專題1.8 二次函數(shù)重難點(diǎn)應(yīng)用題歸納（六大題型）（原卷版）

專題1.8二次函數(shù)重難點(diǎn)應(yīng)用題歸納（六大題型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1運(yùn)動(dòng)類-落地類型】【題型2運(yùn)動(dòng)類-最值類型】【題型3經(jīng)濟(jì)類問題-與一次函數(shù)綜合問題】【題型4經(jīng)濟(jì)類問題-每每問題】【題型5面積類問題】【題型6拱橋類問題】【模型1：運(yùn)動(dòng)類】（1）落地模型最值模型【模型2：經(jīng)濟(jì)類】銷售問題常用等量關(guān)系：利潤=收入-成本；利潤=單件利潤×銷量；【模型3：面積類】【模型4：拱橋類】一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題．【題型1運(yùn)動(dòng)類-落地類型】【典例1】（2023?方城縣一模）擲實(shí)心球是蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項(xiàng)目．如圖1是一名女生投實(shí)心球，實(shí)心球行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，擲出時(shí)起點(diǎn)處高度為，當(dāng)水平距離為3m時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)3m處．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．（2）根據(jù)蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試評分標(biāo)準(zhǔn)（女生），投擲過程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離大于等于6.70m，此項(xiàng)考試得分為滿分10分．該女生在此項(xiàng)考試中是否得滿分，請說明理由．【變式1-1】（2023?大連模擬）已知實(shí)心球運(yùn)動(dòng)的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系是y＝﹣（x﹣1）2+4，則該同學(xué)此次投擲實(shí)心球的成績是（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m【變式1-2】（2022秋?牡丹區(qū)校級期末）校運(yùn)動(dòng)會上，某運(yùn)動(dòng)員擲鉛球時(shí)，他所擲的鉛球的高h(yuǎn)（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系滿足h＝﹣x2+x+，則該運(yùn)動(dòng)員擲鉛球的成績是（）A．6m B．10m C．8m D．12m【變式1-3】（2022秋?西華縣期中）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h＝30t﹣5t2，小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)所需的時(shí)間是（）A．2s B．3s C．4s D．5s【變式1-4】（2023?靜樂縣一模）2022年的卡塔爾世界杯受到廣泛關(guān)注，在半決賽中，梅西的一腳射門將足球沿著拋物線飛向球門，此時(shí)，足球距離地面的高度h與足球被踢出后經(jīng)過的時(shí)間t之間的關(guān)系式為h＝﹣t2+bt．已知足球被踢出9s時(shí)落地，那么足球到達(dá)距離地面最大高度時(shí)的時(shí)間l為（）A．3s B．3.5s C．4s D．4.5s【變式1-5】（2023春?陽山縣校級期中）在羽毛球比賽中，某次羽毛球的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線y＝﹣x2+x+1的一部分（如圖所示，水平地面為x軸，單位：m），則下列說法不正確的是（）A．出球點(diǎn)A離點(diǎn)O的距離是1m B．羽毛球橫向飛出的最遠(yuǎn)距離是3m C．羽毛球最高達(dá)到m D．當(dāng)羽毛球橫向飛出m時(shí)，可到達(dá)最高點(diǎn)【變式1-6】（2023?沭陽縣模擬）小敏在今年的校運(yùn)動(dòng)會跳高比賽中跳出了滿意一跳，函數(shù)h＝3.5t﹣4.9t2（t的單位：s，h的單位：m）可以描述他跳躍時(shí)重心高度的變化，則他起跳后到重心最高時(shí)所用的時(shí)間是s．【題型2運(yùn)動(dòng)類-最值類型】【典例2】（2022秋?樂亭縣期末）飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：m）與滑行的時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)解析式是s＝60t﹣1.5t2，那么飛機(jī)著陸后滑行多長時(shí)間才能停下來（）A．10s B．20s C．30s D．40s【變式2-1】（2021秋?廈門期末）某種爆竹點(diǎn)燃后升空，并在最高處燃爆．該爆竹點(diǎn)燃后離地高度h（單位：m）關(guān)于離地時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)解析式是h＝20t﹣5t2，其中t的取值范圍是（）A．t≥0 B．0≤t≤2 C．2≤t≤4 D．0≤t≤4【變式2-2】（2023春?青秀區(qū)校級期末）某學(xué)校航模組設(shè)計(jì)制作的火箭升空高度h（m）與飛行時(shí)間t（s）滿足函數(shù)關(guān)系式為h＝﹣t2+14t+3，當(dāng)火箭升空到最高點(diǎn)時(shí)，距離地面m．