專題23.8 中位線（解析版）

專題23.8中位線一、單選題1．如圖，已知P、R分別是長方形ABCD的邊BC、CD上的點(diǎn)，E、F分別是PA、PR的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上從B向C移動(dòng)，點(diǎn)R不動(dòng)，那么下列結(jié)論成立的是（）A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸變小C．線段EF的長不變 D．無法確定【答案】C【分析】因?yàn)镽不動(dòng)，所以AR不變．根據(jù)三角形中位線定理可得EF＝AR，因此線段EF的長不變．【詳解】解：連接AR．∵E、F分別是AP、RP的中點(diǎn)，∴EF為△APR的中位線，∴EF＝AR，為定值．∴線段EF的長不改變．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線定理，只要三角形的邊AR不變，則對應(yīng)的中位線的長度就不變．掌握三角形的中位線定理是解題關(guān)鍵．2．如圖，在△ABC中，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC邊上的一點(diǎn)，且AC＝10，當(dāng)AE的長為（）時(shí)，EF∥AB

A．3 B．4 C．5 D．4.5【答案】C【分析】由三角形中位線的性質(zhì)可得當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，，即可求解．【詳解】解：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，∵F為BC的中點(diǎn)∴為的中位線，∴此時(shí)故選C【點(diǎn)睛】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)，掌握三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，△ABC的中線BD、CE交于點(diǎn)O，連接OA，點(diǎn)G、F分別為OC、OB的中點(diǎn)，BC=8，AO=6，則四邊形DEFG的周長為（）A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中位線得，，代值計(jì)算即可得出四邊形的周長．【詳解】，是的中線，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且,，同理，四邊形的周長為．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線，三角形的中位線的性質(zhì)定理為證明線段相等和平行提供了依據(jù)．4．如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，則DF的長為（）A．1.5 B．1 C．0.5 D．2【答案】A【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，計(jì)算即可．【詳解】解：、分別為、的中點(diǎn)，，，，，為的中點(diǎn)，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．5．如圖，在△ABC中，中線BE，CD相交于點(diǎn)O，連接DE，下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由BE、CD是△ABC的中線，可得即，從而可判斷①；由DE是△ABC的中位線，可得△DOE∽△COB，從而可判斷②；由△ADE∽△ABC與△DOE∽△COB，利用相似三角形的性質(zhì)可判斷③；由△ABC的中線BE與CD交于點(diǎn)O．可得點(diǎn)O是△ABC的重心，根據(jù)重心性質(zhì)，BO＝2OE，△ABC中上的高＝△BOC中上的高的倍，且△ABC與△BOC同底（BC），可得，由②和③知，，從而可判斷④．【詳解】解：①∵BE、CD是△ABC的中線，即D、E是AB和AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴即，故①正確；②∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴，故②錯(cuò)誤；③∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵△DOE∽△COB，，∴，故③正確；④∵△ABC的中線BE與CD交于點(diǎn)O，∴點(diǎn)O是△ABC的重心，根據(jù)重心性質(zhì)，BO＝2OE，△ABC中上的高＝3△BOC中上的高，且△ABC與△BOC同底（BC），∴，由②和③知，，，∴，∴，∴．故④正確．綜上，①③④正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的三角形的中線與三角形的中位線的性質(zhì)，三角形的重心的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握利用以上知識(shí)解決三角形的面積問題是解題的關(guān)鍵．6．如圖，某花木場有一塊如四邊形形狀的空地，其中，其各邊中點(diǎn)分別是E、F、G、H，測得對角線，現(xiàn)想利用籬笆圍成四邊形場地，則需籬笆的總長度是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)A作AM∥DC交BC于點(diǎn)M，連接BD，則可得四邊形AMCD是平行四邊形，從而AB=AM=DC；可證△ABC≌△DCB，則可得BD=AC=10m；再由E、F、G、H分別為中點(diǎn)，由三角形中位線定理，可得四邊形EFGH是平行四邊形，則可求得籬笆的總長度．【詳解】過點(diǎn)A作AM∥DC交BC于點(diǎn)M，連接BD則∠DCB=∠AMB∵∠DCB=∠ABC∴∠AMB=∠ABC∴AM=AB∵AD∥BC，AM∥DC∴四邊形AMCD是平行四邊形∴AM=DC∴AB=DC在△ABC與△DCB中∴△ABC≌△DCB(SAS)∴BD=AC=10m∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)∴GH=EF=，EH=FG=∴四邊形EFGH是平行四邊形則籬笆的總長度為2(GH+EH)=20(m)故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，掌握它們是關(guān)鍵．二、填空題7．如圖，已知在中，分別為邊的中點(diǎn)，且，則等于___________．

