廣西專版2023-2024學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用過(guò)關(guān)檢測(cè)A卷新人教版選擇性必修第二冊(cè)

第五章過(guò)關(guān)檢測(cè)(A卷)(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若函數(shù)f(x)=α2-cosx,則f'(α)等于()A.sinα B.cosα C.2α+sinα D.2α-sinα答案:A解析:f'(x)=(α2-cosx)'=sinx,當(dāng)x=α?xí)r,f'(α)=sinα.2.設(shè)曲線y=ax2在點(diǎn)(1,a)處的切線與直線2x-y-6=0平行,則a=()A.1 B.12 C.-12 D.答案:A解析:y'=2ax,于是切線斜率k=2a,由題意知2a=2,解得a=1.3.函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)答案:D解析:f'(x)=(x-2)ex,由f'(x)>0,得x>2,故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(2,+∞).4.已知函數(shù)f(x)=xlnx,若f(x)在x0處的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值之和等于1,則x0的值等于()A.1 B.-1 C.±1 D.不存在答案:A解析:因?yàn)閒(x)=xlnx,所以f'(x)=lnx+1,于是有x0lnx0+lnx0+1=1,解得x0=1或x0=-1(舍去),故選A.5.函數(shù)f(x)=x3+3x2+3x-a的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A.2 B.1 C.0 D.由a確定答案:C解析:∵f'(x)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2≥0,∴函數(shù)f(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增,無(wú)極值.故選C.6.下列圖象中,有一個(gè)是函數(shù)f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R,a≠0)的導(dǎo)數(shù)f'(x)的圖象,則f(-1)的值為((1)(2)(3)A.13 B.-13 C.73 D答案:B解析:f'(x)=x2+2ax+a2-1,其圖象為開(kāi)口向上的拋物線,故不是題圖(1),題圖(2)中,a=0,f'(x)=x2-1,與已知矛盾,故f'(x)的圖象為題圖(3).∴f'(0)=0,即a2-1=0,解得a=±1,又其圖象的對(duì)稱軸在y軸右邊,故a=-1,∴f(x)=13x3-x2+∴f(-1)=-137.已知y=f(x)是定義在R內(nèi)的函數(shù),且f(1)=1,f'(x)>1,則f(x)>x的解集是()A.(0,1) B.(-1,0)∪(0,1)C.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案:C解析:不等式f(x)>x可化為f(x)-x>0,設(shè)g(x)=f(x)-x,則g'(x)=f'(x)-1,由題意g'(x)=f'(x)-1>0,∴函數(shù)g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增,又g(1)=f(1)-1=0,∴f(x)>x?g(x)>0?g(x)>g(1).∴x>1.故選C.8.若函數(shù)f(x)=x-13sin2x+asinx在R內(nèi)為增函數(shù),則a的取值范圍是(A.[-1,1] B.-1C.-13,答案:C解析:由題意,得f'(x)=1-23cos2x+acosx≥0在R內(nèi)恒成立即-43cos2x+acosx+53≥0在R內(nèi)設(shè)t=cosx(-1≤t≤1),則g(t)=-43t2+at+53(-1≤t則g(t)≥0在區(qū)間[-1,1]上恒成立,于是有g(shù)解得-13≤a≤1故所求a的取值范圍為-1二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.下列函數(shù)中,存在極值點(diǎn)的是()A.y=x-1x B.y=3x2+3xC.y=-2x3-x D.y=xlnx答案:BD解析:A中,函數(shù)y=x-1x,則y'=1+1x故函數(shù)y=x-1x在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,沒(méi)有極值點(diǎn),A不符合題意B中,函數(shù)y=3x2+3x,則y'=6x+3,當(dāng)x∈-∞,-12時(shí),y'<0,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈-12,+∞時(shí),y'>0,函數(shù)單調(diào)遞增C中,函數(shù)y=-2x3-x,則y'=-6x2-1<0,故函數(shù)y=-2x3-x在R內(nèi)為減函數(shù),沒(méi)有極值點(diǎn),C不符合題意;D中,函數(shù)y=xlnx,則y'=1+lnx,當(dāng)x∈0,1e時(shí),y'<0,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈1e,+∞時(shí),y'>0,函數(shù)單調(diào)遞增,故當(dāng)x=1e時(shí)10.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象如圖所示,則()A.當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)y=f(x)取得極值B.當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)y=f(x)取得極值C.y=f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處切線的斜率小于零D.函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-2,2)內(nèi)單調(diào)遞增答案:AD解析:由題圖可知,x=-2是導(dǎo)函數(shù)f'(x)的一個(gè)變號(hào)零點(diǎn),故當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)f(x)取得極值,選項(xiàng)A正確;x=1不是導(dǎo)函數(shù)f'(x)的一個(gè)變號(hào)零點(diǎn),故當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)f(x)不能取得極值,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;y=f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線斜率f'(0)>0,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;當(dāng)x∈(-2,2)時(shí),f'(x)≥0,且只有當(dāng)x=1時(shí),f'(x)=0,故此時(shí)函數(shù)y=f(x)單調(diào)遞增,選項(xiàng)D正確.故選AD.11.若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn),使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì),下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是()A.y=cosx B.y=lnx C.y=ex D.y=x2答案:AD解析:若y=f(x)具有T性質(zhì),則存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1.對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閒'(x)=-sinx,存在x1=π2,x2=-π2,使得f'(x1)f'(x2)=-1,所以選項(xiàng)A對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)閒'(x)=1x>0,不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1,所以選項(xiàng)B不符合題意對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)閒'(x)=ex>0,不存在x1,x2,使得f'(x1)f'(x2)=-1,所以選項(xiàng)C不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)閒'(x)=2x,存在x1=1,x2=-14,使得f'(x1)f'(x2)=4x1x2=-1,所以選項(xiàng)D符合題意故選AD.12.已知函數(shù)f(x)=x,x≥aA.若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),則a=0或12<a<B.若f(x)有極小值點(diǎn),則a>1C.若f(x)有極大值點(diǎn),則a>-1D.使f(x)的圖象連續(xù)的a有3個(gè)取值答案:CD解析:作出函數(shù)y=x和y=4x3-3x的圖象,如圖所示.對(duì)于選項(xiàng)A,若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),則a=0或a>12,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,當(dāng)a=0時(shí),x=0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn),所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,由圖易知正確;對(duì)于選項(xiàng)D,使f(x)的圖象連續(xù)的a有3個(gè)取值,即-1,0,1,所以選項(xiàng)D正確故選CD.三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上.13.函數(shù)f(x)=lnx-x的單調(diào)遞增區(qū)間為.

