貴州省黔西南州部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期9月高考適應(yīng)性月考一數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省黔西南州部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期9月高考適應(yīng)性月考（一）數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意知，，又因，所以，所以.故選：A.2.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“=”當(dāng)時(shí)，則，可得即，解得；所以“”是“”的充要條件.故選：.3.若隨機(jī)變量，則下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)隨機(jī)變量可知正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，均值為2，方差為4，所以，故A正確，，故B正確，，C正確，，故D錯(cuò)誤，故選：D.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故排除C；因?yàn)?，故排除A；當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)?，所以不是函?shù)的極值點(diǎn)，故排除D.故選：B.5.若二次函數(shù)在上為減函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)槎魏瘮?shù)在上為減函數(shù)，所以，解得，所以的取值范圍為，故選：D.6.若過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂線交軸于點(diǎn)（為雙曲線的半焦距），則此雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不妨設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，漸近線為，則過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，令，則，則，所以，所以此雙曲線的離心率是.故選：C.7.若，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，令，其中，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)椋?，故，則，所以，，則，A錯(cuò)B對(duì)；無(wú)法確定與的大小，故與的大小無(wú)法確定，CD都錯(cuò).故選：B.8.已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)閷?duì)任意的，都有，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，由可得，即，所以.故選：A二、多項(xiàng)選擇題9.甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球.先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以，和表示從甲罐取出的球是紅球、白球、黑球，再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出一球，以表示從乙罐取出的球是紅球.則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C.事件與事件相互獨(dú)立 D.，，兩兩互斥〖答案〗BD〖解析〗由已知可得，，，，，，.對(duì)于A項(xiàng)，由全概率公式可得，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，根據(jù)已知，即可計(jì)算，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由已知可知，，，兩兩互斥，故D項(xiàng)正確.故選：BD.10.提丟斯·波得定律是關(guān)于太陽(yáng)系中行星軌道的一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何學(xué)規(guī)則，它是在1766年由德國(guó)的一位中學(xué)老師戴維斯·提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來(lái)被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)波得歸納成一條定律，即數(shù)列：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6…表示的是太陽(yáng)系第顆行星與太陽(yáng)的平均距離（以天文單位AU為單位）.現(xiàn)將數(shù)列的各項(xiàng)乘以10后再減4，得到數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列從第3項(xiàng)起，每項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍，則下列說(shuō)法正確的是（）A.數(shù)列的第2023項(xiàng)為 B.數(shù)列的通項(xiàng)公式為C.數(shù)列的前10項(xiàng)和為157.3 D.數(shù)列的前項(xiàng)和〖答案〗CD〖解析〗數(shù)列各項(xiàng)乘以后再減得到數(shù)列故該數(shù)列從第項(xiàng)起構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，所以，則，故A錯(cuò)誤；從而，故B錯(cuò)誤；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，也符合上式，所以，所以，故C正確；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，所以，又當(dāng)時(shí)也滿足上式，所以，故D正確故選：CD.11.定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的有（）A. B.為奇函數(shù)C.為增函數(shù) D.〖答案〗ABC〖解析〗對(duì)于A，令，得，所以，故A正確；對(duì)于B，令得：，再以代，得：，兩式相加得：，，即，定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，不妨設(shè)，則，因?yàn)椋郧乙虼?，所以，則，即，故函數(shù)在上為增函數(shù)，C正確；對(duì)于D，令，因?yàn)?，則，即，因?yàn)?，且函?shù)在上為增函數(shù)，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.雙曲線具有如下光學(xué)性質(zhì)：如圖，，是雙曲線左、右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過(guò)；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（）A.射線所在直線的斜率為，則B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，光線由到再到所經(jīng)過(guò)的路程為5D.若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則〖答案〗ACD〖解析〗在雙曲線中，，，則，故、，設(shè)，，對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，當(dāng)點(diǎn)在第一象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著的增大，射線慢慢接近于直線，此時(shí)，同理可知當(dāng)點(diǎn)在第四象限內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)時(shí)，，綜上所述，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，所以，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，故過(guò)點(diǎn)時(shí)，光由到再到所經(jīng)過(guò)的路程為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，若，，因?yàn)?，且，所以，即，解得，D對(duì).故選：ACD.三、填空題13.展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為______.〖答案〗〖解析〗展開式中含的項(xiàng)為，故〖答案〗為:.14.已知函數(shù)（且）過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)在直線上，則的最小值為______.〖答案〗〖解析〗由于（且）過(guò)點(diǎn)，故，將代入中可得，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，故最小值為，故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗，要使函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需要有兩個(gè)變號(hào)根，即方程有兩個(gè)變號(hào)根，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)變號(hào)根，所有，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.16.