第二章2.32.3.3點到直線的距離公式高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性

點到直線的距離公式第二章

直線的交點坐標與距離公式1.經(jīng)歷用坐標法、向量法推導(dǎo)點到直線的距離公式的運算過程，發(fā)展

數(shù)學(xué)運算與邏輯推理素養(yǎng).2.掌握點到直線的距離公式，并能靈活應(yīng)用.學(xué)習(xí)目標距離問題是幾何學(xué)的基本問題之一，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩點間的距離公式，知道兩點間的距離可以由兩點坐標表示.在平面直角坐標系中，我們用坐標描述點，用方程刻畫直線，當(dāng)點與直線的位置確定后，點到直線的距離可以由點的坐標與直線的方程確定，如何確定呢？導(dǎo)語隨堂演練課時對點練一、點到直線距離公式的推導(dǎo)二、點到直線距離公式的簡單應(yīng)用三、點到直線距離公式的綜合應(yīng)用內(nèi)容索引一、點到直線距離公式的推導(dǎo)問題1

如圖，平面直角坐標系中，已知點P(x0，y0)，直線l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)，怎樣求出點P到直線l的距離呢？提示根據(jù)定義，點P到直線l的距離是點P到直線l的垂線段的長，問題2

上述推導(dǎo)過程有什么特點？反思求解過程，你能發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)這種狀況的原因嗎？提示推導(dǎo)過程思路自然，但運算量較大，一是求點Q的坐標復(fù)雜，二是代入兩點間的距離公式化簡復(fù)雜.問題3

向量是解決空間距離、角度問題的有力工具，怎樣用向量方法求點到直線的距離呢？所以m＝(B，－A)是它的一個方向向量.距離公式：d＝

.知識梳理注意點：(1)利用公式時直線的方程必須是一般式；(2)分子含有絕對值；(3)若直線方程為Ax＋By＋C＝0，則當(dāng)A＝0或B＝0時公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合求解.二、點到直線距離公式的簡單應(yīng)用例1

(1)點P(－1,2)到直線2x＋y－10＝0的距離為______.解析由點到直線的距離公式得(2)已知坐標平面內(nèi)兩點A(3,2)和B(－1,4)到直線mx＋y＋3＝0的距離相等，則實數(shù)m的值等于________.∴|3m＋5|＝|m－7|，∴3m＋5＝m－7或3m＋5＝7－m，反思感悟點到直線的距離的求解方法(1)求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式，直接利用點到直線的距離公式即可.(2)若已知點到直線的距離求參數(shù)值時，只需根據(jù)點到直線的距離公式列出關(guān)于參數(shù)的方程(組)即可.√√三、點到直線距離公式的綜合應(yīng)用例2

已知點P(2，－1)，求過點P且與原點距離為2的直線l的方程.解當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝2，符合題意.當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，所以直線l的方程為3x－4y－10＝0.故直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.延伸探究求過點P(2，－1)且與原點距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？解設(shè)原點為O，連接OP(圖略)，易知過點P且與原點距離最大的直線是過點P且與PO垂直的直線.由l⊥OP，得kl·kOP＝－1，所以直線l的方程為y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0，即直線2x－y－5＝0是過點P且與原點距離最大的直線，反思感悟解決有限條件的點到直線的距離的問題需注意分類討論，利用數(shù)形結(jié)合的思想，直觀地觀察一些量的變化，從而達到解決問題的目的.跟蹤訓(xùn)練2