【變式2-3】（2023?襄陽模擬）某種型號的小型無人機(jī)著陸后滑行的距離S（米）關(guān)于滑行的時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式是S＝﹣0.25t2+8t，無人機(jī)著陸后滑行秒才能停下來．【變式2-4】（2023?襄城區(qū)校級二模）飛機(jī)著陸后滑行的距離y（單位：m）關(guān)于滑行時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)解析式是y＝60t﹣t2，飛機(jī)著陸至停下來共滑行．【變式2-5】（2022秋?南崗區(qū)校級期中）飛機(jī)著陸后滑行的距離y（單位：m）與滑行時(shí)間t（單位：s）函數(shù)解析式y(tǒng)＝﹣1.5t2+60t，在飛機(jī)著陸滑行中，最后4秒滑行的距離是m．【題型3經(jīng)濟(jì)類問題-與一次函數(shù)綜合】【典例3】（2022秋?建昌縣期末）2022年11月，“中國傳統(tǒng)制茶技藝及其相關(guān)習(xí)俗”申遺成功，弘揚(yáng)茶文化，倡導(dǎo)“和美雅靜”的生活方式已成時(shí)尚．某茶商經(jīng)銷某品牌茶，成本為50元/千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每周的銷量y（千克）與銷售單價(jià)x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)列表如下：銷售單價(jià)x（元/千克）566575…銷量y（千克）12811090…（1）求y與x的一次函數(shù)關(guān)系式；（2）求該茶商這一周銷售該品牌茶葉所獲利潤w（元）的最大值．【變式3-1】（2023?新?lián)釁^(qū)模擬）某大學(xué)生創(chuàng)業(yè)團(tuán)隊(duì)抓住商機(jī)，購進(jìn)一批干果分裝成營養(yǎng)搭配合理的小包裝后出售，每袋成本3元，試銷期間發(fā)現(xiàn)每天的銷售量y（袋）與銷售單價(jià)x（元/袋）之間滿足一次函數(shù)y＝﹣80x+560，其中3.5≤x≤5.5，另外每天還需支付其他各項(xiàng)費(fèi)用80元，設(shè)每天的利潤為w元．（1）求w與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每天獲得160元的利潤，銷售單價(jià)多少？（3）每天的最大利潤是多少？當(dāng)利潤最大時(shí)當(dāng)天的銷售量是多少？【變式3-2】（2023?五華縣一模）某商場購進(jìn)一批單價(jià)為16元的日用品，銷售一段時(shí)間后，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若按每件20元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣360件；若按每件25元的價(jià)格銷售時(shí)，每月能賣210件，若每月銷售件數(shù)y（件）與價(jià)格x（元/件）滿足關(guān)系y＝kx+b（1）確定y與x的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；（2）為了使每月獲得利潤為1800元，問商品應(yīng)定為每件多少元？（3）為了獲得了最大的利潤，商品應(yīng)定為每件多少元？【變式3-3】（2022秋?連山區(qū)期末）某景區(qū)超市銷售一種紀(jì)念品，這種商品的成本價(jià)為14元/件，已知銷售價(jià)不低于成本價(jià)，且物價(jià)部門規(guī)定這種商品的銷售價(jià)不高于24元/件，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）求每天的銷售利潤W（元）與銷售單價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出每件的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？【變式3-4】（2023?興隆臺區(qū)二模）2022年卡塔爾世界杯足球賽開戰(zhàn)，很多商家都緊緊把握這一商機(jī)，賽場內(nèi)外隨處可見“中國制造”的身影，某商家銷售一批“中國制造”的吉祥物“拉伊卜”毛絨玩具，已知每個(gè)毛絨玩具“拉伊卜”的成本為40元，銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于成本價(jià)的1.8倍，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，毛絨玩具“拉伊卜”每天的銷售量y（個(gè)）與銷售單價(jià)x（元）滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每個(gè)毛絨玩具“拉伊卜”的售價(jià)為多少元時(shí)，該商家每天的銷售利潤為2400元？（3）當(dāng)毛絨玩具“拉伊卜”的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該商家每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？【變式3-5】（2023?嘉魚縣模擬）為鞏固扶貧攻堅(jiān)成果，我縣政府督查各部門和單位對口扶貧情況．某單位的幫扶對象種植的農(nóng)產(chǎn)品在某月（按30天計(jì)）的第x天（x為正整數(shù)）的銷售價(jià)格p（元/千克）關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為p＝，銷售量y（千克）與x之間的關(guān)系如圖所示．