預(yù)測 07 銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用【有答案】

預(yù)測07銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用是全國中考的熱點(diǎn)內(nèi)容！銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用就是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題。1．從考點(diǎn)頻率看，銳角三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用是高頻考點(diǎn)，通常利用正弦、余弦、正切的定義和特殊角的三角函數(shù)值來解決問題。2．從題型角度看，以解答題為主，分值9分左右！特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)定義30°45°60°sincostan仰角和俯角的定義坡比的定義坡比==tanα1．（2019年新疆中考）如圖，一艘海輪位于燈塔P的東北方向，距離燈塔80海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東30°方向上的B處．（1）求海輪從A處到B處的途中與燈塔P之間的最短距離（結(jié)果保留根號）；（2）若海輪以每小時30海里的速度從A處到B處，試判斷海輪能否在5小時內(nèi)到達(dá)B處，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【答案】（1）海輪從A處到B處的途中與燈塔P之間的最短距離為40海里；（2）海輪以每小時30海里的速度從A處到B處，不能在5小時內(nèi)到達(dá)B處．【解析】（1）作PC⊥AB于C，如圖所示：則∠PCA=∠PCB=90°，由題意得：PA=80，∠APC=45°，∠BPC=90°-30°=60°，∴△APC是等腰直角三角形，∠B=30°，∴AC=PC=PA=40．答：海輪從A處到B處的途中與燈塔P之間的最短距離為40海里；（2）海輪以每小時30海里的速度從A處到B處，海輪不能在5小時內(nèi)到達(dá)B處，理由如下：∵∠PCB=90°，∠B=30°，∴BC=PC=40，∴AB=AC+BC=40+40，∴海輪以每小時30海里的速度從A處到B處所用的時間=≈5.15（小時）＞5小時，∴海輪以每小時30海里的速度從A處到B處，不能在5小時內(nèi)到達(dá)B處．【名師點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用、方向角的概念、直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．2．（2019年河南中考）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)21m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°=0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）【答案】炎帝塑像DE的高度約為51m．【解析】∵∠ACE=90°，∠CAE=34°，CE=55m，∴tan∠CAE=，∴AC==≈82.1（m），∵AB=21m，∴BC=AC–AB=61.1（m），在Rt△BCD中，tan60°==，∴CD=BC≈1.73×61.1≈105.7（m），∴DE=CD–EC=105.7–55≈51（m）.答：炎帝塑像DE的高度約為51m．【名師點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解，難度適中．3．（2019年甘肅中考）為了保證人們上下樓的安全，樓梯踏步的寬度和高度都要加以限制．中小學(xué)樓梯寬度的范圍是260mm～300mm含（300mm），高度的范圍是120mm～150mm（含150mm）．如圖是某中學(xué)的樓梯扶手的截面示意圖，測量結(jié)果如下：AB，CD分別垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，試問該中學(xué)樓梯踏步的寬度和高度是否符合規(guī)定．（結(jié)果精確到1mm，參考數(shù)據(jù)：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）【答案】該中學(xué)樓梯踏步的寬度和高度都符合規(guī)定．【解析】如圖，連接BD，作DM⊥AB于點(diǎn)M，∵AB=CD，AB，CD分別垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB=CD，∴四邊形ABDC是平行四邊形，∴∠C=∠ABD，AC=BD，∵∠C=65°，AC=900，∴∠ABD=65°，BD=900，∴BM=BD?cos65°=900×0.423≈381，DM=BD?sin65°=900×0.906≈815，∵381÷3=127，120＜127＜150，∴該中學(xué)樓梯踏步的高度符合規(guī)定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，∴該中學(xué)樓梯踏步的寬度符合規(guī)定，由上可得，該中學(xué)樓梯踏步的寬度和高度都符合規(guī)定．【名師點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．