2021中考數(shù)學分類練習：全等三角形的相關(guān)模型總結(jié)

全等的相關(guān)模型歸納

一、角平分線模型使用

1.角平分性質(zhì)模型:

幫扶線：過點G作GE，射線AC

①似圖1,在兇8。中ZC=90°,4）平分NC43,BC=6cm,BD=4cm,那么點口到直線

的間隔是cm.

②似圖2,已知，N1=N2,N3=N4求證：AP^^^BAC

A

B

P

圖

圖2

①2（提示：作DE，AB交AB于點E）

V：平分

（2）Z1=Z2,:.PM=PNtvZ3=Z4,.PN=PQPM=PQ,R4NB4c

（2）.模型鞏固:

鍛煉一：似圖3,在四邊形ABCD中,BC>AB,AD=CD,BD平分々AC

.求證：ZA+ZC^180°

D

B

圖3

鍛煉二：已知似圖4,四邊形ABCD中,

NB+NO=180°,8C=CD求證：AC平分ZBAD

圖4

鍛煉三：似圖5,中,4c8=90。，CD_LA民垂足為。，AF平分NC4B,交?口于點也

交CB于點F.

⑴求證：CE=CF.

⑵將圖5中的aADE沿AB向右平移到兇力E的位置，使點E落在BC邊上,其他前提不變,

似圖6所示，是猜想：8E于CF又似何的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論.

c

c

圖5

圖6

鍛煉四：似圖7,ZA=90°,AD//BC,P是AB的中點，PD平分NADC.

求證：CP平分NDCB.

圖7

鍛煉五：似圖8,AB>AC,ZA的平分線與BC的垂直平分線訂交于D,自D作DE±AB,DF±AC,垂

足分不為E,F.求證：BE=CF.

EM

B

D

圖8

鍛煉六：似圖9所示，在AABC中，BC邊的垂直平分線DF交ABAC的外角平分線AD于點D,

F為垂足，DE1.AB于E,同時且AB>AC。求證：BE-AC=AE。

鍛煉七：似圖10,D、E、F分不為Z^ABC的三邊上的點，CE=BF,

且4DCE的面積與4DBF的面積相等,求證：AD平分NBAC。

2,角平分線+垂線，等腰三角形比呈現(xiàn)

幫扶線：耽

擱ED交射線OB于F幫扶線：過點E作EF〃射線OB

(1).例題使用:

①.似圖1所示，在ZkABC中，NABC=3NC,AD是NBAC的平分線，BEJ_AD于F。

求證：BE=^(AC-AB)

證明：耽擱BE交AC于點F。

②已知?似圖2,在,/84C的角平分線AD父JBC'D,且AB=AD,

作的延長線W.求證：AM^-(AB+AQE

2圖2解析：此題

很多同學或許想到耽擱線段CM,但非?？彀l(fā)覺與要證明的結(jié)論毫無關(guān)系。而此題突破口就在于

AB=AD,由此咱們可以猜想過C點作平行線來組織等腰三角形.

證明：過點C作CE/7AB交AM的耽擱線于點E.

例題變形：似圖，N1=N2,B為AC的中點，CMLFB于M,ANLFB于N.

""FB=-(FM+FN).

求證：①EF=2BM;②2、

(3).模型鞏固:

鍛煉一、似圖3,AABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BD平分NABC交AC于點D,

CE垂直于BD,交BD的耽擱線于點E。求證：BD=2CEo

圖3

鍛煉一變形：似圖4,在△OCC中，40=90°,七。是/℃。的角平分線，WE±CEr

過點E作EFLOC交0c于點尺猜想：線既F與O。之間的關(guān)系，并證明

圖4

鍛煉二、似圖5,己知AABC中，CE平分/ACB,且AEJLCE,NAED+/CAE=180度，求證:

DE〃BC

鍛煉三、似圖6,ADJ_DC,BC±DC,E是DC上一點，AE平分/DAB,BE平分NABC,求證:

點E是DC中點。

圖6

鍛煉四、①、似圖7(a),BD、CE分別是/"3派外角平分線，過點1作AD_L8。、

、止故八廠DE=_{AB+BC+AC)

AE±CE,垂足分別是P、E,連接求證:。七〃BC,2

圖7(a)

圖7(b)圖7(c)

②、似圖7(b),BD、CE分別是乙43a勺內(nèi)角平分線，其他御不變;

③、似圖7(c),30為AABCtl勺內(nèi)角平分線，CE為AA8C的外角平分線，其他前提不變那么在圖

7(b)、圖6(c)兩種狀況下，DE與BC還平行嗎？它與A4BC三邊又有似何的數(shù)量關(guān)系？請寫出

你的判斷，同時證明你的結(jié)論.(提示：操縱三角形中位線的學問證明線平行)

鍛煉五、似圖8,在直角三角形ABC中，NC=90。，ZA的平分線交BC于。.自C作CGLAB交

AQ于E,交A8于G.自。作。尸于F,求證：CFVDE.

c

圖8

鍛煉六、似圖9所示，在AABC中，AC>AB,M為8C的中點，4。是Nfi4c的平分線，如

果CF_L4）且交A。的耽擱線于產(chǎn)，求證MF=；（AC-A3）.