（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式和x的取值范圍；（2）求該農(nóng)產(chǎn)品的銷售量有幾天不超過60千克？（3）當(dāng)月第幾天，該農(nóng)產(chǎn)品的銷售額最大，最大銷售額是多少？（銷售額＝銷售量×銷售價(jià)格）【變式3-6】（2023?利州區(qū)一模）某商店決定購進(jìn)A，B兩種紀(jì)念品進(jìn)行銷售．已知每件A種紀(jì)念品比每件B種紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)高30元．用1000元購進(jìn)A種紀(jì)念品的數(shù)量和用400元購進(jìn)B種紀(jì)念品的數(shù)量相同．（1）求A，B兩種紀(jì)念品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）該商場通過市場調(diào)查，整理出A型紀(jì)念品的售價(jià)與數(shù)量的關(guān)系如表．售價(jià)x（元/件）50≤x≤6060＜x≤80銷售量（件）100400﹣5x①當(dāng)x為何值時(shí)，售出A紀(jì)念品所獲利潤最大，最大利潤為多少？②該商場購進(jìn)A，B型紀(jì)念品共200件，其中A型紀(jì)念品的件數(shù)少于B型紀(jì)念品的件數(shù)，但不少于60件．若B型紀(jì)念品的售價(jià)為30元/件時(shí)，求商場將A，B型紀(jì)念品均全部售出后獲得的最大利潤．【題型4經(jīng)濟(jì)類問題-每每問題】【典例4】（2022秋?法庫縣期末）小李在景區(qū)銷售一種旅游紀(jì)念品，已知每件進(jìn)價(jià)為6元，當(dāng)銷售單價(jià)定為8元時(shí)，每天可以銷售200件，市場調(diào)查反映：銷售單價(jià)每提高1元，日銷量將會減少10件，物價(jià)部門規(guī)定：銷售單價(jià)不能超過12元，設(shè)該紀(jì)念品的銷售單價(jià)為x（元），日銷量為y（件），日銷售利潤為w（元）．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求日銷售利潤w（元）與銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)x為何值時(shí)，日銷售利潤最大，并求出最大利潤．【變式4-1】（2023?息縣模擬）2023年春節(jié)，各地暫停的廟會重新煥發(fā)了生機(jī)．某攤販的貨品中有A，B兩款兔玩偶受到消費(fèi)者的喜愛，A款玩偶和B款玩偶進(jìn)貨單價(jià)之和為50元，該攤販購進(jìn)A款玩偶100個(gè)，B款玩偶50個(gè)共花費(fèi)3500元．（1）A款玩偶和B款玩偶的進(jìn)貨單價(jià)分別是多少？（2）攤主發(fā)現(xiàn)A款玩偶售價(jià)為27元時(shí)，每小時(shí)可以賣出10個(gè)．?dāng)傊鳛閿U(kuò)大銷量，決定降價(jià)銷售．若售價(jià)每降低1元，則每小時(shí)多賣出2個(gè)．若不考慮庫存，按當(dāng)天擺攤8小時(shí)計(jì)算，試求當(dāng)天出售A款玩偶獲得利潤最大為多少．【變式4-2】（2023?鞍山二模）某款零件的成本為30元/個(gè)，當(dāng)售價(jià)為80元/個(gè)時(shí)，一周銷售量為600個(gè)，經(jīng)過市場調(diào)查，每個(gè)零件的售價(jià)每降低2元（降低的價(jià)格為偶數(shù)），每周銷售量會增加30個(gè)，設(shè)每個(gè)零件的售價(jià)降低x元時(shí)一周銷售量為y個(gè)．（1）求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)每個(gè)零件降價(jià)多少元時(shí)一周銷售利潤最大，最大利潤為多少元？【變式4-3】（2023春?東營期末）某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場平均每天可多售出2件．求：（1）若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元？（2）每件襯衫降價(jià)多少元時(shí)，商場平均每天盈利最多？【變式4-4】（2023?湟中區(qū)校級開學(xué)）某景區(qū)商店銷售一種紀(jì)念品，每件的進(jìn)貨價(jià)為40元，經(jīng)市場調(diào)研，當(dāng)該紀(jì)念品每件的銷售價(jià)為50元時(shí)，每天可銷售100件；當(dāng)每件的銷售價(jià)每增加1元，每天的銷售數(shù)量將減少5件．（1）當(dāng)每件的銷售價(jià)為52元時(shí)，該紀(jì)念品每天的銷售量為件；當(dāng)每件的銷售價(jià)為x元時(shí)，該紀(jì)念品每天的銷售量為件；（2）當(dāng)每件的銷售價(jià)x為多少時(shí)，銷售該紀(jì)念品每天獲得的利潤y最大？并求出最大利潤．【變式4-5】（2023?漣水縣一模）某商場銷售一種小商品，進(jìn)貨價(jià)為40元/件．當(dāng)售價(jià)為60元/件時(shí)，每天的銷售量為300件．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：銷售單價(jià)每上漲2元，每天的銷售量就減少20件．設(shè)銷售價(jià)格上漲x元/件（x為偶數(shù)），每天的銷售量為y件．（1）當(dāng)銷售價(jià)格上漲10元時(shí)，每天對應(yīng)的銷售量為件．（2）請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．（3）設(shè)每天的銷售利潤為w元，為了讓利于顧客，則每件商品的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少？