專題15 圓重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（十大題型）（原卷版）

第二十四章圓專題15圓重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（十大題型）【題型目錄】題型一圓的基本概念辨析題型二求圓中弦的條數(shù)題型三求過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦題型四圓的周長和面積問題題型五點(diǎn)與圓的位置關(guān)系題型六三角形的外接圓題型七確定圓的條件題型八圓中角度的計(jì)算題型九圓中線段長度的計(jì)算題型十求一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值【知識梳理】一、圓（1）圓的定義1．在一個(gè)平面內(nèi)，線段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)所形成的圖形叫圓．這個(gè)固定的端點(diǎn)叫做圓心，線段叫做半徑．以點(diǎn)為圓心的圓記作⊙O，讀作圓O．點(diǎn)撥：（1）圓指的是“圓周”，即一條封閉的曲殘，而不是“圓面”。（2）“圓上的點(diǎn)”指的是圓周上的點(diǎn)，圓心不在圓周上。（3）確定一個(gè)圓需要兩個(gè)要素:一是定點(diǎn)，即圓心；二是定長，即半徑。圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。只有圓心和半徑都確定了，圓才能被唯一確定。（2）點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系圖示文字語言符號語言點(diǎn)在圓內(nèi)圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都小于半徑，到圓心的距離小于半徑的點(diǎn)都在圓內(nèi)點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓上圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑，到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)都在圓上點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓外圓內(nèi)各點(diǎn)到圓心的距離都大于半徑，到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)都在圓外點(diǎn)在圓外點(diǎn)撥：（1）利用與的數(shù)量關(guān)系可以判斷點(diǎn)和圓的位置關(guān)系；同時(shí)，知道了點(diǎn)和圓的位置善長，也可以確定與的數(shù)量關(guān)系。（2）符號“”讀作“等價(jià)于”，它表示從符號“”的左端可以推出右端，從右端也可以推出左端。（3）弦、弧、圓心角1．連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦．經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是同一圓中最長的弦，直徑等于半徑的2倍．2．圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱?。詾槎它c(diǎn)的弧記作EQ\O(\s\up6(⌒),AB)，讀作弧AB．在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等?。畧A的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．在一個(gè)圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣?。?．從圓心到弦的距離叫做弦心距．5．由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．6．頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．名稱概念注意圖示弦連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫作弦，如右圖中“弦”直徑是圓中最長的弦不一定是直徑直徑經(jīng)過圓心的弦叫作直徑，如右圖中“直徑”但弦不一定是直徑弧、半圓、劣孤、優(yōu)弧圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫作圓弧，簡稱弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條弧，每一條弧都叫作半圓；大于半圓的弧叫作優(yōu)弧，用三個(gè)字母表示，如右圖中的；小于半圓的弧叫作劣弧，用兩個(gè)字母表示，如右圖中半圓是弧，但弧不一定是半圓等圓能夠重合的兩個(gè)圓叫作等圓，容易看出：半徑相等的兩個(gè)圓是等圓；反過來，等圓的半徑相等等圓只和半徑的大小有關(guān)，和圓心有位置有關(guān)等弧在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫作等孤長度相等的孤不一定是等孤【經(jīng)典例題一圓的基本概念辨析】【例1】（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），作于點(diǎn)D，若，則的長是（

）A． B． C．或 D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·河北衡水·九年級校考期中）如圖，在銳角三角形（）中，分別以點(diǎn)B，C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點(diǎn)，作直線，與交于點(diǎn)M；再分別以點(diǎn)A，C為圓心，按相同的操作作直線l，與交于點(diǎn)N，與交于點(diǎn)O．對于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（

）結(jié)論Ⅰ：點(diǎn)O為的內(nèi)心；結(jié)論Ⅱ：連接，，則一定比短．A．Ⅰ和Ⅱ都對 B．Ⅰ和Ⅱ都不對 C．Ⅰ對，Ⅱ不對 D．Ⅰ不對，Ⅱ?qū)?．（2023·四川眉山·?？既＃┤鐖D，矩形的邊，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上一動點(diǎn)（不與B、C重合），把沿對折，使點(diǎn)B與點(diǎn)N重合，則線段的最小值為．

