類型十六、因式分解的新定義（解析版）

類型十六、因式分解的新定義【解惑】同類型三。【融會貫通】1．若一個(gè)正整數(shù)是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)或連續(xù)偶數(shù)的乘積，即，其中為正整數(shù)，則稱為“半平分?jǐn)?shù)”，為的“半平分點(diǎn)”．例如，，則35是“半平分?jǐn)?shù)”，5為35的半平分點(diǎn)．(1)是80的“半平分點(diǎn)”，則______；的“半平分?jǐn)?shù)”“半平分點(diǎn)”為1，則______；當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，整數(shù)______．(2)把“半平分?jǐn)?shù)”與“半平分?jǐn)?shù)”的差記為，其中，，例如，，，則．若“半平分?jǐn)?shù)”的“半平分?jǐn)?shù)”為，“半平分?jǐn)?shù)”的“半平分點(diǎn)”為，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)8；3；或或1或5(2)的值為或．【詳解】（1）解：∵，∴；∵，∴；∵為正整數(shù)，∴或2或4或8，整數(shù)或或1或5；（2）解：∵，，，∴，∴，即，∵s、t都是正整數(shù)，∴、都是正整數(shù)，∵，∴或或或，解得(舍)或或或(舍)，∴的值為或．2．若一個(gè)兩位正整數(shù)的個(gè)位數(shù)為4，則稱為“好數(shù)”．(1)求證：對任意“好數(shù)”，一定為20的倍數(shù)．(2)若，且，為正整數(shù)，則稱數(shù)對為“友好數(shù)對”，規(guī)定：，例如，稱數(shù)對為“友好數(shù)對”，則，求小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對”的的最大值．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：設(shè)，，且為整數(shù)，∴∵，且為整數(shù)，∴是正整數(shù)，∴一定是20的倍數(shù)；（2）∵，且，為正整數(shù)，∴，當(dāng)時(shí)，，沒有滿足條件的，，當(dāng)時(shí)，，∴滿足條件的有或，解得或，∴或，當(dāng)時(shí)，，沒有滿足條件的，，當(dāng)時(shí)，，∴滿足條件的有，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，沒有滿足條件的，，當(dāng)時(shí)，，∴滿足條件的有或，解得或，∴或，∴小于70的“好數(shù)”中，所有“友好數(shù)對”的的最大值為．3．材料一：一個(gè)三位數(shù)M，若它的各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，且滿足十位上的數(shù)字的平方等于百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之積的k倍（k為整數(shù)），則稱M為“k階比例中項(xiàng)數(shù)”；材料二：一個(gè)三位數(shù)，它的百位數(shù)字和十位數(shù)字組成的兩位數(shù)為，十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)為，規(guī)定；例如：244，因?yàn)?，其中?是整數(shù)，所以244是“2階比例中項(xiàng)數(shù)”，；又如：321，因?yàn)?，但不是整?shù)，所以321不是一個(gè)“階比例中項(xiàng)數(shù)”，．(1)363是“___________階比例中項(xiàng)數(shù)”；最大的“3階比例中項(xiàng)數(shù)”為___________；(2)若（其中，，，均為正整數(shù)，且為偶數(shù)）是一個(gè)“階比例中項(xiàng)數(shù)”，且被7除余1，求出所有滿足條件的N．【答案】(1)4；993(2)221或461【詳解】（1）解：（1），是“4階比例中項(xiàng)數(shù)”；若一個(gè)三位數(shù)是“3階比例中項(xiàng)數(shù)”那百位和個(gè)位數(shù)字積的3倍是十位上數(shù)字的平方，設(shè)這個(gè)三位數(shù)為，則，且，其中，均為整數(shù)，且均在1到9之間，為3的倍數(shù)，可能是3，6，9，若這個(gè)數(shù)最大，即當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)，時(shí)，這個(gè)三位數(shù)最大，為993．（2）由題意可知，，，是7的倍數(shù)，，，，均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，可能是2，4，6，8，當(dāng)時(shí)，的值為1、2、4，，當(dāng)，時(shí)，不是7的倍數(shù)，不符合題意；當(dāng)，時(shí)，是7的倍數(shù)，符合題意，此時(shí)；當(dāng)，時(shí)，不是7的倍數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，的值為1、2、4，，同理，當(dāng)時(shí)，均不符合題意；當(dāng)時(shí)，的值為1、2、3、4，，同理，當(dāng)時(shí)，符合題意，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，的值為1、2、4，，同理，當(dāng)時(shí)，均不符合題意；綜上，符合條件的有221或461．