圖9

鍛煉六變形一：似圖10所示，AO是AABC中Na4C的外角平分線，C￡>_LAO于。，E是BC的

中點，求證￡>E〃AB且DE=g（AB+AC）.

圖10

鍛煉六變形二：似圖11所示，在AABC中，AO平分NBAC,AD=AB,。知_14)于"，求證

AB+AC=2AM.

圖11

鍛煉七、似圖12,在A48C中，NB=2NC,Na4C的平分線AO交BC與。.那么有

AB+BD=AC.那么似圖13,已知在AABC中，ZABC=3ZC,Z1=Z2,BE±AE.求證:

AC-AB=2BE.

圖12圖13

鍛煉八、在△ABC中，AB=3AC,ZBAC的平分線交BC于。，過8作8EJ_4),E為垂足,

求證：AD=DE.

A

鍛煉九、AO是AABC的角平分線，8E_LAD交AO的耽擱線于E,防〃AC交A8于尸.

求證：AF-FB.

3.角分線，分雙方，對稱全等要記全

兩個圖形的幫扶線根基上在射線04上取點5,使08=0A,從而使AQAC^AOBC.

(1).例題使用:

①、在ZiABC中，ZBAC=60°,ZC=40°,AP平分NBAC交BC于P,BQ平分NABC交

AC于Q,求證：AB+BP=BQ+AQo

思路解析:

1)題意解析:本題考查全等三角形常見幫扶線的學問：作平行線。

2)解題思路:本題要證明的是AB+BP=BQ+AQ。局勢較為復雜，咱們可以通過轉(zhuǎn)化

的理念把左式和右式分不轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^0作BC的平行

線。得△ADO絲ZSAQO。得到OD=OQ,AD=AQ,只要再證出BD=OD就能啦。

②如圖（3）,過。作DE〃BC交AB于D,交AC于E,則△ADO之△AQO,

△ABO當△AEO從而得以解決.

圖（3）

③如圖⑷，過P作PD〃BQ交AB的延長線于D,則Z^APD經(jīng)△APC從而

得以解決.

④似圖（5）,過P

作PD〃BQ交AC于D,那么△ABPgZ\ADP從而得以處理。

小結(jié)：通過一題的多種幫扶線減少方式，體會減少幫扶線

的企圖在于組織全等三角形。而差不的減少方式事實是從差不路徑來實現(xiàn)線段的

轉(zhuǎn)移的，體會組織的全等三角形在轉(zhuǎn)移線段中的作用。從變幻的看法可以看到，不

論是作平行線仍是倍長中線，本色根基上對三角形作了一個以中點為扭轉(zhuǎn)中間的扭

變化幻組織了全等三角形。

②、似圖所示，在A4BC中，A。是ZfiAC的外角平分線，P是AO上異于點A的隨意任性一

點，試對比PB+PC與A8+AC的大小，同時講明出處.

E

【解析】PB+PC>AB+AC,出處似下.

【解析】在上截取A￡=AC,連結(jié)砂，依照SAS證得MEPMCP,APE=PC,AE^AC

又&BEP中,BE>PB—PE,BE=AB—AC,：.AB-AC>PB-PC

(2)、模型鞏固:

鍛煉一、.似圖，在AABC中，ADLBC于D,CD=AB+BD,NB的平分線交AC于點E,求證:

點E恰好在BC的垂直平分線上。

鍛煉二、似圖，已知aABC中，AB=AC,ZA=100°,4的平分線交AC于D,

求證：AD+BD=BC

鍛煉三、似圖，已知aABC中，BC=AC,

求證：AC+CD=AB

變式：已知：在△ABC中，/B=2/C,BD平分ZABC,AD±BQ^D,

求證：BD=-AC

2

鍛煉六、己知：似圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC,BC為耽擱線交

A

DC于點E.

求證：(1)BF=DF；(2)AD=DE.

