江蘇省南京市六校聯(lián)合體2024屆高三上學(xué)期10月聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市六校聯(lián)合體2024屆高三上學(xué)期10月聯(lián)合調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，，由得，所以，所以.故選：D2.設(shè)是等比數(shù)列，且，，則（）A.12 B.24 C.30 D.32〖答案〗D〖解析〗設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.3.下列求導(dǎo)正確的是（）A. B.C D.〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：C.4.已知角終邊上有一點(diǎn)，則是（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角〖答案〗C〖解析〗因?yàn)槭堑诙笙藿牵?，所以點(diǎn)P在第四象限，即角為第四象限角，所以為第一象限角，所以為第三象限角.故選：C.5.已知直線和圓交于兩點(diǎn)，則最小值為（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗D〖解析〗，令，則，所以直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)?shù)?，則在圓內(nèi)，則直線與圓必有兩交點(diǎn)，因?yàn)閳A心到直線的距離，所以．故選：D.6.已知樣本數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為16，方差為9，則另一組數(shù)據(jù)，，，，，，12的方差為（）．A. B. C. D.7〖答案〗C〖解析〗設(shè)數(shù)據(jù)，，，，，的平均數(shù)為，方差為，由，，得，，則，，，，，，12的平均數(shù)為，方差為．故選：C.7.已知定義在上的偶函數(shù)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)的一個(gè)周期為2C.D.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱〖答案〗C〖解析〗函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因此選項(xiàng)D不正確；又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，由，所以函數(shù)的周期為，所以選項(xiàng)B不正確；因?yàn)楹瘮?shù)是周期為的偶函數(shù)，所以，因此選項(xiàng)A不正確；在中，令，得，因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，因此選項(xiàng)C正確，故選：C8.已知點(diǎn)是拋物線上不同的兩點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，且滿足，弦的中點(diǎn)到直線的距離記為，若不等式恒成立，則的取值范圍（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗在中，令，由余弦定理得，則有，顯然直線是拋物線的準(zhǔn)線，過(guò)作直線的垂線，垂足分別為，如圖，而為弦的中點(diǎn)，為梯形的中位線，由拋物線定義知，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又不等式恒成立，等價(jià)于恒成立，則，所以取值范圍是.故選：D二、多項(xiàng)選擇題9.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.為純虛數(shù) B.的虛部為2iC.在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限 D.＝〖答案〗ABC〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)，由得，則，故A錯(cuò)誤；z的虛部為，故B錯(cuò)誤；復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限，故C錯(cuò)誤；，故D正確故選：ABC.10.已知向量，，且，則（）A. B.C.向量與向量的夾角是 D.向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)橄蛄浚?，所以，由得，解得，所以，故A正確；又，所以，故B錯(cuò)誤；設(shè)向量與向量的夾角為，因?yàn)?，，所以，又，所以，即向量與向量的夾角是，故C正確；向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的值域?yàn)锽.若存在，使得對(duì)都有，則的最小值為C.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為D.若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)極值點(diǎn)和2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為〖答案〗ACD〖解析〗已知函數(shù)，可知其值域?yàn)椋蔬x項(xiàng)A正確；若存在，使得對(duì)都有，所以的最小值為，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，所以，令，則的取值范圍為，故選項(xiàng)C正確；若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)極值點(diǎn)和2個(gè)零點(diǎn)，，由如圖可得：，的取值范圍為，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.12.已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增B.若的圖象在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)C.當(dāng)時(shí)，不存在極值D.當(dāng)時(shí)，有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且〖答案〗ABD〖解析〗因?yàn)?，定義域?yàn)榍遥?