河北省2022年中考數(shù)學(xué)人教版總復(fù)習(xí)教學(xué)案-第三章第2節(jié)一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

第二節(jié)一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)【課標(biāo)要求】☆能畫出一次函數(shù)的圖象，根據(jù)一次函數(shù)的圖象和表達(dá)式y(tǒng)＝kx＋b(k≠0)探索并理解k>0和k<0時，圖象的變化情況．☆理解正比例函數(shù)．☆會利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式．【教材對接】人教：八下第十九章P86～101；冀教：八下第二十一章P84～98，P106～108；北師：八上第四章P79～88，第五章P123～125，八下第二章P50～53.一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念1．(1)一次函數(shù)：一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．(2)當(dāng)b＝0時，y＝kx(k≠0)為正比例函數(shù)，正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)．【方法點撥】正比例函數(shù)一定是一次函數(shù)，但一次函數(shù)不一定是正比例函數(shù)．【基礎(chǔ)練1】下列函數(shù)中，y是x的一次函數(shù)的是(C)A.y＝－3x2B．y＝2eq\r(x)C.y＝eq\f(x,π)D．y＝eq\f(1,x)一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)2．一次函數(shù)的圖象一次函數(shù)圖象一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象是經(jīng)過點(0，b)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,k)，0))的一條直線圖象關(guān)系一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象可由正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的圖象平移得到(b＞0，向上平移b個單位長度；b＜0，向下平移|b|個單位長度)圖象確定由“一次函數(shù)的圖象是一條直線”及“兩點確定一條直線”可知，畫一次函數(shù)圖象時，只要取兩點即可3.一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)k，b符號k＞0k＜0b＞0b＜0b＝0b＞0b＜0b＝0圖象續(xù)表經(jīng)過的象限第一、二、三象限第一、三、四象限第一、三象限第一、二、四象限第二、三、四象限第二、四象限增減性圖象呈上升趨勢，y隨x的增大而增大圖象呈下降趨勢，y隨x的增大而減小與坐標(biāo)軸的交點與x軸的交點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,k)，0))，與y軸的交點坐標(biāo)為(0，b)【基礎(chǔ)練2】(1)已知正比例函數(shù)y＝kx(k≠0)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，則一次函數(shù)y＝－kx＋k的圖象大致是(B)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))(2)關(guān)于一次函數(shù)y＝－2x＋4的結(jié)論錯誤的是(D)A．函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限B．函數(shù)的圖象與x軸的交點坐標(biāo)是(2，0)C．函數(shù)的圖象向下平移4個單位長度得y＝－2x的圖象D．若A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點在該函數(shù)圖象上，且x1＜x2，則y1＜y24．一次函數(shù)圖象的平移(1)上下平移|m|個單位長度：y＝kx＋b?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b＋m（上移），,y＝kx＋b－m（下移）；))(2)左右平移|n|個單位長度：y＝kx＋b?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋n）＋b（左移），,y＝k（x－n）＋b（右移）．))口訣：上加下減常數(shù)項，左加右減自變量．【知識拓展】對于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，(1)k1＝k2，b1≠b2?l1∥l2；(2)k1·k2＝－1?l1⊥l2.5．一次函數(shù)表達(dá)式的確定(1)方法：待定系數(shù)法(2)一般步驟①設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b；②用圖象上的點A(x1，y1)，B(x2，y2)的橫縱坐標(biāo)分別去替換函數(shù)表達(dá)式中的x和y，得到二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＝kx1＋b，,y2＝kx2＋b；))③解方程組，求出k，b的值；④將k，b代回所設(shè)表達(dá)式中．