【變式4-6】（2023?龍崗區(qū)校級一模）海安賓館有50個(gè)房間供游客居?。?dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為180元時(shí)，房間會全部住滿；當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會有一個(gè)房間空著．設(shè)房價(jià)為x元．（1）求賓館每天的營業(yè)額y與房價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若有游客居住時(shí)，賓館需要對每個(gè)房間支出20元的各種費(fèi)用．房價(jià)定為多少時(shí)，賓館利潤W最大？（利潤＝營業(yè)額﹣支出）【題型5面積類問題】【典例5】（2023?菏澤）某學(xué)校為美化學(xué)校環(huán)境，打造綠色校園，決定用籬笆圍成一個(gè)一面靠墻（墻足夠長）的矩形花園，用一道籬笆把花園分為A，B兩塊（如圖所示），花園里種滿牡丹和芍藥．學(xué)校已定購籬笆120米．（1）設(shè)計(jì)一個(gè)使花園面積最大的方案，并求出其最大面積；（2）在花園面積最大的條件下，A，B兩塊內(nèi)分別種植牡丹和芍藥，每平方米種植2株，已知牡丹每株售價(jià)25元，芍藥每株售價(jià)15元，學(xué)校計(jì)劃購買費(fèi)用不超過5萬元，求最多可以購買多少株牡丹？【變式5-1】（2022秋?西崗區(qū)校級期末）如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形苗圃園，墻長為18米，設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊AB的長為x米，苗圃園的面積為y平方米．（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．（2）當(dāng)x為何值時(shí)，苗圃的面積最大？最大值為多少平方米？【變式5-2】（2023?高陽縣校級模擬）如圖，王大爺準(zhǔn)備圍一塊菜地，菜地一面靠墻，墻長14米，另外三面用29米長的籬笆圍成，其中一面開一扇1米寬的門（不包括籬笆）．（1）王大爺能否圍成面積為100平方米的菜地？若能，求BC的長；若不能．請說明理由．（2）王大爺想要圍成的菜地面積最大，請你幫助他設(shè)計(jì)一下．【變式5-3】（2023?海淀區(qū)校級模擬）為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為160m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設(shè)BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2（1）是否存在x的值，使得矩形ABCD的面積是1500m2；（2）x為何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？【變式5-4】（2023?涼山州模擬）2022年5月，教育部頒布的《義務(wù)教育勞動(dòng)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，要求以豐富開放的勞動(dòng)項(xiàng)目為載體，培養(yǎng)學(xué)生正確的勞動(dòng)價(jià)值觀和良好的勞動(dòng)品質(zhì)．某校為此規(guī)劃出矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墻（墻最大可用長度為12米），另三邊用木欄圍成，中間也用垂直于墻的木欄隔開分成面積相等的兩個(gè)區(qū)域，并在如圖所示的兩處各留1米寬的門（門不用木欄），修建所用木欄總長28米，設(shè)矩形ABCD的一邊CD長為x米．（1）矩形ABCD的另一邊BC長為30﹣3x米（用含的代數(shù)式表示）；（2）若矩形ABCD的面積為63m2，求x的值；（3）當(dāng)x為何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大面積為多少平方米？【題型6拱橋類問題】【典例6】（2023?碑林區(qū)校級模擬）某公園有一個(gè)拋物線形狀的觀景拱橋ABC，其橫截面如圖所示，在圖中建立的直角坐標(biāo)系（以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，拋物線對稱軸所在直線為y軸）中，拱橋高度OC＝5m，跨度AB＝20m．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）拱橋下，有一加固橋身的“腳手架”矩形EFGH（H，G分別在拋物線的左右側(cè)上），已知搭建“腳手架”EFGH的三邊所用鋼材長度為18.4m（EF在地面上，無需使用鋼材），求“腳手架”打樁點(diǎn)E與拱橋端點(diǎn)A的距離．【變式6-1】（2023?晉中模擬）如圖1是太原晉陽湖公園一座拋物線型拱橋，按如圖所示建立坐標(biāo)系，得到函數(shù)，在正常水位時(shí)水面寬AB＝30米，當(dāng)水位上升5米時(shí)，則水面寬CD＝（）A．20米 B．15米 C．10米 D．8米【變式6-2】（2023?豐潤區(qū)二模）如圖（1）是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面3m，水面寬6m．如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的解析式是（）A． B． C．y＝﹣3x2 D．y＝3x2【變式6-3】（2023?遵化市二模）如圖是一款拋物線型落地?zé)敉彩疽鈭D，防滑螺母C為拋物線支架的最高點(diǎn)，燈罩D距離地面1.5米，最高點(diǎn)C距燈柱的水平距離為1.6米，燈柱