【答案】【分析】根據(jù)中線將三角形面積分為相等的兩部分可知：△ADC是陰影部分的面積的2倍，△ABC的面積是△ADC的面積的2倍，依此即可求解．【詳解】解：∵分別為邊的中點(diǎn)，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】考查了三角形的面積和中線的性質(zhì)：三角形的中線將三角形分為相等的兩部分．8．如圖所示，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，西西想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，雅雅幫他想了一個(gè)主意：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A，B的點(diǎn)C，找到AC，BC的中點(diǎn)D，E，并且測出DE的長為8m，則A，B間的距離為_________m．【答案】16【分析】根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：∵點(diǎn)D，E是AC，BC的中點(diǎn)，DE=8m，∴AB=2DE=16（m），故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．9．在等邊中，邊、的中點(diǎn)分別是、，，則的周長為______．【答案】30【分析】根據(jù)題意，可以知道，得到，從而求得等邊三角形周長．【詳解】解：∵點(diǎn)、分別是邊、的中點(diǎn)∴又∵∴又∵為等邊三角形∴∴故答案為：30【點(diǎn)睛】本題考查三角形的中位線定理、等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)定理內(nèi)容解題是重點(diǎn)．10．如圖，中，對角線交于點(diǎn)O，E為邊的中點(diǎn)，連結(jié)，若，則OE=_______．【答案】2【分析】根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，可得點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，從而得到OE是△ABC的中位線，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，即點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，∵E為邊的中點(diǎn)，∴OE是△ABC的中位線，∴，∵，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中位線定理，平形四邊形的性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，得到點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，連接，把沿著翻折，得到，與交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，若，，，則點(diǎn)到的距離為______．【答案】【分析】過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)E，首先根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，然后根據(jù)勾股定理求出BN的長度，進(jìn)而利用三角形的面積求解即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)E，∵把沿著翻折，得到，．，，．，為的中點(diǎn)，，，，，，．，，∴點(diǎn)到的距離為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理與折疊問題，掌握勾股定理及折疊的性質(zhì)是關(guān)鍵．12．如圖，D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD＝7，BC＝5，若E、F、C、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長是____________

【答案】12【分析】利用三角形中位線定理證明四邊形EFGH是平行四邊形，從而得證其周長恰好是AD+BC，代入計(jì)算即可．【詳解】∵E、F、C、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，∴EH∥AD，EH=AD，F(xiàn)G∥AD，F(xiàn)G=AD，∴EH∥FG，EH=FG=AD，同理可證，EF=HG=BC，EF∥HG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，∴四邊形EFGH的周長為2（EH+HG）=AD+BC，∵AD＝7，BC＝5，∴四邊形EFGH的周長為12，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理，平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在中，點(diǎn)D和E分別是邊和的中點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)O，若的面積為1，則的面積為_______．【答案】12【分析】由中位線定理得到，再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，則面積的比等于相似比的平方，然后即可求解．【詳解】解：∵△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

∴//,∴,∴∴∵的面積為1，∴，∴四邊形BCED的面積為：1+2+2+4=9，∴，∴，∴的面積為：，故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定義，解題關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)知識(shí)，正確的掌握面積的比等于相似比的平方．14．如圖，在中，，將平移5個(gè)單位長度得到，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，的最小值等于______．