鍛煉七、己知似圖，在四邊形ABCD中,AB+BC=CD+DA,/ABC的外角平分線與/CDA的外角平分

線交于點P.求證：ZAPB=ZCPD

鍛煉八、似圖，在平行四邊形ABCD（兩組對邊分不平行的四邊形）中，E,F分不為AD,AB邊

上的點，且BE、DF交于G點，BE=DF,求證：GC是NBGD的平分線。

BC

A

M

鍛煉十、似圖所示，已知A48C中，AQ平分N8AC,E、尸分不在BD、

AD±..DE=CD,EF=AC.求證：EF//AB

【增補】似圖，在A48c中，AD交BC于點D,點E是BC中點，EF〃4)交C4的耽擱線于點尸，

交A8于點G,如果8G=CF,求證：AO為N8AC的角平分線.

4,中考巡禮：

(1).似圖1,OP是NAOB的平分線，請你操縱圖形畫一對以0P為所在直線為對稱

軸的全等三角形，請你參考那個全等三角形的方式，解答以下題目。

①、似圖2,在ZXABC中，NACB是直角，ZB=60°,AD、CE是NBAC、NBCA的角平

分線，訂交于點F,請你判斷同時寫出EF與DF之間的數(shù)量的關(guān)系。

②、似圖3,在AABC中，NACB不是直角，而(1)中的其他前提不變，叨教，(1)中

的結(jié)論是否任然成立？如果成立，請證明；如果不成立，請講明出處。

yk

E\

(2).似圖，在平面直角坐標系中，B(-1,0),C(1,0)[D為y和1的一點，點A

為第二象限內(nèi)一動點，且NBAC=2NBDO,過點D作口陷口所

①、求證：ZABD=ZACD；B°C

②、如果點E在BA的耽擱線上，求證：AD平分NCAE；

1.在歪邊上任取一點的扭轉(zhuǎn)全等:

操縱環(huán)節(jié):

(1).將△ABD逆時針扭轉(zhuǎn)90°,使△ACMgZ\ABD,從而推出^ADM為等腰直角三

角

形.(但是寫幫扶線時不能似許寫)

(2).過點C作MC工,連AM導出上述結(jié)論.

2,定點是歪邊中點，動點在兩直角邊上轉(zhuǎn)動的扭轉(zhuǎn)全等:

操縱環(huán)節(jié)：連AD.

(1).使BF=AE(AF=CE),導出ARDF妾AADE.

(2).使NEDF+NBAC=18d>,導出ZkBDF名Z\ADE.

(1)、例題使用：

在等腰直角△4BC中，44090。，點M.、在斜邊BC上滑動，且NW4v=45。

是探究EM、MV、CR之間的數(shù)量關(guān)系.

①.

AfC±BC過點8作NF/BC,使.V￡=CV,連.4M

解析：方式一：過點c作方式二:

使連zLM

結(jié)論：BW+CM=MN2

2.兩個全等的含30。,60涌的三角板.42九和三角板￡5。，如圖所示放置,

E、.4、C三點在一條直線上，連接方。，取6萬的中點M,連接ME,

“C.是判斷△EMC的形狀，并證明你的結(jié)論.

②.

證明：方式一：毗連證明△MDEgZXAMC.特別看重證明NMOE=NM4C

B

M

方式二：過點M作MNJ_EC交EC于點N,得出MN為直角梯形的中位線，從

而導

出△MEC為等腰直角三角形.

(2)、鍛煉鞏固:

①已知：似圖所示，Rt△放'中，AB=AC,N8AC=90°,。為5c中點，如果M、N分不

在線段AC、AB1.移動，且在移動中連結(jié)AN=CM.

①、是判斷△OWN的外形，同時證明你的結(jié)論.

②、當M、N分不在線段AC、48上移動時，四邊形AMON的面積如果何變化?

思路：兩種方式:

②在正方形ABCD中，BE=3，EF=5，DF=4，求產(chǎn)為幾度.

ADAD

BC提示似右圖:

3.組織等腰直角三角形

(1)、操縱以上的1和2都可以組織等腰直角三角(略)；

(2)、操縱平移、對稱和弦圖也能夠組織等腰直角三角.

似下圖：

圖3-1圖3-2

操縱環(huán)節(jié)：在圖3-2中，先將4450以30所在的直線為對稱軸作對稱三角形，再將此三角形

沿

水平方向向右平移一個正方形邊長的長度單位，使A與M,。與E重合.

例題使用：已知：平面直角坐標系中的三個點，A。。〉夙2,—1）C（0,3）,求/OCA+NOC5的

度數(shù).

^OCB+^OCA=45°

4.將等腰直角三角形補全為正方形，似下圖:

圖4-1圖4-2

例題使用:

如圖，在等腰直角△4BC,AC=BC,%CB=90。，帙△45咕部一點，滿足

尸8=PC,4K4C束證：4cp=15。.