（2019年天津中考）如圖，海面上一艘船由西向東航行，在A處測得正東方向上一座燈塔的最高點(diǎn)C的仰角為31°，再向東繼續(xù)航行30m到達(dá)B處，測得該燈塔的最高點(diǎn)C的仰角為45°，根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，計算這座燈塔的高度CD（結(jié)果取整數(shù)）．參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．【答案】這座燈塔的高度CD約為45m．【解析】在Rt△CAD中，tan∠CAD=，則AD=≈CD，在Rt△CBD中，∠CBD=45°，∴BD=CD，∵AD=AB+BD，∴CD=CD+30，解得CD=45，答：這座燈塔的高度CD約為45m．【名師點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用–仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．（2019年海南中考）如圖是某區(qū)域的平面示意圖，碼頭A在觀測站B的正東方向，碼頭A的北偏西60°方向上有一小島C，小島C在觀測站B的北偏西15°方向上，碼頭A到小島C的距離AC為10海里．（1）填空：∠BAC=__________度，∠C=__________度；（2）求觀測站B到AC的距離BP（結(jié)果保留根號）．【答案】（1）30，45；（2）觀測站B到AC的距離BP為（5–5）海里．【解析】（1）由題意得：∠BAC=90°–60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，∴∠C=180°–∠BAC–∠ABC=45°；故答案為：30，45；（2）∵BP⊥AC，∴∠BPA=∠BPC=90°，∵∠C=45°，∴△BCP是等腰直角三角形，∴BP=PC，∵∠BAC=30°，∴PA=BP，∵PA+PC=AC，∴BP+BP=10，解得BP=5–5．答：觀測站B到AC的距離BP為（5–5）海里．【名師點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用–方向角問題，通過解直角三角形得出方程是解題的關(guān)鍵．1．（2019年四川省成都市中考一模數(shù)學(xué)試題）某學(xué)校為增加體育館觀眾坐席數(shù)量，決定對體育館進(jìn)行施工改造．如圖，為體育館改造截面示意圖．已知原座位區(qū)最高點(diǎn)A到地面的鉛直高度AC長度為15米，原坡面AB的傾斜角∠ABC為45°，原坡腳B與場館中央的運(yùn)動區(qū)邊界的安全距離BD為5米．如果按照施工方提供的設(shè)計方案施工，新座位區(qū)最高點(diǎn)E到地面的鉛直高度EG長度保持15米不變，使A、E兩點(diǎn)間距離為2米，使改造后坡面EF的傾斜角∠EFG為37°．若學(xué)校要求新坡腳F需與場館中央的運(yùn)動區(qū)邊界的安全距離FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），請問施工方提供的設(shè)計方案是否滿足安全要求呢？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，tan37°≈）【答案】不滿足安全要求,理由見解析．【解析】【分析】在Rt△ABC中，由∠ACB=90°，AC=15m，∠ABC=45°可求得BC=15m；在Rt△EGD中，由∠EGD=90°，EG=15m，∠EFG=37°，可解得GF=20m；通過已知條件可證得四邊形EACG是矩形，從而可得GC=AE=2m；這樣可解得：DF=GC+BC+BD-GF=2+15+5-20=2<2.5，由此可知：“設(shè)計方案不滿足安全要求”.【詳解】解：施工方提供的設(shè)計方案不滿足安全要求，理由如下：在Rt△ABC中，AC=15m，∠ABC=45°，∴BC==15m．在Rt△EFG中，EG=15m，∠EFG=37°，∴GF=≈=20m．∵EG=AC=15m，AC⊥BC，EG⊥BC，∴EG∥AC，∴四邊形EGCA是矩形，∴GC=EA=2m，∴DF=GC+BC+BD-GF=2+15+5-20=2<2.5.∴施工方提供的設(shè)計方案不滿足安全要求．2．（2020年安徽省阜陽市太和縣九年級第二次調(diào)研模擬預(yù)測試題）如圖是某品牌自行車的最新車型實(shí)物圖和簡化圖，它在輕量化設(shè)計、剎車、車籃和座位上都做了升級．A為后胎中心，經(jīng)測量車輪半徑AD為30cm，中軸軸心C到地面的距離CF為30cm，座位高度最低刻度為155cm，此時車架中立管BC長為54cm，且∠BCA＝71°．（參考數(shù)據(jù)：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求車座B到地面的高度（結(jié)果精確到1cm）；（2）根據(jù)經(jīng)驗，當(dāng)車座B'到地面的距離B'E'為90cm時，身高175cm的人騎車比較舒適，此時車架中立管BC拉長的長度BB'應(yīng)是多少？（結(jié)果精確到1cm）【答案】（1）車座B到地面的高度是81cm；（2）車架中立管BC拉長的長度BB'應(yīng)是6cm．【解析】【分析】（1）根據(jù)上題證得的結(jié)論分別求得BH的長，利用正弦函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；（2）設(shè)B'E'與AC交于點(diǎn)H'，則有B'H'∥BH，得到△B'H'C∽△BHC，利用相似三角形的性質(zhì)求得BB'的長即可．