4．對任意一個(gè)三位數(shù)，如果滿足各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，則稱這個(gè)數(shù)為“幸福數(shù)”，將的百位數(shù)字調(diào)到個(gè)位可以得到一個(gè)新的三位數(shù)，不斷重復(fù)此操作共可得到兩個(gè)不同的新三位數(shù)，把這兩個(gè)新數(shù)與原數(shù)的和與111的商記為．例如，456是“幸福數(shù)”，不斷將456的百位數(shù)字調(diào)到個(gè)位可得564，645，．(1)求，．(2)已知，（，，為整數(shù)），若、均為“幸福數(shù)”，且可被6整除，求的值．【答案】(1)，(2)18【詳解】（1）解：，；（2）解：、均為“幸福數(shù)”，且，且且，，且，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，，，當(dāng)，，且，時(shí)，可被6整除，或或，由得，(舍去)，由得，或或或，都不符合題意，故舍去，同理，也沒有符合要求的x、y的值；當(dāng)，，且，，且，，時(shí)，可被6整除，或或，同理，可得或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，不合題意舍去，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，，合題意，，5．一個(gè)兩位數(shù)M，若將十位數(shù)字2倍的平方與個(gè)位數(shù)字的平方的差記為數(shù)N，當(dāng)N＞0時(shí)，我們把N放在M的右邊將所構(gòu)成的新數(shù)叫做M的“疊加數(shù)”．例如：M＝47，∵N＝(2×4)2－72＝15>0，∴47的“疊加數(shù)”為4715；M＝26，∵N＝(2×2)2－62＝－20＜0，∴26沒有“疊加數(shù)”．(1)請判斷3420和5846是否為某個(gè)兩位數(shù)的“疊加數(shù)”，并說明理由；(2)兩位數(shù)M＝10a＋b（1≤a≤9,1≤b≤4，且a、b均為整數(shù)）有“疊加數(shù)”，且12a－M－N能被13整除，求所有滿足條件的兩位數(shù)M的“疊加數(shù)”．【答案】(1)3420是34的“疊加數(shù)”；5846不是58的“疊加數(shù)”；(2)71195或83247或5484或62140．【詳解】（1）解：M＝34，∵N＝(2×3)2－42＝20>0，∴34的“疊加數(shù)”為3420；M＝58，∵N＝(2×5)2－82＝36＜0，∴58的“疊加數(shù)”為5836；∴3420是34的“疊加數(shù)”；5846不是58的“疊加數(shù)”；（2）解：∵M(jìn)＝10a＋b，∴N＝(2a)2－b2，∴12a－M－N；，，，∵12a－M－N能被13整除，1≤a≤9,1≤b≤4，且a、b均為整數(shù)；∴和至少有一個(gè)能被13整除，∵1≤a≤9，1≤b≤4，∴2≤≤17，-21≤≤-2，當(dāng)=13時(shí)，a=7，b=1或a=8，b=3；當(dāng)=-13時(shí)，a=5，b=4或a=5，b=2，當(dāng)a=7，b=1時(shí)，M的疊加數(shù)為71195；當(dāng)a=8，b=3時(shí)，M的疊加數(shù)為83247；當(dāng)a=5，b=4時(shí)，M的疊加數(shù)為5484；當(dāng)a=6，b=2時(shí)，M的疊加數(shù)為62140．綜上，滿足條件的兩位數(shù)M的“疊加數(shù)”為71195或83247或5484或62140．∴或，當(dāng)時(shí)，若，則，，其“疊加數(shù)”為71224；若，則，，其“疊加數(shù)”為83247；當(dāng)時(shí)，若，則，，其“疊加數(shù)”為5296；若，則，，其“疊加數(shù)”為4448；6．對于一個(gè)四位自然數(shù)M．如果M滿足各數(shù)位上的數(shù)字均不為0，它的百位上的數(shù)字比千位上的數(shù)字大1．個(gè)位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大1，則稱M為“進(jìn)步數(shù)”．對于一個(gè)“進(jìn)步數(shù)”，它的千位數(shù)字和百位數(shù)字組成的兩位數(shù)為．十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)為，將這兩個(gè)兩位數(shù)求和記作t；它的千位數(shù)字和十位數(shù)字組成的兩位數(shù)為，它的百位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字組成的兩位數(shù)為，將這兩個(gè)兩位數(shù)求和記作s，規(guī)定：．例如：，因?yàn)?，，故?shù)M是一個(gè)“進(jìn)步數(shù)”．，則．(1)請判斷2367，1257是不是“進(jìn)步數(shù)”，說明理由．若是，請求出的值；(2)若四位數(shù)N為“進(jìn)步數(shù)”，N的千位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為．當(dāng)與N各數(shù)位上的數(shù)字之和能被13整除時(shí)，求出所有滿足條件的“進(jìn)步數(shù)”N的值．