矩陣的等式及其相關(guān)定理

矩陣的等式及其相關(guān)定理

1共轉(zhuǎn)導(dǎo)線型矩陣1的初始行轉(zhuǎn)換為矩陣b，并設(shè)置為矩陣1。A=(α1,α2,?,αn)?B=(β1,β2,?,βn)對于p=1,2,…,n,在A與B中任取p個下標(biāo)對應(yīng)相同的列向量αi1,αi2,…,αip與βi1,βi2,…,βip那么有:1.1下面兩個等式同時成立ki1αi1+ki2αi2+?+kipαip=0(1)ki1βi1+ki2βi2+?+kipβip=0(2)1.2A與B的列子空間L(αi1,αi2,?,αip)=L(βi1,βi2,?,βip)證記矩陣Ap=(αi1,αi2,?,αip)Bp=(βi1,βi2,?,βip)1.1設(shè)Xp=(xi1,xi2,…,xip)T,考慮線性方程組ApXp=0BpXp=0可以看出,對矩陣A作初等行變換化為矩陣B時,矩陣Ap經(jīng)過與上面相同的初等行變換化為矩陣Bp,于是方程組ApXp=0與BpXp=0同解。因ApXp=0與BpXp=0分別為xi1αi1+xi2αi2+?+xipαip=0(3)xi1βi1+xi2βi2+?+xipβip=0(4)故方程(3)與(4)同解,設(shè)其解為:(ki1,ki2,?,kip)代入(3)與(4)得ki1αi1+ki2αi2+?+kipαip=0ki1βi1+ki2βi2+?+kipβip=0同時成立。1.2由1.1知,矩陣Ap可經(jīng)過初等行變換化為矩陣Bp,故存在可逆矩陣P,使得ΡAp=Bp即Ρ(αi1,αi2,?,αip)=(βi1,βi2,?,βip)由分塊矩陣的乘法得Ραk=βk,k=i1,i2,?,ip故βi1,βi2,…,βip可以用αi1,αi2,…,αip線性表出又因為矩陣P可逆,所以αk=Ρ-1βk,k=i1,i2,?,ip故αi1,αi2,…,αip可以用βi1,βi2,…,βip線性表出,于是αi1,αi2,…,αip與βi1,βi2,…,βip等價,所以A與B的列子空間L(αi1,αi2,?,αip)=L(βi1,βi2,?,βip).推論1如果對矩陣A作初等行變換化為矩陣B,設(shè)A=(α1,α2,?,αn),B=(β1,β2,?,βn)那么有下述結(jié)論:1.1若對于p=1,2,…,n。在A與B中任取p個下標(biāo)對應(yīng)相同的列向量αi1,αi2,…,αip與βi1,βi2,…,βip,則有αi1,αi2,??αip線性相關(guān)(無關(guān))?βi1,βi2,?,βip線性相關(guān)(無關(guān))1.2列向量組α1,α2,…,αn的一個極大線性無關(guān)組為αi1,αi2,…,αir?列向量組β1,β2,…,βn的一個極大線性無關(guān)組為βi1,βi2,…,βir.1.3秩{α1,α2,…,αn}=秩{β1,β2,…,βn}證1.1若αi1,αi2,…,αip線性相關(guān),則有不全為零的數(shù)k1,k2,…,kp,使得k1αi1+k2αi2+?+kpαip=0由定理1得k1βi1+k2βi2+?+kpβip=0其中k1,k2,…,kp不全為零,故βi1,βi2,…,βip線性相關(guān).反之,若βi1,βi2,…,βip線性相關(guān),用與上面相同的方法可證:αi1,αi2,…,αip線性相關(guān)。1.2設(shè)α1,α2,…,αn的一個極大線性無關(guān)組為αi1,αi2,…,αir.首先,由極大線性無關(guān)組的定義,αi1,αi2,…,αir線性無關(guān).由1.1可得βi1,βi2,…,αir線性無關(guān)。其次,任取βj,則有對應(yīng)的αj,由極大線性無關(guān)組定義可得αj,αi1,αi2,…,αir線性相關(guān),由1.1可得:βj,βi1,βi2,…,βir線性相關(guān)。