賃費(fèi)），則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)月用車路程為2000km時(shí)，兩家汽車租賃公司租賃費(fèi)用相同B．當(dāng)月用車路程為2300km時(shí)，租賃乙汽車租賃公司車比較合算C．除去月固定租賃費(fèi)，甲租賃公司每公里收取的費(fèi)用比乙公司多D．甲租賃公司每月的固定租賃費(fèi)高于乙租賃公司6．（3分）若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，則第三邊長(zhǎng)可能是（）A．2 B．3 C．5 D．117．（3分）甲骨文是我國(guó)的一種古代文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中，不是軸對(duì)稱的是（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，則外角∠ABD的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．130° D．140°10．（3分）如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P，則點(diǎn)P有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)11．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點(diǎn)D，連接AD，下列結(jié)論中不正確的是（）A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．∠DAC=55°12．（3分）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E，D兩點(diǎn)，EC=4，△ABC的周長(zhǎng)為23，則△ABD的周長(zhǎng)為（）A．13 B．15 C．17 D．1913．（3分）如圖，直線MN是四邊形AMBN的對(duì)稱軸，點(diǎn)P是直線MN上的點(diǎn)，下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM14．（3分）如圖，AD是△ABC的角平分線，則AB：AC等于（）A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC15．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于點(diǎn)R，PS⊥AC于點(diǎn)S，PR=PS，則下列結(jié)論：①點(diǎn)P在∠A的角平分線上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二．解答題（共9小題）16．（6分）如圖，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠BAC=80°，∠ABC=70°．求∠BAD，∠AOF．17．（6分）如圖，AB=AD，CB=CD，求證：AC平分∠BAD．18．（7分）如圖，已知AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，求證：BC=DE．19．（7分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，DE、DF分別垂直AB、AC于點(diǎn)E和F．求證：DE=DF．20．（8分）如圖，一艘輪船以18海里/時(shí)的速度由西向東航行，在A處測(cè)得小島C在北偏東75°方向上，兩小時(shí)后，輪船在B處測(cè)得小島C在北偏東60°方向上，在小島周圍15海里處有暗礁，若輪船仍然按18海里/時(shí)的速度向東航行，請(qǐng)問是否有觸礁危險(xiǎn)？并說明理由．21．（8分）如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC，分別以BC和AC為直角邊向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE，AE與BD相交于點(diǎn)F，連接CF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G．求證：CG垂直平分AB．22．（10分）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)F是AC邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使BF=DF，若CD=CF，求證：（1）點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)；（2）過點(diǎn)F作FE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)畫出圖形并證明BD=6CE．23．（11分）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．（1）當(dāng)∠BQD=30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)說明理由．24．（12分）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且始終保持AD=CE．連接DE、DF、EF．（1）求證：△ADF≌△CEF；（2）試證明△DFE是等腰直角三角形．參考答案與試題解析一、選擇題（在各小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上指定的位置填涂符合要求的選項(xiàng)前面的字母代號(hào).本大題共15小題，每題3分，計(jì)45分）1．（3分）若正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，2），則這個(gè)圖象必經(jīng)過點(diǎn)（）A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，﹣1） D．（1，﹣2）【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式．【專題】待定系數(shù)法．【分析】求出函數(shù)解析式，然后根據(jù)正比例函數(shù)的定義用代入法計(jì)算．【解答】解：設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=kx（k≠0），因?yàn)檎壤瘮?shù)y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，2），所以2=﹣k，解得：k=﹣2，所以y=﹣2x，把這四個(gè)選項(xiàng)中的點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=﹣2x中，等號(hào)成立的點(diǎn)就在正比例函數(shù)y=﹣2x的圖象上，所以這個(gè)圖象必經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣2）．故選D．2．（3分）直線y=3x+6與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）A．6 B．12 C．3 D．24【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】求出直線y=3x+6與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)三角形的面積公式求出三角形的面積．【解答】解：設(shè)直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x，0），與y軸交點(diǎn)為B（0，y）．