【答案】(1)2367是“進(jìn)步數(shù)”，1257不是“進(jìn)步數(shù)”，F(xiàn)（M）＝3；(2)N為4578或6723(1)解：2367是“進(jìn)步數(shù)”，1257不是“進(jìn)步數(shù)”，理由：∵3?2＝1，7?6＝1，∴2367是“進(jìn)步數(shù)”；∵2?1＝1，7?5≠1，∴1257不是“進(jìn)步數(shù)”，而F（M）＝；(2)∵四位數(shù)N為“進(jìn)步數(shù)”，N的千位數(shù)字為2m，個(gè)位數(shù)字為n?1，∴百位數(shù)字為2m＋1，十位數(shù)字為n?2，∴t＝10×2m＋2m＋1＋10（n?2）＋n?1＝22m＋11n?20，s＝10×2m＋n?2＋10（2m＋1）＋n?1＝40m＋2n＋7，N各數(shù)位上的數(shù)字之和為2m＋2m＋1＋n?2＋n?1＝4m＋2n?2，∴，∴4m＋2n?2?2m＋n?3＝2m＋2n?5是13的倍數(shù)，又∵2m為千位數(shù)字，∴0＜2m≤9，∵m為整數(shù)，∴m＝1，2，3，4，又∵0＜n?1≤9，∴1＜n≤10，當(dāng)m＝1時(shí)，2m＋3n?5＝3n?3＝3（n?1）是13的倍數(shù)，∴n?1是13的倍數(shù)，但是1＜n≤10，不成立；當(dāng)m＝2時(shí)，2m＋3n?5＝3n?1是13的倍數(shù)，∴n＝9，3×9?1＝26是13的倍數(shù)，∴N為4578；當(dāng)m＝3時(shí)，2m＋3n?5＝3n＋1是13的倍數(shù)，∴n＝4，3×4＋1＝13是13的倍數(shù)，∴N為6723；當(dāng)m＝4時(shí)，2m＋3n?5＝3n＋3＝3（n＋1）是13的倍數(shù)，∴n＋1是13的倍數(shù)，但是1＜n≤10，不成立．7．如果一個(gè)自然數(shù)M的個(gè)位數(shù)字不為0，且能分解成，其中A與B都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，則稱數(shù)M為“團(tuán)圓數(shù)”，并把數(shù)M分解成的過程，稱為“歡樂分解”．例如：∵，22和26的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，∴572是“團(tuán)圓數(shù)”．又如：∵，18和13的十位數(shù)字相同，但個(gè)位數(shù)字之和不等于8，∴234不是“團(tuán)圓數(shù)”．(1)判斷195，621是否是“團(tuán)圓數(shù)”？并說明理由．(2)把一個(gè)“團(tuán)圓數(shù)”M進(jìn)行“歡樂分解”，即，A與B之和記為P（M），A與B差的絕對值記為Q（M），令，當(dāng)G（M）能被8整除時(shí)，求出所有滿足條件的M的值．【答案】(1)195是“團(tuán)圓數(shù)”，621不是“團(tuán)圓數(shù)”；(2)567或575或4092或4095(1)解：∵又13和15的十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字之和為8，∴195是“團(tuán)圓數(shù)”∵又23和27的十位數(shù)字相同，但個(gè)位數(shù)字之和不為8，∴621不是“團(tuán)圓數(shù)”(2)解：設(shè)A＝10a＋b，則B＝10a＋8?b∴A＋B＝20a＋8，|A?B|＝|2b?8|∵G（M）＝＝能被8整除∴20a＋8＝8k(|2b?8|)，k為整數(shù)∴5a＋2＝4k（|b?4|）∴5a＋2是4的倍數(shù)∴滿足條件的整數(shù)a有2，6①若a＝2，則12＝4k（|b?4|），k為整數(shù)，∴3＝k（|b?4|），∴|b?4|是3的因數(shù)，∴b?4＝?3，?1，1，3，∴滿足條件的b有1，3，5，7，∴A＝21，B＝27或A＝23，B＝25或A＝25，B＝23或A＝27，B＝21，∴A×B＝567或575，②若a＝6，則32＝4k（|b?4|），k為整數(shù)，∴8＝k（|b?4|），∴|b?4|是8的因數(shù)，∴b?4＝?8，?4，?2，?1，1，2，4，8，∴滿足條件的b有2，3，5，6，∴A＝62，B＝66或A＝63，B＝65或A＝65，B＝63或A＝66，B＝62，∴A×B＝4092或4095，綜上可知，M的值為567或575或4092或4095．8．先閱讀下列材料，然后解答后面的問題：材料：一個(gè)三位自然數(shù)（百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，個(gè)位數(shù)字為c），若滿足a+c=b，則稱這個(gè)三位數(shù)為“歡喜數(shù)”，如374，因?yàn)樗陌傥簧蠑?shù)字3與個(gè)位數(shù)字4之和等于十位上的數(shù)字7，所以374是“歡喜數(shù)”(1)直接寫出：最小的“歡喜數(shù)”是，最大的“歡喜數(shù)”是；(2)求證：任意“歡喜數(shù)”一定能被11整除；(3)若“歡喜數(shù)”m為奇數(shù)，且十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大5，求所有符合條件的“歡喜數(shù)”m．【答案】(1)110；990；(2)見解析(3)561和583(1)由題意可得：最小的“歡喜數(shù)”是110，最大的“歡喜數(shù)”是990；(2)由題意，可設(shè)“歡喜數(shù)”為，則有：100a+10b+b-a=99a+11b=11(9a+b)∵a，b是整數(shù)，∴9a+b是整數(shù)∴任意“歡喜數(shù)”一定能被11整除(3)“歡喜數(shù)”十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大5，且m為奇數(shù)即a=5∴符合條件的奇數(shù)為561和583【知不足】9．