第8章非線性控制系統(tǒng)分析

第8章非線性控制系統(tǒng)分析HarbinEngineeringUniversity自動(dòng)控制理論

第8章非線性控制系統(tǒng)分析

8.1

非線性系統(tǒng)概述※8.2描述函數(shù)法※8.3相平面法主要內(nèi)容及其相軌跡曲線8.3相平面法相變量:和為系統(tǒng)相變量。

相平面:以位置為橫坐標(biāo)，速度為縱坐標(biāo)構(gòu)成的直角坐標(biāo)平面。相軌跡:相變量從初始值起，隨著時(shí)間t的推移在相平面上形成的曲線。箭頭表示參變量時(shí)間t增大的方向。

相平面圖：不同初始條件下的相軌跡組成的圖形稱為相平面圖。由龐加萊于1885年首先提出。只適用于一階和二階系統(tǒng)。一、相平面的基本概念(P447)1.基本概念例:P448tt通過圖解法將一階和二階系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程轉(zhuǎn)化為位置和速度平面上的相軌跡。※※直觀、準(zhǔn)確的分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)和穩(wěn)態(tài)誤差、超調(diào)量以及初始條件及參數(shù)對系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響。一、相平面的基本概念(P447)8.3相平面法2.基本思想及其相軌跡曲線演示tt例:下半平面—

從右向左移動(dòng)上半平面—

從左向右移動(dòng)3)運(yùn)動(dòng)方向4)通過x軸時(shí)，一般垂直穿越x軸（奇點(diǎn)除外）。2)除奇（異）點(diǎn)(，速度和加速度為0)

外，其他普通點(diǎn)斜率唯一。即除奇（異）點(diǎn)外，相軌跡均不相交。

3.相軌跡的特點(diǎn)(P448)8.3相平面法一、相平面的基本概念例:1）任一點(diǎn)的斜率從哪里來？

r(t)

c(t)

e(t)

-

ka0例：一、相平面的基本概念8.3相平面法演示線性部分：線性部分的微分方程：或二、相軌跡的繪制方法(P449)（1）根據(jù)相軌跡斜率方程

分離變量積分法（2）消去參變量t法；例8.4:設(shè)二階線性系統(tǒng)的微分方程為常量。試?yán)L制系統(tǒng)的相軌跡。8.3相平面法1.※解析法2.圖解法——等傾線法P450（一般了解）1)給不同值得若干條等傾線。一般等傾線間隔取。2)在每根等傾線上畫上斜率為的短線，表示相軌跡通過這些等傾線時(shí)的切線斜率，短線上箭頭表示相軌跡運(yùn)動(dòng)方向。3)由初始條件出發(fā)，沿切線方向?qū)⑦@些短線用光滑連續(xù)曲線連接起來，即得相軌跡。等傾線：在相平面上相軌跡斜率相同的點(diǎn)的連線。例：二、相軌跡的繪制方法8.3相平面法2.圖解法——等傾線法P450（一般了解）1)給不同值得若干條等傾線。一般等傾線間隔取。2)在每根等傾線上畫上斜率為的短線，表示相軌跡通過這些等傾線時(shí)的切線斜率，短線上箭頭表示相軌跡運(yùn)動(dòng)方向。3)由初始條件出發(fā)，沿切線方向?qū)⑦@些短線用光滑連續(xù)曲線連接起來，即得相軌跡。等傾線：在相平面上相軌跡斜率相同的點(diǎn)的連線。例：二、相軌跡的繪制方法8.3相平面法三、由相平面求時(shí)間間隔(P451)0※積分法:

8.3相平面法求相平面上任意兩點(diǎn)間的時(shí)間.四、二階線性系統(tǒng)的相軌跡(P452)與相平面分析8.3相平面法多數(shù)的非線性系統(tǒng)都可以分段用線性系統(tǒng)來近似例:8.3相平面法設(shè)二階線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程（微分方程）相軌跡斜率方程

※相軌跡初始點(diǎn)

※

※奇（異）點(diǎn)

線性系統(tǒng)的兩個(gè)根

四、二階線性系統(tǒng)的相軌跡(P452)與相平面分析如何求奇點(diǎn)？相軌跡圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，不收斂于原點(diǎn)。此時(shí)奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。1.8.3相平面法設(shè)四、二階線性系統(tǒng)的相軌跡(P452)與相平面分析

2.

