【工程力學(xué)】構(gòu)件的承載能力計(jì)算

1010學(xué)習(xí)目標(biāo)：把握構(gòu)件根本變形形式，正確理解內(nèi)力和應(yīng)力的根本概念，嫻熟把握截面法求解內(nèi)力；把握教學(xué)構(gòu)件根本變形時(shí)橫截面的內(nèi)力和應(yīng)力分析及計(jì)算方法，并嫻熟繪制其內(nèi)力圖；把握構(gòu)件根本變形的強(qiáng)度目標(biāo)和剛度計(jì)算；把握材料力學(xué)性能的根本參數(shù)，并嫻熟把握常見(jiàn)脆、塑性材料的力學(xué)性能；把握組合變形的根本概念及分析方法；把握瘦長(zhǎng)桿的穩(wěn)定性概念及臨界力和臨界應(yīng)力的求法。教學(xué)理解內(nèi)力和應(yīng)力的概念，嫻熟把握內(nèi)力和應(yīng)力分析及計(jì)算方法。重點(diǎn)教學(xué)把握組合變形的根本概念及分析方法，并進(jìn)展計(jì)算。難點(diǎn)教學(xué)實(shí)物演示；教學(xué)板書(shū)；錄像插件；電子課件。手段教學(xué) 20學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 注釋模塊二構(gòu)件的承載力量計(jì)算任務(wù)一軸向拉伸與壓縮變形時(shí)的承載力量計(jì)算〖任務(wù)描述〗 明確任務(wù)。2-1AB50mmBC50mm×40mm的矩形截面桿，材料的許用應(yīng)力為100MPa。假設(shè)載荷F=200kN，試校核桿AB和桿BC的強(qiáng)度。 明確課題任務(wù)重求許可載荷。 點(diǎn)。介紹了軸向拉伸、壓縮變形根本概念。引入軸力的概念，并以實(shí)例說(shuō)明軸力圖的繪制方法。2-1〖任務(wù)分析〗把握典型構(gòu)件軸向拉伸與壓縮變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算?！紝W(xué)問(wèn)預(yù)備〗4種根本變形形式，包括軸向拉伸與壓縮變形、剪切與擠壓變形、扭轉(zhuǎn)變形和彎曲變形。本任務(wù)重點(diǎn)爭(zhēng)論軸向拉伸與壓縮變形的內(nèi)力和應(yīng)力的根本截面上的應(yīng)力分概念及計(jì)算，材料的力學(xué)性能及測(cè)定，軸向拉壓的變形及強(qiáng)度計(jì)算。一、軸向拉伸與壓縮變形概念工程中很多構(gòu)件承受拉伸或壓縮。雖然這些承受拉壓外力的桿件外形各有差異，加載方式也不盡一樣，但它們有共同的受力特點(diǎn)：作用于桿件上的外力合力作用線與桿軸線重合。在這種受力狀態(tài)下，桿件主要變形是縱向伸長(zhǎng)，相鄰兩截面移遠(yuǎn)，或者縱向縮短，相鄰兩截面移近，這種變形形式稱為軸向拉伸與壓縮變形。二、軸向拉伸和壓縮變形時(shí)的內(nèi)力分析1.軸力由于該段桿全部外力的作用線與桿軸線重合，內(nèi)力合力FN的作用線也必與桿軸線重合。FN

應(yīng)力計(jì)算公式。規(guī)定：拉伸為正，壓縮為負(fù)。即正軸力方向背離所作用截面，負(fù)軸力方向指向所作用截面。通過(guò)所爭(zhēng)論的桿段的平衡條件即可求得軸力FN。由于整個(gè)桿件處于平衡狀態(tài)，故其任一截開(kāi)局部也應(yīng)處于平衡狀態(tài)，該段桿列平衡方程∑Fx=0，F(xiàn)N－F1=0FN=F1截面法將桿在任一橫截面m—m一段，畫出該段所受外力，而將另一段對(duì)該段的作用以橫截面上的內(nèi)力代替，這種表示和求解桿件橫截面的內(nèi)力方法稱為截面法。軸力圖軸力圖是按選定的比例，以平行于軸線的坐標(biāo)表示橫截面位置，垂直于軸線的坐標(biāo)表示相應(yīng)截面的軸力值，從而得到截面位置坐標(biāo)與相應(yīng)截面軸力間關(guān)系的圖線。三、軸向拉伸和壓縮變形時(shí)的應(yīng)力分析1.橫截面上的應(yīng)力取等直均質(zhì)桿進(jìn)展分析。桿件受力變形前在其側(cè)外表畫兩條垂直于軸線的橫向直線ab和cd。桿件拉伸變形后，可觀看到兩橫向直線仍為直線，只是平行移動(dòng)到a′b′和c′d′。此即為平面假設(shè)。由平面假設(shè)可推知，桿中全部縱向纖維的伸長(zhǎng)相等。又由于假設(shè)材料是均勻的，各點(diǎn)的力學(xué)性能一樣，故各點(diǎn)的正應(yīng)力σ與線應(yīng)變?chǔ)诺年P(guān)系均一樣，所以橫截面上各點(diǎn)正應(yīng)力σ一樣，即橫截面上正應(yīng)力σ均勻分布。AdAσ·dA平行力系。于是按靜力合成的方法可得FN=∫AσdA(2-1)由于正應(yīng)力σ均勻分布，故FN=∫AσdA=σ·A于是得σ=FN/A(2-2)此即為橫截面上正應(yīng)力σ的計(jì)算公式。式中，F(xiàn)N為軸力；A為橫截面面積。正應(yīng)力σ的符號(hào)規(guī)定：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。2.斜截面上的應(yīng)力為了解桿任意斜截面上的應(yīng)力狀況，可用一個(gè)假想的與橫截面夾角為α的斜截面k—k，將桿一分為二，并取左段桿爭(zhēng)論。由該段桿的平衡可得此斜截面上的內(nèi)力，即Fα=F=FN(2-3)仿照前面推論橫截面上正應(yīng)力σ分布變化規(guī)律的方法過(guò)程，可知斜截面上各點(diǎn)處的應(yīng)力也是均勻分布的。假設(shè)以Aα表示斜截面面積，則有幾何關(guān)系A(chǔ)α=Acosα(2-4)于是可得任意斜截面k—kpα=FαAα=FAcosα=σcosα(2-5)將斜截面上應(yīng)力pα分解為垂直于斜截面的正應(yīng)力重量σα和相切于斜截面的切應(yīng)力重量τα，得σα=pαcosα=σcos2α(2-6)τα=pαsinα=σ2sin2α(2-7)式〔2-6〕和式〔2-7〕表示過(guò)拉壓桿內(nèi)任一點(diǎn)的不同截面上的正應(yīng)力σα和切應(yīng)力τα隨α角而轉(zhuǎn)變的規(guī)律。一般而言，斜截面上既有正應(yīng)力σα也有切應(yīng)力τα。四、軸向載荷下材料的力學(xué)性能下面主要以低碳鋼為代表，介紹材料拉伸及壓縮時(shí)的力學(xué)性能。1.低碳鋼拉伸圖及其力學(xué)性能

