專題23.1 成比例線段（解析版）

專題23.1成比例線段一、單選題1．a(chǎn)、b、c、d是四條線段，下列各組中這四條線段成比例的是（），A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)比例線段的概念：a、b、c、d是四條線段，如果，則四條線段叫成比例線段判斷即可．【詳解】解：解：A、，不符合題意；B、，符合題意；C、，不符合題意；D、，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】考查了比例線段的概念．解題關(guān)鍵是明確成比例線段的定義，注意對(duì)應(yīng)關(guān)系．2．已知線段，，線段是，的比例中項(xiàng)，則的長(zhǎng)度為（）A．4 B． C．8 D．【答案】C【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，列比例是求解即可．【詳解】線段是，的比例中項(xiàng),，，，或者，是線段的長(zhǎng)，則，．故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查了成比例線段，比例中項(xiàng)的概念，理解比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．比例式為，則內(nèi)項(xiàng)稱為外項(xiàng)和的比例中項(xiàng)．3．如果線段a＝2cm，b＝18cm，那么a和b的比例中項(xiàng)是（）A．3cm B．4cm C．±6cm D．6cm【答案】D【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可得出中項(xiàng)，注意線段不能為負(fù)．【詳解】解：由比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項(xiàng)的平方等于兩條線段的乘積．設(shè)它們的比例中項(xiàng)是，則，解得（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去），所以，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，注意：求兩條線段的比例中項(xiàng)的時(shí)候，應(yīng)舍去負(fù)數(shù)．4．如圖，畫(huà)線段AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)O，在這條垂直平分線上截取OC＝OA，以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB于點(diǎn)P，則線段AP與AB的比是（）A．∶2 B．1∶ C．∶ D．1∶【答案】D【分析】利用已知表示出的長(zhǎng)，即可得出以及的長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】解：連接，設(shè)，則，，故，線段與的比是：．故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了比例線段，垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，根據(jù)已知用未知數(shù)表示出各線段長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．5．四巧板是一種類似七巧板的傳統(tǒng)智力玩具，它是由一個(gè)長(zhǎng)方形按如圖1分割而成，這幾個(gè)多邊形的內(nèi)角除了有直角外，還有角．小明發(fā)現(xiàn)可以將四巧板拼搭成如圖2的字形和字形，那么字形圖中高與寬的比值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圖1與圖2的拼圖結(jié)果先得出線段間的相等關(guān)系，求得h與l，此題即可得解．【詳解】解：如圖，圖1由一個(gè)長(zhǎng)方形分割而成，且圖中只有角，則根據(jù)題意可知：a∥b，∴a＝b，由圖2可知c＝2a，∴l(xiāng)＝a＋b＝2a，h＝a＋2a，．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了幾何變換，解題的關(guān)鍵是弄清題意，能從圖形中找出線段間關(guān)系．6．古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問(wèn)題：點(diǎn)G將一線段MN分為兩線段MG、GN，使得其中較長(zhǎng)的一段MG是全長(zhǎng)MN與較短的一段GN的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分割數(shù)”，把點(diǎn)G稱為線段MN的“黃金分割點(diǎn)”．如圖，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若點(diǎn)D是邊BC邊上的一個(gè)“黃金分割點(diǎn)”，則△ADC的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作AF⊥BC，根據(jù)等腰三角形ABC的性質(zhì)求出AF的長(zhǎng)，再根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義求出CD的長(zhǎng)度，利用三角形面積公式即可解題．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC，∵AB=AC，

∴BF=BC=2，在Rt，AF=，∵D是邊的兩個(gè)“黃金分割”點(diǎn)，∴即，解得CD=，∴==，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了“黃金分割比”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用以及三角形的面積公式，求出DC和AF的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．二、填空題7．若，則______．【答案】【分析】根據(jù)成比例線段的基本性質(zhì)變形即可求解【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查成比例線段的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．8．已知點(diǎn)在線段上，，那么_____________________.【答案】1：4【分析】本題沒(méi)有給出圖形，在畫(huà)圖時(shí)，應(yīng)考慮到A、B、P三點(diǎn)之間的位置關(guān)系，再根據(jù)正確畫(huà)出的圖形解題．【詳解】解：如圖

