勾股方程本原解的求法及其應(yīng)用

勾股方程本原解的求法及其應(yīng)用摘要繼新課改后，勾股方程在初中就已經(jīng)要求學(xué)習(xí)，且勾股方程作為數(shù)學(xué)上數(shù)論的一個(gè)重要分支，所以對(duì)勾股方程的研究有著重要的意義，我們?cè)谇叭搜芯康幕A(chǔ)上應(yīng)該在更深層次的對(duì)其加深理解，就勾股方程的歷史意義來(lái)看，它不僅在生活中發(fā)揮著重要的作用，在學(xué)習(xí)上也充當(dāng)著不可替代的角色。目前這一知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)延伸到數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域，在每年的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中以及中高考中都有它的身影出現(xiàn)，正是因?yàn)樗l頻出現(xiàn)的原故，導(dǎo)致了很多的問(wèn)題出現(xiàn)，然而通過(guò)本文對(duì)勾股方程本原解的求法及其應(yīng)用的研究討論，為學(xué)生在今后學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題能得到解決提供一些參考，并且為在以后拓寬自己的知識(shí)視野、提高理論思維及學(xué)習(xí)勾股方程打下夯實(shí)的基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞：勾股方程；本原解；求法；應(yīng)用AbstractAfterthenewcurriculumreform,thehook-stockequationinjuniorhighSchoolhasaskedtolearn,asanimportantbranchofnumbertheoryinmathematics,thehook-stockequationisofgreatsignificancetothestudyofthehook-stockequation,andweshoulddeepenourunderstandingofitonthebasisofthepredecessors'study,inviewofthehistoricalsignificanceofthehook-stockequation,Itnotonlyplaysanimportantroleinlifebutalsoplaysanirreplaceableroleinlearning.Atpresent,thisknowledgepointhasbeenextendedtomanyfieldsofmathematics,intheannualmathcontestandinthecollegeentranceexaminationhasitsfigureappears,itisbecauseofitsfrequentoccurrenceoftheoriginalreason,ledtoalotofproblemsappear,however,throughthispaperontheequationoftheprimitivesolutionanditsapplicationoftheresearchanddiscussion,Itprovidessomereferencesforstudentstosolveproblemsinfuturelearning,andlaysasolidfoundationforbroadeningtheirknowledgehorizons,improvingtheoreticalthinkingandstudyingtheequationofstock.Keywords：hook-stockequation,primitivesolution;目錄TOC\o"1-5"\h\z\u1引言 12勾股定理及勾股方程 12.1勾股定理的發(fā)展起源 12.2勾股方程本原解 42.2.1勾股方程本原解的定義及性質(zhì) 42.2.2勾股方程本原解的解法 43勾股方程本原解的應(yīng)用 63.1在解題上的技巧與應(yīng)用 63.2在中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用 64總結(jié) 7參考文獻(xiàn) 8致謝 101引言數(shù)論，它一直是數(shù)學(xué)上的一個(gè)重要領(lǐng)域，它有著悠久的歷史，從最初的結(jié)繩計(jì)數(shù)、籌碼計(jì)數(shù)和算盤(pán)計(jì)數(shù)發(fā)展到現(xiàn)在的代數(shù)，無(wú)不體現(xiàn)了它的歷史性。而對(duì)代數(shù)數(shù)論的研究這一工作，一直推動(dòng)著數(shù)學(xué)史的發(fā)展，由于它自身的魅力，吸引了許許多多偉大的數(shù)學(xué)家，且他們那些輝煌的研究成果對(duì)現(xiàn)在來(lái)說(shuō)有著重要的意義。勾股方程是代數(shù)當(dāng)中的一重要知識(shí)點(diǎn)，提到勾股方程這一知識(shí)點(diǎn)，自然對(duì)勾股定理這一概念并不陌生，然而勾股定理在很久以前就被前人發(fā)現(xiàn)并進(jìn)行了推廣，它是一個(gè)偉大的定理，所謂勾股定理，即在一直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。由此而得勾股方程a2+b2=c2，這是我們?cè)诔踔芯鸵呀?jīng)得到的一個(gè)結(jié)論，當(dāng)時(shí)并未去深入進(jìn)行研究，但是這么多年以來(lái)，許許多多的數(shù)學(xué)家已對(duì)此方程進(jìn)行了證明以及推廣，就目前來(lái)講，就已經(jīng)有數(shù)百種證明方法。近年，并有多篇文章對(duì)勾股方程的歷史意義及求解方法進(jìn)行了討論。繼新課改后，勾股方程在初中就已經(jīng)要求學(xué)習(xí)，且勾股方程作為數(shù)學(xué)上數(shù)論的一個(gè)重要分支，所以對(duì)勾股方程的研究有著重要的意義，我們?cè)谇叭搜芯康幕A(chǔ)上應(yīng)該在更深層次的對(duì)其加深理解，就勾股方程的歷史意義來(lái)看，它不僅在生活中發(fā)揮著重要的作用，在學(xué)習(xí)上也充當(dāng)著不可替代的角色。