勾股方程本原解的求法及其應用

勾股方程本原解的求法及其應用摘要繼新課改后，勾股方程在初中就已經要求學習，且勾股方程作為數學上數論的一個重要分支，所以對勾股方程的研究有著重要的意義，我們在前人研究的基礎上應該在更深層次的對其加深理解，就勾股方程的歷史意義來看，它不僅在生活中發(fā)揮著重要的作用，在學習上也充當著不可替代的角色。目前這一知識點已經延伸到數學的許多領域，在每年的數學競賽中以及中高考中都有它的身影出現(xiàn)，正是因為它頻頻出現(xiàn)的原故，導致了很多的問題出現(xiàn)，然而通過本文對勾股方程本原解的求法及其應用的研究討論，為學生在今后學習中遇到的問題能得到解決提供一些參考，并且為在以后拓寬自己的知識視野、提高理論思維及學習勾股方程打下夯實的基礎。關鍵詞：勾股方程；本原解；求法；應用AbstractAfterthenewcurriculumreform,thehook-stockequationinjuniorhighSchoolhasaskedtolearn,asanimportantbranchofnumbertheoryinmathematics,thehook-stockequationisofgreatsignificancetothestudyofthehook-stockequation,andweshoulddeepenourunderstandingofitonthebasisofthepredecessors'study,inviewofthehistoricalsignificanceofthehook-stockequation,Itnotonlyplaysanimportantroleinlifebutalsoplaysanirreplaceableroleinlearning.Atpresent,thisknowledgepointhasbeenextendedtomanyfieldsofmathematics,intheannualmathcontestandinthecollegeentranceexaminationhasitsfigureappears,itisbecauseofitsfrequentoccurrenceoftheoriginalreason,ledtoalotofproblemsappear,however,throughthispaperontheequationoftheprimitivesolutionanditsapplicationoftheresearchanddiscussion,Itprovidessomereferencesforstudentstosolveproblemsinfuturelearning,andlaysasolidfoundationforbroadeningtheirknowledgehorizons,improvingtheoreticalthinkingandstudyingtheequationofstock.Keywords：hook-stockequation,primitivesolution;目錄TOC\o"1-5"\h\z\u1引言 12勾股定理及勾股方程 12.1勾股定理的發(fā)展起源 12.2勾股方程本原解 42.2.1勾股方程本原解的定義及性質 42.2.2勾股方程本原解的解法 43勾股方程本原解的應用 63.1在解題上的技巧與應用 63.2在中學數學競賽中的應用 64總結 7參考文獻 8致謝 101引言數論，它一直是數學上的一個重要領域，它有著悠久的歷史，從最初的結繩計數、籌碼計數和算盤計數發(fā)展到現(xiàn)在的代數，無不體現(xiàn)了它的歷史性。而對代數數論的研究這一工作，一直推動著數學史的發(fā)展，由于它自身的魅力，吸引了許許多多偉大的數學家，且他們那些輝煌的研究成果對現(xiàn)在來說有著重要的意義。勾股方程是代數當中的一重要知識點，提到勾股方程這一知識點，自然對勾股定理這一概念并不陌生，然而勾股定理在很久以前就被前人發(fā)現(xiàn)并進行了推廣，它是一個偉大的定理，所謂勾股定理，即在一直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。由此而得勾股方程a2+b2=c2，這是我們在初中就已經得到的一個結論，當時并未去深入進行研究，但是這么多年以來，許許多多的數學家已對此方程進行了證明以及推廣，就目前來講，就已經有數百種證明方法。近年，并有多篇文章對勾股方程的歷史意義及求解方法進行了討論。繼新課改后，勾股方程在初中就已經要求學習，且勾股方程作為數學上數論的一個重要分支，所以對勾股方程的研究有著重要的意義，我們在前人研究的基礎上應該在更深層次的對其加深理解，就勾股方程的歷史意義來看，它不僅在生活中發(fā)揮著重要的作用，在學習上也充當著不可替代的角色。目前這一知識點已經延伸到數學的許多領域，在每年的數學競賽中以及中高考中都有它的身影出現(xiàn)，正是因為它頻頻出現(xiàn)的原故，導致了很多的問題出現(xiàn)，然而通過本文對勾股方程本原解的求法及其應用的研究討論，為學生在今后學習中遇到的問題能得到解決提供一些參考，并且為在以后拓寬自己的知識視野、提高理論思維及學習勾股方程打下夯實的基礎。2勾股定理及勾股方程2.1勾股定理的發(fā)展起源勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。在中國，商朝時期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。中國：公元前十一世紀，周朝數學家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五?！币鉃椋寒斨苯侨切蔚膬蓷l直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”，根據該典故稱勾股定理為商高定理。公元三世紀，三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細注釋，記錄于《九章算術》中“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”，趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。后劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。在中國清朝末年，數學家華蘅芳提出了二十多種對于勾股定理證法。外國：遠在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，他們還知道許多勾股數組。美國哥倫比亞大學圖書館內收藏著一塊編號為“普林頓322”的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和測量尼羅河泛濫后的土地時，也應用過勾股定理。公元前六世紀，希臘數學家畢達哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習慣地稱這個定理為畢達哥拉斯定理。公元前4世紀，希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個證明。1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的一個證法。1940年《畢達哥拉斯命題》出版，收集了367種不同的證法?！毒耪滤阈g》中，趙爽描述此圖：“勾股各自乘，并之為玄實。開方除之，即玄。案玄圖有可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四。以勾股之差自相乘為中黃實。加差實亦成玄實。以差實減玄實，半其余。以差為從法，開方除之，復得勾矣。加差于勾即股。凡并勾股之實，即成玄實?；蚓赜趦?，或方于外。形詭而量均，體殊而數齊。勾實之矩以股玄差為廣，股玄并為袤。而股實方其里。減矩勾之實于玄實，開其余即股。倍股在兩邊為從法，開矩勾之角即股玄差。加股為玄。以差除勾實得股玄并。以并除勾實亦得股玄差。令并自乘與勾實為實。倍并為法。所得亦玄。勾實減并自乘，如法為股。股實之矩以勾玄差為廣，勾玄并為袤。而勾實方其里，減矩股之實于玄實，開其余即勾。倍勾在兩邊為從法，開矩股之角，即勾玄差。加勾為玄。以差除股實得勾玄并。以并除股實亦得勾玄差。令并自乘與股實為實。倍并為法。所得亦玄。股實減并自乘如法為勾，兩差相乘倍而開之，所得以股玄差增之為勾。以勾玄差增之為股。兩差增之為玄。倍玄實列勾股差實，見并實者，以圖考之，倍玄實滿外大方而多黃實。黃實之多，即勾股差實。以差實減之，開其余，得外大方。大方之面，即勾股并也。令并自乘，倍玄實乃減之，開其余，得中黃方。黃方之面，即勾股差。以差減并而半之為勾。加差于并而半之為股。其倍玄為廣袤合。令勾股見者自乘為其實。四實以減之，開其余，所得為差。以差減合半其余為廣。減廣于玄即所求也?！庇矛F(xiàn)代的數學語言描述就是黃實的面積等于大正方形的面積減去四個朱實的面積。勾股數組勾股數組是滿足勾股定理