3．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）已知：如圖，在正方形中，、分別是、的中點(diǎn)．(1)線段與有何關(guān)系．說明理由；(2)延長、交于點(diǎn)H，則B、D、G、H這四個(gè)點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上．說明理由．【經(jīng)典例題二求圓中弦的條數(shù)】【例2】（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）點(diǎn)A、O、D與點(diǎn)B、O、C分別在同一直線上，圖中弦的條數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，點(diǎn)，，，點(diǎn)，，以及點(diǎn)，，分別在一條直線上，則圓中弦的條數(shù)為（

）

A．條 B．條 C．條 D．條2．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，圓中有條直徑，條弦，圓中以A為一個(gè)端點(diǎn)的優(yōu)弧有條，劣弧有條．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）如圖，是內(nèi)接三角形，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．（1）在圖1中，畫山一條與相等的弦；（2）在圖2中，畫出一個(gè)與全等的三角形．【經(jīng)典例題三求過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦】【例3】（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）若的直徑長為，點(diǎn)，在上，則的長不可能是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）、是半徑為的上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，⊙M的半徑為2，過M點(diǎn)的直線與⊙M的交點(diǎn)分別為A，B，則△AOB的面積的最大值為，此時(shí)A，B兩點(diǎn)所在直線與x軸的夾角等于°．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖所示，為的一條弦，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，且，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，若的半徑為7，求的最大值.【經(jīng)典例題四圓的周長和面積問題】【例4】（2023春·山東泰安·九年級校考期中）如圖兩個(gè)半徑都是的圓外切于點(diǎn)C，一只螞蟻由點(diǎn)A開始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的順序沿著圓周上的8段長度相等的路徑繞行，螞蟻在這8段路徑上不斷爬行，直到行走后才停下來，則螞蟻停的那一個(gè)點(diǎn)為（

）

A．D點(diǎn) B．E點(diǎn) C．F點(diǎn) D．G點(diǎn)【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個(gè)正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3：1，則圓的面積約為正方形面積的（

）A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍2．（2023秋·浙江紹興·七年級統(tǒng)考期末）一座圓形花壇的半徑為，中間雕塑的底面是邊長為的正方形．如圖，這個(gè)花壇的實(shí)際種花面積為（取，結(jié)果精確到個(gè)位）．3．（2023秋·上海徐匯·六年級上海市徐匯中學(xué)?？计谀┠惩瑢W(xué)用所學(xué)過的圓與扇形的知識設(shè)計(jì)了一個(gè)問號，如圖中陰影部分所示，已知圖中的大圓半徑為4，兩個(gè)小圓的半徑均為2，請計(jì)算圖中陰影部分的周長和面積．【經(jīng)典例題五點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】【例5】（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）已知的半徑為，A為線段的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A與的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)A在內(nèi) B．點(diǎn)A在上C．點(diǎn)A在外 D．不能確定【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，P點(diǎn)坐標(biāo)為，若以原點(diǎn)O為圓心，半徑為畫圓，則點(diǎn)P與的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)在圓內(nèi) B．點(diǎn)在圓上 C．點(diǎn)在圓外 D．不能確定2．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）已知的半徑，點(diǎn)到圓的最近距離為，則點(diǎn)到圓的最遠(yuǎn)距離為；若點(diǎn)到的最近距離為，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（填“在圓外、在圓上或在圓內(nèi)”）．3．（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）閱讀與思考下面是一篇數(shù)學(xué)小論文，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．“三點(diǎn)共線模型”及其應(yīng)用背景知識：通過初中學(xué)習(xí)，我們掌握了基本事實(shí)：兩點(diǎn)之間線段最短．根據(jù)這個(gè)事實(shí)，我們證明了：三角形兩邊的和大于第三邊．根據(jù)不等式的性質(zhì)得出了：三角形兩邊的差小于第三邊．知識拓展：如圖，在同一平面內(nèi)，已知點(diǎn)和為定點(diǎn)，點(diǎn)為動點(diǎn)，且為定長（令），可得線段的長度為定值．我們探究和兩條定長線段，的數(shù)量關(guān)系及其最大值和最小值：當(dāng)動點(diǎn)不在直線上時(shí)，如圖，由背景知識，可得結(jié)論，．當(dāng)動點(diǎn)在直線上時(shí)，出現(xiàn)圖和圖兩種情況．在圖中，線段取最小值為；在圖中，線段取最大值為．模型建立：在同一平面內(nèi)，點(diǎn)和為定點(diǎn)，點(diǎn)為動點(diǎn)，且，為定長（），則有結(jié)論≥，．當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動至，，三點(diǎn)共線時(shí)等成立．我們稱上述模型為“三點(diǎn)共線模型”，運(yùn)用這個(gè)模型可以巧妙地解決一些最值問題．任務(wù)：(1)上面小論文中的知識拓展部分．主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想有；（填選項(xiàng)）A．方程思想

