選擇性必修一《圓錐曲線的方程》教材分析與教學(xué)建議（楊秋靈首師濱州）

章節(jié)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)、地位與作用

第一部分數(shù)學(xué)思想數(shù)形結(jié)合幾何眼光代數(shù)方法數(shù)形結(jié)合研究過程知識結(jié)構(gòu)背景曲線的幾何特征曲線的標準方程用方程研究曲線的性質(zhì)應(yīng)用橢圓雙曲線類比拋物線類

比定義內(nèi)

容直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象課程標準的要求，課程目標分析

第二部分（一）課程標準，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程及簡單幾何性質(zhì)。、幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質(zhì)。4.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí)，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想。、拋物線的簡單應(yīng)用。（二）目標解析橢圓1.能說出圓錐曲線名稱的由來，知道研究圓錐曲線的方法依然是坐標法；能舉例說明圓錐曲線的廣泛應(yīng)用。2.能通過觀察利用細繩畫橢圓的過程，歸納出圖形上的點所滿足的幾何條件，抽象出橢圓的幾何特征，并據(jù)此理解橢圓的定義。3.能根據(jù)橢圓定義，通過橢圓的結(jié)構(gòu)特征類比求圓的方程的過程，建立適當?shù)淖鴺讼?，選擇適當?shù)膮?shù)，如2a，2c等，按照坐標法的五步驟，合理化簡含有兩個根式的等式推導(dǎo)出橢圓標準方程，知道曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系。，用代數(shù)法研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)，在研究過程中，充分應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，即先用幾何眼光觀察橢圓的幾何性質(zhì)，再利用橢圓的標準方程進行代數(shù)論證理解參數(shù)a，b，c，e的幾何意義及其相互關(guān)系，知道用橢圓的基本量表達離心率，也可以結(jié)合三角函數(shù)知識解決離心率大小和橢圓圓扁程度的關(guān)系，理解離心率大小對橢圓形狀的影響，感悟聯(lián)系的觀點，體會數(shù)形結(jié)合與類比的思想，能說出用代數(shù)法探究圓錐曲線性質(zhì)的基本思路，體會解析幾何中代數(shù)運算是基于對形的特征的把握。5.通過對例題，習(xí)題中與橢圓性質(zhì)有關(guān)題目的分析，能歸納提升感受橢圓更多的幾何特征，了解圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并會進行簡單應(yīng)用。6.能梳理出研究橢圓的架構(gòu)，為后續(xù)雙曲線，拋物線的研究形成示范，奠定類比的基礎(chǔ)?；A(chǔ)性示范性（二）目標分析雙曲線1.能類比橢圓的定義，通過改變其中的運算類型，由距離之和到距離之差提出值得研究的問題；通過繪制滿足條件的點的軌跡，認識雙曲線的幾何特征，得出雙曲線的定義。2.能推導(dǎo)雙曲線的方程，能解釋方程的結(jié)構(gòu)特征。3.能在直觀感知雙曲線幾何特征的基礎(chǔ)上，依據(jù)雙曲線的標準方程用代數(shù)方法推導(dǎo)雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率等簡單幾何性質(zhì)。、標準方程及簡單幾何性質(zhì)解決簡單的問題，能通過雙曲線與方程的學(xué)習(xí),體會建立曲線方程，用曲線方程研究曲線性質(zhì)的方法,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理素養(yǎng)。。6.能用直線的方程和雙曲線的標準方程研究直線與雙曲線的位置關(guān)系，會求解直線與雙曲線的交點，弦長等問題。（二）目標分析拋物線、雙曲線的性質(zhì)（“統(tǒng)一定義”），發(fā)現(xiàn)和提出問題，通過具體實例得出拋物線的幾何特征，形成拋物線的定義。。3.能通過方程研究拋物線的幾何性質(zhì)，并能通過代數(shù)運算證明拋物線的簡單幾何性質(zhì)。、拋物線的方程研究它們的位置關(guān)系。。章節(jié)內(nèi)容與前后知識的橫縱聯(lián)系

第三部分（一）與初中知識的聯(lián)系1.與直線與圓的研究不同。直線與圓是學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了大量的用純幾何的方法證明其幾何性質(zhì)，在高中階段學(xué)習(xí)一種新的方法—坐標法，來研究初中已經(jīng)獲得的一些幾何性質(zhì)，讓同學(xué)們來體會坐標法的應(yīng)用。2.圓錐曲線研究的圖形對于學(xué)生來講是比較陌生的圖形.雖然在初中階段學(xué)習(xí)函數(shù)的時候，同學(xué)們聽說過拋物線、雙曲線的名詞，當時的認識只是停留在直觀的感受.從二次函數(shù)的圖像，經(jīng)過教師的授課，知道二次函數(shù)的圖像叫做拋物線；學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時，教師告知反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，并且是以坐標軸為漸近線的.對于滿足什么條件的點的軌跡是拋物線、雙曲線學(xué)生的認識仍然是一片空白.只有學(xué)習(xí)了本單元內(nèi)容之后，學(xué)生才會對圓錐曲線有一個全面、準確的認識.（二）本章在高考中地位與作用2020 全國新課標I卷（山東卷）9圓錐曲線的方程與性質(zhì)