的正整數組

，其中的

稱為勾股數。例如

就是一組勾股數組。任意一組勾股數

可以表示為如下形式：

，

，

，其中

均為正整數，且

。定理用途已知直角三角形兩邊求解第三邊，或者已知三角形的三邊長度，證明該三角形為直角三角形或用來證明該三角形內兩邊垂直。利用勾股定理求線段長度這是勾股定理的最基本運用。2.2勾股方程本原解2.2.1勾股方程本原解的定義及性質在研究費爾馬大定理之前，首先要對勾股定理的數論方面進行充分的討論，看一看有什么經驗能夠吸?。m然這兩個定理的結果完全不一樣：x2+y2=z2有無窮多組解，而xn+yn=zn(3.5)沒有非平凡解(關于平凡解，下面就要講到)．但是，它們卻有許多共同的東西，例如：(1)它們都是三個變元的齊次不定方程．(2)由于齊次性，如果(a，b，c)是一組解，那么(ma，mb，mc)也是一組解，這里m是任何一個整數(正數、負數或零)．因此，求解時，我們感興趣的是(a，b，c)=1的解，這樣的解我們稱為本原解．(3)無論是本原解還是非本原解，其中有一些是一眼就能看出但沒有意思的解，這就是a，b，c中一個或三個是零的解，這樣方程(3.5)就成為on+yn=znxn+on=zn,或者xn+yn=on，這樣滿足y=z，x=z的任何整數都是原方程的解，對于n為偶數的情況，有(0，－a，a)及(a，0，－a)，其中a為任何整數．這種有零的解，我們稱之為平凡解，因此我們以后討論解時，都是考慮非平凡解，即xyz≠0的解．為了確定起見，我們不妨只考慮x＞0，y＞0，z＞0的本原解．2.2.2勾股方程本原解的解法(1)它們都是三個變元的齊次不定方程．(2)由于齊次性，如果(a，b，c)是一組解，那么(ma，mb，mc)也是一組解，這里m是任何一個整數(正數、負數或零)．因此，求解時，我們感興趣的是(a，b，c)=1的解，這樣的解我們稱為本原解．(3)無論是本原解還是非本原解，其中有一些是一眼就能看出但沒有意思的解，這就是a，b，c中一個或三個是零的解，這樣方程(3.5)就成為on+yn=znxn+on=zn,或者xn+yn=on，這樣滿足y=z，x=z的任何整數都是原方程的解，對于n為偶數的情況，有(0，－a，a)及(a，0，－a)，其中a為任何整數．這種有零的解，我們稱之為平凡解，因此我們以后討論解時，都是考慮非平凡解，即xyz≠0的解．為了確定起見，我們不妨只考慮x＞0，y＞0，z＞0的本原解．(4)對于齊次方程，求整數解與求有理數解的方法并沒有本質的不同．實際上，對任何一組有理數（a，b，c），則也是一組有理數，其中m和k是任意整數但k≠0．因此若不定方程xn+yn=zn存在整數解，也就存在有理數解；反之，存在有理數解，也就存在整數解．實際上，所有齊次不定方程都有這種特性．而非齊次方程，求整數解與求有理數解的差別就非常大，一般需要分別加以處理．(5)為了使用幾何方法，我們可以把三個變元的齊次方程變?yōu)閮蓚€變元的非齊次方程，這只要用方程(3.5)中的zn(假定z≠0)除方程的每一項即可：我們還可以用(x′)n+(y′)n=1(3.6)表示，這個非齊次方程的有理數解正好對應原齊次方程的整數解，這樣求解方程(3．5)的數論問題就可以變成方程(3．6)的幾何問題．我們不妨把方程(3.6)仍寫為x，y的方程xn+yn=1(3.7)它代表一條平面代數曲線．這樣，求不定方程(3．5)的整數解問題也就成為求這條曲線上的有理點問題，所謂有理點，就是x，y坐標均為有理數的點．現(xiàn)在，我們研究勾股方程的整數解的完全組，看看對費爾馬大定理的證明有沒有啟發(fā)．首先，我們敘述一下勾股方程的基本定理：滿足不定方程x2+y2=z2的本原整數解，都可以表示為x=a2－b2,y=2ab,z=a2+b2其中a，b是任意滿足下述條件的整數．反之，滿足上述條件的x，y，z都是勾股方程的一組本原解．由于我們感興趣的是非平凡的本原解，不失一般性，可以證明其條件為a＞b，(a,b)=1且a與b奇偶性不同，另外，x，y的位置可以互換，即x=2ab，y=a2－b2，z=a2+b2也是一組解．3勾股方程本原解的應用3.1在解題上的技巧與應用勾股定理解題規(guī)律方法指導：1.