答案:(0,1)解析:f'(x)=1x-1,令f'(x)=1x-1>0,解不等式得x<1,又函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),所以0<x<1,即所求單調(diào)遞增區(qū)間為14.設(shè)函數(shù)f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.若f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1,x2,且x1x2=1,則實(shí)數(shù)a的值為.

答案:9解析:f'(x)=18x2+6(a+2)x+2a.由已知f'(x1)=f'(x2)=0,從而x1x2=2a18=1,故a=9.經(jīng)檢驗(yàn),a=915.已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a),若a=2,則f'(0)=;若f(x)的最小值為0,其中a>0,則a的值為.

答案:12解析:f(x)的定義域?yàn)?-a,+∞),f'(x)=1-1x當(dāng)a=2時(shí),f'(x)=1-1x故f'(0)=1-12由f'(x)=0,解得x=1-a>-a.當(dāng)-a<x<1-a時(shí),f'(x)<0,f(x)在區(qū)間(-a,1-a)內(nèi)單調(diào)遞減;當(dāng)x>1-a時(shí),f'(x)>0,f(x)在區(qū)間(1-a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.因此,f(x)在x=1-a處取得最小值,由題意知f(1-a)=1-a=0,故a=1.16.設(shè)函數(shù)f(x)=ex+x-2,g(x)=lnx+x2-3,若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)=0,g(b)=0,則g(a),f(b)的大小關(guān)系為.

答案:g(a)<f(b)解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex+x-2在R上單調(diào)遞增,且f(0)=1-2<0,f(1)=e-1>0,所以當(dāng)f(a)=0時(shí),a∈(0,1).又g(x)=lnx+x2-3在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,且g(1)=-2<0,所以g(a)<0.由g(2)=ln2+1>0,g(b)=0,得b∈(1,2).又f(1)=e-1>0,且f(x)=ex+x-2在R內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(b)>0,所以g(a)<f(b).四、解答題:本題共6小題,共70分.解答時(shí)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.(10分)在①函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線斜率為2a;②函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線12x-y+1=0垂直;③函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與直線4x-y=0平行,這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,求出實(shí)數(shù)a的值已知函數(shù)f(x)=x2+2alnx(a≠0).(1)若,求實(shí)數(shù)a的值;