^R4Af=60°

思路：組織正方形ACBM,可以組織出等邊△APM,從而造出，又依照

2LCAM=90°4P=30°AP=AC4cp=75°

可得，再因為，故而得到從而

I_上。1=4CB/90。

得證.例題拓展：如果△ABC不是等腰直角三角形，即，而是

^ACB=2^4￡C

其他前提不變，求證：Z2=2Z1,

鍛煉鞏固：在平面直角坐標系中，A(0,3),點5的縱坐標為2,點C的縱坐標為0,當4、

8、C

三點圍成等腰直角三角形時，求點8、C的坐標.

(1)、當點8為直角極點:

圖1圖2

(2)、當點4為直角極點:

圖3圖4

(3)、當點C為直角極點:

CX

圖5圖6

三、三垂直模型(弦圖模型)

①.②.③.

AA

BVBECBEC

由△ABEgzMiCD導出由AABE義z^BCD導由AABEgZkBCD導出

ED=AE-CD出EC=AB-CDBC=BE+ED=AB+CD

1.例題使用:

例1,已知：似圖所示，在ZL45c中，AB=AC,NBAC=90°,。為AC中點，AF_LBO于E,

交

BC于尸，毗連OE

求證：ZADB=ZCDF.

思路:

方式一：過點C作MCLAC^AF的耽擱線于點M.先證△4B。絲△C4M,

再證ACDF出ACMF即可.

A

方式二:過點A作AMLBC分不交BD.BC于H、M.先證△?!5H

g△C4F,再證

ACDFg△ADH即可.

方式三：過點A作AM_L5C分不交3c于〃、M.先

證RtaAMF^RtABMH,得出

“產(chǎn)〃AC由M、O分不為線段AC、5c的中點，可得MD為△?15c的中位線

從而推出又因為NBAC=9(r,MDLAC,MDLHF,所以MD為

線段"F的中垂線.所以N1=N2,再由NAO5+N1=NC0F+N2,那么

ZADB=ZCDF.

A

例1拓展（1）：已知：似圖所示，在△ABC中,

AB=AC,AM=CN,AFYBME,交

BC于廣，毗連NE

求證：?^ADB=ZCDF.②BM=AF+FN

思路：同上題的方式一和方式二同樣.

拓展（2）：其他前提不變，只是將8M和尸N分不耽擱交于點P,求證：①PM=PN,

(2)PB=PF+AF.

p

思路：同上題的方式一和方式二同樣.

例2,似圖2-1,已知4D〃5C,aASE和△CDF是等腰直角三角形，^EAB=^CDF=^,

AD=2,BC=5,求四邊形AEDF的面積.

圖2-1

解析：似圖2-2,過點E、5分不作ENJLZU,5M_LZM交ZM耽擱線于點N、M.

過點尸、C分不作FP1.AD,CQ_LA。交4。及AD耽擱線于點

P、Q.

S四邊形EAF。=SMED+SMDF=g?AD?EN+g?A￡>?"=g?AQ?（EN+"）

,.,△A5E和△CDF是等腰直角三角形，A^EAB=ZCDF=^,AE=AB,DF=CD.

'：EN±DA,BMVDA,FPVAD,CQrAD,:.NNMB=NENA=NFPD=NDQC=9B.

:.NENA=NMBA,NFDP=NQCD.:.RENA/XABM,/^FPD^ADQC.

：.NE=AM,PF=DQ.：.NE+PF=DQ+AM=MQ-AD.

'：AD//BC,CQ//BM,NBMN=90°,四邊形5Moe是矩形

S四邊形￡AFD=]X2X3=3.

'：AD=2,BC=5:.NE+PF=5-2=3

圖2-2

2,鍛煉鞏固:

(1)、似圖(1)-1,直角梯形45co中，AD//BC,&。。=90°,/是40的垂直平分線,

交AO于點M,以腰AB為邊做正方形A5尸E,EP_L，于點P.

求證：2EP+AD=2CD.

(2)、似圖，在直角梯形A5C。中，/4BC=90°,AD//BC,AB=AC,E是AB的中點,

CEVBD.

①求證：BE=AD；

②求證：AC是線段ED的垂直平分線;

③△5CD是等腰三角形嗎？請講明出處.

BC

四、手拉手模型

1,△A5E和△ACF均為等邊三角形

結(jié)論：(l).AABF^AAEC

(2).ZBOE=BAE=^（“八字模型證明”）

(3).04平分NEOP

D

拓展：.C

前提：△ABC和△CDE均為等邊三角形

結(jié)論：(1)、AD=BE(2)、^ACB=^AOB(3)、△PCQ為等邊三角形

(4)、PQ//AE(5)、AP=BQ(6)、CO平分40E(7)、OA=OB+OC

(8)、OE=OC+OD((7),(8)需組織等邊三角形證明)

2,和均為等腰直角三角形

結(jié)論：（1）、BE=CD（.2）BEA.CD

3,A3EF和ACHD均為正方形

D

結(jié)論：