【答案】【分析】取A1B1的中點(diǎn)P′，連接QP′、PP′，如圖，根據(jù)平移的性質(zhì)得到PP′＝7，B1C1＝BC＝4，再利用P′Q為△A1B1C1的中位線得到P′Q=2，利用三角形三邊的關(guān)系得到PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（當(dāng)且僅當(dāng)P、P′、Q三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），從而得到PQ的最小值．【詳解】解：取A1B1的中點(diǎn)P′，連接QP′、PP′，如圖：∵△ABC平移5個(gè)單位長度得到△A1B1C1，∴PP′＝5，B1C1＝BC＝3，∵Q是A1C1的中點(diǎn)，P′為A1B1的中點(diǎn)，∴P′Q為△A1B1C1的中位線，∴P′Q＝B1C1＝，∴PP′﹣P′Q≤PQ≤PP′+P′Q（當(dāng)且僅當(dāng)P、P′、Q三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），即，，∴PQ的最小值為．故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查平移的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，三角形的中位線的性質(zhì)，掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．已知：在中，D，E，F(xiàn)分別是邊的中點(diǎn)．求證：四邊形的周長等于．【答案】見解析【分析】根據(jù)三角形的中位線定理，可得，，即可求證．【詳解】解：如圖，D，E，F(xiàn)分別是邊的中點(diǎn)，、是的中位線，，，四邊形的周長，即四邊形的周長等于．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中位線定理，熟練掌握三角形的中位線平行且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．16．如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，連接DE，AD，點(diǎn)F在BA的延長線上，且AF＝AB，連接EF．求證：四邊形ADEF是平行四邊形．【答案】證明見解析【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得DE∥BF，DE＝AB，再根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判定四邊形ADEF的形狀．【詳解】證明：∵點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC的中點(diǎn)，∴DE∥BF，DE＝AB，∵AF＝AB，∴DE＝AF，∴四邊形ADEF是平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定，三角形中位線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．17．如圖，矩形的對角線與相交點(diǎn)，，分別為的中點(diǎn)，求的長度．【答案】3【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AC=BD=12，=6，再根據(jù)三角形中位線定理可得．【詳解】解：四邊形ABCD是矩形，，，，點(diǎn)P、Q是AO，AD的中點(diǎn)，是的中位線，．【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的性質(zhì)，以及三角形中位線定理，關(guān)鍵是掌握矩形對角線相等且互相平分．18．如圖，等邊的邊長是2，，分別為，的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）求的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）直接利用三角形中位線定理得出，再利用平行四邊形的判定方法得出答案；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)得出，利用勾股定理求出CD即可．【詳解】（1）證明：∵，分別為，的中點(diǎn)，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴．∵為的中點(diǎn)，等邊的邊長是2，∴，，．在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理，勾股定理等知識(shí)，正確掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．（1）如圖，是等邊三角形，過它的三個(gè)頂點(diǎn)分別作對邊的平行線，得到一個(gè)新的，是等邊三角形嗎？你還能找到其他的等邊三角形嗎？點(diǎn)A，B，C分別是的中點(diǎn)嗎？請證明你的結(jié)論．（2）如果是等邊三角形，點(diǎn)A，B，C分別是的中點(diǎn)，那么是等邊三角形嗎？請證明你的結(jié)論．【答案】（1）是等邊三角形，是等邊三角形，是等邊三角形，是等邊三角形，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，證明見解析；（2）是等邊三角形，證明見解析．【分析】（1）由是等邊三角形容易證出：、、、是等邊三角形；根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，可得與的關(guān)系，與的關(guān)系，可得是中位線，可得答案；（2）根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得答案．【詳解】（1）答：是等邊三角形；是等邊三角形，是等邊三角形，是等邊三角形，點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，證明：是等邊三角形，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，同理，，是等邊三角形，同理：、、是等邊三角形；，，四邊形是平行四邊形，，；，是的中位線，所以點(diǎn)，，分別是，，的中點(diǎn)，（2）是等邊三角形，證明：點(diǎn)．分別是、、的中點(diǎn)，、、是的中位線，，，，是等邊三角形，，是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要利用了等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)進(jìn)行證明．20．綜合與實(shí)踐：如圖1，已知△ABC，AB=AC，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD=AE，連接DC，點(diǎn)P、Q、M分別為DE、BC、DC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想在圖1中，線段PM與QM的數(shù)量關(guān)系是；（2）探究證明當(dāng)∠BAC=60°，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，判斷△PMQ的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸當(dāng)∠BAC=90°，AB=AC=5，AD=AE=2，再連接BE，再取BE的中點(diǎn)N，把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，如圖3，①請你判斷四邊形PMQN的形狀，并說明理由；②請直接寫出四邊形PMQN面積的最大值．【答案】（1）PM=MQ，理由見解析；（2）△PQM是等腰三角形，理由見解析；（3）①四邊形PMQN是正方形，理由見解析；②正方形PMQN的面積的最大值為．【分析】（1）首先證明BD=CE，再利用三角形中位線定理解決問題即可；（2）結(jié)論：△PQM是等腰三角形．連接EC，BD．利用全等三角形的性質(zhì)證明BD=EC，再利用三角形的中位線定理解決問題即可；（3）①結(jié)論：四邊形PMQN是正方形．連接BD，EC，延長CE交BD于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)O．證明△DAB≌△EAC（SAS），推出BD=CE，∠ABD=∠ACE，推出CH⊥BD，再證明PM=MQ=QN=PQ，∠PMQ=90°即可解決問題；②求出EC的最大值，即可求出正方形邊長的最大值，由此即可解決問題．【詳解】解：（1）結(jié)論：PM=MQ．理由：∵AB=AC．A