13直線與拋物線，求焦點弦長22直線與橢圓存在性問題、定值、定點問題2021全國新課標I卷（山東卷7?。?.橢圓的方程和性質(zhì)

14準線方程21直線與雙曲線2022年全國新高考（1）卷I卷（山東卷7?。?6橢圓的性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系

11拋物線的性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系21（1）雙曲線的標準方程、（2）直線與雙曲線的位置關(guān)系、（3）三角形的面積公式。2023年全國新高考（1）卷5.橢圓的離心率16.雙曲線的離心率22（1)拋物線

（2)直線與與拋物線，導(dǎo)數(shù)年份試卷類型橢圓雙曲線拋物線直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用二小一大

占

分

22（二）本章在高考中地位與作用圓錐曲線的標準方程橢圓的定義（二）本章在高考中地位與作用橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓拋物線的準線直線與橢圓（二）本章在高考中地位與作用離心率章節(jié)內(nèi)容的重難點以及突破方法

第四部分（一）重點、難點（二）突破方法1.如何講好“方法論”首先，在章、節(jié)引言及小節(jié)中，用明確的語言表述數(shù)形結(jié)合思想和坐標法思想。第二，隨時強調(diào)坐標思想，加強“先用平面幾何眼光觀察，再用坐標法解決”的過程，并在“如何以直角坐標系為參照，確定問題中的幾何要素上”加強引導(dǎo)，體現(xiàn)從推理幾何到解析幾何的過渡。第三，從圓錐曲線的標準方程出發(fā)，用坐標法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)學(xué)內(nèi)外的各種應(yīng)用問題，引導(dǎo)學(xué)生理解坐標法的基本思想，體會坐標法的力量。章節(jié)引言,從宏觀上提出問題,給出研究目標.探究中直觀感知、動手操作。（二）突破方法2.設(shè)計系列化的教學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生開展有結(jié)構(gòu)，有邏輯的系統(tǒng)學(xué)習(xí)。明確a、b、c的幾何意義，懂得引入b的合理性和必要性，加深對橢圓標準方程的理解。3.發(fā)揮信息技術(shù)的作用，為幾何直觀提供方便。解析幾何是形數(shù)結(jié)合的學(xué)科，“通過幾何建立直觀，通過代數(shù)予以表達’是其基本理念。在圓錐曲線的研究中，對它們的幾何特征的直觀認識是第一步，但要畫出這三種圓錐曲線，及相關(guān)的圖形并非易事。為此,充分地發(fā)揮信息技術(shù)的作用，注意利用動態(tài)集合軟件向?qū)W生展示動點的變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生觀察方程中參數(shù)的變化,對方程所表示的曲線形狀和大小的影響，通過信息技術(shù)探究圖形之間的關(guān)系.雙曲線的定義的引入不再利用拉鏈畫圖探究，而是借助信息技術(shù)軟件《GeoGebra》進行探究，（見課本118頁）：拋物線定義的引入不是從二次函數(shù)的圖像引入而是利用橢圓、雙曲線的統(tǒng)一定義，借助信息技術(shù)展示作圖過程讓學(xué)生抽象概括出定義，學(xué)生學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題與解決方法

第五部分（一）對定義的理解和掌握不夠深刻

（二）運算能力與技巧不足1.橢圓的標準方程的化簡在本節(jié)課中，我們鼓勵學(xué)生在認真分析方程特點的基礎(chǔ)上，自己推導(dǎo)橢圓的標準方程，教師引導(dǎo)能把握化簡整理的方向∶如何去掉方程中的雙根號以及合并同類項。處理方法：

直接平方，移項平方，構(gòu)造共軛無理數(shù)等方式處理。平方代換法（二）運算能力與技巧不足1.橢圓的標準方程的化簡（人教b版）構(gòu)造共軛無理數(shù)另外統(tǒng)一定義焦半徑（二）運算能力與技巧不足2.直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長問題，面積問題、中點弦問題等P114方程的思想、弦長公式（設(shè)而不求）P126必要的運算是不可避免的，這是由解析幾何的學(xué)科特征決定的。①.運算能力的發(fā)展是從簡單到復(fù)雜，從低級到高級，從具體到抽象，有層次的發(fā)展，因為要求學(xué)生要動筆算、去體驗，不能僅限于知道方法。整體意識（二）運算能力與技巧不足2.直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長問題，面積問題、中點弦問題等P116

