2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：10 導(dǎo)數(shù)壓軸大題歸類（1）（原卷版）

10導(dǎo)數(shù)壓軸大題歸類（1）【題型一】求參1：端點值討論型【典例分析】設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-p(x-1),pR（1）當(dāng)p=1時，求函數(shù)f（x)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)g(x)=xf(x)+p(2x-x-1)對任意x1都有g(shù)(x)0成立，求p的取值范圍。【提分秘籍】基本規(guī)律1.端點賦值法（函數(shù)一般為單增或者單減，此時端點，特別是左端點起著至關(guān)重要的作用）2.為了簡化討論，當(dāng)端點值是閉區(qū)間時候，代入限制參數(shù)討論范圍。注意，開區(qū)間不一定是充分條件。有時候端點值能限制討論范圍，可以去除不必要討論。如練習(xí)2【變式演練】1.試卷若函數(shù)的反函數(shù)記為，已知函數(shù)．（1）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點個數(shù)；（2）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍．2.設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，設(shè)，求證：對任意的，；（2）當(dāng)時，若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【題型二】求參2：“存在”型【典例分析】設(shè)函數(shù)，曲線處的切線斜率為0(Ⅰ)求b；(Ⅱ)若存在使得，求a的取值范圍。【提分秘籍】基本規(guī)律1.當(dāng)不能分離參數(shù)時候，要移項分類討論。2.確定是最大值還是最小值?！咀兪窖菥殹?.已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程;（Ⅱ）在區(qū)間內(nèi)至少存在一個實數(shù)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.2.記表示中的最大值，如.已知函數(shù)，.（1）設(shè)，求函數(shù)在上零點的個數(shù)；（2）試探究是否存在實數(shù)，使得對恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.【題型三】求參3：“恒成立”型【典例分析】已知函數(shù)f(x)=2?alnx+1（2）當(dāng)a<0時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）若對任意的a∈?∞,?2，x1,x2∈【提分秘籍】基本規(guī)律1.注意是同一變量還是不同變量。2.各自對應(yīng)的是最大值還是最小值。3.一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．【變式演練】1.已知函數(shù)fx（1）設(shè)gx=fx+1x2（2）若對?x∈1,2，均?t∈1,2，使得et?lnt?4≤fx?2x2.已知函數(shù)fx=x2+2mlnx?m+4（2）當(dāng)m>0時，試討論函數(shù)fx（3）若對任意m∈1,2，存在x∈3,4，使得不等式f【題型四】求參4：分離參數(shù)之“洛必達法則”【典例分析】設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）如果對任何，都有，求的取值范圍．【提分秘籍】基本規(guī)律1.若分離參數(shù)后，所求最值恰好在“斷點處”，則可以通過洛必達法則求出“最值”2.注意“斷點”是在端點處還是區(qū)間分界處。【變式演練】1.設(shè)函數(shù).⑴求的單調(diào)區(qū)間和極值;⑵是否存在實數(shù),使得關(guān)于的不等式的解集為?若存在,求的取值范圍;若不存在,試說明理由.2.已知函數(shù)f(x)=,曲線y=f(x)在點(x,y)處的切線為y=g(x).（1）證明：對于，f(x)g(x);（2）當(dāng)x0時，f(x)1+,恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。【題型五】同構(gòu)求參5：絕對值同構(gòu)求參型【典例分析】已知函數(shù)（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；（II）設(shè).如果對任意，，求的取值范圍?！咎岱置丶炕疽?guī)律1.含絕對值型，大多數(shù)都是有單調(diào)性的，所以可以通過討論去掉絕對值。2.去掉絕對值，可以通過“同構(gòu)”重新構(gòu)造函數(shù)。【變式演練】1.已知函數(shù)，其中.（=1\*ROMANI）討論函數(shù)的單調(diào)性；（=2\*ROMANII）若，證明：對任意，總有.2.已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）令，則時有兩個不同的根，求的取值范圍；（3）存在，且，使成立，求的取值范圍．【題型六】同構(gòu)求參6：x1與x2構(gòu)造新函數(shù)型【典例分析】已知函數(shù)f(x)=x－ax+(a－1)，。（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：若，則對任意x，x，xx，有?！咎岱置丶炕疽?guī)律1.含有x1和x2型，大多數(shù)可以考慮變換結(jié)構(gòu)相同，構(gòu)造函數(shù)解決。2.可以利用第一問的某些結(jié)論或者函數(shù)結(jié)構(gòu)尋找構(gòu)造的函數(shù)特征?！咀兪窖菥殹?.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，若在區(qū)間上的最小值為，求的取值范圍；（2）若對任意，且恒成立，求的取值范圍.2.（構(gòu)造巧）已知函數(shù)f(x)=(x?1)ex?t2x2，（2）當(dāng)t=3時，證明：不等式恒成立（其中x1∈R，x【題型七】零點型【典例分析】已知函數(shù)，.（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）若，判斷的單調(diào)性；（Ⅲ）若有兩個零點，求的取值范圍.【提分秘籍】基本規(guī)律已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)移項討論法（找點或者極限法）：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)（回避找點）：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)分離函數(shù)法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．