【基礎(chǔ)練3】(1)直線y＝kx－4經(jīng)過點(－2，2)，則該直線的解析式是(A)A．y＝－3x－4B．y＝－x－4C．y＝x－4D．y＝3x－4(2)已知：將直線y＝x－1向上平移2個單位長度后得到直線y＝kx＋b，則下列關(guān)于直線y＝kx＋b的說法正確的是(C)A．經(jīng)過第一、二、四象限B．與x軸交于(1，0)C．與y軸交于(0，1)D．y隨x的增大而減小一次函數(shù)與方程(組)、不等式的關(guān)系6．一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系方程kx＋b＝0的解x＝－eq\f(b,k)是一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸交點A的橫坐標(biāo)．7．一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系(1)從“數(shù)”上看：①kx＋b＞0的解集是y＝kx＋b中，y＞0時x的取值范圍；②kx＋b＜0的解集是y＝kx＋b中，y＜0時x的取值范圍；(2)從“形”上看：①kx＋b＞0的解集是函數(shù)y＝kx＋b的圖象位于x軸以上部分對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)；②kx＋b＜0的解集是函數(shù)y＝kx＋b的圖象位于x軸以下部分對應(yīng)的點的橫坐標(biāo)．8．一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＝k1x＋b1，,y2＝k2x＋b2))的解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m，,y＝n))是對應(yīng)兩個一次函數(shù)圖象交點B的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)．一次函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合9．求交點坐標(biāo)(1)與x軸交點?令y＝0，解方程即可；(2)與y軸交點?令x＝0，解方程即可；(3)兩個一次函數(shù)圖象的交點?聯(lián)立兩個函數(shù)解析式，組成方程組，解之即可．10．求三角形面積(1)一條直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積：如圖1，S△ABO＝eq\f(1,2)OA·OB＝eq\f(1,2)|xA|·|yB|；(2)兩條直線與x軸圍成的三角形的面積：如圖2，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)|xC－xB|·|yA|；(3)兩條直線與y軸圍成的三角形的面積：如圖3，S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)|yB－yC|·|xA|.【溫馨提示】求三角形面積的關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化成底在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的三角形面積求解．【基礎(chǔ)練4】(1)如果一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象如圖所示，那么當(dāng)y＞0時，x的取值范圍是x＜2．eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，陰影部分的面積為1．eq\a\vs4\al(一次函數(shù)的圖象及性質(zhì))【例1】已知一次函數(shù)y1＝ax＋b和y2＝bx＋a(a≠b).函數(shù)y1和y2的圖象可能是(A)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))【解題思路】本題考查一次函數(shù)的圖象．①當(dāng)a＞0，b＞0時，y1，y2的圖象都經(jīng)過第一、二、三象限；②當(dāng)a＜0，b＜0時，y1，y2的圖象都經(jīng)過第二、三、四象限；③當(dāng)a＞0，b＜0時，y1的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，y2的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；④當(dāng)a＜0，b＞0時，y1的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，y2的圖象經(jīng)過第一、三、四象限．1．(2021·唐山遵化市一模)一次函數(shù)y＝kx－1的圖象經(jīng)過點P，且y的值隨x值的增大而增大，則點P的坐標(biāo)可以為(C)A．(－5，3)B．(1，－3)C．(2，2)D．(5，－1)2．在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，若直線y＝3x－1與直線y＝x－k的交點在第四象限的角平分線上，則k的值為(C)A．k＝－eq\f(1,2)B．k＝eq\f(1,3)C．k＝eq\f(1,2)D．k＝13．若一次函數(shù)y＝(2m－3)x－1＋m的圖象不經(jīng)過第三象限，則m的取值范圍是(B)A．1<m<eq\f(3,2)B．1≤m<eq\f(3,2)C．1<m≤eq\f(3,2)D．1≤m≤eq\f(3,2)eq\a\vs4\al(一次函數(shù)表達(dá)式的確定及綜合)【例2】如圖，直線l1的表達(dá)式為y＝－3x＋3，且l1與x軸交于點D，直線l2經(jīng)過點A，B，直線l1，l2交于點C.