第2章 一元二次方程（單元測試·拔尖卷）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（湘教版）

第2章一元二次方程（單元測試·拔尖卷）一、單選題1．已知，，下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值是0 B．的最小值是C．當(dāng)時，為正數(shù) D．當(dāng)時，為負(fù)數(shù)2．對于二次三項式（且m為常數(shù)）和，下列結(jié)論正確的個數(shù)有（

）①當(dāng)時，若，則；②無論x取任何實數(shù)，若等式恒成立，則；③當(dāng)時，，，則；A．3個 B．2個 C．1個 D．0個3．已知關(guān)于方程的根都是整數(shù)，且滿足等式，則滿足條件的所有整數(shù)的和是（）A． B． C． D．4．已知，，且，則的值為（）A．4 B． C．或1 D．或45．設(shè)為實數(shù)，則x、y、z

中至少有一個值（

）A．大于 B．等于 C．不大于 D．小于6．已知，，下列結(jié)論正確的個數(shù)為(

)①若是完全平方式，則；②B－A的最小值是2；③若n是的一個根，則；④若，則A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．定義新運算“”如下：，當(dāng)時，x的值為（

）A．1 B． C．或3 D．1或38．P（x．y）為第二象限上的點．且x+y＝﹣．已知OP=1．則的值為（）A． B． C． D．或9．如圖，將一副直角三角板拼在一起得四邊形，，，點在邊上的中點，連接，將沿所在直線翻折得到，交于點，若，點到的距離是(