具體闡述了軸向載荷下低碳鋼及其他常用材料的力學(xué)性能。介紹了軸向拉壓的變形計(jì)算方法，并以實(shí)例加以說(shuō)明。介紹了軸向拉壓變形強(qiáng)度的計(jì)算以說(shuō)明。依據(jù)前面所學(xué)學(xué)問(wèn)力分析。明確任務(wù)。明確課題任務(wù)重點(diǎn)。引入剪切與擠壓變形概念。以鉚釘連接件為的有用計(jì)算方法。低碳鋼是含碳量在0.3％以下的碳素鋼，是工程中使用最廣泛的材料。低碳鋼在拉伸試驗(yàn)中表現(xiàn)出的力學(xué)性能比較全面和典型。依據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，低碳鋼的力學(xué)性能大致如下。(1)彈性階段。(2)屈服階段。(3)強(qiáng)化階段。(4)頸縮破壞階段。強(qiáng)度指標(biāo)和塑性指標(biāo)通過(guò)分析低碳鋼的拉伸過(guò)程可得到衡量材料強(qiáng)度的兩個(gè)重要指標(biāo)——σs和σb。由于材料屈服時(shí)將消滅顯著的塑性變形，而零件的大量塑性變形將影響機(jī)器的正常工作，所以屈服極限σsσb料強(qiáng)度的另一重要指標(biāo)。除強(qiáng)度指標(biāo)外，還可得到衡量材料塑性的兩個(gè)重要指標(biāo)——伸長(zhǎng)率和斷面收縮率。工程上通常按伸長(zhǎng)率的大小把材料分成兩大類，δ＞5％的材料稱為塑性材料；δ＜5％的材料稱為脆性材料。卸載定律及冷作硬化在卸載過(guò)程中，應(yīng)力和應(yīng)變按直線規(guī)律變化，此即為卸載定律。拉力完全解除后，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系圖中，HJ相應(yīng)的一局部變形為卸載后消逝了的彈性變形εe，而OH相應(yīng)的一局部變形表示卸載后殘留下的塑性變形εp。工程上常常利用冷作硬化來(lái)提高材料的彈性階段曲線。如起重鋼索和建筑鋼筋，常用冷從而提高零件外表層的強(qiáng)度。但另一方面，零件初加工后由于冷作硬化而變脆變硬，使材料可持續(xù)加工性能劣化。產(chǎn)生冷作硬化的零件，后續(xù)加工困難且簡(jiǎn)潔產(chǎn)生裂紋，因而往往需要在幾道工序之間安排退火處理，以消退硬化效應(yīng)。其他材料拉伸時(shí)的力學(xué)性能工程上常用的塑性材料，除低碳鋼外，還有中碳鋼、高碳鋼、合金鋼、鋁、鋁合金、青銅、黃銅、銅合金和球墨鑄鐵等。這些材料伸長(zhǎng)率都較大，明顯大于5％，都屬塑性材料。其中有的材料，如16Mn鋼，和低碳鋼一樣有明顯的彈性階段、屈服階段、強(qiáng)化階段和局部變形階段。很多其他材料，如青銅、硬鋁和退火球墨鑄鐵等，沒(méi)有明顯的屈服階段。還有些材Mn對(duì)沒(méi)有明顯屈服極限的塑性材料，通常將產(chǎn)生0.2％塑性應(yīng)變時(shí)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值作為屈服

明擠壓變形的應(yīng)用計(jì)算。依據(jù)前面所學(xué)學(xué)問(wèn)解。明確任務(wù)。明確課題任務(wù)重點(diǎn)。引入了圓軸扭轉(zhuǎn)變形的概念。表達(dá)了力偶矩的分析和計(jì)算方法，通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明扭矩圖的畫法。推導(dǎo)受扭圓桿橫截面上的切應(yīng)力計(jì)算公式并爭(zhēng)論指標(biāo)，并用σ0.2來(lái)表示。該應(yīng)力值可代表屈服極限作為無(wú)明顯屈服階段材料的強(qiáng)度指標(biāo)值。其強(qiáng)度計(jì)算。脆性材料的共同特點(diǎn)是塑性較差，伸長(zhǎng)率δ很小。灰口鑄鐵是典型的脆性材料之一，其拉伸時(shí)的σ-ε曲線是一段微彎曲線，無(wú)明顯直線局部，也沒(méi)有屈服和縮頸現(xiàn)象?；铱阼T鐵在較小的拉應(yīng)力下就被拉斷，拉斷前應(yīng)變很小，橫向尺寸無(wú)明顯變化，伸長(zhǎng)率也很小。通常取應(yīng)力應(yīng)變曲線的割線代替曲線初始局部，并以其割線斜率作為彈性模量，稱為割線彈性模量。鑄鐵拉斷時(shí)的最大應(yīng)力即為其強(qiáng)度極限，由于沒(méi)有屈服現(xiàn)象，強(qiáng)度極限σb是衡量其強(qiáng)度的唯一指標(biāo)。鑄鐵經(jīng)球化處理成為球墨鑄鐵后，力學(xué)性能有顯著變化，不但強(qiáng)度較高，還有較好的塑性。用球墨鑄鐵代替鋼材制造管道、曲軸和齒輪等構(gòu)件具有較好的經(jīng)濟(jì)性。材料壓縮時(shí)的力學(xué)性能比較低碳鋼壓縮時(shí)的σ-ε曲線與拉伸時(shí)的σ-ε曲線可看出：在屈服之前，拉壓兩條圖E和屈服極限σs都與拉伸時(shí)大致一樣。試驗(yàn)說(shuō)明，屈服階段以后，隨著試樣越壓越扁〔呈腰鼓狀狀，試樣單位面積上的受力很難連續(xù)增加，因而壓縮強(qiáng)度極限也就無(wú)法測(cè)出。低碳鋼壓縮時(shí)的主要性能可用拉伸試驗(yàn)測(cè)定。

講解了圓桿扭轉(zhuǎn)變形的強(qiáng)度和剛度計(jì)算方法。依據(jù)前面所學(xué)學(xué)問(wèn)解。明確任務(wù)。鑄鐵的抗壓強(qiáng)度比它的抗拉強(qiáng)度高4～5倍。其他脆性材料的抗壓強(qiáng)度也遠(yuǎn)高于抗拉強(qiáng)度。脆性材料的壓縮性能比拉伸性能更為重要。σp、屈服極限σs、強(qiáng)度極限σb和彈性模量E、伸長(zhǎng)率δ及斷面收縮率ψ2-1中列出幾種常用材料在常溫、靜載下的假設(shè)干主要力學(xué)性能指標(biāo)值。溫度和時(shí)間對(duì)材料力學(xué)性能的影響溫度和時(shí)間對(duì)材料力學(xué)性能的影響相當(dāng)簡(jiǎn)單，下面僅作簡(jiǎn)單介紹。(1)短期靜載下溫度的影響。(2)長(zhǎng)期靜載下溫度的影響。五、軸向拉壓的變形計(jì)算拉壓桿變形的主要現(xiàn)象：在軸向拉力作用下，將引起軸向尺寸伸長(zhǎng)而徑向尺寸縮短；在軸向壓力作用下，將引起軸向尺寸縮短而徑向尺寸伸長(zhǎng)。以下將爭(zhēng)論其變形與受力的關(guān)系問(wèn)題。線應(yīng)變胡克定律六、軸向拉壓變形強(qiáng)度計(jì)算1.許用應(yīng)力與強(qiáng)度條件要保證構(gòu)件不發(fā)生強(qiáng)度破壞，除了與桿件的最大工作應(yīng)力有關(guān)外，還取決于材料強(qiáng)度失效時(shí)的極限應(yīng)力值。工程上將材料消滅斷裂和塑性變形這兩種狀況統(tǒng)稱為強(qiáng)度失效σb和σs兩者都是標(biāo)志構(gòu)件強(qiáng)度失效時(shí)的極限應(yīng)力。為保證有足夠的強(qiáng)度，構(gòu)件在載荷作用下的實(shí)際應(yīng)力〔以后稱為工作應(yīng)力〕應(yīng)低于上述極限應(yīng)力，以留有必要的強(qiáng)度儲(chǔ)藏和安全限度。在考慮了諸多因素后，將確保材料強(qiáng)度足夠而能正常工作的應(yīng)力最高限度分別取為σ=σbnb〔脆性材料〕(2-23)σ=σsns〔塑性材料〕(2-24)式中，σ稱為拉伸〔壓縮〕時(shí)材料的許用應(yīng)力(Pa1nbns數(shù)，其數(shù)值通常是由設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的。為保證軸向拉壓桿件強(qiáng)度足夠而能正常工作，必需使其最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力，即σmax=FNA≤σ(2-25)這就是軸向拉壓桿的強(qiáng)度條件。依據(jù)以上強(qiáng)度條件，對(duì)三種不同狀況可分別進(jìn)展的強(qiáng)度計(jì)算：強(qiáng)度校核，截面選擇，確定許用荷載。假設(shè)桿件的材料、尺寸及載荷狀況〔即間接地知道F(2-25件的強(qiáng)度是否滿足強(qiáng)度條件要求，這一工作即為強(qiáng)度校核。假設(shè)桿件的材料和所受載荷，按上述強(qiáng)度條件選擇桿件的截面面積或幾何尺寸，(3)或構(gòu)造所允許承受的最大載荷值，2.安全因數(shù)確定安全因數(shù)應(yīng)考慮的因素，一般有以下幾個(gè)主要方面。材料質(zhì)量的差異。構(gòu)件尺寸的差異。載荷狀況。構(gòu)件簡(jiǎn)化和計(jì)算方法的準(zhǔn)確程度。工作條件。構(gòu)件的重要性、損壞的后果嚴(yán)峻性、制造和修配的難易程度。安全因數(shù)的數(shù)值可從相關(guān)專業(yè)的一些標(biāo)準(zhǔn)中查到。目前一般機(jī)械制造工程中，對(duì)于靜載