【詳解】（1）設(shè)AC于BE交于H，∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，∴AD∥CF∥HE，∵AD＝30cm，CF＝30cm，∴AD＝CF，∴四邊形ADFC是平行四邊形，∵∠ADF＝90°，∴四邊形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝30cm，∵BC長為54cm，且∠BCA＝71°，∴BH＝BC?sin71°＝51.3cm，∴BE＝BH+EH＝BH+AD＝51.3+30≈81cm；答：車座B到地面的高度是81cm；（2）如圖所示，B'E'＝96.8cm，設(shè)B'E'與AC交于點(diǎn)H'，則有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得．即，∴B'C＝cm．故BB'＝B'C﹣BC＝60﹣54＝6（cm）．∴車架中立管BC拉長的長度BB'應(yīng)是6cm．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用、切線的性質(zhì)解解直角三角形的應(yīng)用，解題的難點(diǎn)在于從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)問題，難度較大．3．（2020年湖北省棗陽市太平一中中考數(shù)學(xué)模擬題）已知：如圖，一艘漁船正在港口A的正東方向40海里的B處進(jìn)行捕魚作業(yè)，突然接到通知，要該船前往C島運(yùn)送一批物資到A港，已知C島在A港的北偏東60°方向，且在B的北偏西45°方向．問該船從B處出發(fā)，以平均每小時20海里的速度行駛，需要多少時間才能把這批物資送到A港(精確到1小時)（該船在C島停留半個小時）?（，，）【答案】3小時.【解析】【分析】作CD⊥AB于D點(diǎn)．設(shè)CD=x海里，在直角△ACD中，利用x表示出AC，AD，同理表示出BD，BC，根據(jù)AB=40即可列出方程求得CD的長，則AC+CB即可求得，然后除以速度即可得到時間．【詳解】作CD⊥AB于D點(diǎn)．設(shè)CD=x海里，在直角△ACD中，∠CAD=90°-60°=30°，則AC=2x，AD=x，在直角△BCD中，∠CBD=45°，則BD=CD=x，BC=CD=x，∵AB=40，即AD+BD=40，∴x+x=40，解得：x=20（-1），∴BC=20（-1）=20-20，AC=2x=40（-1），則總路程是：20-20+40（-1）海里，則時間是：（小時）．∵該船C島停留半個小時，∴需要3小時能把這批物資送到A港．4.（2020年江西中考數(shù)學(xué)四模試題）如圖（1）是一種簡易臺燈，在其結(jié)構(gòu)圖（2）中燈座為△ABC（BC伸出部分不計），A、C、D在同一直線上．量得∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∠ADE=135°，燈桿CD長為40cm，燈管DE長為15cm．（參考數(shù)據(jù)：sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27，sin30°=0.5，cos30°=0.87，tan30°=0.58．）（1）求DE與水平桌面（AB所在直線）所成的角；（2）求臺燈的高（點(diǎn)E到桌面的距離，結(jié)果精確到0.1cm）．【答案】（1）15°；（2）45.7cm【解析】【分析】（1）過點(diǎn)D作DF∥AB，過點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，EF⊥AB于點(diǎn)M，進(jìn)而可得出∠EDF的值；（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DN以及EF的值，進(jìn)而得出答案．詳解】（1）如圖所示：過點(diǎn)D作DF∥AB，過點(diǎn)D作DN⊥AB于點(diǎn)N，EF⊥AB于點(diǎn)M，由題意可得：四邊形DNMF是矩形，則∠NDF=90°．∵∠A=60°，∠AND=90°，∴∠ADN=30°，∴∠EDF=135°﹣90°﹣30°=15°，即DE與水平桌面(AB所在直線)所成的角為15°；（2）如圖所示：∵∠ACB=90°，∠A=60°，AB=16cm，∴∠ABC=30°，則ACAB=8．∵燈桿CD長為40，∴AD=48，∴DN=AD?cos30°=48×0.87=41.76，則FM=41.76．∵燈管DE長為15，∴sin15°0.26，解得：EF=3.9，故臺燈的高為：3.9+41.76≈45.7(cm)．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確應(yīng)用銳角三角函數(shù)關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．5．（2020年山西省3月中考數(shù)學(xué)模擬試題）某校門口豎著“前方學(xué)校，減速慢行”的交通指示牌CD，數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”小組的同學(xué)將“測量交通指示牌CD的高度”作為一項課題活動，他們定好了如下測量方案：項目內(nèi)容課題測量交通指示牌CD的高度測量示意圖測量步驟(1)從交通指示牌下的點(diǎn)M處出發(fā)向前走10米到達(dá)A處；(2)在點(diǎn)A處用量角儀測得∠DAM＝27°；(3)從點(diǎn)A沿直線MA向前走10米到達(dá)B處；(4)在點(diǎn)B處用量角儀測得∠CBA＝18°．