)A． B． C． D．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將線段AB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后其延長線交BC的延長線于點D，已知AC＝3，BC＝1，則點D到AB的距離是（）A．2 B．4 C． D．二、填空題11．已知的算術(shù)平方根為a，則關(guān)于x的方程的根為．12．如圖，邊形，從邊形的一個頂點出發(fā)可以作條對角線．若過邊形的一個頂點有7條對角線，邊形沒有對角線，邊形對角線的總條數(shù)等于邊數(shù)，則．13．我們在學(xué)習(xí)一元二次方程的解法時用了降次的方法，有時用因式分解法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程進(jìn)行求解．對于一元二次不等式也可以用相類似的方法求解，那么一元二次不等式的解集是．14．若二次三項式在實數(shù)范圍內(nèi)可分解因式為，則該二次三項式對應(yīng)一元二次方程的值分別為．15．小麗在解一個三次方程x3－2x＋1＝0時，發(fā)現(xiàn)有如下提示：觀察方程可以發(fā)現(xiàn)有一個根為1，所以原方程可以轉(zhuǎn)化為（x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根據(jù)這個提示，請你寫出這個方程的所有的解．16．已知整數(shù)滿足，如果關(guān)于的一元二次方程的根為有理數(shù)，則的值為．17．已知-2是三次方程的唯一實數(shù)根，求c的取值范圍．下面是小麗的解法:解：因為-2是三次方程的唯一實數(shù)，所以，可得，再由，得出c>2根據(jù)小麗的解法，則b的取值范圍是．18．如圖，矩形ABCD的邊AB、BC是一元二次方程的兩個解（其中），點E在BC邊上，連接AE，把沿AE折疊，點B落在點處.當(dāng)為直角三角形時，則的長是．三、解答題19．解方程：（1）； （2）．20．我們已探索過二元一次方程組、分式方程及一元二次方程方程的解法，在學(xué)習(xí)過程中感受到轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想及檢驗反思的數(shù)學(xué)方法．（1）你能否用這些數(shù)學(xué)思想方法來探索方程的解？（2）在求解的過程中，你有何疑惑，請嘗試解決這些疑惑？21．閱讀以下材料：利用我們學(xué)過的完全平方公式及不等式知識能解決代數(shù)式一些問題，如∵，∴，因此，代數(shù)式有最小值根據(jù)以上材料，解決下列問題：（1）代數(shù)式的最小值為；（2）試比較與的大小關(guān)系，并說明理由；（3）已知：，求代數(shù)式的值．22．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點在軸上，邊與軸重合，過點作的垂線分別交和軸于點、，，線段，（）的長是方程的根．(1)求的面積；(2)求直線的解析式．23．端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日，人們有吃粽子的習(xí)俗．今年端午節(jié)來臨之際，某商場預(yù)測A粽子能夠暢銷．根據(jù)預(yù)測，每千克A粽子節(jié)前的進(jìn)價比節(jié)后多2元，節(jié)前用240元購進(jìn)A粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購進(jìn)的數(shù)量少4千克．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）該商場節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價是多少元？（2）如果該商場在節(jié)前和節(jié)后共購進(jìn)A粽子400千克，且總費用不超過4600元，并按照節(jié)前每千克20元，節(jié)后每千克16元全部售出，那么該商場節(jié)前購進(jìn)多少千克A粽子獲得利潤最大？最大利潤是多少？24．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，點A（0，5），點C（-2，0），點B在第四象限．