明確任務(wù)重點(diǎn)。矩和載荷集度的微分關(guān)系計(jì)算。表達(dá)了彎曲試驗(yàn)及正應(yīng)力的公式計(jì)算。介紹了等截面直梁在對(duì)稱彎曲情形下幾種常見(jiàn)截面上切應(yīng)力的計(jì)算方式。介紹了梁內(nèi)同時(shí)存在的彎曲正應(yīng)力和彎曲切應(yīng)力的強(qiáng)度條件及計(jì)荷作用下的構(gòu)件，塑性材料可取ns=1.2～2.5。脆性材料質(zhì)量均勻性較差，加之?dāng)嗔寻l(fā)生突然而相應(yīng)危急性較大，所以nbnb＝2～3.53～9。〖任務(wù)實(shí)施〗桿件拉壓變形時(shí)承載力量的求解——校核桿AB的強(qiáng)度并確定許用載荷。

算方式。引入了梁在對(duì)稱彎曲下由彎矩引舉例說(shuō)明積分常數(shù)確實(shí)定以及撓度和轉(zhuǎn)角的計(jì)算?！既蝿?wù)描述〗

2-41任務(wù)二剪切與擠壓變形時(shí)的承載力量計(jì)算

依據(jù)前面所學(xué)學(xué)問(wèn)解。螺栓聯(lián)接件及其尺寸如圖2-50所示，承受拉力F=30kN，螺栓直徑為10mm，t1=8mm，t2=16mm，許用切應(yīng)力τ=120MPa，許用擠壓應(yīng)力σbs=150MPa，拉桿的寬度b=70mm，許用應(yīng)力σ=100MPa，試校核螺栓與拉桿的強(qiáng)度。

明確任務(wù)。明確任務(wù)重點(diǎn)?！既蝿?wù)分析〗

2-50

引入組合變形和疊加原理的概念。生疏典型構(gòu)件剪切與擠壓變形時(shí)的有用計(jì)算?！紝W(xué)問(wèn)預(yù)備〗一、剪切與擠壓變形概念和實(shí)例在工程中，常常需要把一些構(gòu)件相互連接起來(lái)，這些由拉、壓桿組成的工程構(gòu)造物，一般承受鍵、鉚釘、螺栓、銷釘或榫等連接起來(lái)。這些起連接作用的部件，稱為連接件。連接件在工作中主要承受剪切和擠壓作用。鉚釘連接件的破壞有兩種形式。(1)剪切破壞。(2)擠壓破壞。在連接件工作時(shí)，剪切和擠壓是同時(shí)發(fā)生的，它們都可能導(dǎo)致連接破壞。它們的受力及變形比較簡(jiǎn)單，用準(zhǔn)確的理論方法分析它們的應(yīng)力比較困難，因此工程中常依據(jù)構(gòu)件的受力特點(diǎn)和實(shí)踐閱歷，做出一些假設(shè)進(jìn)展簡(jiǎn)化計(jì)算，這種計(jì)算方法稱為有用計(jì)算法。二、剪切變形的有用計(jì)算1.剪切受力和變形特點(diǎn)受力特點(diǎn)連接件受有大小相等、方向相反、作用線相距很近并且垂直于連接件軸線的兩個(gè)外力的作用。變形特點(diǎn)連接件將沿兩外力作用線之間的截面發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)變形。2.剪切力的計(jì)算

介紹了拉伸或壓縮與彎曲的組合〔包括偏心拉伸或壓縮。把握截面核心的例進(jìn)展計(jì)算。剪力Fs首先要計(jì)算鉚釘在剪切面上的內(nèi)力，稱之為剪力，用Fs表示。應(yīng)用截面法將受剪構(gòu)件沿剪切面m—mm—m截面上的內(nèi)力〔即剪力〕與截面相切，由平衡條件可得Fs=F切應(yīng)力τ設(shè)剪切面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力為τ，F(xiàn)s是剪切面上各點(diǎn)處微內(nèi)力τdA的合力。按此假設(shè)計(jì)算的切應(yīng)力實(shí)際上是剪切面上的平均切應(yīng)力，稱之為名義切應(yīng)力。假設(shè)以A表示剪切面面積，則名義切應(yīng)力τ可表示為τ=FsA〔2-26〕剪切強(qiáng)度條件為了保證連接件不被剪斷，要求連接件在工作時(shí)剪切面上的切應(yīng)力τ不得超過(guò)材料的許用切應(yīng)力τ，因此剪切強(qiáng)度條件為τ=FsA≤τ〔2-27〕三、擠壓變形的有用計(jì)算1.擠壓力擠壓面上的壓力稱為擠壓力，用Fbs表示。其大小可依據(jù)被連接件所受的外力，由靜力平衡條件求得。在擠壓面上發(fā)生的變形稱為擠壓變形。擠壓應(yīng)力在擠壓面上應(yīng)力的分布比較簡(jiǎn)單，因此在工程上通常承受擠壓的有用計(jì)算方法，即假設(shè)擠壓應(yīng)力在擠壓面上是均勻分布的，則擠壓應(yīng)力的計(jì)算公式為σbs=FbsAbs〔2-28〕式中，F(xiàn)bsAbs相應(yīng)的強(qiáng)度條件是σbs=FbsAbs≤σbs〔2-29〕擠壓應(yīng)力σbs與直桿壓縮時(shí)的壓應(yīng)力σ不同。壓應(yīng)力σ普及整個(gè)桿件的內(nèi)部，在橫截面上是均勻分布的，而擠壓應(yīng)力σbs則只限于接觸面四周的局部區(qū)域，而且在接觸面上的分布狀況比較簡(jiǎn)單。擠壓面面積的計(jì)算連接件與被連接件的接觸面為平面連接件與被連接件的接觸面為圓柱面〖任務(wù)實(shí)施〗構(gòu)件受剪切和擠壓變形時(shí)的承載力量求解——校核螺栓與拉桿的強(qiáng)度。拉桿與螺栓的受2-57

計(jì)算方法和步驟。把握梁在斜彎曲狀況下的應(yīng)力計(jì)算方法。表達(dá)了梁在斜彎曲狀況下的強(qiáng)度條件及變形計(jì)算。〖任務(wù)描述〗

2-57任務(wù)三圓軸扭轉(zhuǎn)變形時(shí)的承載力量計(jì)算

明確任務(wù)。2-683個(gè)外力偶Me1=800N·m，Me2=1400N·m，Me3=600N·m，明確任務(wù)重點(diǎn)。ACd1=70mm，CDd2=40mm，材料的許用切應(yīng)力τ=50MPaG=80GPa，許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角θ=1.5°/m。 引入壓桿穩(wěn)定性(1)求A、D兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。 和臨界力的概念。(2)校核軸的強(qiáng)度和剛度?！既蝿?wù)分析〗