(2)若函數(shù)g(x)=2x+f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍解:(1)若選擇①,對(duì)f(x)求導(dǎo),得f'(x)=2x+2a由已知f'(2)=2a,得8+2a2=2a,解得a=若選擇②,對(duì)f(x)求導(dǎo),得f'(x)=2x+2a直線12x-y+1=0的斜率為12,由題意得f'(1)=-2,得2+2a=-2,解得a=-若選擇③,對(duì)f(x)求導(dǎo),得f'(x)=2x+2ax=2x2+2由題意得f'(1)=4,得2+2a=4,解得a=1.(2)對(duì)g(x)=2x+x2+2alnx求導(dǎo),得g'(x)=-2x2+2由函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,可得g'(x)≤0在區(qū)間(1,2)內(nèi)恒成立,即-2x2+2x+2ax≤0在區(qū)間(1,2)內(nèi)恒成立,即a≤1x-x2令h(x)=1x-x2,當(dāng)x∈(1,2)時(shí),h'(x)=-1x2-2x=-由此知h(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減,所以h(x)min=h(2)=-72,故a≤-7當(dāng)a=-72時(shí),在區(qū)間[1,2]上,只有有限個(gè)點(diǎn)使g'(x)=0,滿足題意于是實(shí)數(shù)a的取值范圍為-∞,-718.(12分)已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+12x2-ax+1(a>0)(1)求函數(shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)當(dāng)a>1時(shí),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.解:(1)由已知可得f(0)=1,f'(x)=ax+1+x-a=x(x-a+1)x+1,則f'(0)=0,所以函數(shù)y=f((2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,+∞),令f'(x)=0,即x(x-a+1)x+1=當(dāng)a>1時(shí),f(x),f'(x)隨x變化的變化情況如下表.x(-1,0)0(0,a-1)a-1(a-1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增可知f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,a-1),單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,0)和(a-1,+∞),極大值為f(0)=1,極小值為f(a-1)=alna-12a2+319.(12分)已知函數(shù)f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)≥h(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)當(dāng)m=2時(shí),若函數(shù)k(x)=f(x)-h(x)在區(qū)間[1,3]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)由a=0,且f(x)≥h(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,得m≤xlnx在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立,令g(x)=則g'(x)=lnx故g'(e)=0,當(dāng)x∈(1,e)時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),g'(x)>0.故g(x)在區(qū)間(1,e)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(e,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.故當(dāng)x=e時(shí),g(x)取得極小值,也為最小值,為g(e)=e.所以m≤e.(2)由已知可知k(x)=x-2lnx-a,函數(shù)k(x)在區(qū)間[1,3]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn),相當(dāng)于函數(shù)φ(x)=x-2lnx的圖象與直線y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn),φ'(x)=1-2x故φ'(2)=0,所以當(dāng)x∈(1,2)時(shí),φ'(x)<0,φ(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(2,3)時(shí),φ'(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增.又φ(1)=1,φ(3)=3-2ln3,φ(2)=2-2ln2,且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0,所以當(dāng)2-2ln2<a≤3-2ln3時(shí),函數(shù)k(x)在區(qū)間[1,3]上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2-2ln2,3-2ln3].20.(12分)高鐵的快速發(fā)展給群眾出行帶來(lái)了巨大便利,極大促進(jìn)了區(qū)域經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展.已知某條高鐵線路通車后,發(fā)車時(shí)間間隔t(單位:分)滿足5≤t≤25,t∈N*.經(jīng)測(cè)算,高鐵的載客量與發(fā)車時(shí)間間隔t相關(guān):當(dāng)20≤t≤25時(shí)高鐵為滿載狀態(tài),載客量為1000人;當(dāng)5≤t<20時(shí),載客量會(huì)在滿載基礎(chǔ)上減少,減少的人數(shù)與(20-t)2成正比,且發(fā)車時(shí)間間隔為5分鐘時(shí)的載客量為100人.記發(fā)車間隔為t分鐘時(shí),高鐵載客量為P(t).(1)求函數(shù)P(t)的解析式;(2)若該線路發(fā)車時(shí)間間隔為t分鐘時(shí)的凈收益Q(t)=t4P(t)-40t2+650t-2000(單位:元),當(dāng)發(fā)車時(shí)間間隔為多少分鐘時(shí),單位時(shí)間的凈收益Q(解:(1)當(dāng)5≤t<20時(shí),不妨設(shè)P(t)=1000-k(20-t)2,其中k≠0,因?yàn)镻(5)=100,所以k=4.因此P(t)=1000(2)設(shè)y(t)=Q(t)t,①當(dāng)5≤t<20,t∈N*時(shí),Q(t)=t4P(t)-40t2+650t-2000=-t3因此y(t)=Q(t)t=-t2-2000t+500,5≤t<20,則y'(t)=-2t+2000t當(dāng)5<t<10時(shí),y'(t)>0,y(t)單調(diào)遞增;當(dāng)10<t<20時(shí),y'(t)<0,y(t)單調(diào)遞減.所以y(t)max=y(10)=200.②當(dāng)20≤t≤25,t∈N*時(shí),Q(t)=-40t2+900t-2000.因此y(t)=Q(t)t=900-40t+50t,20≤t≤25,t∈則y'(t)=-40(t2-50)t2所以y(t)max=y(20)=0.綜上,發(fā)車時(shí)間間隔為10分鐘時(shí),單位時(shí)間的凈收益Q(t21.(12分)已知函數(shù)f(x)=alnxx+1+bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為(1)求a,b的值;(2)求證:當(dāng)x>0,且x≠1時(shí),f(x)>lnx(1)解:f'(x)=ax+1x-lnx(x+1)2-bx故f(1(2)證明:由(1)知,f(x)=lnx所以f(x)-lnxx-1=1設(shè)函數(shù)h(x)=2lnx-x2-1則h'(x)=2x-2所以當(dāng)x≠1時(shí),h'(x)<0,而h(1)=0,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h(x)>0,11-所以f(x)>lnx當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h(x)<0,11-所以f(x)>lnx故當(dāng)x>0,且x≠1時(shí),f(x)>lnx22.(12分)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).(1)求a的取值范圍;(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:x1+x2<2.(1)解:f'(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).①若a=0,則f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一個(gè)零點(diǎn).