(1)如圖1，求點B的坐標(biāo)；(2)如圖2，若AB交x軸于點D，BC交y軸于點M，N是BC上一點，且BN＝CM，連接DN，求證CD＋DN＝AM；（3）如圖3，若點A不動，點C在x軸的負(fù)半軸上運動時，分別以AC，OC為直角邊在第二、第三象限作等腰直角△ACE與等腰直角△OCF，其中∠ACE＝∠OCF＝90°，連接EF交x軸于P點，問當(dāng)點C在x軸的負(fù)半軸上移動時，CP的長度是否變化？若變化，請說明理由，若不變化，請求出其長度．參考答案1．B【分析】利用配方法表示出，以及時，用含的式子表示出，確定的符號，進(jìn)行判斷即可．解：∵，，∴；∴當(dāng)時，有最小值；當(dāng)時，即：，∴，∴，∴，即是非正數(shù)；故選項錯誤，選項正確；故選B．【點撥】本題考查整式加減運算，配方法的應(yīng)用．熟練掌握合并同類項，以及配方法，是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】①將代入代數(shù)式，計算即可；②根據(jù)，得，進(jìn)而即可求解；③根據(jù)，令，則，一元二次方程即可求解．解：①將代入，得，∵∴，∴或，故①不正確；②∵，∴∴∴，故②不正確③當(dāng)時，，∴令，則，∴，解得：或，即或，故③不正確；故選：D．【點撥】本題考查了整式的加減，因式分解的應(yīng)用，完全平方公式，解一元二次方程，掌握以上運算法則以及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．3．D【分析】根據(jù)，利用二次根式有意義的條件可得出，然后分或兩種情況解方程，可得出所有符合條件的整數(shù)的值，最后求和即可．解：∵，∴，即，當(dāng)時，原方程為，解得：，當(dāng)時，，∵∴，∴，，∵方程的根都是整數(shù)，且為整數(shù)，∴或或或，∴或或或，又∵，∴可取或或，綜上所述，滿足條件的整數(shù)為：或或或，∴．故選：D．【點撥】本題考查二次根式的有意義的條件，一元二次方程的解法，整除性．運用了分類討論的解題方法．熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】將與的值代入，以為整體，求出它的值即可．解：，，，，，解得或4，，．故選：A．【點撥】本題考查了換元法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵注意．5．A【分析】先計算x+y+z，再利用配方法得到x+y+z＝，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和＞3得到x+y+z＞0，根據(jù)有理數(shù)的性質(zhì)得到x、y、z中至少有一個正數(shù)．解：x+y+z＝＝，∵≥0，≥0，≥0，＞0，∴x+y+z＞0，∴x、y、z中至少有一個大于0．故選：A．【點撥】本題考查了配方法的應(yīng)用，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵．6．B【分析】①利用完全平方式求解；②利用整式的加減運算和配方法求解；③利用求根公式和完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解．解：①∵A=x2+6x+n2是完全平方式，∴n=±3，故結(jié)論正確；②∵B-A=2x2+4x+2n2+3-（x2+6x+n2）=x2-2x+n2+3=（x-1）2+n2+2，而（x-1）2+n2≥0，∴B-A≥2，∴B-A的最小值是2，故結(jié)論正確；③∵A+B=x2+6x+n2+2x2+4x+2n2+3=3x2+10x+3n2+3，把x=n代入3x2+10x+3n2+3=0，得3n2+10n+3n2+3=0，即6n2+10n+3=0，解得當(dāng)時，當(dāng)時，故結(jié)論錯誤；④∵（2022-A+A-2019）2=（2022-2019）2=（2022-A）2+（A-2019）2+2（2022-A）（A-2019）=（2022-A）2+（A-2019）2+2×2=9，∴（2022-A）2+（A-2019）2=5；故結(jié)論錯誤；故選B．【點撥】本題考查了解一元二次方程，配方方法的應(yīng)用，完全平方公式，正確的計算是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】依據(jù)定義新運算“”進(jìn)行計算即可得到答案．解：∵，∴，即：，，

