廣東省惠州市惠東縣2024屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省惠州市惠東縣2024屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知全集，集合，，則集合（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意由補集運算可知，又，所以.故選：C.2.下列函數(shù)是奇函數(shù)，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗A選項，由，解得或，又，故為偶函數(shù)，A錯誤；B選項，定義域為R，且，當(dāng)時，，故此時單調(diào)遞減，B錯誤；C選項，定義域為R，且在R上單調(diào)遞減，C錯誤；D選項，定義域為R，且在R上單調(diào)遞增，又，故為奇函數(shù)，D正確.故選：D3.集合，若且，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為且，所以且，解得.故選：B.4.歐拉是世界上偉大的數(shù)學(xué)家，而歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式．其中最著名的有，復(fù)變函數(shù)中的歐拉幅角公式，即將復(fù)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，公式內(nèi)容為：，則（）A. B. C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗因為，.故選：C.5.是函數(shù)在單調(diào)遞減的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要〖答案〗A〖解析〗，顯然函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以時，函數(shù)在單調(diào)遞減；若函數(shù)在單調(diào)遞減，則，所以是函數(shù)在單調(diào)遞減的充分不必要條件.故選：A.6.已知在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意可知，由奇函數(shù)性質(zhì)可知；所以.故選：B.7.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即；因為為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即；因為單調(diào)遞減，所以，即，故，故選：A.8.已知函數(shù)，且滿足時，實數(shù)的取值范圍（）A.或 B.或C. D.〖答案〗D〖解析〗該函數(shù)的定義域為全體實數(shù)，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，又因為，函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，且，所以函數(shù)是實數(shù)集上的減函數(shù)，所以函數(shù)是實數(shù)集上的減函數(shù)，而函數(shù)也是實數(shù)集上的減函數(shù)，所以由函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)可知函數(shù)是實數(shù)集上的減函數(shù)，由，故選：D.二、選擇題9.已知命題“，”為假命題，則實數(shù)的可能取值是（）A.1 B.3 C. D.4〖答案〗BD〖解析〗因為命題“，”為假命題，則命題“，”為真命題，所以，，令，因為為增函數(shù)，為增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時，有最小值，即，所以.故選：BD.10.下列說法正確的是（）A.函數(shù)的圖像恒過定點B.“”的必要不充分條件是“”C.函數(shù)的最小正周期為2D.函數(shù)的最小值為2〖答案〗AB〖解析〗對于A，令，則，即，所以函數(shù)的圖像恒過定點，故A正確；對于B，不能推出，而能推出，所以“”的必要不充分條件是“”，故B正確；對于C，因為，令等價于，所以①，令等價于，所以②，由①②可得：，所以函數(shù)的最小正周期為4，故C錯誤；對于D，函數(shù)，令，則，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，故，故函數(shù)的最小值為2錯誤，故D錯誤.故選：AB.11.狄利克雷函數(shù)是由著名德國數(shù)學(xué)家狄利克雷創(chuàng)造，它是定義在實數(shù)上、值域不連續(xù)的函數(shù)，它在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有很重大的研究意義，例如對研究微積分就有很重要的作用，其函數(shù)表達式為（其中為有理數(shù)集，為無理數(shù)集），則關(guān)于狄利克雷函數(shù)說法正確的是（）A. B.它是偶函數(shù)C.它是周期函數(shù)，但不存在最小正周期 D.它的值域為〖答案〗ABC〖解析〗因為，則，故A正確；若，則，則；若，則，則，所以為偶函數(shù)，故B正確；設(shè)任意，則，當(dāng)時，則，當(dāng)時，或，則，即任意非零有理數(shù)均是的周期，任何無理數(shù)都不是的周期，故C正確；函數(shù)的值域為，故D錯誤；故選：ABC.12.已知定義域為的函數(shù)滿足，在〖解析〗式為，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.若函數(shù)在內(nèi)恒成立，則C.對任意實數(shù)，的圖象與直線最多有6個交點D.方程有4個解，分別為，，，，則〖答案〗BD〖解析〗因為定義域為的函數(shù)滿足，即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，因為在〖解析〗式為，故作出函數(shù)的圖象，如圖所示.