目前這一知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)延伸到數(shù)學(xué)的許多領(lǐng)域，在每年的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中以及中高考中都有它的身影出現(xiàn)，正是因?yàn)樗l頻出現(xiàn)的原故，導(dǎo)致了很多的問(wèn)題出現(xiàn)，然而通過(guò)本文對(duì)勾股方程本原解的求法及其應(yīng)用的研究討論，為學(xué)生在今后學(xué)習(xí)中遇到的問(wèn)題能得到解決提供一些參考，并且為在以后拓寬自己的知識(shí)視野、提高理論思維及學(xué)習(xí)勾股方程打下夯實(shí)的基礎(chǔ)。2勾股定理及勾股方程2.1勾股定理的發(fā)展起源勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長(zhǎng)直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個(gè)定理為勾股定理，也有人稱商高定理。勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在中國(guó)，商朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。中國(guó)：公元前十一世紀(jì)，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出“勾三、股四、弦五”?！吨荀滤憬?jīng)》中記錄著商高同周公的一段對(duì)話。商高說(shuō)：“…故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！币鉃椋寒?dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時(shí)，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說(shuō)成“勾三股四弦五”，根據(jù)該典故稱勾股定理為商高定理。公元三世紀(jì)，三國(guó)時(shí)代的趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，記錄于《九章算術(shù)》中“勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，即弦”，趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。后劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。在中國(guó)清朝末年，數(shù)學(xué)家華蘅芳提出了二十多種對(duì)于勾股定理證法。外國(guó)：遠(yuǎn)在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理，他們還知道許多勾股數(shù)組。美國(guó)哥倫比亞大學(xué)圖書(shū)館內(nèi)收藏著一塊編號(hào)為“普林頓322”的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數(shù)。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和測(cè)量尼羅河泛濫后的土地時(shí)，也應(yīng)用過(guò)勾股定理。公元前六世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習(xí)慣地稱這個(gè)定理為畢達(dá)哥拉斯定理。公元前4世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個(gè)證明。1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的一個(gè)證法。1940年《畢達(dá)哥拉斯命題》出版，收集了367種不同的證法?！毒耪滤阈g(shù)》中，趙爽描述此圖：“勾股各自乘，并之為玄實(shí)。開(kāi)方除之，即玄。案玄圖有可以勾股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四。以勾股之差自相乘為中黃實(shí)。加差實(shí)亦成玄實(shí)。以差實(shí)減玄實(shí)，半其余。以差為從法，開(kāi)方除之，復(fù)得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之實(shí)，即成玄實(shí)。或矩于內(nèi)，或方于外。形詭而量均，體殊而數(shù)齊。勾實(shí)之矩以股玄差為廣，股玄并為袤。而股實(shí)方其里。減矩勾之實(shí)于玄實(shí)，開(kāi)其余即股。倍股在兩邊為從法，開(kāi)矩勾之角即股玄差。加股為玄。以差除勾實(shí)得股玄并。以并除勾實(shí)亦得股玄差。令并自乘與勾實(shí)為實(shí)。倍并為法。所得亦玄。勾實(shí)減并自乘，如法為股。股實(shí)之矩以勾玄差為廣，勾玄并為袤。而勾實(shí)方其里，減矩股之實(shí)于玄實(shí)，開(kāi)其余即勾。倍勾在兩邊為從法，開(kāi)矩股之角，即勾玄差。加勾為玄。以差除股實(shí)得勾玄并。以并除股實(shí)亦得勾玄差。令并自乘與股實(shí)為實(shí)。倍并為法。所得亦玄。股實(shí)減并自乘如法為勾，兩差相乘倍而開(kāi)之，所得以股玄差增之為勾。以勾玄差增之為股。兩差增之為玄。倍玄實(shí)列勾股差實(shí)，見(jiàn)并實(shí)者，以圖考之，倍玄實(shí)滿外大方而多黃實(shí)。黃實(shí)之多，即勾股差實(shí)。以差實(shí)減之，開(kāi)其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄實(shí)乃減之，開(kāi)其余，得中黃方。黃方之面，即勾股差。以差減并而半之為勾。加差于并而半之為股。其倍玄為廣袤合。令勾股見(jiàn)者自乘為其實(shí)。四實(shí)以減之，開(kāi)其余，所得為差。以差減合半其余為廣。減廣于玄即所求也。”用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述就是黃實(shí)的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)朱實(shí)的面積。勾股數(shù)組勾股數(shù)組是滿足勾股定理