解得，，故選：D．【點撥】本題考查了解一元二次方程，理解定義的新運算的運算法則，正確選擇解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】根據(jù)P（x．y）為第二象限上的點，可知0，y＞0，根據(jù)OP=1，可知，則，根據(jù)x+y＝﹣，可得，且x＝﹣y﹣進(jìn)而可得，則，則，解得：或（舍去），進(jìn)而可知，則可求出的值．解：∵P（x．y）為第二象限上的點，∴x＜0，y＞0，∵OP=1，∴，則，∵x+y＝﹣，∴，且x＝﹣y﹣∴，∴，∴，化簡得：，則，解得：或（舍去），∴，∴，故選：C．【點撥】本題查平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)特征，點到原點的距離，完全平方公式的變形，解一元二次方程，能夠熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．9．D【分析】連接，，過點作于點，由折疊的性質(zhì)可求由可證，可得，可證，在中，由勾股定理可求的長．解：連接，，過點作于點，，，，點是中點，，，，，，，是等邊三角形，，折疊，，，，垂直平分'，，在和中，，，，，設(shè)長為，則長為，在中，解得，(舍去)，∴點到BC邊的距離為．故選∶D．【點撥】此題主要考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)關(guān)系以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用垂直平分線的性質(zhì)得出點，關(guān)于直線對稱是解題關(guān)鍵．10．C【分析】利用勾股定理求得AB的長，設(shè)DE=x，用x表示出CD，在Rt△ACD中，利用勾股定理構(gòu)造方程，求解即可．解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝1，∴AB=，過點D作DE⊥AB于點E，∵∠BAD=45°，∴AE=DE，設(shè)DE=x，則AE=DE=x，AD=，BE=，在Rt△BDE中，,∴BD=，則CD=，在Rt△ACD中，,即,，，，，即，，∴x=，∴x1=(舍去)，x2=，∴點D到AB的距離是，故選：C．【點撥】本題考查了勾股定理，解一元二次方程，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．11．x1=5，x2=1．【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根求出a的值，在代入解一元二次方程即可．解：∵=9，9的算術(shù)平方根是3，∴a=3，∴關(guān)于x的方程(x-a)2=4變?yōu)?x-3)2=4∴x-3=±2解得x1=5，x2=1．故答案為：x1=5，x2=1．【點撥】本題考查了算術(shù)平方根的求法和一元二次方程的解法，做題的關(guān)鍵是求出a的值．12．12【分析】從邊形的一個頂點出發(fā)連對角線，不可以連自身和相鄰的兩個點，所以可以連的是個點，邊形有n個頂點，一共可以連條線，但是每條線都重復(fù)了一次，所以還要除以2，據(jù)此求解即可．解：邊形，從邊形的一個頂點出發(fā)可以作條對角線，過邊形的一個頂點有7條對角線，則這個n邊形是十邊形，，邊形沒有對角線，則它是三角形，，邊形對角線的總條數(shù)等于邊數(shù)，則，解得：（舍去）或，∴，故答案為：，12．【點撥】本題考查多邊形的對角線問題和一元二次方程，熟記n邊形的對角線條數(shù)為是解題的關(guān)鍵．13．或【分析】先分解因式，即可得出兩個一元一次不等式組，求出不等式組的解集即可．解：∴或解得：或．故答案為：或．【點撥】本題考查了解一元二次方程和解一元一次不等式組，能把一元二次不等式轉(zhuǎn)化成一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．14．，【分析】利用平方差公式計算后，再利用平方差公式計算，再和二次三項式比較即可．解：=，故答案為：，．【點撥】本題考查二次三項式的因式分解、一元二次方程的一般式，熟練掌握平方差公式和完全平方公式能靈活運用是解題關(guān)鍵．15．或1【分析】由(x－1)(x2＋bx＋c)＝0變形為，根據(jù)一一對應(yīng)的原則求得b、c的值，然后運用因式分解和公式法求解即可．解：∵(x－1)(x2＋bx＋c)＝0，∴，又由題意得：，∴解得：∴，∴，，∴由求根公式得：，則原方程所有的解為：或1，故答案為：或1．【點撥】本題主要考查了方程的解的定義和公式法求解一元二次方程，解題關(guān)鍵是根據(jù)一一對應(yīng)的關(guān)系求出b、c的值．16．或或【分析】根據(jù)一元二次方程的求根公式，求出方程的根的表達(dá)式，再根據(jù)方程的根為有理數(shù)且為整數(shù)，即可進(jìn)行解答．解：∵，，，∴，，，，∴，∵，∴，∵一元二次方程的根為有理數(shù)，∴為有理數(shù)，∴，，，，，，∵為整數(shù)，∴，，時，或或，故答案為：或或．【點撥】本題主要考查了一元二次方程的求根公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的求根公式以及有理數(shù)和整數(shù)的定義．17．b>-3【分析】小麗的解法為待定系數(shù)法，先左邊展開，根據(jù)多項式相等可知：，b=n+2m，再依據(jù)題意可知，所設(shè)二次方程無解，故代入可得b的取值范圍．解：因為-2是三次方程的唯一實數(shù)，所以，則可得m=-2，n=c，再由4-4n<0，n>1n-4>-3，又∵b=n+2m=n-4b>-3故答案為：b>-3．【點撥】本題是高次方程，考查了高次方程解的情況，解題思路是降次，根據(jù)一元二次方程和一次方程解的情況進(jìn)行解答．18．或2【分析】先求出AB與BC的長，當(dāng)△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：①當(dāng)點B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．連接AC，先利用勾股定理計算出AC=5，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AB′E=∠B=90°，而當(dāng)△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C=90°，所以點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，則EB=EB′，AB=AB′=3，可計算出CB′=2，設(shè)BE=x，則EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中運用勾股定理可計算出x．②當(dāng)點B′落在AD邊上時，如答圖2所示．此時ABEB′為正方形．解：，，解得：，∴AB=3，BC=4，當(dāng)△CEB′為直角三角形時，有兩種情況：①當(dāng)點B′落在矩形內(nèi)部時，如答圖1所示．