0js1s2

0相軌跡為向心螺旋線最終趨于原點(diǎn)，為一個(gè)收斂的運(yùn)動(dòng)。此時(shí)奇點(diǎn)是穩(wěn)定焦點(diǎn)。8.3相平面法四、二階線性系統(tǒng)的相軌跡(P452)與相平面分析

0j

0相軌跡為離心螺旋線，最終發(fā)散至無窮。此時(shí)奇點(diǎn)稱不穩(wěn)定焦點(diǎn)。

3.s1s28.3相平面法四、二階線性系統(tǒng)的相軌跡(P452)與相平面分析

4.

0j

0

s1s28.3相平面法當(dāng)初始點(diǎn)落在斜率分別等于兩個(gè)根的兩條特殊等傾線時(shí)，相軌跡沿直線趨于原點(diǎn)；否則，相軌跡是一簇終于原點(diǎn)的拋物線。此時(shí)奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。

四、二階線性系統(tǒng)的相軌跡(P452)與相平面分析P4540當(dāng)初始點(diǎn)位于等傾線時(shí)，相軌跡沿直線趨于原點(diǎn)。否則相軌跡是一簇終于原點(diǎn)的拋物線。此時(shí)奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。

P4548.3相平面法演示四、二階線性系統(tǒng)的相軌跡(P452)與相平面分析4.

0j

0

當(dāng)初始點(diǎn)落在斜率分別等于兩個(gè)根的特殊等傾線時(shí)，相軌跡沿直線遠(yuǎn)離原點(diǎn)；否則相軌跡是一簇趨于無窮遠(yuǎn)（反向延長交于原點(diǎn)）的拋物線。此時(shí)奇點(diǎn)稱不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)(P456)。5.s1s28.3相平面法四、二階線性系統(tǒng)的相軌跡(P452)與相平面分析0當(dāng)初始點(diǎn)位于等傾線時(shí)，相軌跡沿直線遠(yuǎn)離原點(diǎn)。否則，相軌跡是一簇趨于無窮遠(yuǎn)（反向延長交于原點(diǎn)）的拋物線。此時(shí)奇點(diǎn)稱不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。P4568.3相平面法演示四、二階線性系統(tǒng)的相軌跡(P452)與相平面分析5.只有初始值落在負(fù)斜率的等傾線上，相軌跡將趨于原點(diǎn)。但如受到微小的擾動(dòng)，將偏離該軌跡發(fā)散至無窮。此時(shí)奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。6.8.3相平面法四、二階線性系統(tǒng)的相軌跡(P452)與相平面分析j0j0j0※穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)※穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)

s1j0

s2j0s2s1j0s1s2二階線性系統(tǒng)相軌跡奇點(diǎn)類型、穩(wěn)定性與根的分布關(guān)系中心點(diǎn)8-3相平面法不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)鞍點(diǎn)四、二階線性系統(tǒng)的相軌跡(P457)與相平面分析例8.6：設(shè)線性系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)（即輸出初始值為0），試?yán)孟嗥矫娣▽ο到y(tǒng)進(jìn)行分析。其中，

相平面法分析時(shí)先求二階線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程及初始值；線性系統(tǒng)相軌跡和奇點(diǎn)類別取決于系統(tǒng)特征根在復(fù)平面上的分布情況；※※線性系統(tǒng)奇點(diǎn)的位置和相軌跡初始值位置則取決于輸入信號的形式。8.3相平面法※線性系統(tǒng)相平面法分析的一般思路四、二階線性系統(tǒng)的相軌跡(P452)與相平面分析例8.6：設(shè)線性系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)（輸出初始值為0），試?yán)孟嗥矫娣▽ο到y(tǒng)進(jìn)行分析。其中，

相平面法分析時(shí)先求二階線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程及初始值；線性系統(tǒng)相軌跡和奇點(diǎn)類別取決于系統(tǒng)特征根在復(fù)平面上的分布情況；線性系統(tǒng)奇點(diǎn)的位置和相軌跡初始值位置則取決于輸入信號的形式。8-3相平面法※線性系統(tǒng)相平面法分析的一般思路

0

運(yùn)動(dòng)方程四、二階線性系統(tǒng)的相軌跡(P452)與相平面分析(P458)演示0例：設(shè)線性系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)（輸出初始值為0），試?yán)孟嗥矫娣▽ο到y(tǒng)進(jìn)行分析。其中，

