江蘇省蘇州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試摸底數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中摸底數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若一條直線經(jīng)過兩點(diǎn)和，則該直線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)橐粭l直線經(jīng)過兩點(diǎn)和，所以該直線的斜率為：所以該直線的傾斜角為.故選：C.2.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件〖答案〗A〖解析〗當(dāng)時(shí)，兩條直線分別為與，兩條直線互相垂直，反之，由與直線垂直，，解得或，則不能推出，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：A.3.為等差數(shù)列前項(xiàng)和，若，，則使的的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，而，所以，，，可轉(zhuǎn)化為，即，即，解得，而，所以的最大值為11.故選：C.4.直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相交但直線不過圓心 B.相切C.相離 D.相交且直線過圓心〖答案〗A〖解析〗由圓的方程得到圓心坐標(biāo)為，半徑，直線為，∴到直線的距離，∴圓與直線的位置關(guān)系為相交，又圓心不在直線上，故選：A．5.已知橢圓：，左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的最大值為5，則的值是（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由0＜b＜2可知，焦點(diǎn)在x軸上，∵過F1的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．當(dāng)AB垂直x軸時(shí)|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此時(shí)|AB|＝b2，則5＝8﹣b2，解得b，故選：D．6.直線分別交軸和于兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗直線分別交軸和于兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，解得，所以點(diǎn)、，則直線的方程為，化簡得，故選：C.7.以下四個(gè)命題表述錯(cuò)誤的是（）A.圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于B.曲線與曲線，恰有四條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為C.已知圓，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引一條切線，其中為切點(diǎn)，則的最小值為D.已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線，，為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過點(diǎn)〖答案〗B〖解析〗選項(xiàng)A：圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離，所以圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線距離都等于，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：方程可化為，故曲線表示圓心為，半徑的圓，方程可化為，因?yàn)閳A與曲線有四條公切線，所以曲線也為圓，且圓心為，半徑，同時(shí)兩圓的位置關(guān)系為外離，有，即，解得，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，由切線的性質(zhì)知，為直角三角形，，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：設(shè)點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，則以，為直徑的圓的方程為，即：，兩圓的方程相減得到直線方程為，即，所以直線過定點(diǎn)，D正確．故選：B．8.已知數(shù)列中，且，則為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得：，又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，，，.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于1C.圓與圓恰有三條公切線，則D.已知圓，點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線、，、為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于選項(xiàng)A：由可得：，由可得，所以直線恒過定點(diǎn)，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：圓心到直線的距離等于，圓的半徑，平行于且距離為1的兩直線分別過圓心以及和圓相切，故圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由可得，圓心，，由可得，圓心，，由題意可得兩圓相外切，所以，即，解得：，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，即，因?yàn)椤⒎謩e為過點(diǎn)所作的圓的兩條切線，所以，，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，整理可得：，與已知圓相減可得，消去可得：，即，由可得，所以直線經(jīng)過定點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確故選：BCD.10.對(duì)于數(shù)列，設(shè)其前項(xiàng)和，則下列命題正確的是（）A.若數(shù)列為等比數(shù)列，成等差，則也成等差B.若數(shù)列為等比數(shù)列，則C.若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則使得的最小的值為13D.若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則中任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，若數(shù)列為等比數(shù)列，成等差，則，若公比，則，故，所以可得，，整理得，由于，所以，所以，即，故也成等差，故A正確；對(duì)于B，若數(shù)列為等比數(shù)列，若公比時(shí)，，若公比時(shí)，則，所以，故B不正確；對(duì)于C，若數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，由，得，即，則，所以，得，又，則，故C不正確；對(duì)于D，若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則公差，所以，假設(shè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，，且互不相等，則，所以，所以，因?yàn)?，則，其中，則，得，這與互不相等矛盾，故假設(shè)不成立，則中任意三項(xiàng)均不能構(gòu)成等比數(shù)列，故D正確.故選：AD.11.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，，是上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.離心率C.面積的最大值為D.以線段為直徑的圓與直線相切〖答案〗AD〖解析〗由題意，橢圓，可得，可得，所以焦點(diǎn)為,根據(jù)橢圓的定義，所以A正確；橢圓的離心率為，所以B錯(cuò)誤；其中面積的最大值為，所以C錯(cuò)誤；由原點(diǎn)到直線的距離，所以以線段為直徑的圓與直線相切，所以D正確.故選：AD.12.數(shù)列滿足，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由題意，數(shù)列滿足，所以，可得，因?yàn)?，可得，所以，所以的奇?shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，且首項(xiàng)分別為，，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，所以，故B正確；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，即C正確；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，可得，，此時(shí)，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知數(shù)列中，，則此數(shù)列的前8項(xiàng)和為__________．〖答案〗〖解析〗，的前8項(xiàng)和為．故〖答案〗為：.14.點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦所在直線方程為_________.〖答案〗〖解析〗如圖所示：，故，設(shè)直線方程，，，故，根據(jù)相似計(jì)算得到，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到：，解得或當(dāng)時(shí)，直線和圓不相交，舍去，故.故〖答案〗為：.15.圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則弦AB的長為______．〖答案〗〖解析〗圓與圓聯(lián)立可得：公共弦的方程為，變形為，故的圓心為，半徑為，而滿足，故弦AB的長為圓的直徑，故弦AB的長為．故〖答案〗為：.16.如圖，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長與橢圓交于點(diǎn)Q，若，則直線的斜率為__________〖答案〗〖解析〗連接，如圖所示設(shè)則，由橢圓的定義得所以在中，，所以,即，整理得，所以，所以直線的斜率為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，．（1）求；（2）若為與的等比中項(xiàng)，求．解：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，，解得，，所以，，.（2）由題意：，，即，化簡得：，解之得或（舍），故.18.已知直線（1）當(dāng)時(shí)，直線過與的交點(diǎn)，且垂直于直線，求直線l的方程；（2）求點(diǎn)到直線的距離d的最大值.解：（1）當(dāng)時(shí)，直線：，：，則，解得交點(diǎn)又由直線l垂直于直線，而直線的斜率，兩直線垂直得斜率乘積為，得到又因?yàn)橹本€l過與的交點(diǎn)，直線l的方程為，即（2）直線：過定點(diǎn)，又，點(diǎn)M到直線的距離d的最大值為19.已知等差數(shù)列滿足，，數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列且滿足，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)的和.解：（1）由已知，，設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，，解得：，，所以，因?yàn)?，，?shù)列是單調(diào)遞增等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列首項(xiàng)為，公比為，所以，解得：，，所以，所以.（2）由已知，所以，.20.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，直線交于兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0.（1）求橢圓的方程；（2）求直線的斜率.解：（1）由題意知，故可設(shè)橢圓方程為，由在上可得，，解得或（舍去），故所求橢圓的方程為.（2）設(shè)直線，，把代入橢圓方程整理可得：，設(shè)，則，，從而得點(diǎn)，在上式中以代替，得，即直線的斜率為.21.已知圓，過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，且，圓是以線段為直徑的圓．（1）求圓的方程；（2）設(shè)，圓是的內(nèi)切圓，試求面積的取值范圍．解：（1）設(shè)直線的方程為，因?yàn)閳A半徑為，，所以圓心到直線的距離，即，解得，當(dāng)時(shí)，過與直線垂直的直線與交點(diǎn)為，所以圓方程為當(dāng)時(shí)，過與直線垂直的直線與交點(diǎn)為，所以圓方程為，即所求圓方程為或.（2）由圓的性質(zhì)可知，只研究圓方程為時(shí)即可，設(shè)與圓相切，則有，即有，從而有，設(shè)與圓相切，則有，即