的正整數(shù)組

，其中的

稱為勾股數(shù)。例如

就是一組勾股數(shù)組。任意一組勾股數(shù)

可以表示為如下形式：

，

，

，其中

均為正整數(shù)，且

。定理用途已知直角三角形兩邊求解第三邊，或者已知三角形的三邊長(zhǎng)度，證明該三角形為直角三角形或用來(lái)證明該三角形內(nèi)兩邊垂直。利用勾股定理求線段長(zhǎng)度這是勾股定理的最基本運(yùn)用。2.2勾股方程本原解2.2.1勾股方程本原解的定義及性質(zhì)在研究費(fèi)爾馬大定理之前，首先要對(duì)勾股定理的數(shù)論方面進(jìn)行充分的討論，看一看有什么經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌蛭。m然這兩個(gè)定理的結(jié)果完全不一樣：x2+y2=z2有無(wú)窮多組解，而xn+yn=zn(3.5)沒(méi)有非平凡解(關(guān)于平凡解，下面就要講到)．但是，它們卻有許多共同的東西，例如：(1)它們都是三個(gè)變?cè)凝R次不定方程．(2)由于齊次性，如果(a，b，c)是一組解，那么(ma，mb，mc)也是一組解，這里m是任何一個(gè)整數(shù)(正數(shù)、負(fù)數(shù)或零)．因此，求解時(shí)，我們感興趣的是(a，b，c)=1的解，這樣的解我們稱為本原解．(3)無(wú)論是本原解還是非本原解，其中有一些是一眼就能看出但沒(méi)有意思的解，這就是a，b，c中一個(gè)或三個(gè)是零的解，這樣方程(3.5)就成為on+yn=znxn+on=zn,或者xn+yn=on，這樣滿足y=z，x=z的任何整數(shù)都是原方程的解，對(duì)于n為偶數(shù)的情況，有(0，－a，a)及(a，0，－a)，其中a為任何整數(shù)．這種有零的解，我們稱之為平凡解，因此我們以后討論解時(shí)，都是考慮非平凡解，即xyz≠0的解．為了確定起見(jiàn)，我們不妨只考慮x＞0，y＞0，z＞0的本原解．2.2.2勾股方程本原解的解法(1)它們都是三個(gè)變?cè)凝R次不定方程．(2)由于齊次性，如果(a，b，c)是一組解，那么(ma，mb，mc)也是一組解，這里m是任何一個(gè)整數(shù)(正數(shù)、負(fù)數(shù)或零)．因此，求解時(shí)，我們感興趣的是(a，b，c)=1的解，這樣的解我們稱為本原解．(3)無(wú)論是本原解還是非本原解，其中有一些是一眼就能看出但沒(méi)有意思的解，這就是a，b，c中一個(gè)或三個(gè)是零的解，這樣方程(3.5)就成為on+yn=znxn+on=zn,或者xn+yn=on，這樣滿足y=z，x=z的任何整數(shù)都是原方程的解，對(duì)于n為偶數(shù)的情況，有(0，－a，a)及(a，0，－a)，其中a為任何整數(shù)．這種有零的解，我們稱之為平凡解，因此我們以后討論解時(shí)，都是考慮非平凡解，即xyz≠0的解．為了確定起見(jiàn)，我們不妨只考慮x＞0，y＞0，z＞0的本原解．(4)對(duì)于齊次方程，求整數(shù)解與求有理數(shù)解的方法并沒(méi)有本質(zhì)的不同．實(shí)際上，對(duì)任何一組有理數(shù)（a，b，c），則也是一組有理數(shù)，其中m和k是任意整數(shù)但k≠0．因此若不定方程xn+yn=zn存在整數(shù)解，也就存在有理數(shù)解；反之，存在有理數(shù)解，也就存在整數(shù)解．實(shí)際上，所有齊次不定方程都有這種特性．而非齊次方程，求整數(shù)解與求有理數(shù)解的差別就非常大，一般需要分別加以處理．(5)為了使用幾何方法，我們可以把三個(gè)變?cè)凝R次方程變?yōu)閮蓚€(gè)變?cè)姆驱R次方程，這只要用方程(3.5)中的zn(假定z≠0)除方程的每一項(xiàng)即可：我們還可以用(x′)n+(y′)n=1(3.6)表示，這個(gè)非齊次方程的有理數(shù)解正好對(duì)應(yīng)原齊次方程的整數(shù)解，這樣求解方程(3．5)的數(shù)論問(wèn)題就可以變成方程(3．6)的幾何問(wèn)題．我們不妨把方程(3.6)仍寫(xiě)為x，y的方程xn+yn=1(3.7)它代表一條平面代數(shù)曲線．這樣，求不定方程(3．5)的整數(shù)解問(wèn)題也就成為求這條曲線上的有理點(diǎn)問(wèn)題，所謂有理點(diǎn)，就是x，y坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)．現(xiàn)在，我們研究勾股方程的整數(shù)解的完全組，看看對(duì)費(fèi)爾馬大定理的證明有沒(méi)有啟發(fā)．首先，我們敘述一下勾股方程的基本定理：滿足不定方程x2+y2=z2的本原整數(shù)解，都可以表示為x=a2－b2,y=2ab,z=a2+b2其中a，b是任意滿足下述條件的整數(shù)．反之，滿足上述條件的x，y，z都是勾股方程的一組本原解．由于我們感興趣的是非平凡的本原解，不失一般性，可以證明其條件為a＞b，(a,b)=1且a與b奇偶性不同，另外，x，y的位置可以互換，即x=2ab，y=a2－b2，z=a2+b2也是一組解．3勾股方程本原解的應(yīng)用3.1在解題上的技巧與應(yīng)用勾股定理解題規(guī)律方法指導(dǎo)：1.勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。2.勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。3.勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的主要錯(cuò)誤。4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長(zhǎng)a，b，c有下列關(guān)系：a^2+b^2＝c^2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的判定方法．5.應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的過(guò)程主要是進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，通過(guò)學(xué)習(xí)加深對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的理解．我們把題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。3.2在中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用勾股方程x+y=z222這是一個(gè)相當(dāng)特殊的三元二次不定方程，它有鮮明的幾何意義，并應(yīng)用廣泛.22這里只討論勾股方程的正整數(shù)解，由方程不難看出，如果（x,y）=d，則d|z，從而d|z，這樣可在勾股方程的兩邊約去d2.所以我們只需討論滿足（x,y）=1的解，此時(shí)易知x,y,z實(shí)際上兩兩互素.這種x,y,z兩兩互素的正整數(shù)解（x,y,z）稱為方程的本原解，也稱為本原的勾股數(shù).將方程模4，并注意（x,y）=1，可知x,y一奇一偶，無(wú)妨設(shè)y為偶數(shù)，下面的結(jié)果給出了勾股方程的全部本原解.定理三：方程x2+y2=z2滿足（x,y）=1，z|y的全部正整數(shù)解（x,y,z）可表為x=a2?b2，y=2ab,z=a2+b2，其中，a,b是滿足a>b>0，a,b一奇一偶，且（a,b）=1的任意整數(shù).證明從略.4．不定方程xy=zt這是個(gè)四元二次方程，此方程也有不少用處，其全部正整數(shù)解極易求出：則其中（c,d）=1，acy=adt,即cy=dt,因（c,d）=1，故設(shè)（x,z）=a，x=ac,z=ad，所以d|y,設(shè)y=bt,則t=bc.因此方程xy=zt的正整數(shù)解可表示為x=ac,y=bd,z=ad,t=bc.a,b,c,d都是正整數(shù)，且（c,d）=1.反過(guò)來(lái)，易知上述給出的x,y,z,t都是解.也可采用如下便于記憶的推導(dǎo)：設(shè)xtccxc==，這里是既約分?jǐn)?shù)。x=ac,z=ad，同理t=cb,y=ab.Ⅱ.不定方程一般的求解方法1．奇偶分析法；2．特殊模法；3．不等式法；4總結(jié)1．勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端；2．勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，即它是第一個(gè)把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來(lái)的定理；3．勾股定理導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，大大加深了人們對(duì)數(shù)的理解；4．勾股定理是歷史上第—個(gè)給出了完全解答的不定方程，它引出了費(fèi)馬大定理；5．勾股定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理，并有巨大的實(shí)用價(jià)值．這條定理不僅在幾何學(xué)中是一顆光彩奪目的明珠，被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用．1971年5月15日，尼加拉瓜發(fā)行了一套題為“改變世界面貌的十個(gè)數(shù)學(xué)公式”郵票，這十個(gè)數(shù)學(xué)公式由著名數(shù)學(xué)家選出的，勾股定理是其中之首。參考文獻(xiàn)[1]王國(guó)炳.商高不定方程的解與勾股數(shù)[J].宜賓師專學(xué)報(bào)，1997，（02）：18-20.[2]何金敏，王慶平.關(guān)于勾股丟番圖方程x~2+（x+k）~2=z~2[J].齊齊哈爾輕工學(xué)院學(xué)報(bào)，1997，（02）：34-41.[3]蘇岐芳.關(guān)于勾股丟番圖方程的解[J].臺(tái)州學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，（06）：10-13.[4]戎士奎，劉滬濤.談已知一邊的勾股方程的整數(shù)解[J].貴州教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2002，（04）：9-12.[5]戎軍，戎士奎.第二類廣勾股方程的解[J].貴州教育學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)），2004，（02）：6-10.[6]簡(jiǎn)斯?休儒