，∵AP=3PB，那么PB：AB=PB：（AP+PB）=PB：4PB，∴那么PB：AB=1：4．故答案為1：5．【點(diǎn)睛】在未畫(huà)圖類問(wèn)題中，正確畫(huà)圖很重要，本題滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問(wèn)題時(shí)，要防止漏解．9．若b是a、c的比例中項(xiàng)，且，則_______．【答案】4【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可求解．【詳解】解：∵b是a、c的比例中項(xiàng)∴又∵∴故答案為【點(diǎn)睛】此題考查了比例線段，理解比例中項(xiàng)的概念是本題的關(guān)鍵．10．圖紙上畫(huà)出的某個(gè)零件的長(zhǎng)是，如果比例尺是，這個(gè)零件的實(shí)際長(zhǎng)是____．【答案】【分析】首先設(shè)這個(gè)零件的實(shí)際長(zhǎng)是xmm，根據(jù)比例尺=圖上距離：實(shí)際距離，列比例式求得這個(gè)零件的實(shí)際長(zhǎng)．【詳解】解：設(shè)這個(gè)零件的實(shí)際長(zhǎng)是xmm，根據(jù)題意得：，解得：x=640，由640mm=64cm=0.64m．

則這個(gè)零件的實(shí)際長(zhǎng)是0.64m．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，能夠根據(jù)比例尺靈活計(jì)算是解題的關(guān)鍵，注意單位的換算問(wèn)題．11．如果點(diǎn)把線段分割成和兩段，其中是與的比例中項(xiàng)，若線段長(zhǎng)為，那么線段的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【分析】因?yàn)锳B與PB差4，要求AB，設(shè)AB=x，PB也就表示出來(lái)了，由AP是AB與PB的比例中項(xiàng)，構(gòu)造方程，求出即可．【詳解】設(shè)AB長(zhǎng)為x，則PB=x-4，∵AP是AB與PB的比例中項(xiàng)，∴42=x(x-4)，∴x2-4x=16，∴(x-2)2=20，x-2=2,舍去，x=2+2．故答案為：2+2．【點(diǎn)睛】本題考查比例中項(xiàng)中的原長(zhǎng)問(wèn)題，會(huì)根據(jù)原長(zhǎng)與短線段差定值，構(gòu)造方程，掌握方程的解法，能根據(jù)線段非負(fù)取舍．12．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，以BC為邊作等邊△BCM，連接AM并延長(zhǎng)交CD于N，則CN的長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】【分析】作于，于，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求出MH，CH，再利用DH=NH，進(jìn)而求出．【詳解】解：作于，于，則，，，，，，，是等邊三角形，，∵△BCM是等邊三角形，四邊形ABCD是正方形，∴，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、熟記正方形的各種性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．已知點(diǎn)，在線段上，，是線段中點(diǎn)，是線段中點(diǎn)，線段，則線段__________．【答案】或【分析】根據(jù)成比例線段的性質(zhì)得AC、CD、DB的長(zhǎng)度，再根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)即可求解．【詳解】①如圖∵，線段∴∵是線段中點(diǎn)，是線段中點(diǎn)∴∴②如圖∵，線段∴∴∴∵是線段中點(diǎn)，是線段中點(diǎn)∴∴故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了線段長(zhǎng)度的問(wèn)題，掌握成比例線段的性質(zhì)、中點(diǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，D是邊AB上一點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，若△A′EC是直角三角形，則AD長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】或【分析】先根據(jù)勾股定理得到AC＝5，再根據(jù)平行線分線段成比例得到AD：AE＝AB：AC＝4：5，設(shè)AD＝x，則AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝2x﹣4，在Rt△A′BC中，根據(jù)勾股定理得到A′C，再根據(jù)△A′EC是直角三角形，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于x的方程，解方程即可求解．【詳解】解：在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，∴AC＝5，∵DE∥BC，∴AD：AB＝AE：AC，即AD：AE＝AB：AC＝4：5，設(shè)AD＝x，則AE＝A′E＝x，EC＝5﹣x，A′B＝，在Rt△A′BC中，A′C＝，∵△A′EC是直角三角形，∴①當(dāng)A'落在邊AB上時(shí)，∠EA′C＝90°，∠BA′C＝∠ACB，A′B＝3×cot∠ACB＝，∴AD＝；②點(diǎn)A在線段AB的延長(zhǎng)線上（）2+（5﹣x）2＝（x）2，解得x1＝4（不合題意舍去），x2＝．故AD長(zhǎng)為或．故答案為：或．【點(diǎn)晴】本題考查了勾股定理和平行線等分線段成比例定理，掌握相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．三、解答題15．將10本相同厚度的書(shū)疊起來(lái)，高度為25cm．如果有18本這樣厚度的書(shū)疊起來(lái)，那么書(shū)的高度是多少cm？【答案】45cm【分析】根據(jù)題意知道，一本書(shū)的厚度一定，書(shū)疊起的高度與書(shū)的本數(shù)成正比例，由此列比例解答．