關(guān)于悖論的一個(gè)

邏輯悖論

2013.11.152021/5/91

一、什么是悖論

悖論：從“正確”的前提出發(fā)，經(jīng)過“正確”的邏輯推理，得出荒謬的結(jié)論。

中國古代關(guān)于“矛盾”的故事是對(duì)悖論最通俗的解釋。

2021/5/92網(wǎng)上找到的號(hào)稱現(xiàn)實(shí)生活中的最牛的悖論。2021/5/93

“萬物皆數(shù)”學(xué)說認(rèn)為“任何數(shù)都可表為整數(shù)的比”；但以1為邊的正方形的對(duì)角線之長(zhǎng)卻不能表為整數(shù)的比，這也是悖論。二、歷史上著名的悖論1、畢達(dá)哥拉斯悖論稱為畢達(dá)哥拉斯悖論。這個(gè)悖論導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)和無理數(shù)的產(chǎn)生。2021/5/942、理發(fā)師悖論數(shù)學(xué)中最著名的悖論是羅素于1902年提出的。

一智者問：理發(fā)師先生，你是否應(yīng)該為自己刮臉呢？理發(fā)師無言以對(duì)。如果給自己刮臉，就與“不給自己刮臉的人刮臉”矛盾；如果不給自己刮臉，又與“給所有自己不刮臉的人刮臉”矛盾。一理發(fā)師宣稱：只給所有自己不刮臉的人刮臉，而不給自己刮臉的人刮臉。BertrandRussell，英國數(shù)學(xué)家2021/5/95這個(gè)悖論使得數(shù)學(xué)家考慮樸素康托集合論中存在的問題，從而導(dǎo)致了公理化集合論的產(chǎn)生。公理化集合論被普遍接受為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。對(duì)這個(gè)工作中貢獻(xiàn)最大的是策梅羅(E.Zermelo)。但有人說，實(shí)際上康比羅素早10年就提出了類似的羅素悖論?？低蠫eorgFerdinandPhilipCantor(1845～1918)德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。一篇描述樸素集合論問題的文章2021/5/963、上帝全能悖論甲說：上帝是全能的！乙說：全能就是任何事情都能做到！請(qǐng)問：上帝能創(chuàng)造一個(gè)對(duì)手打敗自己?jiǎn)?？如果能，則說明上帝并非全能；如果不能，則說明上帝并非全能。2021/5/974、撒謊者悖論

公元前6世紀(jì)，古希臘克里特島的哲學(xué)家伊壁門尼德斯說：所有克里特島的人說的每一句話都是謊話。試問這句話是真是假？如真，伊壁門尼德斯也是克里特島的人，從而推出這句話假；如假，從而推出這句話真；但是公元4世紀(jì)，歐幾里得改進(jìn)版：我現(xiàn)在所說的是假話。如真，則推話假；如假，則導(dǎo)致這句話真。這可能是記載中最早的悖論。2021/5/98芝諾（前490？—前430？）是（南意大利的）愛利亞學(xué)派創(chuàng)始人巴門尼德的學(xué)生。他企圖證明該學(xué)派的學(xué)說：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實(shí)的；運(yùn)動(dòng)只是假象。于是他設(shè)計(jì)了四個(gè)例證，人稱“芝諾悖論”。這些悖論是從哲學(xué)角度提出的。我們從數(shù)學(xué)角度看其中的一個(gè)悖論。