如果一個(gè)正整數(shù)的各位數(shù)字是左右對稱的，那么稱這個(gè)正整數(shù)是“對稱數(shù)”，如33，787，1221，20211202都是“對稱數(shù)”，最小的“對稱數(shù)”是11，但沒有最大的“對稱數(shù)”．下面給出一個(gè)正整數(shù)的記法：若一個(gè)四位正整數(shù)的千位、百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為a、b、c、d，則可以把這個(gè)四位正整數(shù)記為，同理，若三位正整數(shù)的百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字分別為x、y、z，則可以把這個(gè)三位正整數(shù)記為．(1)若四位正整數(shù)是“對稱數(shù)”，證明式子的值能被11整除；(2)若三位正整數(shù)是“對稱數(shù)”，式子x+y+z的值是4的倍數(shù)，式子的值能被13整除，求這個(gè)三位正整數(shù)．【答案】(1)見解析；(2)929、161．【詳解】（1）證明：依題意，a=d，b=c，∴=（b×110+d）-d=b×110，∴是11的倍數(shù)，得證．（2）依題意，x=z①，x+y+z=4a②，（100x+10y+z）+x+y+z=13b③，其中a、b為正整數(shù)，1≤x≤9，0≤y≤9．∴2x+y=4a④，x+2y=13（8x+y-b）⑤，由④可知y=0，2，4，6，8，當(dāng)y=0時(shí)，由⑤可知x=0，13，...，不合題意；當(dāng)y=2時(shí)，由⑤可知x=9，22，...，此時(shí)x=9，y=2符合題意；當(dāng)y=4時(shí)，由⑤可知x=5，18，...，此時(shí)x=5，y=4符合題意；當(dāng)y=6時(shí)，由⑤可知x=1，14，...，此時(shí)x=1，y=6符合題意；當(dāng)y=8時(shí)，由⑤可知x=10，23...，不合題意．綜上，這個(gè)三位數(shù)可以是929、545，或161．經(jīng)驗(yàn)證545不符合x+y+z=4a的條件．所以這個(gè)三位正整數(shù)為929、161．10．如果一個(gè)自然數(shù)M能分解成A×B，其中A和B都是兩位數(shù)，且A與B的十位數(shù)字之和為10，個(gè)位數(shù)字之和為9，則稱M為“十全九美數(shù)”，把M分解成A×B的過程稱為“全美分解”，例如：∵2838＝43×66，4＋6＝10，3＋6＝9，∴2838是“十全九美數(shù)”；∵391＝23×17，2＋1≠10，∴391不是“十全九美數(shù)”．(1)判斷2100和168是否是“十全九美數(shù)”?并說明理由；(2)若自然數(shù)M是“十全九美數(shù)”，“全美分解”為A×B，將A的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的差，與B的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和求和記為：將A的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的和，與B的十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字的差求差記為．當(dāng)能被5整除時(shí)，求出所有滿足條件的自然數(shù)M．【答案】(1)2100是“十全九美數(shù)”，168不是“十全九美數(shù)”，理由見解析；(2)滿足“十全九美數(shù)”條件的M有：1564或1914或1164．【詳解】（1）解：2100是“十全九美數(shù)”，168不是“十全九美數(shù)”，理由如下：∵2100=25×84，2＋8＝10，5＋4＝9，∴2100是“十全九美數(shù)”；∵168＝14×12，1＋1≠10，∴168不是“十全九美數(shù)”；（2）解：設(shè)A的十位數(shù)字為m，個(gè)位數(shù)字為n，則A=10m+n，∵M(jìn)是“十全九美數(shù)”，M=A×B，∴B的十位數(shù)字為10-m，個(gè)位數(shù)字為9-n，則B=10(10-m)+9-n=109-10m-n，由題知：S（M）=m-n+10-m+9-n=19-2n，T（M）=m+n-=2m-1，根據(jù)題意令(k為整數(shù))，由題意知：1≤m≤9，0≤n≤9，且都為整數(shù)，∴1≤19-2n≤19，1≤2m-1≤17，當(dāng)k=1時(shí)，=5，∴或或，解得或(舍去)或；當(dāng)k=2時(shí)，=10，∴，解得(舍去)，當(dāng)k=3時(shí)，=15，∴，解得，∴A=10m+n=17，B=109-10m-n=92；或A=10m+n=22，B=109-10m-n=87；或A=10m+n=12，B=109-10m-n=97；∵M(jìn)=A×B=17×92=1564或M=A×B=22×87=1914或M=A×B=12×97=1164，綜上，滿足“十全九美數(shù)”條件的M有：1564或1914或1164．11．