將A、B兩點(diǎn)分別代入解析式得，x=﹣2，y=6．故A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（﹣2，0）、B（0，6）．于是S△ABC=×2×6=6．如圖：3．（3分）直角三角形兩銳角的平分線相交得到的鈍角為（）A．150o B．135o C．120o D．120o或135o【考點(diǎn)】直角三角形的性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】本題可根據(jù)直角三角形內(nèi)角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和為180°進(jìn)行求解．【解答】解：直角三角形中，兩銳角三角形度數(shù)和為90°，則兩銳角的各一半度數(shù)和為45°，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，可得鈍角度數(shù)為135°，故選B．4．（3分）已知正方形ABCD中，A（﹣3，1），B（1，1），C（1，﹣3），則D點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（﹣3，﹣3） B．（﹣1，1） C．（﹣3，3） D．（1，3）【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，四條邊相等，根據(jù)正方形的性質(zhì)與邊長(zhǎng)為：|AB|=4，從而可計(jì)算出D的坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），已知四邊形為正方形，四條邊相等，且易知|AB|=4，AB∥CD，∴C，D兩點(diǎn)的從坐標(biāo)相等，∴y=﹣3，又∵AD∥BC，∴A，D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，∴x=﹣3，∴D的坐標(biāo)為（﹣3，﹣3），故選A．5．（3分）某公司準(zhǔn)備與汽車租憑公司簽訂租車合同，以每月用車路程xkm計(jì)算，甲汽車租憑公司每月收取的租賃費(fèi)為y1元，乙汽車租憑公司每月收取的租賃費(fèi)為y2元，若y1、y2與x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示（其中x=0對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為月固定租賃費(fèi)），則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)月用車路程為2000km時(shí)，兩家汽車租賃公司租賃費(fèi)用相同B．當(dāng)月用車路程為2300km時(shí)，租賃乙汽車租賃公司車比較合算C．除去月固定租賃費(fèi)，甲租賃公司每公里收取的費(fèi)用比乙公司多D．甲租賃公司每月的固定租賃費(fèi)高于乙租賃公司【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【專題】計(jì)算題；應(yīng)用題；函數(shù)及其圖像．【分析】觀察函數(shù)圖象可知，函數(shù)的橫坐標(biāo)表示路程，縱坐標(biāo)表示收費(fèi)，根據(jù)圖象上特殊點(diǎn)的意義即可求出答案．【解答】解：A、交點(diǎn)為（2000，2000），那么當(dāng)月用車路程為2000km，兩家汽車租賃公司租賃費(fèi)用相同，說法正確，不符合題意；B、由圖象可得超過2000km時(shí)，相同路程，乙公司收費(fèi)便宜，∴租賃乙汽車租賃公司車比較合算，說法正確，不符合題意；C、由圖象易得乙的租賃費(fèi)較高，當(dāng)行駛2000千米時(shí)，總收費(fèi)相同，那么可得甲租賃公司每公里收取的費(fèi)用比乙租賃公司多，說法正確，不符合題意；D、∵由圖象易得乙的租賃費(fèi)較高，說法錯(cuò)誤，符合題意，故選：D．6．（3分）若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，則第三邊長(zhǎng)可能是（）A．2 B．3 C．5 D．11【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系．【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和第三邊，兩邊之差小于第三邊即可判斷．【解答】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，由題意得：7﹣3＜x＜7+3，則4＜x＜10，故選：C．7．（3分）甲骨文是我國(guó)的一種古代文字，是漢字的早期形式，下列甲骨文中，不是軸對(duì)稱的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．【解答】解：A、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確．故選D．8．（3分）如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】三角形的角平分線、中線和高．【分析】根據(jù)三角形高線的定義：過三角形的頂點(diǎn)向?qū)呉咕€，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線解答．【解答】解：為△ABC中BC邊上的高的是A選項(xiàng)．故選A．9．（3分）如圖，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，則外角∠ABD的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．130° D．140°【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解．【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．故選B．10．（3分）如圖，在方格紙中，以AB為一邊作△ABP，使之與△ABC全等，從P1，P2，P3，P4四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P，則點(diǎn)P有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【分析】根據(jù)全等三角形的判定得出點(diǎn)P的位置即可．【解答】解：要使△ABP與△ABC全等，點(diǎn)P到AB的距離應(yīng)該等于點(diǎn)C到AB的距離，即3個(gè)單位長(zhǎng)度，故點(diǎn)P的位置可以是P1，P3，P4三個(gè)，故選C11．（3分）如圖，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，∠ABC的平分線BD與∠ACE的平分線CD相交于點(diǎn)D，連接AD，下列結(jié)論中不正確的是（）A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．∠DAC=55°【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可求出∠BAC=70°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠ABO，然后利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠AOB再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠DOC=∠AOB，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義和角平分線的定義求出∠DCO，再利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可∠BDC，判斷出AD為三角形的外角平分線，然后列式計(jì)算即可求出∠DAC．