②提高運算能力不僅從代數(shù)角度入手，還要努力提高學(xué)生的幾何圖形分析能力，也就是落實數(shù)形結(jié)合思想。公式的選擇中點弦問題、參數(shù)方程課本P116（三）綜合能力不足當前教學(xué)實際看，各種教輔資料中充斥著大量解析幾何題，諸如單動點軌跡問題、雙動點軌跡問題、多動點軌跡問題，圓錐曲線中參數(shù)的取值范圍問題、最值問題、定值問題、對稱問題、存在性問題……·些題目的解答往往需要一些特定技巧，需要學(xué)生投入大量時間和精力，但對理解圓錐曲線的定義與性質(zhì)卻起不了多大作用。甚至有些學(xué)生，一知半解直接代入輔導(dǎo)資料中公式結(jié)論應(yīng)用，這對學(xué)生夯實基礎(chǔ)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)沒有幫助，反而起了抑制作用，這種現(xiàn)狀需要改變。突破方法：對圓錐曲線的教學(xué)建議分階段進行，教學(xué)內(nèi)容的難度要螺旋上升，不要一步到位，綜合和聯(lián)系的目光要聚焦在核心概念上。第一階段，完成教材內(nèi)容，重視教材中的例題和練習(xí)題，對于例題，要仔細講解，適當拓展，對于練習(xí)題，要學(xué)生認真練習(xí)，多問問學(xué)生為什么，理解解題方法；第二階段，補充練習(xí)，如弦長公式的練習(xí)，如何求三角形的面積，怎樣解決橢圓中點弦的問題，如何求解以圓錐曲線為背景的簡單范圍問題等等，讓學(xué)生掌握常規(guī)題型的求解。第三階段，歸納總結(jié)，有對方法的總結(jié)，也可以對某種題型的解法進行總結(jié)，通性通法，不盲目拔高。第四階段，整章教學(xué)完成后，可以進行兩種曲線的綜合練習(xí)。教學(xué)建議

第六部分教參給出本章教學(xué)約需13課時，建議增加3課時橢圓5課時雙曲線3課時拋物線3課時直線與圓錐曲線（重點是直線與橢圓）2課時文獻閱讀與數(shù)學(xué)寫作，解析幾何的形成與發(fā)展1課時復(fù)習(xí)與小結(jié)2課時（一）課時分配1.新教材《曲線與方程》不再作為獨立單元呈現(xiàn).（二）教學(xué)建議相關(guān)點代入法直接法定義法交軌法但課本上編選了大量的求軌跡方程的題目，在解決這些問題的過程中要向?qū)W生滲透求曲線方程的一般步驟，建立曲線的方程后，就著建立方程的過程討論“曲線上的點的坐標都滿足方程”、“以方程的解為坐標的點都在曲線上“，使學(xué)生潛移默化中體驗曲線與方程之間的一一對應(yīng)關(guān)系。同時要向?qū)W生歸納求曲線方程的常用方法：直接法、相關(guān)點代入法、定義法、待定系數(shù)法、軌跡法等。改變運算類型，提出值得研究的問題，更加明確曲線的幾何特征平面內(nèi)到兩定點的距離之積為常數(shù)的動點的軌跡是什么？平面內(nèi)到兩定點的距離之商為常數(shù)的動點的軌跡是什么？卡西尼卵形線阿氏圓2、以坐標法為核心紐帶3、重視對研究對象幾何特征的分析

（二）教學(xué)建議教學(xué)中一定要注意“先用幾何眼光觀察，再用坐標法推理、論證和求解”的基本思路4、注意用好教科書中的例題、習(xí)題

教科書中的例題與習(xí)題，其選編的原則是幫助學(xué)生深入理解圓錐曲線的幾何特征，熟練運用坐標法研究圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系，并解決有一定綜合性的問題。使學(xué)生認識到認真解答這些題目的重要性，必要時可以對有關(guān)題目進行適當?shù)淖兪酵卣?。通過習(xí)題變式拓展補充一些常見的結(jié)論和方法。焦點三角形的周長、面積、頂角變化焦半徑及其最值通徑5、注意用好教科書中的閱讀與應(yīng)用題

6、要重視解題過程中思想方法的提煉與運用①方程思想：解析幾何的求解問題基本都轉(zhuǎn)化為求解方程問題，一般地，未知數(shù)的個數(shù)和方程（或題中獨立條件）的個數(shù)一樣．另外，有些探究性問題也常常轉(zhuǎn)化為對方程解的討論．

②函數(shù)思想：對于圓錐曲線上一些動點,在變化過程中會引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量,從而使一些線段的長度及a、b、c、e之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系,函數(shù)思想在處理這類問題時就很有效．從另一視角看，當題中獨立條件的個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)時，所研究的問題就會轉(zhuǎn)化為某一個或幾個未知數(shù)的函數(shù)問題．③分類討論：解析幾何問題常常需要分類討論,例如涉及到直線的斜率是否存在，涉及到最值問題中某個參數(shù)是否為0，以及幾何背景中某一位置關(guān)系是否具有多種可能，等等。④數(shù)形結(jié)合：解析幾何是數(shù)形結(jié)合的典范，解決解析幾何問題應(yīng)充分挖掘圖形的直觀和曲線的幾何性質(zhì)，才能更好地簡化解答過程．幾何上多走一小步，代數(shù)上簡化一大步．⑤對稱思想:由于圓錐曲線和圓都具有對稱性質(zhì),所以在有些問題中可以使分散的條件相對集中,減少一些變量和未知量,簡化計算，提高解題速度，促成問題的解決．⑥參數(shù)思想：很多解析幾何問題，在解題過程中可先引入適當?shù)膮?shù)(如傾斜角，斜率，點的坐標，圓錐曲線方程中的參數(shù)等)刻畫點、直線或圓