“雪花曲線”是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖2是“雪花曲線”的一種形成過(guò)程：從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程.如圖，若第1個(gè)圖中三角形的邊長(zhǎng)為1，則第3個(gè)圖形的周長(zhǎng)為______；第個(gè)圖形的面積為______.〖答案〗〖解析〗記第n個(gè)圖形為，邊長(zhǎng)為，邊數(shù)，周長(zhǎng)為，面積為，有條邊，邊長(zhǎng)；有條邊，邊長(zhǎng)；有條邊，邊長(zhǎng)；，分析可知，即；，即，當(dāng)?shù)?個(gè)圖中的三角形的邊長(zhǎng)為1時(shí)，即，，所以，當(dāng)時(shí)，；由圖形可知是在每條邊上生成一個(gè)小三角形，即，即，，，，利用累加法可得，又，，所以.故〖答案〗為：；.四、解答題17.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù).（1）證明：兩邊取倒數(shù)得，，即，又，故為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；（2）解：由（1）得，故，所以，故，則，由于單調(diào)遞增，且，，故滿足條件的最大整數(shù)為9.18.某網(wǎng)紅冰淇淋公司計(jì)劃在貴陽(yáng)市某區(qū)開設(shè)分店，為了確定在該區(qū)開設(shè)分店的個(gè)數(shù)，該公司對(duì)該市已開設(shè)分店的5個(gè)區(qū)域的數(shù)據(jù)作了初步處理后得到下列表格，記表示在5個(gè)區(qū)域開設(shè)分店的個(gè)數(shù)，表示這個(gè)分店的年收入之和.（個(gè)）12345（千萬(wàn)元）11.622.43（1）該公司經(jīng)過(guò)初步判斷，可用經(jīng)驗(yàn)回歸模型擬合與的關(guān)系，求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）如果該公司最終決定在該區(qū)選擇兩個(gè)合適的地段各開設(shè)一個(gè)分店，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：第一分店每天的顧客平均為300人，其中180人會(huì)購(gòu)買該品牌冰淇淋，第二分店每天的顧客平均為200人，其中150人會(huì)購(gòu)買該品牌冰淇淋.依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析兩個(gè)店的顧客購(gòu)買率有無(wú)差異.附：0.0100.0050.0016.6357.87910.828參考公式：，，，.解：（1），則，，所以，，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為；（2）由題意，得出列聯(lián)表如下表：買不買總計(jì)分店一180120300分店二15050200總計(jì)330170500則，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，兩個(gè)店的顧客購(gòu)買率有差異.19.如圖，已知圓柱的軸截面為正方形，，為圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，為母線，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），經(jīng)過(guò)，，的平面與線段交于點(diǎn).（1）證明：；（2）當(dāng)時(shí)，求平面與圓柱底面所成夾角的正弦值的最小值.（1）證明：因?yàn)?，為圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，所以平?同理可得，平面.因?yàn)椋矫?，所以，平面平?又平面平面，平面平面，所以.（2）解：不妨設(shè)圓柱底面半徑為2，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在底面過(guò)點(diǎn)作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.設(shè)，則，，所以，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取.易知圓柱底面的一個(gè)法向量為，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以，平面與圓柱底面所成夾角的正弦值的最小值.20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍；（3）請(qǐng)問過(guò)點(diǎn)，，，，分別存在幾條直線與曲線相切？（請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不需要證明）解：（1）因?yàn)?，所?又，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，函數(shù)在處的切線的斜率為，所以，切線方程為.（2）設(shè)切點(diǎn)為，則，切線方程為，整理可得，.又點(diǎn)在切線上，則.要使過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則該方程有個(gè)解.令，則.解，可得，所以在上單調(diào)遞增；解，可得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.所以，在處取得極小值，在處取得極大值.又，，由題意可知，.（3）設(shè)切點(diǎn)為，則，切線方程為.①當(dāng)點(diǎn)在切線上時(shí)，有，此時(shí)，即點(diǎn)為切點(diǎn).由（1）知，切線為1條；②當(dāng)點(diǎn)在切線上時(shí)，由（2）知，在處取得極小值，且，所以，此時(shí)，只有1個(gè)解，即只存在1條切線；③當(dāng)在切線上時(shí)，由（2）知，，解得或.所以此時(shí)存在2條切線；④設(shè)切線過(guò)此時(shí)有.令，則.解，可得，所以在上單調(diào)遞增；解，可得或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.所以，在處取得極小值，在處取得極大值.又，，所以，當(dāng)時(shí)，有3條切線.所以，過(guò)點(diǎn)的切線有3條.又方程，可化為，解得或，所以，過(guò)點(diǎn)的切線有2條.21.馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，因俄國(guó)數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫得名，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，…次狀態(tài)無(wú)關(guān)，即.已知甲盒子中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙盒子中裝有2個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子中，重復(fù)次這樣的操作.記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，恰有2個(gè)黑球的概率為，恰有1個(gè)黑球的概率為.（1）求，和，；（2）證明：為等比數(shù)列（且）；（3）求的期望（用表示，且）.（1）解：若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，乙盒為2白，概率為，所以，①當(dāng)甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時(shí)：若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為，若甲盒取黑，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，②當(dāng)甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時(shí)：若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，綜上可知：，.（2）證明：經(jīng)過(guò)次這樣的操作.記甲盒子恰有2個(gè)黑1白的概率為，恰有1黑2白的概率為，3白的概率為，①當(dāng)甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時(shí)：若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為，若甲盒取黑，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，②當(dāng)甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時(shí)：若甲盒取黑，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，③當(dāng)甲盒中3白，乙盒2黑，概率為，此時(shí)：若甲盒取白，乙盒取黑，此時(shí)互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，故.，因此，因此為等比數(shù)列，且公比為.（3）解：由（2）知為等比數(shù)列，且公比為，首項(xiàng)為，故，所