勾股定理的證明實際采用的是圖形面積與代數恒等式的關系相互轉化證明的。2.勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關系的題目。3.勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯誤。4.勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關系：a^2+b^2＝c^2，那么這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定一個三角形是否是直角三角形的判定方法．5.應用勾股定理的逆定理判定一個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加深對“數形結合”的理解．我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題。3.2在中學數學競賽中的應用勾股方程x+y=z222這是一個相當特殊的三元二次不定方程，它有鮮明的幾何意義，并應用廣泛.22這里只討論勾股方程的正整數解，由方程不難看出，如果（x,y）=d，則d|z，從而d|z，這樣可在勾股方程的兩邊約去d2.所以我們只需討論滿足（x,y）=1的解，此時易知x,y,z實際上兩兩互素.這種x,y,z兩兩互素的正整數解（x,y,z）稱為方程的本原解，也稱為本原的勾股數.將方程模4，并注意（x,y）=1，可知x,y一奇一偶，無妨設y為偶數，下面的結果給出了勾股方程的全部本原解.定理三：方程x2+y2=z2滿足（x,y）=1，z|y的全部正整數解（x,y,z）可表為x=a2?b2，y=2ab,z=a2+b2，其中，a,b是滿足a>b>0，a,b一奇一偶，且（a,b）=1的任意整數.證明從略.4．不定方程xy=zt這是個四元二次方程，此方程也有不少用處，其全部正整數解極易求出：則其中（c,d）=1，acy=adt,即cy=dt,因（c,d）=1，故設（x,z）=a，x=ac,z=ad，所以d|y,設y=bt,則t=bc.因此方程xy=zt的正整數解可表示為x=ac,y=bd,z=ad,t=bc.a,b,c,d都是正整數，且（c,d）=1.反過來，易知上述給出的x,y,z,t都是解.也可采用如下便于記憶的推導：設xtccxc==，這里是既約分數。x=ac,z=ad，同理t=cb,y=ab.Ⅱ.不定方程一般的求解方法1．奇偶分析法；2．特殊模法；3．不等式法；4總結1．勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端；2．勾股定理是歷史上第一個把數與形聯(lián)系起來的定理，即它是第一個把幾何與代數聯(lián)系起來的定理；3．勾股定理導致了無理數的發(fā)現(xiàn)，引起第一次數學危機，大大加深了人們對數的理解；4．勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理；5．勾股定理是歐氏幾何的基礎定理，并有巨大的實用價值．這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他科學領域也有著廣泛的應用．1971年5月15日，尼加拉瓜發(fā)行了一套題為“改變世界面貌的十個數學公式”郵票，這十個數學公式由著名數學家選出的，勾股定理是其中之首。參考文獻[1]王國炳.商高不定方程的解與勾股數[J].宜賓師專學報，1997，（02）：18-20.[2]何金敏，王慶平.關于勾股丟番圖方程x~2+（x+k）~2=z~2[J].齊齊哈爾輕工學院學報，1997，（02）：34-41.[3]蘇岐芳.關于勾股丟番圖方程的解[J].臺州學院學報，2002，（06）：10-13.[4]戎士奎，劉滬濤.談已知一邊的勾股方程的整數解[J].貴州教育學院學報（自然科學），2002，（04）：9-12.[5]戎軍，戎士奎.第二類廣勾股方程的解[J].貴州教育學院學報（自然科學），2004，（02）：6-10.[6]簡斯?休儒