我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)c都可以進(jìn)行這樣的分解：c=a×b（a,b是正整數(shù)，且a≤b），在c的所有這些分解中，如果a，b兩因數(shù)之差的絕對值最小，我們就稱a×b是c的最優(yōu)分解并規(guī)定：M（c）=，例如9可以分解成1×9，3×3，因?yàn)?-1＞3-3，所以3×3是9的最優(yōu)分解，所以M（9）==1（1）求M（8）；M（24）；M[（c+1）2]的值；（2）如果一個(gè)兩位正整數(shù)d（d=10x+y，x，y都是自然數(shù)，且1≤x≤y≤9），交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)加上原來的兩位正整數(shù)所得的和為66，那么我們稱這個(gè)數(shù)為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”中M（d）的最大值．【答案】（1）；；1；（2）；【詳解】解：（1）由題意得，M（8）==；M（24）==；M[（c+1）2]=；（2）設(shè)這個(gè)兩位正整數(shù)d交換其個(gè)位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)為d'，則d+d'=（10x+y）+（10y+x）=11x+11y=11（x+y）=66，∵x，y都是自然數(shù)，且1≤x≤y≤9，∴滿足條件的“吉祥數(shù)”有15、24、33∴M（15）=，M（24）==，M（33）=，∵＞＞，∴所有“吉祥數(shù)”中M（d）的最大值為．12．一個(gè)三位數(shù)，各數(shù)位上數(shù)字不全相等且均不為0．將的百位數(shù)字與后兩位交換位置得到新的三位數(shù)為．記．若能被7整除，則稱三位數(shù)為“7差數(shù)”．比如：三位數(shù)617，∵，且49能被7整除，∴617是“7差數(shù)”．三位數(shù)123，∵，而12不能被7整除，∴123不是“7差數(shù)”．（1）判斷756與342是不是“7差數(shù)”，并說明理由．（2）若一個(gè)三位數(shù)是“7差數(shù)”，且百位數(shù)字等于十位與個(gè)位數(shù)字之和，求三位數(shù)．【答案】（1）756是“7差數(shù)”，342不是“7差數(shù)”，理由見解析；（2）541，312，853，624，936．【詳解】解：（1）∵，且21能被7整除﹐∴756是“7差數(shù)”；∵，而9不能被7整除，∴342不是“7差數(shù)”；（2）設(shè)十位與個(gè)位數(shù)字分別為x、y，則百位數(shù)字為(x+y)，∴（，，，且x、y均為整數(shù)），，由題意得：，∵m是“7差數(shù)”．∴能被7整除，∴或21或28或35或42或49或56或63或70或77或84或91或98，∵，，，且x、y均為整數(shù)，∴或或或或，∴m=541，312，853，624，936．13．材料一：如果一個(gè)自然數(shù)右邊的數(shù)字總比左邊的數(shù)字大，我們稱它為“上升數(shù)”．如果一個(gè)三位“上升數(shù)”滿足百位數(shù)字與十位數(shù)字之和等于個(gè)位數(shù)字，那么稱這個(gè)致為“完全上升數(shù)”．例如：A＝123，滿足1＜2＜3，且1＋2＝3，所以123是“完全上升數(shù)”：B＝346，滿足3＜4＜6．且3＋4≠6，所以346不是“完全上升數(shù)”．材料二：對于一個(gè)“完全上升數(shù)”m＝100a＋10b＋c（1≤a＜b＜c≤9且a，b，c為整數(shù)）交換其百位和個(gè)位數(shù)字得到新數(shù)m′＝100c＋10b＋a，規(guī)定：例如：m＝123為“完全上升數(shù)”m′＝321，F(xiàn)（m）＝．（1）判斷“上升數(shù)168，235是否為“完全上升數(shù)”，并說明理由．（2）若m是“完全上升數(shù)”，且m與m′的和能被7整除，求F（m）的值．【答案】或【詳解】解：（1）∵，，∴168不是“完全上升數(shù)”，235是“完全上升數(shù)”；（2）設(shè)“完全上升數(shù)”m的百位、十位、數(shù)字為，則個(gè)位數(shù)字為，∵，∴，，則，，∴，，∵，，∴當(dāng)能被整除時(shí)，能被整除，∴時(shí)，；時(shí)，，∴或滿足題意，當(dāng)時(shí)，＝，當(dāng)時(shí)，＝，綜上，F(xiàn)（m）的值為或．14．根據(jù)閱讀材料，解決問題．材料1：若一個(gè)正整數(shù)，從左到右各位數(shù)上的數(shù)字與從右到左各位數(shù)上的數(shù)字對應(yīng)相同，則稱為“對稱數(shù)”（例如：1、232、4554是對稱數(shù)）．材料2：對于一個(gè)三位自然數(shù)，將它各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別2倍后取個(gè)位數(shù)字，得到三個(gè)新的數(shù)字，，，我們對自然數(shù)規(guī)定一個(gè)運(yùn)算：（A），例如：是一個(gè)三位的“對稱數(shù)”，其各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別2倍后取個(gè)位數(shù)字分別是：2、8、2.則．請解答：（1）請你直接寫出最大的兩位對稱數(shù)：，最小的三位對稱數(shù)：；（2）如果將所有對稱數(shù)按照從小到大的順序排列，請直接寫出第1100個(gè)對稱數(shù)；（3）一個(gè)四位的“對稱數(shù)”，若（B），請求出的所有值．