【解答】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣50°﹣60°=70°，故A選項(xiàng)正確，∵BD平分∠ABC，∴∠ABO=∠ABC=×50°=25°，在△ABO中，∠AOB=180°﹣∠BAC﹣∠ABO=180°﹣70°﹣25°=85°，∴∠DOC=∠AOB=85°，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=（180°﹣60°）=60°，∴∠BDC=180°﹣85°﹣60°=35°，故C選項(xiàng)正確；∵BD、CD分別是∠ABC和∠ACE的平分線，∴AD是△ABC的外角平分線，∴∠DAC=（180°﹣70°）=55°，故D選項(xiàng)正確．故選：B．12．（3分）如圖，在△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、BC于E，D兩點(diǎn)，EC=4，△ABC的周長(zhǎng)為23，則△ABD的周長(zhǎng)為（）A．13 B．15 C．17 D．19【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=15，求出△ABD的周長(zhǎng)為AB+BC，代入求出即可．【解答】解：∵AC的垂直平分線分別交AC、BC于E，D兩點(diǎn)，∴AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，∵△ABC的周長(zhǎng)為23，∴AB+BC+AC=23，∴AB+BC=23﹣8=15，∴△ABD的周長(zhǎng)為AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故選B．13．（3分）如圖，直線MN是四邊形AMBN的對(duì)稱軸，點(diǎn)P是直線MN上的點(diǎn)，下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．AM=BM B．AP=BN C．∠MAP=∠MBP D．∠ANM=∠BNM【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)．【分析】根據(jù)直線MN是四邊形AMBN的對(duì)稱軸，得到點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵直線MN是四邊形AMBN的對(duì)稱軸，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)，∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，∵點(diǎn)P時(shí)直線MN上的點(diǎn)，∴∠MAP=∠MBP，∴A，C，D正確，B錯(cuò)誤，故選B．14．（3分）如圖，AD是△ABC的角平分線，則AB：AC等于（）A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】先過點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，由于BE∥AC，利用平行線分線段成比例定理的推論、平行線的性質(zhì)，可得∴△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性質(zhì)可有=，而利用AD時(shí)角平分線又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代換即可證．【解答】解：如圖過點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∵BE∥AC，∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD，∴△BDE∽△CDA，∴=，又∵AD是角平分線，∴∠E=∠DAC=∠BAD，∴BE=AB，∴=，∴AB：AC=BD：CD．故選：A．15．（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于點(diǎn)R，PS⊥AC于點(diǎn)S，PR=PS，則下列結(jié)論：①點(diǎn)P在∠A的角平分線上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定；角平分線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上可得AP平分∠BAC，從而判斷出①正確，然后根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠APQ=∠PAQ，然后得到∠APQ=∠PAR，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得QP∥AB，從而判斷出②正確，然后證明出△APR與△APS全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得到③正確，④由△BPR≌△CPS，△BRP≌△QSP，即可得到④正確．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，PR⊥AB，PS⊥AC，且PR=PS，∴P在∠A的平分線上，故①正確；由①可知，PB=PC，∠B=∠C，PS=PR，∴△BPR≌△CPS，∴AS=AR，故②正確；∵AQ=PQ，∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC，∴PQ∥AR，故③正確；由③得，△PQC是等邊三角形，∴△PQS≌△PCS，又由②可知，④△BRP≌△QSP，故④也正確，∵①②③④都正確，故選D．二．解答題（共9小題）16．（6分）如圖，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分線，它們相交于點(diǎn)O，∠BAC=80°，∠ABC=70°．求∠BAD，∠AOF．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；三角形的角平分線、中線和高．【分析】在直角三角形中，根據(jù)兩銳角互余即可得到∠BAD=20°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求出∠BAO和∠ABO，最后由三角形外角的性質(zhì)求得∠AOF=75°．【解答】解：∵AD是高，∠ABC=70°，∴∠BAD=90°﹣70°=20°，∵AE、BF是角平分線，∠BAC=80°，∠ABC=70°，∴∠ABO=35°，∠BAO=40°，∴∠AOF=∠ABO+∠BAO=75°．17．（6分）如圖，AB=AD，CB=CD，求證：AC平分∠BAD．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理SSS推出△BAC≌△DAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠DAC即可．【解答】解：在△BAC和△DAC中，，∴△BAC≌△DAC（SAS），∴∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD．18．（7分）如圖，已知AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，求證：BC=DE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】先通過∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠DAE，從而證明△ABC≌△ADE，得到BC=DE．