由上述可得,β1,β2,…,βn的一個極大線性無關(guān)組為βi1,βi2,…,βir反之,若列向量組β1,β2,…,βn的一個極大線性無關(guān)組為βi1,βi2,…,βir,用與上面相同的方法可以證明:列向量組α1,α2,…,αn的一個極大線性無關(guān)組為αi1,αi2,…,αir.1.3設(shè)α1,α2,…,αn的一個極大線性無關(guān)組為αi1,αi2,…,αir,則秩{α1,α2,?,αn}=r并且由2°得β1,β2,…,βn的一個極大線性無關(guān)組為βi1,βi2,…,βir,故秩{β1,β2,?,βn}=r于是有秩{α1,α2,?,αn}=秩{β1,β2,?,βn}注:結(jié)論1.3表示,初等行變換不改變矩陣的列秩.定理2如果對矩陣A作初等列變換化為矩陣B,設(shè)A=[α1α2?αm]B=[β1β2?βm]對于q=1,2,…,m,在A與B中任取q個下標(biāo)對應(yīng)相同的行向量αi1,αi2,…,αiq與βi1,βi2,…,βiq,那么有:2.1下面兩個等式同時成立ki1αi1+ki2αi2+?+kiqαiq=0(5)ki1βi1+ki2βi2+?+kiqβiq=0(6)2.2A與B的行子空間L(αi1,αi2,?,αiq)=L(βi1,βi2,?,βiq)證2.1考慮轉(zhuǎn)置矩陣AΤ=(α′1,α′2,?,α′m),BΤ=(β′1,β′2,?,β′m)對A作初等列變換化為B,就相當(dāng)于對AT作初等行變換化為BT,對于在A與B中任取的q個下標(biāo)對應(yīng)相同的行向量αi1,αi2,…,αiq與βi1,βi2,…,βiq,有AT與BT中q個下標(biāo)對應(yīng)相同的列向量α′i1,α′i2,…,α′iq與β′i1,β′i2,…,β′iq,由定理1,下面兩個等式同時成立.ki1α′i1+ki2α′i2+?+kiqα′iq=0ki1β′i1+ki2β′i2+?+kiqβ′iq=0將上面等式的兩邊都取轉(zhuǎn)置,可得(5)與(6)式同時成立。2.2由2.1的證明過程和定理1的結(jié)論1.2可得L(α′i1,α′i2,?,α′iq)=L(β′i1,β′i2,?,β′iq)故列向量組α′i1,α′i2,…,α′iq與β′i1,β′i2,…,β′iq與βi1,βi2,…,βiq等價。于是行向量組αi1,αi2,…,αiq等價。所以A與B的行子空間L(αi1,αi2,?,αiq)=L(βi1,βi2,?,βiq)推論2如果對矩陣A作初等列變換化為矩陣B,設(shè)A=[α1α2?αm]B=[β1β2?βm]2.1若對于q=1,2,…,m,在A與B中任取q個下標(biāo)對應(yīng)相同的行向量αi1,αi2,…,αiq與βi1,βi2,…,βiq,則有αi1,αi2,??αiq線性相關(guān)(無關(guān))?βi1,βi2,?,βiq線性相關(guān)(無關(guān))2.2行向量組α1,α2,…,αm的一個極大線性無關(guān)組為αi1,αi2,…,αir?行向量組β1,β2,…,βm的一個極大線性無關(guān)組為βi1,βi2,…,βir.2.3秩{α1,α2,…,αm}=秩{β1,β2,…,βm}證方法1,用證明推論1的方法。方法2,用推論1的結(jié)果。結(jié)論2.3表示,初等列變換不改變矩陣的行秩。利用推論1,當(dāng)求出矩陣A的列向量組的一個極大線性無關(guān)組的同時,如果矩陣B已化為行簡化階梯形,再利用定理1,可以方便地用這個極大線性無關(guān)組表示矩陣A的其余列向量。2k1.2+i1n2,kx2n+kx2/kx2+1.2.2.2.2.2定理3設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間,ε1,ε2,…,εn是V的一個基,V中的向量組ξ1,ξ2,?,ξs(Ⅰ)在上述基下的坐標(biāo)依次為{α1=(x11,x12,?,x1n)α2=(x21,x22,?,x2n)???