已知直線l過點M(－1,2)，且點A(2,3)，B(－4,5)到l的距離相等，求直線l的方程.解方法一當(dāng)過點M(－1,2)的直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，此時點A(2,3)與點B(－4,5)到直線l的距離相等，故x＝－1滿足題意；當(dāng)過點M(－1,2)的直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由點A(2,3)與B(－4,5)到直線l的距離相等，即x＋3y－5＝0.綜上所述，直線l的方程為x＝－1或x＋3y－5＝0.方法二由題意得l∥AB或l過線段AB的中點.當(dāng)l∥AB時，設(shè)直線AB的斜率為kAB，直線l的斜率為kl，即x＋3y－5＝0.當(dāng)l過AB的中點(－1,4)時，直線l的方程為x＝－1.綜上所述，直線l的方程為x＝－1或x＋3y－5＝0.1.知識清單：(1)點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程；課堂小結(jié)(3)公式的應(yīng)用.2.方法歸納：公式法、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū)：設(shè)直線方程忽略斜率是否存在.隨堂演練1.原點到直線x＋2y－5＝0的距離為√12342.(多選)已知點M(1,4)到直線l：mx＋y－1＝0的距離為3，則實數(shù)m等于√1234√3.已知點M(1,2)，點P(x，y)在直線2x＋y－1＝0上，則|MP|的最小值是√1234解析點M到直線2x＋y－1＝0的距離，即為|MP|的最小值，4.已知直線l經(jīng)過點(－2,3)，且原點到直線l的距離等于2，則直線l的方程為________________________.x＋2＝0或5x＋12y－26＝01234解析當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－2，符合原點到直線l的距離等于2.當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)所求直線l的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，綜上，直線l的方程為x＋2＝0或5x＋12y－26＝0.課時對點練1.點P(1，－1)到直線l：3y＝2的距離是√解析點P(1，－1)到直線l的距離基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415162.點(1,2)到直線y＝2x＋1的距離為√解析直線y＝2x＋1即2x－y＋1＝0，123456789101112131415163.已知點(a，2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于√123456789101112131415164.點P(x，y)在直線x＋y－4＝0上，O是坐標原點，則|OP|的最小值是√解析|OP|最小即OP⊥l，123456789101112131415165.(多選)已知點A(－3，－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數(shù)a的值等于√12345678910111213141516√化簡得|3a＋3|＝|6a＋4|，6.(多選)與直線3x－4y＋1＝0垂直，且與點(－1，－1)距離為2的直線方程為x＋3y－3＝0 x＋3y＋17＝0x－3y－3＝0 x－3y＋17＝0√解析設(shè)所求直線方程為4x＋3y＋C＝0.12345678910111213141516√即|C－7|＝10，解得C＝－3或C＝17.故所求直線方程為4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.7.傾斜角為60°，且與原點的距離是5的直線方程為______________________________.12345678910111213141516由直線與原點的距離為5，所以b＝±10.8.經(jīng)過兩直線x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交點，且和原點相距為1的直線的條數(shù)為____.2解析設(shè)所求直線l的方程為x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0，12345678910111213141516所以λ＝±3，即直線方程為x＝1或4x－3y＋5＝0，所以和原點相距為1的直線的條數(shù)為2.9.已知△ABC三個頂點的坐標A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面積S.12345678910111213141516即x－2y＋3＝0.點A到BC的距離為d，即為BC邊上的高，即△ABC的面積為4.12345678910111213141516解當(dāng)該直線在兩坐標軸上的截距相等且為0，即直線過原點時，設(shè)直線的方程為y＝kx，12345678910111213141516整理得7k2－6k－1＝0，所以所求直線的方程為x＋7y＝0或x－y＝0.當(dāng)直線在兩坐標軸上的截距相等且不為0時，設(shè)直線的方程為x＋y＝a，12345678910111213141516解得a＝6或a＝2，所以所求直線的方程為x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.綜上所述，所求直線方程為x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.11.(多選)已知點P在直線3x＋y－5＝0上，且點P到直線x－y－1＝0的距離為

則點P的坐標為A.(1,2) B.(3，－4)C.(2，－1) D.(4，－3)√12345678910111213141516綜合運用√解析設(shè)點P的坐標為(a，5－3a)，解得a＝1或2，所以點P的坐標為(1,2)或(2，－1).12.當(dāng)點P(2,3)到直線ax＋(a－1)y＋3＝0的距離d最大時，d與a的值依次為，－3 B.5,2C.5,1 D.7,1√解析直線l恒過點A(－3,3)，根據(jù)已知條件可知，當(dāng)直線ax＋(a－1)y＋3＝0與AP垂直時，距離最大，最大值為5，此時a＝1.1234567891011121314151613.直線3x－4y－27＝0上到點P(2,1)距離最近的點的坐標是12345678910111213141516√解析由題意知過點P作直線3x－4y－27＝0的垂線，設(shè)垂足為M，則|MP|最小，故所求點的坐標為(5，－3).14.已知點P為x軸上一點，且點P到直線3x－4y＋6＝0的距離為6，則點P的坐標為________________.1