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把握不同支承條典型構(gòu)件扭轉(zhuǎn)變形的強(qiáng)度、剛度計(jì)算和提高圓軸承載力量的措施?！紝W(xué)問(wèn)預(yù)備〗一、圓軸扭轉(zhuǎn)變形概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)變形的受力特點(diǎn)：桿件在作用面和其軸線相垂直的外力偶作用下將發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。其變形特點(diǎn)：對(duì)等直圓桿來(lái)說(shuō)，其軸線仍舊是直線，但各橫截面將發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。相應(yīng)的桿件外表的縱向線也發(fā)生了傾斜而成為螺旋線。二、圓軸扭轉(zhuǎn)變形時(shí)橫截面的內(nèi)力分析1.力偶矩的計(jì)算圓軸在扭轉(zhuǎn)外力偶作用下會(huì)發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。在很多狀況下僅知道軸的轉(zhuǎn)速和所傳遞的功率，而不知道外力偶矩的大小，這時(shí)就需要依據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出外力偶矩的大小。2.內(nèi)力分析及扭矩圖Me〔如m—m截面〕上的內(nèi)力。假設(shè)將圓桿沿m—m截面分為兩局部，由于圓桿在分割前處于平衡狀態(tài)，所以假想分開(kāi)后的兩局部仍處于平衡狀態(tài)。依據(jù)平衡條件，m—m截面上內(nèi)力系的合力必定為一力偶，用T表示，稱之為扭矩。從兩局部中任選一局部作為爭(zhēng)論對(duì)象，例如選取左邊局部為爭(zhēng)論對(duì)象，對(duì)桿軸線求矩，列平衡方程∑Mx=0，T－Me=0T=Me。材料力學(xué)對(duì)扭矩的符號(hào)規(guī)定：按右手螺旋法則將扭矩表示為矢量，假設(shè)該矢量與截面的外法線方向全都，則扭矩為正，反之為負(fù)。當(dāng)桿件作用有多個(gè)外力偶時(shí)，橫截面上的扭矩將是一個(gè)變量。所以，一般狀況下橫截面上的扭矩是截面位置的函數(shù)。假設(shè)把這個(gè)函數(shù)用圖形表示，稱之為扭矩圖。三、圓桿扭轉(zhuǎn)變形時(shí)橫截面的應(yīng)力分析1.試驗(yàn)爭(zhēng)論取一實(shí)心圓桿，其半徑為R。為了便于觀看圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的外部變樣子況，外加扭轉(zhuǎn)力偶前在圓桿外外表畫上圓周線和縱向線。然后在圓桿兩端加上扭轉(zhuǎn)外力偶Me，使桿發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。一個(gè)角度。各縱向線仍近似為直線，但都傾斜了一個(gè)一樣的微小角度。2.理論分析橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)變分布規(guī)律橫截面上各點(diǎn)的切應(yīng)力分布規(guī)律利用靜力平衡關(guān)系確定單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角四、圓桿扭轉(zhuǎn)變形的強(qiáng)度和剛度計(jì)算圓桿扭轉(zhuǎn)變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算對(duì)等截面受扭圓桿，危急截面發(fā)生在扭矩最大的橫截面上，依據(jù)扭矩圖即可確定危急截面。對(duì)階梯圓桿，需要依據(jù)扭矩圖和桿的幾何尺寸共同確定危急截面。最大切應(yīng)力發(fā)生在危急截面的周邊各點(diǎn)處，要使受扭圓桿不發(fā)生破壞，最大切應(yīng)力τmax必需小于材料的許用切應(yīng)力τ，所以其強(qiáng)度條件為τmax=TWp≤τ〔2-47〕