【解答】證明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC．即∠BAC=∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS）．∴BC=DE．19．（7分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，DE、DF分別垂直AB、AC于點(diǎn)E和F．求證：DE=DF．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】D是BC的中點(diǎn)，那么AD就是等腰三角形ABC底邊上的中線，根據(jù)等腰三角形三線合一的特性，可知道AD也是∠BAC的角平分線，根據(jù)角平分線的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么DE=DF．【解答】證明：證法一：連接AD．∵AB=AC，點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)∴AD平分∠BAC（三線合一性質(zhì)），∵DE、DF分別垂直AB、AC于點(diǎn)E和F．∴DE=DF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）．證法二：在△ABC中，∵AB=AC∴∠B=∠C（等邊對(duì)等角）…（1分）∵點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)∴BD=DC…（2分）∵DE、DF分別垂直AB、AC于點(diǎn)E和F∴∠BED=∠CFD=90°…（3分）在△BED和△CFD中∵，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE=DF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．20．（8分）如圖，一艘輪船以18海里/時(shí)的速度由西向東航行，在A處測(cè)得小島C在北偏東75°方向上，兩小時(shí)后，輪船在B處測(cè)得小島C在北偏東60°方向上，在小島周圍15海里處有暗礁，若輪船仍然按18海里/時(shí)的速度向東航行，請(qǐng)問是否有觸礁危險(xiǎn)？并說明理由．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題．【分析】作CE⊥AB，利用直角三角形性質(zhì)求出CE長(zhǎng)，和15海里比較即可看出船不改變航向是否會(huì)觸礁．【解答】解：作CE⊥AB于E，∵A處測(cè)得小島P在北偏東75°方向，∴∠CAB=15°，∵在B處測(cè)得小島P在北偏東60°方向，∴∠ACB=15°，∴AB=PB=2×18=36（海里），∵∠CBD=30°，∴CE=BC=18＞15，∴船不改變航向，不會(huì)觸礁．21．（8分）如圖，在等腰三角形ABC中，AC=BC，分別以BC和AC為直角邊向上作等腰直角三角形△BCD和△ACE，AE與BD相交于點(diǎn)F，連接CF并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G．求證：CG垂直平分AB．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形．【分析】求證△AFC≌△CEB可得∠ACF=∠BCF，根據(jù)等腰三角形底邊三線合一即可解題．【解答】證明：∵CA=CB∴∠CAB=∠CBA∵△AEC和△BCD為等腰直角三角形，∴∠CAE=∠CBD=45°，∠FAG=∠FBG，∴∠FAB=∠FBA，∴AF=BF，在三角形ACF和△CBF中，，∴△AFC≌△BCF（SSS），∴∠ACF=∠BCF∴AG=BG，CG⊥AB（三線合一），即CG垂直平分AB．22．（10分）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)F是AC邊上一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使BF=DF，若CD=CF，求證：（1）點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)；（2）過點(diǎn)F作FE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，請(qǐng)畫出圖形并證明BD=6CE．【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】作圖題．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ABC=∠ACB=60°，利用∠CFD=∠D，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠ACB=2∠D，即∠D=∠ACB=30°，然后利用FB=FD得到∠FBD=∠D=30°，則BF平分∠ABC，于是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得到點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)；（2）如圖，過點(diǎn)F作FE⊥BD于E，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CF=2CE，而CD=CF，則CF=2CE，再利用BC=2CF，所以BD=6CE．【解答】解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵CF=CD，∴∠CFD=∠D，∴∠ACB=2∠D，即∠D=∠ACB=30°，∵FB=FD，∴∠FBD=∠D=30°，∴BF平分∠ABC，∴AF=CF，即點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)；（2）如圖，在Rt△EFC中，CF=2CE，而CD=CF，∴CF=2CE，在Rt△BCF中，BC=2CF，∴BC=4CE，∴BD=6CE．23．（11分）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(dòng)（與A、C不重合），Q是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，與點(diǎn)P同時(shí)以相同的速度由B向CB延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（Q不與B重合），過P作PE⊥AB于E，連接PQ交AB于D．（1）當(dāng)∠BQD=30°時(shí)，求AP的長(zhǎng)；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)過程中線段ED的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？如果不變，求出線段ED的長(zhǎng)；如果變化請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．【專題】壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型．【分析】（1）由△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，設(shè)AP=x，則PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可；（2）作QF⊥AB，交直線AB于點(diǎn)F，連接QE，PF，由點(diǎn)P、Q做勻速運(yùn)動(dòng)且速度相同，可知AP=BQ，再根據(jù)全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，