高中數(shù)學(xué)期末備考微專題55講立體幾何04軌跡與截線型動(dòng)態(tài)問題含解析

Page34.定長型動(dòng)態(tài)問題對于定長型動(dòng)點(diǎn)問題，即空間中動(dòng)點(diǎn)滿足到某個(gè)定點(diǎn)的距離為定值，其實(shí)由球的定義可知，動(dòng)點(diǎn)的軌跡即以定點(diǎn)為球心，定長為半徑的球.另一方面動(dòng)點(diǎn)會(huì)在某個(gè)其他平面上運(yùn)動(dòng)，所以，這實(shí)際就是一個(gè)球的截線問題.處理這樣問題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)：第一，找到球在這個(gè)面的邊界點(diǎn)（利用已知數(shù)據(jù)計(jì)算），第二，找到這個(gè)截面的外接圓圓心，其利用球的截面性質(zhì)來算，做到上述兩點(diǎn)，這個(gè)問題就基本上能夠解決！當(dāng)然，坐標(biāo)法也是一個(gè)不錯(cuò)的手段，等會(huì)例題中將會(huì)體現(xiàn).一．典例分析例1.（2020新高考1卷）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．解析：如圖：解析：取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，因?yàn)?0°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，<找到球在這個(gè)面的邊界點(diǎn)（利用已知數(shù)據(jù)計(jì)算）>.，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因?yàn)椋詡?cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點(diǎn)，則，因?yàn)榍虻陌霃綖?，，所以，所以?cè)面與球面的交線上的點(diǎn)到的距離為，因?yàn)?，所以?cè)面與球面的交線是扇形的弧，因?yàn)?，所以，所以根?jù)弧長公式可得.故答案為：.其實(shí)，相關(guān)問題亦可用向量法來解決，下面我們看一下相關(guān)例子.例2.已知正方體的棱長為，過頂點(diǎn)的平面為，點(diǎn)是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡長度等于（

）A． B． C． D．解析：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)在平面的射影為，即，又，所以，是邊長為的等邊三角形，其內(nèi)切圓半徑為，所以為以為圓心，半徑的圓上，所以點(diǎn)的軌跡長度為；故選：B注：此題亦可用幾何法算得，球與面的邊界點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，三角形的外接圓圓心為其中心.例3.在四棱錐中，面四邊形是邊長為的正方形，且．若點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則直線被四棱錐的外接球所截得的線段長為_____．解法1.如圖所示：因?yàn)槊嫠倪呅问钦叫?，所以均為以為斜邊的直角三角形，所以外接球的球心O為PC的中點(diǎn)，則,取EF的中點(diǎn)G,因?yàn)?，所以，則，所以，所以球心到直線的距離為，所以，所以所截得的線段長為，故答案為：.這個(gè)幾何證法可以讓很多學(xué)生望洋興嘆，下來我們再嘗試用例1所總結(jié)的向量方法來計(jì)算.即計(jì)算球心與截線上兩個(gè)特殊點(diǎn)所構(gòu)成的的高線長.解法2.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，所需各點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則為邊長是的等邊三角形，則點(diǎn)到直線的距離，最后所截得的線段長為.兩個(gè)方法，