件下瘦長(zhǎng)壓桿的臨界力計(jì)算方法，推導(dǎo)出歐拉公式。把握不同壓桿的臨界應(yīng)力計(jì)算方的適用范圍。介紹了提高壓桿穩(wěn)定性的方法。利用式〔2-47〕可解決三個(gè)方面的強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題，即強(qiáng)度校核、橫截面尺寸設(shè)計(jì)和許用載荷的計(jì)算。圓桿扭轉(zhuǎn)變形時(shí)的剛度計(jì)算圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的剛度校核〖任務(wù)實(shí)施〗圓軸扭轉(zhuǎn)變形時(shí)承載力量的求解——求如圖2-87〔a〕AD并校核該軸的強(qiáng)度和剛度。2-87任務(wù)四彎曲變形時(shí)的承載力量計(jì)算〖任務(wù)描述〗T2-96所示，材料的許用拉應(yīng)力為σl=30MPa，許用壓應(yīng)力為σa=90MPaδ，并按所確定的截面尺寸計(jì)算梁的許用載荷。2-96T〖任務(wù)分析〗把握典型構(gòu)件彎曲變形時(shí)的承載力量計(jì)算?！紝W(xué)問(wèn)預(yù)備〗一、梁的內(nèi)力1.梁的概念當(dāng)桿件受到矢量方向垂直于軸線的外力或外力偶作用時(shí)，其軸線將由直線變?yōu)榍€。以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲。但凡以彎曲變形為主的桿件，工程上稱為梁。分析計(jì)算時(shí)，通常用梁的軸線代表梁。在工程實(shí)際中，大多數(shù)梁都具有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面，而外力也作用在該對(duì)稱面內(nèi)。在這種狀況下，梁的變形對(duì)稱于縱向?qū)ΨQ面，且變形后的軸線也在對(duì)稱面內(nèi)，即所謂的對(duì)稱彎曲。它是彎曲問(wèn)題中最根本、最常見(jiàn)的狀況。三種常見(jiàn)的靜定梁形式：簡(jiǎn)支梁，兩端分別為固定鉸支座和活動(dòng)鉸支座；懸臂梁，一端固定端約束，一端自由；外伸梁，它是具有一個(gè)或兩個(gè)外伸局部的簡(jiǎn)支梁。作用在梁上的外載荷，常見(jiàn)的有集中力偶、分布載荷和集中力。在實(shí)際問(wèn)題中2.梁的剪力與彎矩前面已經(jīng)介紹了求桿件內(nèi)力的通用方法，即截面法。梁的內(nèi)力重量為剪力和彎矩，規(guī)定當(dāng)剪力相對(duì)于橫截面的轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針時(shí)符號(hào)為正，使桿件發(fā)生上凹下凸的彎矩為正。3.剪力、彎矩和載荷集度的微分關(guān)系首先爭(zhēng)論梁上無(wú)集中載荷的狀況。2-103(aq=q(xxxx+dx2-103(b)。2-103FsM、Fs+dFsM+dM，它們和微段上的分布載q(x)一起組成平衡力系，豎直方向的平衡方程為∑Fy=0,Fs+q(x)dx－(Fs+dFs)=0dFsdx=q(x)(2-52)式(2-52Fs(xq(x)之間的微分關(guān)系。對(duì)右截面形心C取矩，可得平衡方程∑MC〔F〕=0,M+dM－q(x)2(dx)2－Fsdx－M=0略去高階無(wú)窮小q(x)2(dx)2dMdx=Fs(2-53)式(2-53)是彎矩M(x)和剪力Fs(x)之間的微分關(guān)系。將式(2-52)代入式(2-53)，得到彎M(x)和分布載荷q(x)之間的微分關(guān)系d2Mdx2=q(x)(2-54)2-104P見(jiàn)圖2-104(a)，左右兩側(cè)的彎矩一樣，而剪力則發(fā)生突變，其突變量等于P，且彎矩圖消滅尖點(diǎn)；在集中力偶m2-104(b)，其左右兩側(cè)的剪力一樣，而彎矩發(fā)生突變，其突變量等于m。2-104利用剪力Fs(x)、彎矩M(x)和分布載荷q(x)之間的微分關(guān)系，可以對(duì)剪力圖和彎矩圖的形態(tài)作直觀的推斷。(1)q(x)、Fs(xM(x)的函數(shù)階次依次上升一階,q(xM(x)的凸出一側(cè)。(2)在Fs(x)=0M(x)取極值。(3)對(duì)只有集中載荷作用的梁，其剪力圖和彎矩圖肯定是由分段直線構(gòu)成的。二、彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力在一般狀況下，梁的橫截面上存在著正應(yīng)力和切應(yīng)力。正應(yīng)力向橫截面形心簡(jiǎn)化將產(chǎn)生彎矩，而切應(yīng)力的簡(jiǎn)化結(jié)果產(chǎn)生剪力。假設(shè)梁內(nèi)各橫截面的剪力為零而彎矩為常量，即為純彎曲狀態(tài)。這時(shí)梁的橫截面上只存在正應(yīng)力。1.彎曲試驗(yàn)和變形特點(diǎn)取一根對(duì)稱截面梁，在其外表畫上縱線和橫線，然后在梁兩端的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)作用一對(duì)外力偶，使梁處于純彎曲狀態(tài)。從試驗(yàn)中觀看到：橫線仍保持直線且仍與縱線正交，只是橫線間作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)?？v線變?yōu)榍€，上面的縱線縮短，下面的縱線伸長(zhǎng)。依據(jù)上述現(xiàn)象，對(duì)梁內(nèi)變形作如下假設(shè)。平面假設(shè)：變形后橫截面仍保持平面且仍與軸線正交，只是橫截面間作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。單向受力假設(shè)：梁由很多縱向纖維組織，各縱向纖維只受拉伸或壓縮，不存在相互擠壓。對(duì)稱彎曲正應(yīng)力一般公式在對(duì)彎曲變形作出合理的簡(jiǎn)化后，即可通過(guò)對(duì)變形、物理和靜力學(xué)三方面的綜合分析，建立彎曲正應(yīng)力公式。截面的靜矩和慣性矩2-115AOyzyz的靜矩Sy=∫AzdA，Sz=∫AydA由上述定義可看出，同一截面在不同坐標(biāo)系下的靜矩可正可負(fù)可為零，其量綱為長(zhǎng)度的三次方。2-115均質(zhì)等厚薄板的重心與該板平面的形心重合。因此可用求重心的方法來(lái)求截面的形心。假設(shè)某坐標(biāo)軸通過(guò)截面之形心，則稱該軸為截面的形心軸。截面對(duì)形心軸之靜矩為零，反之亦然。此外假設(shè)某一軸為截面的對(duì)稱軸，則該軸為截面的形心軸。截面的慣性矩恒為正，其量綱為長(zhǎng)度的四次方。三、彎曲時(shí)橫截面上的切應(yīng)力矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力bh的矩形截面，截面上沿y軸作用有剪力Fs。假設(shè)橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)y的各點(diǎn)處切應(yīng)力的近似計(jì)算公式為τ=FsS*zbIz(2-65)式中，S*z代表y處橫線外側(cè)的橫截面對(duì)中性軸的靜矩，對(duì)矩形截面S*z=b(h4-y)(h4+y)=b2(h24-y2)將上式及Iz=bh3/12代入式(2-65)，得τ=3Fs2bh(1-4y2h2)(2-66)可見(jiàn)，矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力沿截面高度成拋物線分布。最大切應(yīng)力發(fā)生在中性軸(y=0)處τmax=3Fs2bh=1.5FsA(2-67)1.5h/b≥2h/b=110%。工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力工字形截面由上、下兩翼緣及中間的腹板組成。由于翼緣和腹板都是狹長(zhǎng)矩形，因此可以假設(shè)：腹板(或翼緣)上各點(diǎn)的切應(yīng)力都平行于腹板(或翼緣)側(cè)邊，且沿厚度均勻分布。根據(jù)上述假設(shè)，可導(dǎo)出工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力公式τ=FsS*zδIz(2-68)式中，δ為腹板(或翼緣)的厚度〔m；S*z為y處橫線外側(cè)的橫截面(包括腹板和翼緣)(m2)。簡(jiǎn)潔驗(yàn)證，對(duì)腹板上各點(diǎn)，S*z也是關(guān)于y的二次函數(shù)，因此腹板上的彎曲切應(yīng)力沿腹板高度呈拋物線分布。最大切應(yīng)力同樣發(fā)生在中性軸上，其值取決于S*zmax/Iz，對(duì)于工字形鋼，該比值可直接由型鋼表查得。腹板上最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力相差甚小，當(dāng)腹板厚度遠(yuǎn)小于翼緣寬度時(shí)，這種現(xiàn)象更為明顯。因此，腹板上切應(yīng)力可近似看成是均勻分布的。圓形截面的彎曲切應(yīng)力圓截面梁的最大彎曲切應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上，且中性軸上各點(diǎn)的切應(yīng)力都近似平行于剪力。這樣仍可利用式(2-68)計(jì)算截面上的最大彎曲切應(yīng)力τmax=FsS*zmaxdIz式中，d為圓截面的直徑，S*zmaxS*zmax=πd28·3d2π=d312由此可得到圓截面梁的最大彎曲切應(yīng)力τmax=FsS*zmaxdIz=4Fs3A(2-69)與準(zhǔn)確解相比，式(2-694%。四、彎曲強(qiáng)度條件及應(yīng)用1.彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件由式(2-58)可知，最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，而此處的切應(yīng)力為零或很小。因而可以處理成單向受力狀態(tài)，建立起彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件σmax=MWz≤［σ］(2-70)上述強(qiáng)度條件僅適用于許用拉應(yīng)力［σ+］與許用壓應(yīng)力［σ-］一樣的材料。由式(2-70Wz措施有：選用合理的截面外形。合理安排梁的約束與加載方式。2.彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件彎曲切應(yīng)力的最大值通常發(fā)生在中性軸上各點(diǎn)處，而此處正應(yīng)力為零，是純剪切應(yīng)力狀態(tài)，相應(yīng)的彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件τmax=FsS*zmaxdIz≤［τ］(2-71)五、梁的彎曲變形計(jì)算1.撓曲線近似微分方程梁變形的主要特征是梁軸線變成了曲線，該曲線稱為撓曲線。在發(fā)生對(duì)稱彎曲時(shí)，撓曲線與外力的作用平面重合或平行，是一條光滑平坦的平面曲線。沿變形前的梁軸線選取x軸，豎直向上為y軸。梁橫截面的形心沿y軸的橫向線位移，稱為橫截面的撓度，表示為w。任一截面的撓度w是截面位置xw=f(x)(2-72)依據(jù)平面假設(shè)，橫截面變形后仍舊保持平面，且仍垂直于變形后的軸線。因此，任一橫截面的轉(zhuǎn)角就是該處撓曲線的切線與xθ表示。在小變形假設(shè)θ≈tanθ=df(x)dx=w′(x)(2-73)式(2-730.01751式(2-73)完全能滿足工程上的要求。應(yīng)當(dāng)指出梁軸線彎成曲線后，在x方向也會(huì)產(chǎn)生軸向變形。但瘦長(zhǎng)梁在小變形條件下，其軸向變形與撓度相比屬于高階微量，一般可略去不計(jì)。純彎曲狀態(tài)下用中性層曲率表示的彎曲變形公式為式假設(shè)無(wú)視剪力對(duì)變形的影響，上式也適用于一般非純彎曲。撓曲線w=f(x)的曲率為1ρ=w″(x)1+w′(x)21.5在小變形條件下，梁的轉(zhuǎn)角θ=w1/ρ可近似為1ρ≈w″(x)(2-74)將式(2-74)代入式(2-56)，即可得到撓曲線近似微分方程w″(x)=MEIz(2-75)式(2-75)適用于在線彈性范圍和小變形的條件下的對(duì)稱彎曲梁。2.積分法求撓曲線及轉(zhuǎn)角方程將撓曲線近似微分方程(2-75)積分，即可得轉(zhuǎn)角方程和撓度方程θ(x)=∫MEIdx+C(2-76)w(x)=∫(∫MEIdx)dx+Cx+D(2-77)式(2-76)和式(2-77)中C、D為積分常數(shù)，可利用梁的位移邊界條件來(lái)確定。3.求彎曲變形在小變形條件下，當(dāng)梁內(nèi)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，撓曲線近似微分方程式(2-75)是一個(gè)線性微分方程，因此可應(yīng)用疊加法來(lái)求解梁的變形。即梁在幾項(xiàng)載荷同時(shí)作用下，任一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角，等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)在該截面處引起的撓度和轉(zhuǎn)角之和?！既蝿?wù)實(shí)施〗解：為了到達(dá)合理截面要求，必需使同一橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力之比σlmax/σamax等于相應(yīng)的拉、壓許用應(yīng)力之比［］/［σ，這樣當(dāng)荷載增大時(shí)，截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力將同時(shí)到達(dá)容許應(yīng)力，受拉區(qū)和受壓區(qū)的材料可以同樣程度地發(fā)揮潛力?！既蝿?wù)描述〗