B．統(tǒng)計(jì)思想

C．分類討論

D．函數(shù)思想(2)已知線段，點(diǎn)為任意一點(diǎn)，那么線段和的長度的和的最小是；(3)已知的直徑為，點(diǎn)為上一點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，且，則的最大值是；(4)如圖4，，矩形的頂點(diǎn)、分別在邊、上，當(dāng)在邊上運(yùn)動時(shí)，隨之在上運(yùn)動，矩形的形狀保持不變．其中，．運(yùn)動過程中，求點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離．【經(jīng)典例題六三角形的外接圓】【例6】（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖所示，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，則外接圓半徑的長為（

）.A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，是等邊三角形的外接圓，若的半徑為2，則的面積為（

）A． B． C． D．2．（2023·廣東東莞·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)D是等邊內(nèi)部一動點(diǎn)，，連接，若，則的長度最小值是．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）[探索發(fā)現(xiàn)]有張形狀為直角三角形的紙片，小俊同學(xué)想用些大小不同的圓形紙片去覆蓋這張三角形紙片，經(jīng)過多次操作發(fā)現(xiàn)，如圖1,以斜邊AB為直徑作圓，剛好是可以把Rt△ABC覆蓋的面積最小的圓，稱之為最小覆蓋圓.[理解應(yīng)用]我們也可以用一些大小不同的圓覆蓋銳角三角形和鈍角三角形，請你通過操作探究解決下列問題(1)如圖2.在中，∠A=105°，試用直尺和圓規(guī)作出這個(gè)三角形的最小覆蓋圓(不寫作法，保留作圖痕跡).（2）如圖3,在中，∠A=80°，∠B=40°，AB=，請求出△ABC的最小覆蓋圓的半徑[拓展延伸]（3）如圖4,在中，已知AB=15，AC=12,BC=9，半徑為1的在的內(nèi)部任意運(yùn)動，則覆蓋不到的面積是【經(jīng)典例題七確定圓的條件】【例7】（2023秋·九年級課前預(yù)習(xí)）下列說法中，真命題的個(gè)數(shù)是（

）①任何三角形有且只有一個(gè)外接圓；②任何圓有且只有一個(gè)內(nèi)接三角形；③三角形的外心不一定在三角形內(nèi)；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤經(jīng)過三點(diǎn)確定一個(gè)圓；A．1 B．2 C．3 D．4【變式訓(xùn)練】1．（2023春·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，、為⊙O的切線，切點(diǎn)分別為A、B，交于點(diǎn)C，的延長線交⊙O于點(diǎn)D．下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．為等腰三角形 B．與相互垂直平分C．點(diǎn)A、B都在以為直徑的圓上 D．為的邊上的中線2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形中，為的中點(diǎn)，為邊上的任意一點(diǎn)，把沿折疊，得到，連接．若，，當(dāng)取最小值時(shí)，的值等于．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知等邊的邊長為8，點(diǎn)P是邊上的一個(gè)動點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合）．（1）如圖1．當(dāng)時(shí)，的面積為；（2）直線l是經(jīng)過點(diǎn)P的一條直線，把沿直線l折疊，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)時(shí)，若直線，求的長度；②如圖3，當(dāng)時(shí)，在直線l變化過程中．請直接寫出面積的最大值．【經(jīng)典例題八圓中角度的計(jì)算】【例8】1（2023·甘肅白銀·?？既＃┤鐖D，A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，交圓O于點(diǎn)F，則等于（