選項A：由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，但當(dāng)，并不是隨著增加而減少，故選項A錯誤；選項B：因為函數(shù)在內(nèi)恒成立，所以由圖象可知，由解得，，所以，故選項B正確；選項C：取時，如圖所示，當(dāng)時，聯(lián)立方程組，化簡得，設(shè)函數(shù)，因為且對稱軸為，所以方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，設(shè)，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以在在只有一個零點，所以直線與函數(shù)圖象在有1個交點，所以當(dāng)時，直線與函數(shù)圖象有3個交點，因為函數(shù)與函數(shù)均為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，直線與函數(shù)圖象有3個交點，又當(dāng)時，直線與函數(shù)圖象有1個交點，所以此時直線與函數(shù)圖象有7個交點，故選項C錯誤；選項D：當(dāng)時，則根據(jù)圖象可得的4個解所在大致范圍為，，，，因為有4個解，所以，所以，解得，所以，由二次函數(shù)的對稱性可知，的解、滿足，因為函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時〖解析〗式為，所以當(dāng)時〖解析〗式為，所以，所以有，即，所以，設(shè)，，又因為函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，所以，所以選項D正確，故選：BD.三、填空題13.命題“，”的否定是_________．〖答案〗，〖解析〗命題“，”的否定是“，”.故〖答案〗為：，14.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則_________．〖答案〗〖解析〗因為為奇函數(shù)，當(dāng)時，，即，即，化簡可得，即，所以，則.故〖答案〗為：15.若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)_________實數(shù)的取值范圍_________．〖答案〗〖解析〗因為函數(shù)的定義域為，則，而函數(shù)的定義域為，所以，即.故〖答案〗為：；.16.已知是定義在，且滿足，當(dāng)時，，若函數(shù)在區(qū)間上有10個不同零點，則實數(shù)的取值范圍是_________．〖答案〗〖解析〗由得，所以函數(shù)的周期為4，先作出在區(qū)間上圖像：又，，則實數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題17.化簡求值：（1）（2）解：（1）原式.（2）原式．18.若二次函數(shù)對任意都滿足且最小值為-1，．（1）求的〖解析〗式；（2）若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）法一：由為二次函數(shù)，可設(shè)，∵，則代入得，化簡：，因為其對任意都成立，所以，即．又因為最小值為-1，且，∴，解得，∴；法二：由為二次函數(shù)，可設(shè)，∵函數(shù)滿足，∴圖象的對稱軸為，即，最小值為-1，且，∴，∴∴；（2）∵，即在上恒成立，即滿足函數(shù)的最小值大于．又∵當(dāng)時，對稱軸為，故在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增．∴在的最小值在取得，即∴，故的取值范圍是.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，．（1）求的〖解析〗式；（2）解關(guān)于的不等式．解：（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，當(dāng)時，，設(shè)，則，∴，∵，∴，則.（2）當(dāng)時，，，，，，即，當(dāng)時，，滿足不等式．當(dāng)時，，恒成立，滿足不等式，即，綜上所述，不等式的解集為：．20.已知函數(shù)．（1）若的單調(diào)遞增區(qū)間為，求的值．（2）求在上的最小值．解：（1）函數(shù)定義域為由于函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，且，故；當(dāng)時，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．即可得，則．（2），①當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，所以；②當(dāng)，，，則在上單調(diào)遞減，時，，則單調(diào)遞增；（i）當(dāng)，即時，在單調(diào)遞增，此時，（ii）當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；此時．綜上所述：當(dāng)時，；當(dāng)時，．21.疫情過后，惠州市某企業(yè)為了激勵銷售人員的積極性，實現(xiàn)企業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，其根據(jù)員工的銷售額發(fā)放獎金（獎金和銷售額單位都為十萬元），獎金發(fā)放方案同時具備兩個條件：①獎金隨銷售額的增加而增加；②獎金不低于銷售額的5%（即獎金大于等于）．經(jīng)測算該企業(yè)決定采用函數(shù)模型作為獎金發(fā)放方案．（1）若，此獎金發(fā)放方案是否滿足條件？并說明理由．（2）若，要使獎金發(fā)放方案滿足條件，求實數(shù)的取值范圍．解：（1），因為在上單調(diào)遞增．在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以①滿足．對于②，，即整理可得，則不滿足②的條件．故不滿足條件．（2）當(dāng)時，函數(shù)，因為由（1）中知在上單調(diào)遞增，獎金發(fā)放方案滿足條件①．由條件②可知，即在時恒成立，所以，在時恒成立．，在單調(diào)遞增．當(dāng)時，取得最小值∴所以要使獎金發(fā)放方案滿足條件，的取值范圍為．22.已知函數(shù)．（1）曲線在點處切線為，求證：上的點都不在直線的下方；（2）若關(guān)于的方程有不等實根求證：．（1）解：因為，則，所以，，曲線在點處的切線的方程為，設(shè)，則，令，則，所以上單調(diào)遞增，即上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．∴，因此，故曲線上的點都不在直線的下方．（2）證明：由（1）知：，令，則，∴在上單調(diào)遞增，即