請你幫助該小組同學(xué)根據(jù)上表中的測量數(shù)據(jù)，求出交通指示牌CD的高度．(參考數(shù)據(jù)sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)【答案】交通指示牌CD的高度約為1.3米．【解析】【分析】在△CMB中求出CM的長度，在△ADM中，求出DM的長度，最后利用CD＝CM－DM得出結(jié)果.【詳解】解：在Rt△CMB中，∵∠CMB＝90°，MB＝AM＋AB＝20米，∠CBA＝18°，∴CM＝MB·tan18°＝20tan18°(米)．在Rt△ADM中，∵∠AMD＝90°，∠MAD＝27°，∴DM＝AM·tan27°＝10tan27°(米)，∴CD＝CM－DM＝20tan18°－10tan27°≈1.3(米)．答：交通指示牌CD的高度約為1.3米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形-仰角、俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角找到直角三角形各邊之間的聯(lián)系，從而求解．6．（2019年河南省南陽市鎮(zhèn)平縣中考數(shù)學(xué)三模試卷）如圖所示，圖1，圖2分別是某款高壓電塔的實(shí)物圖和示意圖電塔的底座AB與地面平齊，DF表示電塔頂端D到地面的距離，已知AF的長是2米，支架AC與地面夾角∠BAC＝86°，頂端支架DC長10米，DC與水平線CE之間夾角∠DCE＝45°，求電塔的高度DF．（sin86°＝0.998，cos86°＝0.070，tan86°＝14.300，≈1.4，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】電塔的高度DF約為79米．【解析】【分析】過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，解Rt△DCE，求出CE＝DE＝FG≈7，那么AG＝GF﹣AF≈5．再解Rt△ACG，求出EF＝CG＝71.5，代入DF＝DE+EF即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CG⊥AB于G，則四邊形CEFG是矩形，∴CE＝FG，CG＝EF．在Rt△DCE中，∵∠DCE＝45°，CD＝10，∴DE＝CD?sin∠DCE＝10×＝5≈7，∴CE＝DE＝FG≈7，∴AG＝GF﹣AF≈7﹣2＝5．在Rt△ACG中，∵∠CAG＝86°，AG＝5，∴CG＝AG?tan∠CAG＝5×14.3＝71.5，∴EF＝CG＝71.5，∴DF＝DE+EF＝7+71.5≈79（米）．答：電塔的高度DF約為79米．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.7．（廣東省佛山市南海外國語學(xué)校2019-2020學(xué)年九年級下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）如圖是某地下商業(yè)街的入口，數(shù)學(xué)課外興趣小組同學(xué)打算運(yùn)用所學(xué)知識測量側(cè)面支架最高點(diǎn)E到地面距離EF．經(jīng)測量，支架立柱BC與地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5cm，點(diǎn)F、A、C在同一條水平線上，斜桿AB與水平線AC夾角∠BAC=30°，支撐桿DE⊥AB于點(diǎn)D，該支架邊BE與AB夾角∠EBD=60°，又測得AD=1m．請你求出該支架邊BE及頂端E到地面距離EF長度．【答案】EB=4mEF=3.5（m）【解析】分析：過B作BH⊥EF于點(diǎn)H，在Rt△ABC中，根據(jù)∠BAC=30°，BC=1.5，可求得AB的長度，又AD=1m，可求得BD的長度，在Rt△EBD中解直角三角形求得EB的長度，然后根據(jù)BH⊥EF，求得∠EBH=30°，繼而可求得EH的長度，易得EF=EH+HF的值．解：過B作BH⊥EF于點(diǎn)H，∴四邊形BCFH為矩形，BC=HF=1.5m，∠HBA=∠AC=30°．在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，BC=1.5m，∴AB=3m．∵AD=1m，∴BD=2m．在Rt△EDB中，∵∠EBD=60°，∴∠BED=90°－60°=30°．∴EB=2BD=2×2=4m．又∵∠HBA=∠BAC=30°，∴∠EBH=∠EBD－－∠HBD=30°，∴EH=EB=2m．∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5（m）．答：該支架的邊BE為4m，頂端E到地面的距離EF的長度為3.5m.8.（2019年河南省實(shí)驗中學(xué)中考三模數(shù)學(xué)試卷）某機(jī)場為了方便旅客換乘，計劃在一、二層之間安裝電梯，截面設(shè)計圖如圖所示，已知兩層AD與BC平行，層高AB為8米，A、D間水平距離為5米，∠ACB＝21.5°，（1）通過計算說明身高2.4米的人在豎直站立的情況下，搭乘電梯在D處會不會碰到頭部；（2）若采用中段加平臺設(shè)計（如圖虛線所示），已知平臺MN∥BC，且AM段和NC段的坡度均為1：2（坡度是指坡面的鉛直高度與水平寬度的比），求平