湖北省武漢市第十九中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市第十九中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1.連擲一枚均勻的骰子兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，記，則下列說(shuō)法正確的是（）A.事件“”的概率為 B.事件“t是奇數(shù)”與“”互為對(duì)立事件C.事件“”與“”互為互斥事件 D.事件“且”的概率為〖答案〗D〖解析〗連擲一枚均勻的骰子兩次，

所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，則共有個(gè)基本事件，記t＝m＋n，則事件“t＝12”必須兩次都擲出6點(diǎn)，則事件“t＝12”的概率為，故A錯(cuò)誤；

事件“t是奇數(shù)”與“m＝n”為互斥不對(duì)立事件,如事件m=3,n=5，故B錯(cuò)誤；

事件“t＝2”與“t≠3”不是互斥事件，故C錯(cuò)誤；

事件“t＞8且mn＜32”有共9個(gè)基本事件，

故事件“t＞8且mn＜32”的概率為，故D正確；

故選：D．2.如圖，在平行六面體中，M在AC上，且，N在上，且．設(shè)，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)镸在AC上，且，N在上，且，所以，，在平行六面體中，，，，所以，，所以，故選：A．3.已知空間三點(diǎn)，，在一條直線上，則實(shí)數(shù)的值是（）A.2 B.4 C.-4 D.-2〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榭臻g三點(diǎn)，，在一條直線上，所以,故，所以.故選：C.4.已知直線的方程為，，則直線的傾斜角范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗，則，設(shè)直線的傾斜角為，故，所以當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角；綜上所述：直線的傾斜角故選：B5.在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為，選C.6.如圖，在二面角的棱上有兩點(diǎn)A、B，線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，若，則線段CD的長(zhǎng)為（）A. B.16 C.8 D.〖答案〗D〖解析〗分別過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)作、的平行線相交于點(diǎn)，連接，則四邊形為平行四邊形.線段AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB.，則為二面角的平面角，即，如圖所示.為等邊三角形，，，，平面，平面平面又平面在中，故選：D7.如圖，平行六面體的底面是矩形，，，，且，則線段的長(zhǎng)為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，因?yàn)榈酌鏋榫匦?，，，，所以，，又，所以，則.故選：B8.某知識(shí)問答競(jìng)賽需要三人組隊(duì)參加，比賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段，每個(gè)階段比賽中，如果一支隊(duì)伍中至少有一人通過(guò)，則這支隊(duì)伍通過(guò)此階段.已知甲、乙、丙三人組隊(duì)參加，若甲通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率均為，乙通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率均為，丙通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率均為，且三人每次通過(guò)與否互不影響，則這支隊(duì)伍進(jìn)入決賽的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗“至少有一人通過(guò)”的對(duì)立事件為“三人全部未通過(guò)”，則這支隊(duì)伍通過(guò)每個(gè)階段比賽的概率為，所以他們連續(xù)通過(guò)初賽和復(fù)賽的概率為，即進(jìn)入決賽的概率為.故選：B二、多選題9.下列說(shuō)法正確的是（）A.不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以表示為B.若直線與兩軸交點(diǎn)分別為A、B且AB的中點(diǎn)為(4，1)則直線l的方程為C.過(guò)點(diǎn)(1，1)且在兩軸上截距相等的直線方程為y＝x或x＋y＝2D.直線3x－2y＝4的截距式方程為〖答案〗BCD〖解析〗A中，與坐標(biāo)軸垂直的直線也不能用截距式表示，故A錯(cuò)；B中，AB的中點(diǎn)為(4，1)，那么A(8，0)，B(0，2)的直線方程為，故B對(duì)；C中過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線為y＝x，不過(guò)原點(diǎn)時(shí)直線為x＋y＝2，故C對(duì)；D中，方程3x－2y＝4可化為，故D對(duì)．故選：BCD10.關(guān)于空間向量，以下說(shuō)法正確的是（）A.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B.已知，，為空間一個(gè)基底，若，則也是空間的基底C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面D.平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為2〖答案〗BCD〖解析〗A選項(xiàng)，雖然，但是無(wú)法判斷是否在平面外，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，由于，所以共面，由于，，為空間的一個(gè)基底，即與不共面，也即與不共面，所以也是空間的基底，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，由，得，所以，所以共面，所以四點(diǎn)共面，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，，所以到平面的距離是，D選項(xiàng)正確.故選：BCD11.下列說(shuō)法正確的是（）A.甲乙兩人獨(dú)立的解題，已知各人能解出的概率分別是和，則題被解出的概率是B.若，是互斥事件，則，C.某校名教師的職稱分布情況如下：高級(jí)占比，中級(jí)占比，初級(jí)占比，現(xiàn)從中抽取名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級(jí)教師應(yīng)抽取人D.一位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生相鄰的概率是〖答案〗BCD〖解析〗∵他們各自解出的概率分別是和，，則此題不能解出的概率為，則此題解出的概率為，A選項(xiàng)錯(cuò)，若、是互斥事件，則，，B選項(xiàng)對(duì)，高級(jí)教師應(yīng)抽取時(shí)人，C選項(xiàng)對(duì)，由題意可得女生相鄰的概率，D選項(xiàng)對(duì)，故選BCD.12.下列命題正確的是（）A.若是平面的一個(gè)法向量，是直線上不同的兩點(diǎn)，則的充要條件是B.