任務(wù)五組合變形的強(qiáng)度計(jì)算有一屋桁架構(gòu)造如圖2-145〔a〕所示。屋面坡度為1∶2，兩桁架之間的距離為4m，1.5m，屋面重〔包括檁條〕1.4kN/m2120mm×180mm形截面，所用松木的彈性模量E=10GPa，許用應(yīng)力［σ］=10MPa，許可撓度［f］=l200，試校核木檁條的強(qiáng)度和剛度。2-145〖任務(wù)分析〗把握典型構(gòu)件斜彎曲變形時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算。〖學(xué)問(wèn)預(yù)備〗一、組合變形和疊加原理的概念桿件的變形是由兩種或兩種以上的根本變形的組合時(shí)，稱為組合變形?？梢圆豢紤]因變形而引起的尺寸變化。在小變形假設(shè)和胡克定律有效的狀況下可依據(jù)疊加原理來(lái)處理?xiàng)U件的組合變形問(wèn)題。即首先將桿件的變形分解為根本變形，然后分別考慮桿件在每一種根本變樣子況下所發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變或位移，最終再將它們疊加起來(lái)，即可得到桿件在組合變樣子況下所發(fā)生的應(yīng)力、應(yīng)變或位移。為了便于讀者爭(zhēng)論桿件的組合變形問(wèn)題，表2-4列出了桿件在四種根本變樣子況下的外力、內(nèi)力、應(yīng)力和變形的計(jì)算公式以及強(qiáng)度條件，作為前面內(nèi)容的小結(jié)。二、拉壓和彎曲組合變形假設(shè)作用在桿上的外力除軸向力外，還有橫向力，則桿將發(fā)生拉伸或壓縮與彎曲的組合變形。矩形等截面石墩同時(shí)受到水平方向的土壓力和豎直方向的自重作用。明顯土壓力會(huì)使它發(fā)生彎曲變形，而自重則會(huì)使它發(fā)生壓縮變形。因石墩的橫截面積AI都比較大，在受力后其變形很小，故可以無(wú)視其壓縮變形和彎曲變形間的相互影響，并依據(jù)疊加原理求得石墩任一截面上的應(yīng)力。現(xiàn)爭(zhēng)論距墩頂端的距離為x的任意截面上的應(yīng)力。由于自重作用，在此截面上將引起均勻分布的壓應(yīng)力σN=N(x)A由于土壓力的作用，在同一截面上離中性軸Oz的距離為y的任一點(diǎn)處的彎曲應(yīng)力σq=M(x)yIz依據(jù)疊加原理，在此截面上離中性軸的距離為y的點(diǎn)上的總應(yīng)力σ=σN+σq=N(x)A+M(x)yIz應(yīng)用上式時(shí)留意將N(x)、M(x)、y的大小和正負(fù)號(hào)同時(shí)代入。石墩橫截面上應(yīng)力N、q和σ的分布狀況一般如圖2-14c〔de〕土壓力和自重大小的不同，總應(yīng)力σ的分布也可能有如圖2-149〔f〕或〔g〕所示的狀況。2-149石墩的最大正應(yīng)力σmaxσmin，都發(fā)生在最大彎矩MmaxNmax所在的截面上離中性軸最遠(yuǎn)處。故石墩的強(qiáng)度條件為σmax=NmaxA+MmaxW≤［σ〔2-7〕三、偏心拉伸〔壓縮〕截面核心當(dāng)桿受到與桿軸線平行但不通過(guò)其截面形心的集中壓力P作用時(shí)，桿處在偏心壓縮的狀況下。1.單向偏心受壓因壓力PN和同樣的彎矩M。依據(jù)疊加原理，可求得桿任一橫截面上任一點(diǎn)處的正應(yīng)力σ=NA±MyIz〔2-79〕在應(yīng)用式〔2-79〕時(shí)，對(duì)其次項(xiàng)前的正負(fù)號(hào)一般可依據(jù)彎矩M的轉(zhuǎn)向憑直觀來(lái)選定，即當(dāng)M對(duì)計(jì)算點(diǎn)處引起的正應(yīng)力為壓應(yīng)力時(shí)取正號(hào)，為拉應(yīng)力時(shí)取負(fù)號(hào)。但應(yīng)留意在這種狀況下，My最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力分別發(fā)生在截面的兩個(gè)邊緣上，其計(jì)算公式為σmaxmin=NA±MW〔2-80〕式中，A為桿的橫截面面積(m2)；W(m3)。對(duì)矩形截面偏心受壓桿，從偏心力P所在的位置可以看出，在任一橫截面上，最大的正應(yīng)力發(fā)生在邊緣BC上。在邊緣ADNM大的拉應(yīng)力或在該處的應(yīng)力等于零。假設(shè)將矩形截面的面積A=bh，抗彎截面模量Wz=bh26和截面上的彎矩M=Ne代入式2-80，即可將其改寫為σmaxmin=Nbh±6Nebh2=Nbh1±6eh〔2-81〕2.雙向偏心受壓當(dāng)偏心壓力P的作用點(diǎn)E不在橫截面的任一形心主軸上時(shí)，力P可簡(jiǎn)化為作用在截面形O處的軸向壓力P和兩彎曲力偶my=Pez，mz=Pey。故在桿任一橫截面上的內(nèi)力，將包括軸N=P和彎矩My=Pez、Mz=Pey。依據(jù)疊加原理，可得到桿橫截面上任一點(diǎn)〔y，z〕處的正應(yīng)力計(jì)算公式為σ=NA+MyzIy+MzyIz=PA+PezzIy+PeyyIz〔2-82〕式中，IyIzyz與斜彎曲的疊加。〔2-8中的ez或ey〔2-7是依據(jù)力P為了進(jìn)展強(qiáng)度計(jì)算，我們需要求出在截面上所產(chǎn)生的最大正應(yīng)力和最小正應(yīng)力，為此需先確定出中性軸的位置。同樣，依據(jù)中性軸的概念可將=0代入式2-8，求得中性軸的方程為PA+PezzIy+PeyyIz=0Iy=Ar2y、Iz=Ar2z1+ezzr2y+eyyr2z=0〔2-83〕式〔2-83〕這個(gè)方程是始終線方程，故中性軸為始終線。由式〔2-83〕還可看出，坐標(biāo)y和z不能同時(shí)為零，故中性軸不通過(guò)截面的形心。至于中性軸是在截面之內(nèi)還是在截面之外，則與力P的作用點(diǎn)E的位置eez〕有關(guān)。將z=0和y=0分別代入式2-8，即可求得中性軸與軸yzay、azay=-r2zeyaz=-r2yez〔2=84〕由式〔2-84〕可以看出，ey、ezay、azP靠近，截面的中性軸就離截面形心愈遠(yuǎn)，甚至?xí)频浇孛嬉酝馊?。中性軸不在截面上面，則意味著在整個(gè)截面上只有壓應(yīng)力作用。3.截面核心承受使偏心壓力P向截面形心靠近〔即減小偏心距ey，ez〕的方法，可使桿橫截面上的正應(yīng)力全部為壓應(yīng)力而不是拉應(yīng)力。當(dāng)偏心壓力作用在截面的某個(gè)范圍以內(nèi)時(shí)，中性軸的位置將在截面以外或與截面周邊相切，這樣在整個(gè)截面上就只會(huì)產(chǎn)生壓應(yīng)力。通常把截面上的這個(gè)范圍稱為截面核心。