(1)求點D的坐標(biāo)；(2)求直線l2的表達(dá)式；(3)求△ADC的面積；(4)在直線l2上存在異于點C的另一點P，使得△ADP與△ADC的面積相等，請直接寫出點P的坐標(biāo)．【解題思路】(1)令直線l1中的y＝0求出x的值即可求出點D的坐標(biāo)；(2)由A，B兩點的坐標(biāo)即可確定l2的表達(dá)式；(3)先求出點C的坐標(biāo)再計算面積；(4)由面積先求出點P的縱坐標(biāo)，再代入l2的表達(dá)式求其橫坐標(biāo)即可．【解答】解：(1)y＝－3x＋3中，令y＝0，得－3x＋3＝0.解得x＝1.∴點D的坐標(biāo)是(1，0)；(2)由圖可知直線l2過點A(4，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，－\f(3,2)))，設(shè)其表達(dá)式為y＝kx＋b，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＝4k＋b，,－\f(3,2)＝3k＋b.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(3,2)，,b＝－6.))∴直線l2的表達(dá)式是y＝eq\f(3,2)x－6；(3)由點A(4，0)和點D(1，0)，得AD＝3.又點C是直線l1和l2的交點，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－3x＋3，,y＝\f(3,2)x－6.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－3.))∴C(2，－3).∴S△ADC＝eq\f(1,2)AD·|yC|＝eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)；(4)P(6，3).[∵△ADC和△ADP面積相等且有公共邊AD，∴點P到x軸的距離等于點C到x軸的距離，即點P的縱坐標(biāo)等于3，則eq\f(3,2)x－6＝3，解得x＝6，即P(6，3).]4．一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點．已知OA＋OB＝6(O為坐標(biāo)原點)．且S△ABO＝4，則這個一次函數(shù)的解析式為(D)A．y＝－eq\f(1,2)x＋2B．y＝－2x＋4C．y＝eq\f(2,3)x＋eq\f(1,6)D.y＝－eq\f(1,2)x＋2或y＝－2x＋45．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y1＝2x＋4分別與x軸、y軸交于A，B兩點，以線段OB為一條邊向右側(cè)作矩形OCDB，且點D在直線y2＝－x＋b上，若矩形OCDB的面積為20，直線y1＝2x＋4與直線y2＝－x＋b交于點P.則P的坐標(biāo)為(C)A．(2，8)B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,3)，\f(31,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(22,3)))D．(4，12)eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第5題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第6題圖）))6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個3×3的正方形網(wǎng)格，其右下角格點(小正方形的頂點)A的坐標(biāo)為(－1，1)，左上角格點B的坐標(biāo)為(－4，4)，若分布在過定點(－1，0)的直線y＝－k(x＋1)兩側(cè)的格點數(shù)相同，則k的取值可以是(B)A．eq\f(5,2)B．eq\f(7,4)C．2D．eq\f(3,2)7．如圖，點O是坐標(biāo)原點，直線l：y＝x＋1與y軸交于點A1，以O(shè)A1為邊向右構(gòu)造正方形OA1B1C1，使點C1落在x軸上，延長C1B1交直線l于點A2，再以C1A2為邊向右構(gòu)造正方形C1A2B2C2，使點C2落在x軸上，…，按此規(guī)律依次作正方形，則B1B2021所在直線的解析式為y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)．一次函數(shù)與方程(組)、不等式【例3】如圖，直線AC：y＝eq\f(1,2)x＋n交y軸于點C(0，1)，直線BD：y＝－x＋m交x軸于點B(4，0)，兩直線交于點P，根據(jù)圖中的信息解答下列問題：(1)不等式eq\f(1,2)x＋n＜1的解集是__________________，不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋n＞1，,－x＋m≥0))的解集是______________；(2)求點P的坐標(biāo)．【解題思路】(1)利用圖象直接得出結(jié)論；直接利用圖象得出兩個不等式的解集，即可得出結(jié)論；(2)先求出直線AC和BD的解析式，聯(lián)立方程組求解，即可得出結(jié)論．【解答】解：(1)x＜0；0＜x≤4；[∵直線AC：y＝eq\f(1,2)x＋n交y軸于點C(0，1)，∴不等式eq\f(1,2)x＋n＜1的解集是x＜0.∵直線AC：y＝eq\f(1,2)x＋n交y軸于點C(0，1)，∴不等式eq\f(1,2)x＋n＞1的解集為x＞0.∵直線BD：y＝－x＋m交x軸于點B(4，0)，∴不等式－x＋m≥0的解集為x≤4.