【答案】（1）99，101；（2）101101；（3）5115，5665，1551，1001，6556，6006【詳解】解：（1）最大的兩位對稱數(shù)是99；最小的三位對稱數(shù)是101．（2）一位數(shù)的對稱數(shù)有9個(gè)；兩位數(shù)的對稱數(shù)有9個(gè)，三位數(shù)的對稱數(shù)個(gè)位與百位可取，十位可取，有90個(gè)；四位數(shù)的對稱數(shù)個(gè)位與千位可取，十位與百位可取，有90個(gè)；五位數(shù)的對稱數(shù)萬位與個(gè)位可取，千位、百位、和十位可取，有900個(gè)，此時(shí)99999為第1098個(gè)對稱數(shù)，第1100個(gè)對稱數(shù)為101101.（3）設(shè)四位的對稱數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字分別2倍后，取個(gè)位數(shù)數(shù)字分別為，，，，的整數(shù)），（B），，，時(shí)，；時(shí)，；①當(dāng)，時(shí)，四位的對稱數(shù)為5115，5665；②當(dāng)，時(shí)，四位的對稱數(shù)為1551，1001，6556，6006，綜上所述，為5115，5665，1551，1001，6556，6006．15．材料一：對于個(gè)位數(shù)字不為零的任意三位數(shù)M，將其個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字對調(diào)得到M'，則稱M'為M的“倒序數(shù)”，將一個(gè)數(shù)與它的“倒序數(shù)”的差的絕對值與99的商記為F（M）．例如523為325的“倒序數(shù)”，F(xiàn)（325）＝＝2；材料二：對于任意三位數(shù)滿足，c＞a且a+c＝2b，則稱這個(gè)數(shù)為“登高數(shù)”．（1）F（935）＝；F（147）＝；（2）任意三位數(shù)M＝，求F（M）的值；（3）已知S、T均為“登高數(shù)”，且2F（S）+3F（T）＝24，求S+T的最大值．【答案】（1）4，6；（2）c﹣a；（3）948【詳解】解：（1）由題意得：F（935）＝＝4，F(xiàn)（147）＝＝6，（2）由題意得：＝100a+10b+c，M′＝100c+10b+a，則F（M）＝＝|a﹣c|，∵c＞a，故F（M）＝c﹣a；（3）設(shè)S＝，T＝，由（2）知，F(xiàn)（s）＝c﹣a＝A，F(xiàn)（T）＝c′﹣a′，由題意得：2A+3B＝24，∵a+c＝2b，則c、a同奇或同偶，故c﹣a和c′﹣a′為偶數(shù)，∵2×6+3×4＝24，故A＝6，B＝4，要使S+T盡可能大，則a的百位數(shù)要盡可能大，對S而言，c﹣a＝6，故S最大取369，對T而言，c′﹣a′＝4，則T最大可取579，故S+T的最大值＝369+579＝948．16．若一個(gè)正整數(shù)a可以表示為a＝（b+1）（b﹣2），其中b為大于2的正整數(shù)，則稱a為“十字?jǐn)?shù)”，b為a的“十字點(diǎn)”．例如：28＝（6+1）（6﹣2）＝7×4．．（1）“十字點(diǎn)”為7的“十字?jǐn)?shù)”為：130的“十字點(diǎn)”為；（2）m的“十字點(diǎn)”為p，n的“十字點(diǎn)”為q，當(dāng)m﹣n＝18時(shí)，求p+q的值．【答案】（1）40，12；（2）10或19．【詳解】解：（1）“十字點(diǎn)”為7的“十字?jǐn)?shù)”為，，的“十字點(diǎn)”為12，（2）的“十字點(diǎn)”為，的“十字點(diǎn)”為，為大于2的正整數(shù)），為大于2的正整數(shù)），，，整理得，，，為大于2的正整數(shù)，為大于2的正整數(shù)，，；，，或或，（不合題意，舍去），，；或．17．一個(gè)三位或者三位以上的整數(shù)，從左到右依次分割成三個(gè)數(shù)，記最左邊的數(shù)為a，最右邊的數(shù)為b，中間的數(shù)記為m，若滿足m＝a2+b2，我們就稱該整數(shù)為“空谷”數(shù)．例如：對于整數(shù)282．∵22+22＝8，∴282是一個(gè)“空谷”數(shù)，又例如：對于整數(shù)121451，∵122+12＝145∴121451也是一個(gè)“空谷”數(shù)．滿足m＝2ab，我們就稱該整數(shù)為“幽蘭”數(shù)；例如：對于整數(shù)481，∵2×4×1＝8，∴481是一個(gè)“幽蘭”數(shù)，又例如：對于整數(shù)13417，∵2×1×17＝34，∴13417是一個(gè)“幽蘭”數(shù)．（1）若一個(gè)三位整數(shù)十位數(shù)字為9，且為“空谷”數(shù)，則該三位數(shù)為；若一個(gè)四位整數(shù)為“幽蘭”數(shù)，且中間的數(shù)為40，則該四位數(shù)為；（2）若是一個(gè)“空谷”數(shù)，是一個(gè)“幽蘭”數(shù)，求a2﹣b2的值．（3）若一個(gè)整數(shù)既是“空谷”數(shù)，又是“幽蘭”數(shù)，我們就稱該整數(shù)為“空谷幽蘭”數(shù)．請寫出所有的四位“空谷幽蘭”數(shù)．【答案】（1）390；4405或5404；（2）136或-136；（3）1021或2082或3183或4324或5505或6726或7987．