Oy與Oz，然后過(guò)截面周邊上的任意一點(diǎn)F′作與周邊相切的中性軸f—f，并求出它在兩坐標(biāo)軸上的ayaz，ayaz〔2-84〕求得eyez，它們就是與中性軸f—f偏心壓力作用點(diǎn)F的坐標(biāo)。依據(jù)同樣的方法，由與截面周邊相切的一系列中性軸，可求得一將定點(diǎn)B的坐標(biāo)yBzB〔2-83〕可以得到ey=-r2zyB-r2zzBr2yyBez因截面的外形不變，其A、Iy、Iz均為定值，故上式中的ry、rz也都是常數(shù)，ey、ez間的關(guān)系是線性關(guān)系。四、扭轉(zhuǎn)與彎曲組合變形前面爭(zhēng)論桿件的扭轉(zhuǎn)時(shí)只考慮了扭矩對(duì)桿的作用。實(shí)際上工程中的很多受扭桿件，在發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形的同時(shí)，還常會(huì)發(fā)生彎曲變形，當(dāng)這種彎曲變形不能無(wú)視時(shí)，則應(yīng)按彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形問(wèn)題來(lái)處理。1.內(nèi)力計(jì)算d的機(jī)軸，在軸的左端有一重量為WR帶中的拉力為T和〔t，軸的右端為一曲柄，曲柄把手上的力P總是垂直于曲柄平面。為了求得在機(jī)軸各個(gè)截面上的扭矩MM和剪力Fs當(dāng)力＋tPWA與B可以看做是鉸支座。這樣，豎直力W使機(jī)軸在豎直平面內(nèi)引起的彎矩圖如圖2-165〔a〕所示，水平力〔T+t〕和P使機(jī)軸在水平面內(nèi)引起的彎矩圖如圖2-165〔b〕所示。在機(jī)軸每個(gè)橫截面上的總彎矩應(yīng)等于在豎直方向的彎矩和在水平方向的彎矩的幾何疊加。2-165用類似的計(jì)算方法也可求出在機(jī)軸各個(gè)橫截面上的剪力。2.應(yīng)力計(jì)算由于扭矩Mn的作用，在圓截面上產(chǎn)生剪應(yīng)力τ=MnρIp，它在圓截面的邊緣ρ=d2到達(dá)最大值τn=MnWp，方向與圓截面的周邊相切。對(duì)于實(shí)心圓軸，其抗扭截面模量Wp=πd316。彎矩M作用在水平面上，使圓形截面水平直徑的兩端點(diǎn)處產(chǎn)生最大正應(yīng)力σM=MW，如圖2 166〔b〕所示。對(duì)實(shí)心圓軸來(lái)說(shuō)，其抗彎截面模量W=πd332WpWp=2W系。機(jī)軸彎曲時(shí)，剪力Q在圓軸截面上產(chǎn)生的剪應(yīng)力仍可用公式τ=QSbI計(jì)算，最大剪應(yīng)力τQ=43QA=16Q3πd2由上面的分析可知，各種應(yīng)力的最不利組合狀況確定會(huì)發(fā)生在最大彎矩和最大扭矩所作用的橫截面的邊緣處。在工程實(shí)際中，因作用在實(shí)心圓軸上的τQ一般都很小，往往可無(wú)視不計(jì)。假設(shè)在機(jī)軸上還作用有軸力N，它會(huì)在截面上產(chǎn)生正應(yīng)力σN=NA。在這種狀況下，應(yīng)將σN與σM〔2-85〕中的σM。3.強(qiáng)度校核當(dāng)構(gòu)件處在扭轉(zhuǎn)和彎曲組合變形的狀況下時(shí)，由其中取出的單元體一般是處在簡(jiǎn)單應(yīng)力再依據(jù)所選擇的強(qiáng)度理論，列出相應(yīng)的強(qiáng)度條件，進(jìn)展強(qiáng)度校核。五、斜彎曲橫截面有豎向?qū)ΨQ軸〔即形心主軸〕的梁，假設(shè)全部的外力都作用在包含此豎向?qū)ΨQ軸與梁軸線的縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)，則梁在發(fā)生彎曲變形時(shí)，其彎曲平面〔即撓曲軸線所在平面〕將與外力的作用平面相重合，并將梁的這種彎曲叫作平面彎曲。具有非對(duì)稱截面的梁，只有當(dāng)外力通過(guò)其彎曲中心，且作用在與其形心主慣性平面平行的平面內(nèi)時(shí)，它才會(huì)只發(fā)生平面彎曲。處理梁的斜彎曲問(wèn)題的方法：首先將外力分解為梁的兩形心主慣性平面內(nèi)的重量，然后分別求解由每一外力重量引起的梁的平面彎曲問(wèn)題，將所得的結(jié)果疊加起來(lái)即為斜彎曲問(wèn)題的解答。梁在斜彎曲狀況下的應(yīng)力如圖2-169所示的懸臂梁，當(dāng)在其自由端作用有一與截面縱向形心主軸成一夾角φ的集中載荷P〔P的作用線處在yOz坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)彎曲。假設(shè)要求在此懸臂梁中距固定端距離為x〔y,z〕的任一點(diǎn)A應(yīng)力，可依據(jù)以下步驟進(jìn)展。2-169將載荷Py,zPy=Pcosφ和Pz=PsinφPyPzxOyxOz產(chǎn)生的彎矩為My=Pz(l-x)=P(l-x)sinφ=MsinφMz=Py(l-x)=P(l-x)cosφ=Mcosφ〔2-88〕其中的M表示斜向載荷PAσ=MyzIy+MzyIz=MsinφIyz+McosφIzy=MsinφIyz+cosφIzy〔2-89〕式〔2-89〕是計(jì)算梁在斜彎曲狀況下其橫截面上正應(yīng)力的一般公式，它適用于具有任意支承形式和通過(guò)截面形心且垂直于梁軸的任意載荷作用下的梁。同樣，載荷P使梁發(fā)生斜彎曲時(shí)，在梁橫截面上所引起的剪應(yīng)力，也可將由Py、Pz分別引起的剪應(yīng)力τyτzτyτz時(shí)是幾何疊加，即τ=τ2y+τ2z〔2-90〕梁在斜彎曲狀況下的強(qiáng)度條件在工程設(shè)計(jì)計(jì)算中，通常認(rèn)為梁在斜彎曲狀況下的強(qiáng)度仍是由最大正應(yīng)力來(lái)掌握。因橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在離中性軸最遠(yuǎn)處，故要求得最大正應(yīng)力，必需先確定中性軸的位置。由于在中性軸上的正應(yīng)力為零，故可用將σ=0〔2-89〕的方法得到中性軸的方程y0和z0則有σ=MsinφIyz0+cosφIzy0=0z0Iysinφ+y0Izcosφ=0〔2-91〕中性軸與z軸間的夾角α，即：tanα=y0z0=IzIytanφ〔2-92〕在一般狀況下，Iy≠Iz，故α≠φ，即中性軸不垂直于載荷作用平面。只有當(dāng)φ=0°，φ=90°或Iy=Izα=φ，中性軸才垂直于載荷作用平面。梁的最大正應(yīng)力明顯會(huì)發(fā)生在最大彎矩所在截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處。