相平面法分析時(shí)先求二階線性系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程及初始值；線性系統(tǒng)相軌跡和奇點(diǎn)類別取決于系統(tǒng)特征根在復(fù)平面上的分布情況；線性系統(tǒng)奇點(diǎn)的位置和相軌跡初始值位置則取決于輸入信號的形式。8.3相平面法※線性系統(tǒng)相平面法分析的一般思路

0

0運(yùn)動(dòng)方程演示四、二階線性系統(tǒng)的相軌跡(P452)與相平面分析(P458)非線性系統(tǒng)都可通過幾個(gè)分段的線性系統(tǒng)來近似。因此非線性系統(tǒng)的相平面可相應(yīng)的劃分成若干不同區(qū)域。每個(gè)區(qū)域內(nèi)的相軌跡都是線性系統(tǒng)相軌跡。根據(jù)每個(gè)區(qū)域的奇點(diǎn)類型可判斷系統(tǒng)每個(gè)區(qū)域的穩(wěn)定性等。五、※非線性系統(tǒng)的相平面分析(P460)

8.3相平面法1．原理例：2.基本概念※※在不同區(qū)域的邊界上相軌跡要發(fā)生轉(zhuǎn)換，區(qū)域的邊界線稱為開關(guān)線。若該奇點(diǎn)位于對應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，則稱為實(shí)奇點(diǎn)；若奇點(diǎn)位于對應(yīng)的區(qū)域外，則稱為虛奇點(diǎn)。8.3相平面法例：0ⅠⅡⅢ開關(guān)線演示例：五、※非線性系統(tǒng)的相平面分析(P460)

3.非線性系統(tǒng)相平面法分析的步驟1)用分段線性特性表示非線性特性，寫出非線性特性數(shù)學(xué)表達(dá)式；2）根據(jù)系統(tǒng)線性部分，按照信號流向和傳輸關(guān)系，寫出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程；3)※選擇合適的相平面坐標(biāo)系，常用或。結(jié)合非線性特性將相平面分成幾個(gè)區(qū)域，寫出每區(qū)內(nèi)的線性運(yùn)動(dòng)方程（微分方程）。8.3相平面法演示2）線性部分：1）非線性特性：例1：ⅠⅢⅡ設(shè)系統(tǒng)初始為靜止?fàn)顟B(tài)3）運(yùn)動(dòng)方程：k=1五、※非線性系統(tǒng)的相平面分析(P460)

4)※※根據(jù)各運(yùn)動(dòng)方程式的條件方程，確定并畫出相平面的開關(guān)線。5)※※

※從系統(tǒng)初始值所在的區(qū)域開始，依次畫出各區(qū)域內(nèi)線性系統(tǒng)的相軌跡。注1：根據(jù)每區(qū)內(nèi)的線性運(yùn)動(dòng)方程（微分方程），應(yīng)用解析法或等傾線法求出每個(gè)線性區(qū)的相軌跡方程，即位置與速度間關(guān)系。6）根據(jù)相軌跡，判斷非線性控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。8.3相平面法3.非線性系統(tǒng)相平面法分析的步驟0ⅠⅡⅢ開關(guān)線演示例1：注2：

前一線性區(qū)域相軌跡到達(dá)開關(guān)線處的交點(diǎn)即下一線性區(qū)的初始值；ⅠⅢⅡ五、※非線性系統(tǒng)的相平面分析(P460)

例1(P460例8.7)：含飽和特性的非線性系統(tǒng)分析。設(shè)系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)（即輸出初始值為0）。其中，

r

c

e

-

Ma0

8.3相平面法k=1五、※非線性系統(tǒng)的相平面分析(P460)

3.非線性系統(tǒng)相平面法分析的步驟1)用分段線性特性表示非線性特性，寫出非線性特性數(shù)學(xué)表達(dá)式；2）根據(jù)系統(tǒng)線性部分，按照信號流向和傳輸關(guān)系，寫出系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程；3)※選擇合適的相平面坐標(biāo)系，常用或。結(jié)合非線性特性將相平面分成幾個(gè)區(qū)域，寫出每區(qū)內(nèi)的線性運(yùn)動(dòng)方程（微分方程）。8.3相平面法五、※非線性系統(tǒng)的相平面分析(P460)

例1(P460例8.7)：含飽和特性的非線性系統(tǒng)分析。設(shè)系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)（即輸出初始值為0）。其中，k=14)※※根據(jù)各運(yùn)動(dòng)方程式的條件方程，確定并畫出相平面的開關(guān)線。5)※※