【詳解】解：（1）∵這個(gè)三位數(shù)是“空谷”數(shù)，且十位數(shù)字為9，∴a2+b2=9，∴有，（不符合題意），∴這個(gè)三位數(shù)是390；∵這個(gè)四位數(shù)是“幽蘭”數(shù)，且中間數(shù)為40，∴2ab=40，則ab=20，∴有，，（不符合題意），（不符合題意），∴這個(gè)四位數(shù)是：4405或5404；（2）∵是一個(gè)“空谷”數(shù)，是一個(gè)“幽蘭”數(shù)，∴a2+b2=586，2ab=570，∴(a+b)2=a2+b2+2ab=586+570=1156，則a+b=34，(a-b)2=a2+b2-2ab=586-570=16，則a-b=4，∴a2-b2=(a+b)(a-b)=34×4=136或a2-b2=(a+b)(a-b)=34×(-4)=-136；（3）由題意得：，則有a2+b2=2ab，整理得：(a-b)2=0，則有a=b；∵這個(gè)整數(shù)是一個(gè)四位數(shù)，∴1≤a≤9，1≤b≤9，中間數(shù)是兩位數(shù)，則有：a=b=1時(shí)，這個(gè)四位數(shù)是1021；a=b=2時(shí)，這個(gè)四位數(shù)是2082；a=b=3時(shí)，這個(gè)四位數(shù)是3183；a=b=4時(shí)，這個(gè)四位數(shù)是4324；a=b=5時(shí)，這個(gè)四位數(shù)是5505；a=b=6時(shí)，這個(gè)四位數(shù)是6726；a=b=7時(shí)，這個(gè)四位數(shù)是7987．綜上，這個(gè)四位數(shù)是1021或2082或3183或4324或5505或6726或7987．18．定義：若一個(gè)整數(shù)能表示成a2＋b2（a，b是正整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如：因?yàn)?3＝32＋22，所以13是“完美數(shù)”；再如：因?yàn)閍2＋2ab＋2b2＝（a＋b）2＋b2，所以a2＋2ab＋2b2也是“完美數(shù)”．（1）請直接寫出一個(gè)小于10的“完美數(shù)”，這個(gè)“完美數(shù)”是；（2）判斷53（請?zhí)顚憽笆恰被颉胺瘛保椤巴昝罃?shù)”；（3）已知M＝x2＋4x＋k（x是整數(shù)，k是常數(shù)），要使M為“完美數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值，并說明理由；（4）如果數(shù)m，n都是“完美數(shù)”，試說明mn也是“完美數(shù)”．【答案】（1）2或5或8；（2）是；（3）k=5，理由見解答過程；（4）見解析【詳解】解：（1）根據(jù)題意可得：2=12+12，5=22+12，8=22+22，故2，5，8都是“完美數(shù)”，且都小于10，（2）53=22+72，故53是“完美數(shù)”，（3）k=5（答案不唯一），理由：∵M(jìn)=x2+4x+k∴M=x2+4x+4+k-4M=（x+2）2+k-4則當(dāng)k-4為完全平方數(shù)時(shí)，M為“完美數(shù)”，如當(dāng)k-4=1時(shí)，解得：k=5．（4）設(shè)m=a2+b2，n=c2+d2，則有mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd=（ac+bd）2+（ad-bc）2故mn是一個(gè)“完美數(shù)”．19．在數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們總會對其中一些具有某種特性的數(shù)進(jìn)行研究，若一個(gè)正整數(shù)是兩個(gè)相差為3的數(shù)的乘積，即，其中為正整數(shù)，則稱為“如意數(shù)”，為的“如意起點(diǎn)”．例如：，則18是“如意數(shù)”，3為18的“如意起點(diǎn)”．（1）若是88的“如意起點(diǎn)”，則______；若的“如意起點(diǎn)”為1，則______．（2）把“如意數(shù)”與“如意數(shù)”的差記作，其中，，例如：，，則．若“如意數(shù)”的“如意起點(diǎn)”為，“如意數(shù)”的“如意起點(diǎn)”為，當(dāng)時(shí)，求的最大值．【答案】（1）；；（2）的最大值為．【詳解】解：（1）若k是88的“如意起點(diǎn)”，根據(jù)題意得，整理得：，因式分解得，∵為正整數(shù)，∴；若a的“如意起點(diǎn)”為1，根據(jù)題意得；（2）∵E(x，y)=48，∴，又，，∴，即，∴，∵、都是正整數(shù)，∴和都是正整數(shù)，且，∵，∴或或或或，解得：或(舍去)或或(舍去)或(舍去)，∴或，故的最大值為．【一覽眾山小】20．若一個(gè)四位自然數(shù)滿足個(gè)位數(shù)字與百位數(shù)字相同，十位數(shù)字與千位數(shù)字相同，我們稱這個(gè)四位自然數(shù)為“雙子數(shù)”．將“雙子數(shù)”的百位、千位上的數(shù)字交換位置，個(gè)位、十位上的數(shù)字也交換位置，得到一個(gè)新的雙子數(shù)，記為“雙子數(shù)”的“雙11數(shù)”．例，，，則（1）計(jì)算3636的“雙11數(shù)”__________．（2）已知兩個(gè)“雙子數(shù)”、，其中，（其中，，，且、、、都為整數(shù)），若的“雙11數(shù)”能被17整除，且、的“雙11數(shù)”滿足，令，求的值．【答案】（1）18；（2）G（p，q）的值為51或17．