）

A．15° B．30° C．45° D．60°【變式訓(xùn)練】1．（2023·四川廣元·統(tǒng)考一模）如圖，為的直徑，是的弦，、的延長線交于點(diǎn)E，已知，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，，M，N分別是，上的動點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，且．（1）．（2）連接，則的最小值為．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，C為上一點(diǎn)，連接．(1)若，求的度數(shù)；(2)若的面積與的面積之比為，求的值．【經(jīng)典例題九圓中線段長度的計(jì)算】【例9】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖的方格紙中，每個(gè)方格的邊長為1，A、O兩點(diǎn)皆在格線的交點(diǎn)上，今在此方格紙格線的交點(diǎn)上另外找兩點(diǎn)B、C，使得的外心為O，求的長度為何（）A．4 B．5 C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)．若，則的長為（）A． B． C．1 D．22．（2023春·貴州銅仁·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，M是邊上的一點(diǎn)，將沿對折至，連接，當(dāng)?shù)拈L最小時(shí)，則的長是．

3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，，在射線上順次截取，，以為直徑作交射線于、兩點(diǎn)．求：(1)圓心O到的距離．(2)求的長．【經(jīng)典例題十求一點(diǎn)到圓上點(diǎn)距離的最值】【例10】（2023秋·江蘇·九年級專題練習(xí)）在同一平面內(nèi)，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（

）A．2 B．5 C．6 D．8【變式訓(xùn)練】1．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，是邊的中點(diǎn)，是線段上的動點(diǎn)，將沿所在直線折疊得到，連接，則的最小值是（

）

A． B．6 C．4 D．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在矩形中，，動點(diǎn)P在矩形的邊上沿運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合時(shí)，將沿對折，得到，連接，則在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段的最小值為．

3．（2023·河北衡水·統(tǒng)考二模）如圖，和均為邊長為的等邊三角形，點(diǎn)在邊上，是的中點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接和．(1)求證：四邊形是菱形；(2)求的最小值；(3)若與垂直，求的長．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）直角三角形的兩條直角邊長分別是，，則這個(gè)直角三角形的外接圓的半徑是（）A． B． C． D．2．（2023春·山東泰安·九年級校考期中）如圖中外接圓的圓心坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．3．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)P是外一點(diǎn)，分別以O(shè)、P為圓心，大于長為半徑作圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N，直線交于點(diǎn)C，再以點(diǎn)C為圓心，以長為半徑作圓弧，交于點(diǎn)A，連接交于點(diǎn)B，連接．若，則的大小為（

）A． B． C． D．4．（2023·上海·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，，的半徑長為3，與相交，且點(diǎn)B在外，那么的半徑長r可能是（

）A．r＝1 B．r＝3 C．r＝5 D．r＝75．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，的半徑為4，圓心的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是上的任意一點(diǎn)，，且、與軸分別交于、兩點(diǎn)，若點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的最大值為（）A．13 B．14 C．12 D．286．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）一個(gè)直角三角形的兩條邊長是方程的兩個(gè)根，則此直角三角形的外接圓的直徑為．7．（2023春·安徽安慶·九年級統(tǒng)考期末）中，、、，則外接圓圓心坐標(biāo)為．8．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，E是邊長為4的正方形的邊上的一個(gè)動點(diǎn)，F(xiàn)是以為直徑的半圓上的一個(gè)動點(diǎn)，連接，，則的最小值是．

9．（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，，正方形的邊長為1，將正方形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)G為的中