αs=(xs1,xs2,?,xsn)(Ⅱ)對于p=1,2,…,s,在(Ⅰ)與(Ⅱ)中任取p個下標(biāo)對應(yīng)相同的向量ξi1,ξi2,…,ξip與αi1,αi2,…,αip,則下面兩個等式同時成立.k1ξi1+k2ξi2+?+kpξip=0(7)k1αi1+k2αi2+?+kpαip=0(8)其中k1,k2,…,kp為數(shù)域P中的數(shù).證由已知可得{ξ1=x11ε1+x12ε2+?+x1nεnξ2=x21ε1+x22ε2+?+x2nεn??ξs=xs1ε1+xs2ε2+?+xsnεn若(7)式成立,即對于p=1,2,…,s有k1ξi1+k2ξi2+?+kpξip=0將(9)式代入上式得k1(xi11ε1+xi12ε2+?xi1nεn)+k2(xi21ε1+xi22ε2+?xi2nεn)+??+kp(xip1ε1+xip2ε2+?xipnεn)=0上式等價于(k1xi11+k2xi21+?kpxip1)ε1+(k1xi12+k2xi22+?kpxip2)ε2+??+(k1xi1n+k2xi2n+?kpxipn)εn=0因ε1,ε2,…,εn是V的一個基,故其線性無關(guān),所以組合系數(shù)均為零,即{k1xi11+k2xi21+?kpxip1=0k1xi12+k2xi22+?kpxip2=0??k1xi1n+k2xi2n+?kpxipn=0上面等式的向量形式為:{k1(xi11,xi12,?,xi1n)+k2(xi21,xi22,?,xi2n)+??+kp(xip1,xip2,?,xipn)=(0,0,?,0)即為k1αi1+k2αi2+?+kpαip=0其中p=1,2,…,s即(8)式成立反之,若(8)式成立,將上述過程逆推,可得(7)式成立。推論3如果V是數(shù)域P上的線性空間,ε1,ε2,…,εn是V的一個基,V中的向量組ξ1,ξ2,?,ξs(Ⅰ)在上述基下的坐標(biāo)依次為{α1=(x11,x12,?,x1n)α2=(x21,x22,?,x2n)??αs=(xs1,xs2,?,xsn)(Ⅱ)那么有下述結(jié)論:3.1若對于p=1,2,…,s,在向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)中任取p個下標(biāo)對應(yīng)相同的向量ξi1,ξi2,…,ξip與αi1,αi2,…,αip,則有αi1,αi2,??αip線性相關(guān)(無關(guān))?ξi1,ξi2,??ξip線性相關(guān)(無關(guān))3.2α1,α2,…,αs的一個極大線性無關(guān)組為αi1,αi2,…,αir?ξ1,ξ2,…,ξs的一個極大線性無關(guān)組為ξi1,ξi2,…,ξir。3.3秩{ξ1,ξ2,…,ξs}=秩{α1,α2,…,αs}.3.4Pn的子空間L(α1,α2,…,αs)與V的子空間L(ξ1,ξ2,…,ξs)同構(gòu).證3.1,3.2,3.3的證明方法與推論1的證明方法類似,故從略.下面證明3.4.設(shè)秩{α1,α2,…,αs}=r,由3.3得秩{ξ1,ξ2,…,ξs}=r故子空間L(α1,α2,?,αs)的維數(shù)=秩{α1,α2,?,αs}=rL(ξ1,ξ2,?,ξs)的維數(shù)=秩{ξ1,ξ2,?,ξs}=r于是L(α1,α2,?,αs)的維數(shù)=L(ξ1,ξ2,?,ξs)的維數(shù)所以Pn的子空間L(α1,α2,…,αs)與V的子空間L(ξ1,ξ2,…,ξs)同構(gòu)。在求兩個子空間W1與W2的和與交時,當(dāng)利用推論3求出W1+W2的基的同時,再利用定理3可以方便地求出W1∩W2的基。3子空間一個基(1)定理1、定理2的結(jié)論1和定理3的結(jié)論是完全類似的;推論1、推論2的結(jié)論和推論3的前3個結(jié)論是完全類似的;而定理1、定理2的結(jié)論2和推論3的結(jié)論4是基本類似;因為相等的子空間當(dāng)