，?duì)于A，當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)橹本€的斜率為，又因?yàn)榈膱D象在處的切線與直線垂直，故令，解得，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，不妨取，則，令，則有，解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上分別單調(diào)遞減；所以此時(shí)函數(shù)有極值，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由A可知，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，分別位于和內(nèi)；設(shè)，令，則有，則，所以的兩根互為倒數(shù)，所以，故D正確．故選：ABD.三、填空題13.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_____．〖答案〗240〖解析〗在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為；在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為；所以在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為；故〖答案〗為：240.14.2023年杭州亞運(yùn)會(huì)招募志愿者，現(xiàn)從某高校的6名志愿者中任意選出3名，分別擔(dān)任語(yǔ)言服務(wù)、人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，其中甲、乙2人不能擔(dān)任語(yǔ)言服務(wù)工作，則不同的選法共有_______種.〖答案〗80〖解析〗先從甲、乙之外的4人中選取1人擔(dān)任語(yǔ)言服務(wù)工作，再?gòu)氖Ｏ碌?人中選取2人分別擔(dān)任人員引導(dǎo)、應(yīng)急救助工作，則不同的選法共有種.故〖答案〗為：80.15.已知，若，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗作函數(shù)圖象，如圖，設(shè)，則，，又，，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故〖答案〗為：16.在正三棱錐中，底面的邊長(zhǎng)為4，E為AD的中點(diǎn)，，則以D為球心，AD為半徑的球截該棱錐各面所得交線長(zhǎng)為_(kāi)_______．〖答案〗〖解析〗記CD中點(diǎn)為F，作平面BCD，垂足為O，由正三棱錐性質(zhì)可知，O為正三角形BCD的中心，所以O(shè)在BF上，因?yàn)槠矫鍮CD，所以，由正三角形性質(zhì)可知，，又，平面ABO，所以平面ABO，因?yàn)槠矫鍭BO，所以，又平面ACD，所以平面ACD，因?yàn)槠矫鍭CD，所以由正三棱錐性質(zhì)可知，兩兩垂直，且，則，如圖，易知以D為球心，AD為半徑的球截該棱錐各面所得交線，是以D為圓心，AD為半徑的三段圓弧，則，，則其圓心角分別為，所以其交線長(zhǎng)為，故〖答案〗為.四、解答題17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)數(shù)列等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，即，所以，所以，，所以，?（2）因?yàn)?，所以，所以?8.已知函數(shù),（1）求函數(shù)的最值；（2）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，且，求的面積．解：（1）因?yàn)椋缘淖畲笾禐?，最小值為．（2）結(jié)合(1)可知，所以．因?yàn)?，所以，則．由余弦定理得，化簡(jiǎn)得①．又，由正弦定理可得，即②．結(jié)合①②得或．時(shí)，；時(shí)，．綜上，的面積為或．19.在三棱錐中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，平面平面，，、分別為的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）求二面角正弦值的大小.（1）證明：取AC得中點(diǎn)O，連接SO，OB，，，，，又SO，BO交于點(diǎn)O，平面，平面，于是可知平面，又平面，；（2）解：∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OS為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,那么，∴，設(shè)為平面CMN的一個(gè)法向量，那么，取，那么，∴，又為平面的一個(gè)法向量，，，即二面角的正弦值為.20.為了豐富在校學(xué)生的課余生活，某校舉辦了一次趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)活動(dòng)，學(xué)校設(shè)置項(xiàng)目A“毛毛蟲(chóng)旱地龍舟”和項(xiàng)目B“袋鼠接力跳”．甲、乙兩班每班分成兩組，每組參加一個(gè)項(xiàng)目，進(jìn)行班級(jí)對(duì)抗賽．每一個(gè)比賽項(xiàng)目均采取五局三勝制（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)在項(xiàng)目A中甲班每一局獲勝的概率為，在項(xiàng)目B中甲班每一局獲勝的概率為，且每一局之間沒(méi)有影響．（1）求甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率；（2）設(shè)甲班獲勝的項(xiàng)目個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）記“甲班在項(xiàng)目A中獲勝”為事件A，則，所以甲班在項(xiàng)目A中獲勝的概率為（2）記“甲班在項(xiàng)目B中獲勝”為事件B，則，X的可能取值為0，1，2，則，，．所以X的分布列為X012P．所以甲班獲勝的項(xiàng)目個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為21已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè).如果對(duì)任意，，求的取值范圍．解：（1）f(x)的定義域?yàn)?0，+)，.當(dāng)a≥0時(shí)，＞0，故f(x)在(0，+)單調(diào)增加；當(dāng)a≤－1時(shí)，＜0，故f(x)在(0，+)單調(diào)減少；當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，令＝0，解得x=.當(dāng)x∈(0，)時(shí)，＞0；x∈(，+)時(shí)，＜0，故f(x)在（0，）單調(diào)增加，在（，+）單調(diào)減少.（2）不妨假設(shè)x1≥x2.由于a≤－2，故f(x)在（0，+）單調(diào)減少.所以等價(jià)于≥4x1－4x2，，即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x，則+4＝.于是≤＝≤0