【詳解】解：設(shè)書(shū)的高度是x厘米，25：10=x：18x=45所以，書(shū)的高度是45cm．【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是，先判斷出哪兩種相關(guān)聯(lián)的量成何比例，再列出比例解答即可．16．若P在線段AB上，點(diǎn)Q在AB的延長(zhǎng)線上，，且，求PQ的長(zhǎng)．【答案】24【分析】根據(jù)＝，分別求出BP，BQ的長(zhǎng)，兩者相加即可求出PQ的長(zhǎng).【詳解】設(shè)AP＝3x，BP＝2x，∵AB＝10，∴AB＝AP＋BP＝3x＋2x＝5x，即5x＝10，∴x＝1，∴AP＝6，BP＝4.∵＝，∴可設(shè)BQ＝y(tǒng)，則AQ＝AB＋BQ＝10＋y，∴，解得y＝20，∴PQ＝PB＋BQ＝4＋20＝24.【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段、兩點(diǎn)間的距離等知識(shí)，運(yùn)用好線段之間的比例關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．17．已知a，b，c是△ABC的三邊，滿足，且．（1）求a，b，c的值．（2）若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，求x．【答案】（1），，；（2）【分析】根據(jù)，且，根據(jù)比例的性質(zhì)可得a，b，c的值；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）∵，且，∴，∴，，，∴，，，（2）∵線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)和比例中項(xiàng)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在中，是的中點(diǎn)，是邊延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．求證：．【答案】見(jiàn)解析【分析】過(guò)點(diǎn)作交于，根據(jù)平行線分線段成比例定理和中點(diǎn)的性質(zhì)得到，，利用等量代換得到答案．【詳解】證明：過(guò)點(diǎn)作交于，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例定理，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19．如圖，拋物錢y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別位于原點(diǎn)的左、右兩側(cè)，BO＝3AO＝3，過(guò)點(diǎn)B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點(diǎn)分別為C、D，BC＝CD．①求此拋物線解析；②求直線BD的解析式；③點(diǎn)P在x軸的下方的拋物線上，當(dāng)2S△PDB＝9+9時(shí)，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】①y=x2﹣2x﹣3；②y＝（1﹣）x﹣3+3；③點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3﹣，3﹣4）【分析】（1）先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，代入交點(diǎn)式，可求拋物線解析式，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，由平行線分線段成比例可求OE＝，可求點(diǎn)D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；（3）過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線交BD于Q，設(shè)P的坐標(biāo)為（t，t2﹣2t﹣3），則Q的坐標(biāo)為（t，t﹣t﹣3+3），由S△PDB＝S△PDQ+S△PQB求出PQ＝3，從而求得m，即可求出P的坐標(biāo)．【詳解】解：①∵BO＝3AO＝3，∴點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)A（﹣1，0），∴拋物線解析式為：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；②如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∴CO∥DE，∴，∵BC＝CD，BO＝3，∴，∴OE＝，∴點(diǎn)D橫坐標(biāo)為﹣，∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣，2），設(shè)直線BD的函數(shù)解析式為：y＝kx+m，由題意可得：解得：，∴直線BD的函數(shù)解析式為y＝（1﹣）x﹣3+3；③如圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸垂線交BD于Q，設(shè)P的坐標(biāo)為（t，t2﹣2t﹣3），則Q的坐標(biāo)為（t，t﹣t﹣3+3），∴PQ＝﹣t2+（3﹣）t+3，∵S△PDB＝S△PDQ+S△PQB＝PQ?BE＝×（+3）×PQ＝×（9+9），∴PQ＝3，∴3＝﹣t2+（3﹣）t+3，∴m＝0或3﹣，∵P在x軸下方拋物線上，∴m＝3﹣，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3﹣，3﹣4）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，平行線分線段比例定理，準(zhǔn)確計(jì)算出D點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.20．（新概念定義）若有一條公共邊的兩個(gè)三角形稱為“共邊三角形”．如圖（1）與是以為公共邊的“共邊三角形”．“共邊三角形”的性質(zhì)：如圖（1）共邊與，連結(jié)第三個(gè)頂點(diǎn)并延長(zhǎng)交于，則．（問(wèn)題解決）如圖（2），已知在中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的連線交于．（1）找出以為公共邊的所有“共邊三角形”，若的面積為？，分別求出這些“共邊三角形”的面積；（2）求證：；（3）若將“為的中點(diǎn)”條件，改為“”，則_