已知三點(diǎn)不共線，對(duì)于空間中任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面C.已知，若與垂直，則D.已知的頂點(diǎn)分別為，則邊上的高的長(zhǎng)為〖答案〗BCD〖解析〗若是平面的一個(gè)法向量，直線上有不同的兩點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，即使，也不能說(shuō)明，故A錯(cuò)誤；若，則，所以，所以四點(diǎn)共面，故B正確；由題意可得，若與垂直，則，解得，故C正確；由題意可得，則邊上的高的長(zhǎng)即為點(diǎn)到直線的距離，故D正確．故選：BCD.三、填空題13.已知直線l的一個(gè)方向向量為，若點(diǎn)為直線l外一點(diǎn)，為直線l上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離為_____________.〖答案〗〖解析〗由題意可得l的一個(gè)單位方向向量為，,故點(diǎn)P到直線l的距離.故〖答案〗為：.14.四面體OABC中，M，N分別是OA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段MN上，且使，若，則________.〖答案〗〖解析〗由題意得：因?yàn)橛植还裁?，∴，則.故〖答案〗為：.15.口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，“取出的2球至少有一個(gè)白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷中正確的序號(hào)為________.①與為對(duì)立事件；②與是互斥事件；③與是對(duì)立事件：④；⑤.〖答案〗①④〖解析〗口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，“取出的2球至少有一個(gè)白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個(gè)白球”，①，由對(duì)立事件定義得與為對(duì)立事件，故①正確；②，與有可能同時(shí)發(fā)生，故與不是互斥事件，故②錯(cuò)誤；③，與有可能同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件，故③錯(cuò)誤；④，，，，從而，故④正確；⑤，，從而，故⑤錯(cuò)誤．故〖答案〗為：①④．16.直線過(guò)點(diǎn)，且與以、為端點(diǎn)的線段相交，則直線的斜率的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗如下圖所示：設(shè)過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線交線段于點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，且，，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)（不包括點(diǎn)）的過(guò)程中，直線的傾斜角為銳角，此時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)（不包括點(diǎn)）移動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，直線的傾斜角為鈍角，此時(shí)，.綜上所述，直線的斜率的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題17.已知的頂點(diǎn)，，．（1）求AB邊上的中線所在直線的方程；（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程．解：（1）線段的中點(diǎn)為，則中線所在直線方程為：，即.（2）設(shè)兩坐標(biāo)軸上的截距為，若，則直線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，斜率，直線方程為，即；若，則設(shè)直線方程為，即，把點(diǎn)代入得，即，直線方程為；綜上，所求直線方程為或．18.在直三棱柱中，，，．（1）求異面直線與所成角的正切值；（2）求直線與平面所成角的余弦值．解：（1）在直三棱柱中，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則點(diǎn)、、、、、.設(shè)異面直線與所成角為，，，，即，，則，因此，異面直線與所成角的正切值為；（2）設(shè)直線與平面所成角為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，，由，得，取，得，所以，平面一個(gè)法向量為，，，則.因此，直線與平面所成角的余弦值為.19.已知空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，.（1）若，且，求向量；（2）已知向量與互相垂直，求的值；（3）求的面積.解：（1）空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，，所以，，，，且，設(shè)，，，或．（2），且向量與互相垂直，，解得．的值是．（3）因?yàn)?，，，，，，?0.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）若G是棱上一點(diǎn)，當(dāng)平面時(shí)，求的長(zhǎng).解：（1）如圖，以頂點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以線段所在直線為軸建立坐標(biāo)系.根據(jù)題意，圖中各點(diǎn)坐標(biāo)可表示為設(shè)平面的法向量為，直線與平面的夾角為，點(diǎn)到平面的距離為，則，即取，則有.所以點(diǎn)到平面的距離.（2）根據(jù)（1）可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為,當(dāng)平面時(shí)，，即解得，故的長(zhǎng)為.21.2021年是建黨100周年，為了使全體黨員進(jìn)一步堅(jiān)定理想信念，傳承紅色基因，市教育局以“學(xué)黨史?悟思想?辦實(shí)事?開新局”為主題進(jìn)行“黨史”教育，并舉辦由全體黨員參加“學(xué)黨史”知識(shí)競(jìng)賽.競(jìng)賽共設(shè)100個(gè)小題，每個(gè)小題1分，共100分.現(xiàn)隨機(jī)抽取1000名黨員的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并將成績(jī)分成以下七組：，，，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這1000名黨員成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)；（2）用分層隨機(jī)抽樣的方法從低于80分的黨員中抽取5人，若在這5人中任選2人進(jìn)行問卷調(diào)查，求這2人中至少有1人成績(jī)低于76分的概率.解：（1）由頻率分布直方圖可得，1000名學(xué)員成績(jī)的眾數(shù)為，成績(jī)?cè)诘念l率為，成績(jī)?cè)诘念l率為，故中位數(shù)位于之間，中位數(shù)是，平均數(shù)為.（2）∵與的黨員人數(shù)的比值為，采用分層隨機(jī)抽樣方法抽取5人，則在中抽取2人，中抽3人，設(shè)抽取人的編號(hào)為，，抽取人的編號(hào)為，，，則從5人中任選2人進(jìn)行問卷調(diào)查對(duì)應(yīng)的樣本空