圖1連接AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵∠B沿AE折疊，使點B落在點B′處，∴∠AB′E=∠B=90°，當(dāng)△CEB′為直角三角形時，只能得到∠EB′C=90°，∴點A、B′、C共線，即∠B沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點B′處，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2；②當(dāng)點B′落在AD邊上時，如答圖2所示．

圖2此時ABEB′為正方形，∴B'E=AB=3，∴CE=4-3=1，∴Rt△B'CE中，．綜上所述，B'C的長為或2．故答案為：或2．【點撥】本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等；對應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理．注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解．19．(1)，；(2)，．【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；（2）利用公式法求解即可．解：∵∴，，則或，∴，；（2）解：由可知：，，，∴，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，∴，．【點撥】此題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．20．(1)是原方程的解；(2)見分析【分析】（1）根據(jù)兩邊分別平方，把無理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，結(jié)果一定要檢驗；（2）根據(jù)解題過程解答．解：移項，得，方程兩邊平方，得，即，解方程，得或，經(jīng)檢驗：是原方程的解；（2）疑惑是：如何把無理方程化為有理方程，通過兩邊平方解決．【點撥】本題主要考查了無理方程以及解一元二次方程，利用轉(zhuǎn)化思想分析問題是解題的關(guān)鍵．21．(1)1；(2)，見分析；(3)2【分析】（1）將代數(shù)式配方可得最值；（2）作差并配方，可進(jìn)行大小比較；（3）變形后得：代入中，再利用配方法即可解決問題．解：，∵，∴，即代數(shù)式的最小值為1；故答案為：1；（2），理由如下：，∵，∴；（3）∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【點撥】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)、配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法，利用配方法可以確定最值問題，屬于中考?？碱}型．22．(1)12；(2)【分析】（1）先解一元二次方程求出，則，再證明，得到，則；（2）由全等三角形的性質(zhì)得到，即，再求出，即可利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為．解：∵，∴，解得或，∵線段，（）的長是方程的根∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，設(shè)直線的解析式為，∴，∴，∴直線的解析式為．【點撥】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，解一元二次方程，全等三角形的性質(zhì)與判定，求三角形面積，靈活運用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．23．(1)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價為10元；(2)節(jié)前購進(jìn)300千克A粽子獲得利潤最大，最大利潤為3000元【分析】（1）設(shè)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價為x元，則每千克A粽子節(jié)前的進(jìn)價為元，根據(jù)節(jié)前用240元購進(jìn)A粽子的數(shù)量比節(jié)后用相同金額購進(jìn)的數(shù)量少4千克，列出方程，解方程即可；（2）設(shè)該商場節(jié)前購進(jìn)m千克A粽子，則節(jié)后購進(jìn)千克A粽子，獲得的利潤為w元，根據(jù)利潤售價進(jìn)價列出關(guān)系式，根據(jù)總費用不超過4600元，求出m的范圍，根據(jù)一次函數(shù)函數(shù)增減性，求出最大利潤即可．解：設(shè)節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價為x元，則每千克A粽子節(jié)前的進(jìn)價為元，根據(jù)題意得：，解得：，，經(jīng)檢驗，都是原方程的解，但不符合實際舍去，答：節(jié)后每千克A粽子的進(jìn)價為10元．（2）解：設(shè)該商場節(jié)前購進(jìn)m千克A粽子，則節(jié)后購進(jìn)千克A粽子，獲得的利潤為w元，根據(jù)題意得：，∵，∴，∵，∴w隨m的增大而增大，∴當(dāng)時，w取最大值，且最大值為：，答：節(jié)前購進(jìn)300千克A粽子獲得利潤最大，最大利潤為3000元．【點撥】本題主要考查了分式方程和一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程和關(guān)系式．24．(1)；(2)見分析；(3)不變化，【分析】（1）過B作BH⊥x軸于H，根據(jù)等角的余角相等證得∠BCH=∠CAO，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)證明△BHC≌△COA得到BH=CO=2，CH=OA=5，進(jìn)而可求得點B坐標(biāo)；（2）利用待定系數(shù)法分別求出直線AB、BC的表達(dá)式，進(jìn)而求得D、M的坐標(biāo)，設(shè)N（x，），利用平面直角坐標(biāo)系中兩點間距離坐標(biāo)公式和解一元二次方程可求得x值，可得點N坐標(biāo)，進(jìn)而求得CD、DN、AM即可證得結(jié)論；（3）過點E作EH⊥x軸于H，易證△AOC≌△CHE和△EHP≌△FCP，可得OA=CH，CP=PH，進(jìn)而有CP=CH=OA即可得出結(jié)論．解：∵點A（0，5），點C（-2