芝諾5、芝諾悖論2021/5/99阿基里斯追不上烏龜。

2021/5/910三、悖論的解決1、常見的悖論分類如有人將悖論分為：語法（法）悖論，語義悖論和語用悖論。參看：張建軍。邏輯悖論研究引論[M]。南京：南京大學(xué)出版社，2002。1、日常悖論，即聽起來荒謬，但至少有一種論證方式。2、二律背反。即從公認(rèn)原則出發(fā)，按照公認(rèn)方式推出自相矛盾的結(jié)果。3、黑格爾論題。基本含義是有些違反矛盾律的命題是可以接受的。參看：論悖論的實(shí)質(zhì)，根源和解決方案。楊武金，中國人民大學(xué)哲學(xué)院。也有人將悖論分為：存在多種不同的分類方式。很多悖論讓人們困惑了很長(zhǎng)時(shí)間，有不少些人直到現(xiàn)在還認(rèn)為應(yīng)該接受悖論。2021/5/911我對(duì)悖論的分類與理解我認(rèn)為從古至今，無論在哪個(gè)學(xué)科出現(xiàn)的任意形式的悖論，從其本質(zhì)上講，可以分為兩類。1、最簡(jiǎn)單最常見的一種，就是偷換概念引起的悖論。我甚至認(rèn)為所有真正意義上的邏輯悖論都屬于這種情況。例1、阿基里斯和烏龜賽跑的悖論。在這個(gè)悖論中，芝諾所說的永遠(yuǎn)并不是我們一般意義上所理解的永遠(yuǎn)。一般意義上我們所理解的永遠(yuǎn)是一個(gè)時(shí)間概念。而這里不是。雖然悖論中的分析步驟可以一直做下去，永遠(yuǎn)不會(huì)結(jié)束。但做每一步所需要的時(shí)間是在逐漸減少的。所用時(shí)間之和并非永遠(yuǎn)，而是一個(gè)有限的數(shù)值。因此，這個(gè)悖論的實(shí)質(zhì)就是將步驟的永遠(yuǎn)偷換成了時(shí)間的永遠(yuǎn)。2021/5/912例2、說謊者悖論：我現(xiàn)在所說的是假話。悖論提出者認(rèn)為：如果我先說的是正確的，那這句話就是錯(cuò)誤的；反之，如果我說的是正確的，則這句話就是正確的。我們借用一些數(shù)學(xué)邏輯符號(hào)來分析這個(gè)悖論的問題。記A：我現(xiàn)在說的話。B:我現(xiàn)在說的話是錯(cuò)誤的（這句話）。有人認(rèn)為A和B是同一個(gè)主體。這是錯(cuò)誤的，因?yàn)锽指的是所說的內(nèi)容，而B是這個(gè)內(nèi)容的一個(gè)指稱，或者叫做一個(gè)代表符號(hào)。A強(qiáng)調(diào)這句話的形式或存在性。故這個(gè)悖論中顯然存在概念偷換。也有人認(rèn)為產(chǎn)生這個(gè)悖論的根源在于這里存在一個(gè)遞歸否定結(jié)構(gòu)。即A的內(nèi)容是B，而A又是B的主語。好比一條蛇，一直試圖咬到自己的尾巴，但頭部移動(dòng)的時(shí)候，尾巴也在動(dòng)，所以永遠(yuǎn)咬不到，而永遠(yuǎn)停不下來，無法得到一個(gè)確定的結(jié)果（咬到還是咬不到）。參看：悖論的語言結(jié)構(gòu)-遞歸否定。陳保亞，陳樾，北京大學(xué)學(xué)報(bào)，2009年5月。例3先有雞還是先有蛋？2021/5/9132、由有限和無限概念引起的一些悖論。很多比較早的悖論都屬于這種情況。例1、畢達(dá)哥拉斯悖論畢達(dá)哥拉斯悖論的問題在于沒有認(rèn)識(shí)到介于任意兩個(gè)不同數(shù)之間的數(shù)一定有無限多個(gè)。只用整數(shù)是不夠的。伽利略（GalileoGalilei，1564-1642），意大利物理學(xué)家、天文學(xué)家和哲學(xué)家。

例2、伽利略悖論

1234567891011…n…?????????????149162536496481100121…n2…

[該兩集合：有一一對(duì)應(yīng)，于是推出兩集合的元素個(gè)數(shù)相等；但由“部分小于全體”，又推出兩集合的元素個(gè)數(shù)不相等。這就形成悖論。]例3、羅素悖論實(shí)際上也是由無限引起的。例4、上帝萬能悖論。2021/5/914樸素康托集合論的問題注：對(duì)有限集合A，其基數(shù)為其所含元素個(gè)數(shù)，對(duì)無窮集合，其基數(shù)由兩個(gè)可構(gòu)造一一映射的集合對(duì)比確定。

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