σmax=MmaxsinφIyz1+cosφIzy1σmin=-MmaxsinφIyz2+cosφIzy2〔2-93〕對(duì)于具有凸角且又有兩條對(duì)稱軸的截面〔如矩形、工字形截面等〕，因y1=y2=ymax，z1=z2=zmax，故σmax=σmin。這樣，當(dāng)梁所用材料的抗拉、抗壓力量一樣時(shí)，其強(qiáng)度條件就可寫為σmax=MmaxzmaxsinφIy+ymaxcosφIz=MmaxWzcoφ+WzWysiφ≤［σ〔2-9〕式中，Wz=Izymax，Wy=Iyzmax。梁在斜彎曲狀況下的變形梁在斜彎曲狀況下的變形，也可依據(jù)疊加原理求得。任務(wù)六瘦長(zhǎng)壓桿穩(wěn)定性分析〖任務(wù)描述〗2-189所示，兩端鉸接的桿AB由鋼管制成，材料為Q235［σ］=140MPaD20kNAB2-189〖任務(wù)分析〗把握瘦長(zhǎng)壓桿穩(wěn)定性的校核步驟?！紝W(xué)問(wèn)預(yù)備〗一、壓桿穩(wěn)定性和臨界力的概念前面爭(zhēng)論了桿件的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題。在工程實(shí)際中，構(gòu)件除了因強(qiáng)度、剛度不夠而不能正常工作之外，還有一種破壞形式就是失穩(wěn)現(xiàn)象。構(gòu)件的失穩(wěn)往往是突然發(fā)生的，因而其危害性也較大。桁架中的壓桿、薄殼構(gòu)造及薄壁容器等，在壓力過(guò)大時(shí)都可能發(fā)生失穩(wěn)。平衡的穩(wěn)定性穩(wěn)定和不穩(wěn)定是對(duì)物體的平衡性質(zhì)而言。任何物體的平衡狀態(tài)都有穩(wěn)定和不穩(wěn)定狀態(tài)的區(qū)分。彈性壓桿穩(wěn)定平衡的臨界力為了保證壓桿工作安全牢靠，必需使壓桿處于直線平衡形式，因而壓桿是以臨界力作為其極限承載力量的。推斷實(shí)際壓力與臨界壓力的關(guān)系，就能判定該壓桿所處的平衡狀態(tài)是否穩(wěn)定。可見(jiàn)設(shè)法求出壓桿的臨界壓力是解決壓桿穩(wěn)定問(wèn)題的關(guān)鍵。二、不同支承條件下瘦長(zhǎng)壓桿的臨界力1.兩端鉸支瘦長(zhǎng)壓桿的臨界力試驗(yàn)說(shuō)明，壓桿的臨界力與壓桿兩端的支承狀況有關(guān)。實(shí)際上依據(jù)壓桿失穩(wěn)是由直線平衡形式轉(zhuǎn)變?yōu)閺澢胶庑问降倪@一重要概念，可以知道，但凡影響彎曲變形的因素，如截面的抗彎剛度EI，桿件長(zhǎng)度l和兩端的約束狀況，都會(huì)影響壓桿的臨界壓力。下面首先以兩端鉸支壓桿為例，求其Fcr。設(shè)兩端鉸支中心受壓的等截面瘦長(zhǎng)直桿如圖2-193〔a〕所示。2-193長(zhǎng)度為l，設(shè)壓桿處于臨界狀態(tài)，并具有微彎的平衡形式，撓曲線中點(diǎn)處撓度為δ。如2-193〔b〕所示，建立y—x坐標(biāo)系，則任意截面沿xω=fx，該截面的內(nèi)力FNx=-Fcr，Mx=Fcrω〔2-97〕在圖示坐標(biāo)系中，依據(jù)撓曲線近似微分方程d2ωdx2=-MxEI，得到d2ωdx2=-FcrEIω〔2-98〕k2=FcrEI，得微分方程d2ωdx2+k2ω=0〔2-99〕此方程的通解為=Asinkx+Bcosk〔、、k是3個(gè)待定常數(shù)〔2-10〕利用桿端的約束條件，由x=0時(shí)ω=0，得B=0，可知壓桿的撓曲線為正弦函數(shù)ω=Asinkx〔2-101〕x=l2ω=δ，得A=δsinkl/2最終由x=lω=0，得coskl/2=0，則kl2=nπ2(n=1,3,5,……)其最小解為n=1kl=FcrEIl=π〔2-102〕Fcr=π2EIl2〔2-103〕式〔2-103〕即為兩端鉸支等截面瘦長(zhǎng)中心受壓桿Fcr的計(jì)算公式，稱為歐拉公式。下面爭(zhēng)論幾個(gè)主要的問(wèn)題。I值應(yīng)取壓桿橫截面的Imin。導(dǎo)出歐拉公式時(shí)，用變形以后的位置計(jì)算彎矩，這里不再使用原始尺寸，這是穩(wěn)定問(wèn)題在處理方法上與以往不同的地方。在Fcr作用下，kl=nπ，令n=1，k=πl(wèi)，代入解得ω=δsinπxl，因此可以看出撓曲線是半波正弦曲線。2.其他支承條件下瘦長(zhǎng)壓桿的臨界力對(duì)于在其他支承條件下的瘦長(zhǎng)壓稈，其臨界壓力也可以仿照上述同樣的方法來(lái)確定，它們之間的區(qū)分只是在于撓曲線的近似微分方程和相應(yīng)的邊界條件的不同。限于篇幅這里不再一一推導(dǎo)。綜合起來(lái)，歐拉公式的一般形式為Fcr=π2EIμl2〔2-104〕式中，μl稱為相當(dāng)長(zhǎng)度(mμμ=1μ≈0.7；兩端固定時(shí),μ=0.5；一端固定、一端自由時(shí),μ=2。由此可知，桿端的約束愈強(qiáng)，則μ值愈小，壓桿的臨界壓力愈高，壓桿就越不易失穩(wěn)；桿端的約束愈弱，則μ值愈大，壓桿的臨界壓力愈低，壓桿就越簡(jiǎn)潔失穩(wěn)。各種支承狀況下2-5三、不同壓桿的臨界應(yīng)力計(jì)算1.臨界應(yīng)力和柔度的概念實(shí)際上，歐拉公式只有在彈性范圍內(nèi)才是適用的。為了推斷壓桿失穩(wěn)時(shí)是否處于彈性范圍，以及超出彈性范圍后臨界壓力的計(jì)算問(wèn)題，引入臨界應(yīng)力及柔度的概念。壓桿在臨界壓力作用下，其在直線平衡位置時(shí)橫截面上的應(yīng)力稱為臨界應(yīng)力，用σcr表示。壓桿在彈性范圍內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，當(dāng)壓力到達(dá)臨界壓力時(shí)壓桿橫截面上的臨界應(yīng)力為σcr=FcrA=π2Eμl2·IA〔2-105〕假設(shè)把壓桿橫截面的慣性矩II=i2A式中，i為壓桿橫截面對(duì)中性軸的慣性半徑(m)。于是臨界應(yīng)力可以寫成σcr=π2Eμl2·i2=π2Eμli2〔2-106〕即λ=μli〔2-107〕明顯λ1〔或稱柔度。它集中反映了壓桿的長(zhǎng)度、約束條件、截面尺寸和外形等因素對(duì)臨界應(yīng)力σcr的影響。由于引用了柔度λ，故臨界應(yīng)力的計(jì)算公式可以寫成σcr=π2Eλ2〔2-108〕2.歐拉公式適用范圍由于歐拉公式是由桿件彎曲變形時(shí)撓曲線的近似微分方程d2ωdx2=-MxEI導(dǎo)出的，而這個(gè)微分方程只有在小變形和材料聽(tīng)從胡克定律的前提下才成立。所以只有當(dāng)壓桿的臨界應(yīng)力σcrσp〔2-106〕和式