※從系統(tǒng)初始值所在的區(qū)域開始，依次畫出各區(qū)域內(nèi)線性系統(tǒng)的相軌跡。注1：根據(jù)每區(qū)內(nèi)的線性運(yùn)動(dòng)方程（微分方程），應(yīng)用解析法或等傾線法求出每個(gè)線性區(qū)的相軌跡方程，即位置與速度間關(guān)系。6）根據(jù)相軌跡，判斷非線性控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特性。8.3相平面法3.非線性系統(tǒng)相平面法分析的步驟注2：

前一線性區(qū)域相軌跡到達(dá)開關(guān)線處的交點(diǎn)即下一線性區(qū)的初始值；五、※非線性系統(tǒng)的相平面分析(P460)

例1(P460例8.7)：含飽和特性的非線性系統(tǒng)分析。設(shè)系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)（即輸出初始值為0）。其中，k=1例2：具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)分析。設(shè)系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)。k=120rec+-x1.用相平面法分析系統(tǒng)在輸入r(t)=4.1(t)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況。

2.如果發(fā)生自持振蕩，求自持振蕩的周期和振幅。8.3相平面法（4,0）五、※非線性系統(tǒng)的相平面分析(P460)

穩(wěn)定的極限環(huán)（P465)0※積分法:

回顧8.3相平面法五、※非線性系統(tǒng)的相平面分析(P460)

求相平面上任意兩點(diǎn)間的時(shí)間.例2：具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)分析。設(shè)系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)。k=120rec+-x1.用相平面法分析系統(tǒng)在輸入r(t)=4.1(t)時(shí)的運(yùn)動(dòng)情況。

2.如果發(fā)生自持振蕩，求自持振蕩的周期和振幅。8.3相平面法（4,0）穩(wěn)定的極限環(huán)（P465)五、※非線性系統(tǒng)的相平面分析(P460)

例3：具有繼電器特性的非線性系統(tǒng)分析。r=0ec+-x1.求初始值，的平面的相軌跡。2018.3相平面法2.計(jì)算相軌跡旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間。CAD開關(guān)線都是如此？穩(wěn)定的極限環(huán)（P465)五、※非線性系統(tǒng)的相平面分析(P460)

2.若M=0.5，畫起始于，的相軌跡；例4(2008)：非線性控制系統(tǒng)如下圖所示。圖中，

1.以為相變量，寫出相軌跡分區(qū)運(yùn)動(dòng)方程；8.3相平面法3.利用相軌跡計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差及超調(diào)量。※按照信號流向與傳輸關(guān)系五、※非線性系統(tǒng)的相平面分析(P460)

觀察題8.3相平面法

P4778-7(1)(2)

，且設(shè)輸出初始值為0作業(yè)五、※非線性系統(tǒng)的相平面分析(P460)

4)開關(guān)線方程2)線性部分1)非線性部分其中，I區(qū)：拋物線方程II區(qū)：解:rec-xu0-1x1u3)運(yùn)動(dòng)方程5)相軌跡方程已知，。設(shè)輸出初始值為0分別討論系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。簡略演示P4778-7※按照條件方程※按照信號流向與傳輸關(guān)系8.3相平面法五、※非線性系統(tǒng)的相平面分析(P460)

相軌跡開關(guān)線6)初始值（1,0）rec-xu0-1x1u※前一線性區(qū)域相軌跡到達(dá)開關(guān)線處的交點(diǎn)即下一線性區(qū)的初始值已知，。設(shè)輸出初始值為0分別討論系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)。P4778.3相平面法五、※非線性系統(tǒng)的相平面分析(P460)

簡略演示（1,0）（1,0）例：具有滯環(huán)繼電特性的非線性控制系統(tǒng)Ⅰ區(qū)：Ⅱ區(qū)：rec+-uMh0+-τ=0

K

M

-K

M

ⅠⅡ0h-h開關(guān)線:非線性環(huán)節(jié):線性方程:演示8.3相平面法0h-hⅠⅡ

K

M

-K

M

0h-hⅠⅡ

K

M

-K

M

例：具有滯環(huán)繼電特性的非線性控制系統(tǒng)rec+-uMh0+-τ>0演示Ⅰ區(qū)：Ⅱ區(qū)：開關(guān)線:8.3相平面法第8章非線性控制系統(tǒng)分析熟練掌握典型線性二階系統(tǒng)的相平面圖及其特征；※※正確求出開關(guān)線方程；非線性系統(tǒng)在每個(gè)線性區(qū)的相軌跡方程以及初始值.※※如果發(fā)生自持振蕩，計(jì)算振幅和