∴不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋n＞1，,－x＋m≥0))的解集是0＜x≤4.](2)∵直線y＝eq\f(1,2)x＋n交y軸于點C(0，1)，∴eq\f(1,2)×0＋n＝1.解得n＝1.∴y＝eq\f(1,2)x＋1.∵直線y＝－x＋m交x軸于點B(4，0)，∴0＝－4＋m.解得m＝4.∴y＝－x＋4.,聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋1，,y＝－x＋4.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2.))∴點P的坐標(biāo)為(2，2).8．(2021·邯鄲叢臺區(qū)二模)如圖，一次函數(shù)y＝kx＋b與y＝x＋2的圖象相交于點P(m，4)，則關(guān)于x，y的二元一次方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y＝x＋2))的解是(D)A．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝4))B．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝4))C．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2.4，,y＝4))D．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第8題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第9題圖）))9．如圖，已知直線y＝3x＋b與y＝ax－2的交點的橫坐標(biāo)為－2，根據(jù)圖象有下列3個結(jié)論：①a＞0；②b＜0；③x＝－2是方程3x＋b＝ax－2的解，其中正確的個數(shù)是(C)A．0B．1C．2D．310．如圖，經(jīng)過點B(－2，0)的直線y＝kx＋b與直線y＝4x＋2相交于點A(－1，－2)，4x＋2＜kx＋b＜0的解集為(B)A．x＜－2B．－2＜x＜－1C．x＜－1D．x＞－1eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第10題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（第11題圖）))11．已知一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式3kx－b＞0的解集為x＜2．一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)(5年未考)1．(2016·河北中考)若k≠0，b<0，則y＝kx＋b的圖象可能是(B)eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))2．(2021·唐山一模)已知一次函數(shù)y＝ax＋a＋2的圖象與y軸的正半軸相交，且y隨x的增大而減小，則a的值可以是(B)A．eq\f(1,4)B．－1C．－2D．eq\f(1,2)一次函數(shù)與幾何圖形結(jié)合的相關(guān)計算(5年3考)3．(2018·河北中考)如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝－eq\f(1,2)x＋5的圖象l1分別與x軸、y軸交于A，B兩點，正比例函數(shù)的圖象l2與l1交于點C(m，4).(1)求m的值及l(fā)2的解析式；(2)求S△AOC－S△BOC的值；(3)一次函數(shù)y＝kx＋1的圖象為l3，且l1，l2，l3不能圍成三角形，直接寫出k的值．解：(1)∵C(m，4)在直線y＝－eq\f(1,2)x＋5上，∴4＝－eq\f(1,2)m＋5.解得m＝2.∴C(2，4).設(shè)l2的解析式為y＝kx.∵C(2，4)在l2上，∴4＝2k，即k＝2.∴l(xiāng)2的解析式為y＝2x；(2)令y＝－eq\f(1,2)x＋5＝0，得x＝10.∴OA＝10.令x＝0，得y＝5.∴OB＝5.∴S△AOC＝eq\f(1,2)×10×4＝20，S△BOC＝eq\f(1,2)×5×2＝5.∴S△AOC－S△BOC＝20－5＝15；(3)k＝－eq\f(1,2)或2或eq\f(3,2).[分三種情況：①l3∥l1；②l3∥l2；③l3與C點相交．]4．(2020·河北中考)表格中的兩組對應(yīng)值滿足一次函數(shù)y＝kx＋b，現(xiàn)畫出了它的圖象為直線l，如圖所示．而某同學(xué)為觀察k，b對圖象的影響，將上面函數(shù)中的k與b交換位置后得另一個一次函數(shù)，設(shè)其圖象為直線l′.x－10y－21(1)求直線l的解析式；(2)請在圖上畫出直線l′(不要求列表計算)，并求直線l′被直線l和y軸所截線段的長；(3)設(shè)直線y＝a與直線l，l′及y軸有三個不同的交點，且其中兩點關(guān)于第三點對稱，直接寫出a的值．解：(1)由表中數(shù)據(jù)可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－k＋b＝－2，,b＝1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝3，,b＝1.))∴直線l的解析式為y＝3x＋1；(2)由(1)可得直線l′的解析式為y＝x＋3.畫出直線l′如圖所示，且過點A(0，3).聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x＋1，,y＝x＋3.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