【詳解】解：（1）由題意知，3636的“雙11數(shù)”，（2）∵“雙子數(shù)”p，，∴F（p）=2（a+b），∵“雙11數(shù)”F（p）能被17整除，∴a+b是17的倍數(shù)，∵1≤a＜b≤9，∴3≤a+b＜18，∴a+b=17，∴a=8，b=9，∴“雙子數(shù)”p為8989，F(xiàn)（p）=34，∵“雙子數(shù)”q，，∴F（q）=2（c+d），∵F（p）+2F（q）-（4a+3b+2d+c）=0，∴34+2×2（c+d）-（4×8+3×9+2d+c）=0，∴3c+2d=25，∴，∵1≤c≤9，1≤d≤9，c≠d，c、d都為整數(shù)，∴c為奇數(shù)，1≤c＜9，當(dāng)c=1時(shí)，d=11，不符合題意，舍去，當(dāng)c=3時(shí)，d=8，∴“雙子數(shù)”q為3838，∴，當(dāng)c=5時(shí)，d=5，不符合題意，舍去，當(dāng)c=7時(shí)，d=2，∴“雙子數(shù)”q為7272，∴，∴G（p，q）的值為51或17．21．若一個(gè)正整數(shù)a可以表示為，其中b為大于2的正整數(shù)，則稱a為“十字?jǐn)?shù)”，b為a的“十字點(diǎn)”．例如．（1）“十字點(diǎn)”為7的“十字?jǐn)?shù)”為；130的“十字點(diǎn)”為；（2）若b是a的“十字點(diǎn)”，且a能被整除，其中b為大于2的正整數(shù)，求a的值；（3）m的“十字點(diǎn)”為p，n的“十字點(diǎn)”為q，當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】（1）40，12；（2）4；（3）10【詳解】解：（1）“十字點(diǎn)”為7的“十字?jǐn)?shù)”，∵，∴130的“十字點(diǎn)”為12；（2）∵b是a的“十字點(diǎn)”，∴（b＞2且為正整數(shù)），∴，∵a能被整除，∴能整除2，∴b-1=1或b-1=2，∵b＞2，∴b=3，∴；（3）∵m的“十字點(diǎn)”為p，∴（p＞2且為正整數(shù)），∵n的“十字點(diǎn)”為q，∴（q＞2且為正整數(shù)），∵，∴，∴，∴，∴，∵，p＞2，q＞2且p、q為正整數(shù)；∴p＞q，p+q＞4；∴p+q-1＞3；∵18=3×6=2×9，∴或；解得：（不合題意舍去），；∴22．閱讀下列材料，解答下列問題：材料一：一個(gè)三位以上的自然數(shù)，如果該自然數(shù)的末三位表示的數(shù)與末三位之前的數(shù)字表示的數(shù)之差是11的倍數(shù)，我們稱滿足此特征的數(shù)叫“網(wǎng)紅數(shù)”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，稱65362是“網(wǎng)紅數(shù)”．材料二：對任的自然數(shù)p均可分解為P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均為整數(shù)）如：5278＝52×100+10×7+8，規(guī)定：G（P）＝．（1）求證：任兩個(gè)“網(wǎng)紅數(shù)”之和一定能被11整除；（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均為整數(shù)），當(dāng)s+t為“網(wǎng)紅數(shù)”時(shí)，求G（t）的最大值．【答案】（1）見解析；（2）39【詳解】解：（1）設(shè)兩個(gè)“網(wǎng)紅數(shù)”為，，（n、b表示末三位表示的數(shù)，m、a表示末三位之前的數(shù)字），∴n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，∵+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），∴m、a、k、h都是整數(shù)，∴91m+91n+h+k為整數(shù)，∴任兩個(gè)“網(wǎng)紅數(shù)”之和一定能被11整除；（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，∴s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2，①當(dāng)1≤a≤5時(shí)，s+t＝，則﹣（b+1）能被11整除，∴101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，∴2a﹣2b+1能被11整除，∵1≤a≤5，0≤b≤5，∴﹣7≤2a﹣2b+1≤11，∴2a﹣2b+1＝0或11，∴a＝5，b＝0，∴t＝1642，G（1642）＝17.25；②當(dāng)6≤a≤7時(shí)，s+t＝，則﹣（b+2）能被11整除，∴101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，∴2a﹣2b+1能被11整除，∵6≤a≤7，0≤b≤5，∴3≤2a﹣2b+1≤15，∴2a﹣2b+1＝11，∴a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，∴t＝2742或3842，∴G（2742）＝28或G（3842）＝39，∴G（t）的最大值39．23．把一個(gè)自然數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和得到一個(gè)新數(shù)，叫做第一次運(yùn)算，再把所得新數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和又將得到一個(gè)新數(shù)，叫做第二次運(yùn)算，……如此重復(fù)下去，若最終結(jié)果為1，我們把具有這種特征的自然數(shù)稱為“快樂數(shù)”．例如：，，所以32和70都是“快樂數(shù)”．（1）寫出最小的兩位“快樂數(shù)”；判斷19是不