【變式演練】1.已知函數(shù)，．(1)求證：在區(qū)間上無零點；(2)求證：有且僅有2個零點．2.已知函數(shù)f(x)=1（1）若函數(shù)有三個零點x1,x2,x3，且（2）若f'(1)=?12a（3）在（2）的條件下，若導(dǎo)函數(shù)f'(x)的兩個零點之間的距離不小于3，求【題型八】不確定根型【典例分析】已知函數(shù)f(x)=lnx+2x．（1）求函數(shù)f(x)（2）若?x∈[1?,?+∞)，ln【提分秘籍】基本規(guī)律解題框架：（1）導(dǎo)函數(shù)（主要是一階導(dǎo)函數(shù)）等零這一步，有根但不可解。但得到參數(shù)和的等量代換關(guān)系。備用（2）知原函數(shù)最值處就是一階導(dǎo)函數(shù)的零點處，可代入虛根（3）利用與參數(shù)互化得關(guān)系式，先消掉參數(shù)，得出不等式，求得范圍。（4）再代入?yún)?shù)和互化式中求得參數(shù)范圍?！咀兪窖菥殹?.已知函數(shù)f(x)=ex+12(x?1)（2）當(dāng)a>0時，對任意x∈(0,+∞)時，不等式af'(x)≥(a+1)g2.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx的導(dǎo)函數(shù)為h(x)，f(x)的圖像在點(-2，f(-2))處的切線方程為3x-y+8=0，且,又函數(shù)g(x)=kxex與函數(shù)y=ln(x+1)的圖像在原點處有相同的切線.(1)求函數(shù)f(x)的解析式及k的值.⑵若f(x)≤g(x)-m+x+1對于任意x∈[O,+]恒成立，求m的取值范圍【題型九】取整討論型【典例分析】已知函數(shù).（Ⅰ）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；（Ⅱ）若恒成立,求整數(shù)的最大值．【提分秘籍】基本規(guī)律討論出單調(diào)性，要注意整數(shù)解中相鄰兩個整數(shù)點函數(shù)的符號問題【變式演練】1.已知函數(shù)，．（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若不等式有唯一正整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．2.已知函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，且時有極小值-9.（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，，當(dāng)時，對于任意，和的值至少有一個是正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）若不等式（為正整數(shù)）對任意正實數(shù)恒成立，求的最大值.【題型十】證明不等式1：基礎(chǔ)型【典例分析】設(shè)函數(shù)f（x）＝lnx﹣x+1．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）證明當(dāng)x∈（1，+∞）時，1＜x?1lnx（3）設(shè)c＞1，證明當(dāng)x∈（0，1）時，1+（c﹣1）x＞cx．【提分秘籍】基本規(guī)律1.移項最值大于0（小于0）證明法2.變形證明新恒等式法?！咀兪窖菥殹?.設(shè)函數(shù)=，.證明：（I；（II）.已知函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為.求的值及函數(shù)的極值；證明：當(dāng)時，【題型十一】證明不等式2：數(shù)列不等式之單變量構(gòu)造型【典例分析】已知函數(shù)若函數(shù)在x=0處取得極值．(1)求實數(shù)的值；(2)若關(guān)于x的方程在區(qū)間[0，2]上恰有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍；(3)證明：對任意的自然數(shù)n，有恒成立．【提分秘籍】基本規(guī)律1.適當(dāng)?shù)倪x擇式子（字母）為變量，構(gòu)造函數(shù)，通過單調(diào)性最值等等可得不等式關(guān)系。2.注意區(qū)分本專題三道題自變量的選取，授課時可以多種選擇同時展開，分析不同選擇時的計算量。【變式演練】1.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）試證明：（…，）.2.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，其中a>0，求實數(shù)a的取值范圍；（2）如果當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；（3）求證:?！绢}型十二】證明不等式3：數(shù)列不等式之無限求和型【典例分析】已知函數(shù)為大于零的常數(shù)。（1）若函數(shù)內(nèi)調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）求函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值。（3）求證：對于任意的成立?！咎岱置丶炕疽?guī)律1.一側(cè)是“和”型，另一側(cè)則較簡單。2.根據(jù)“和”型，尋找另一側(cè)的“裂項相消”規(guī)律。3.通過題干和第一問觀察尋找可以相消的不等式恒等式。【變式演練】1.已知函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）證明：.已知函數(shù).

(Ⅰ)討論的單調(diào)性；(Ⅱ)證明：…【題型十三】證明不等式4：構(gòu)造單變量函數(shù)型【典例分析】設(shè)函數(shù)f(x)=(1-mx)ln(1+x).(1)若當(dāng)時，函數(shù)f（x）的圖像恒在直線y=x上方，求實數(shù)m的取值范圍；（2）求證：?！咎岱置丶炕疽?guī)律解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明或者條件，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。作差法構(gòu)造，換元法構(gòu)造，主元法構(gòu)造，對數(shù)法構(gòu)造，高階求導(dǎo)和端點值回歸法（過去較多，文科較多）【變式演練】1.設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時，若方程在上有兩個實數(shù)解，求實數(shù)t的取值范圍；（Ⅲ）證明：當(dāng)m>n>0時，.2.已知函數(shù)．（Ⅰ）若是函數(shù)的一個極值點，求的值；（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）證明：（為自然對數(shù)的底數(shù)）