2023-2024學(xué)年海南省陵水黎族自治縣高三上冊(cè)第三次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題（含解析）

2023-2024學(xué)年海南省陵水黎族自治縣高三上冊(cè)第三次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2【正確答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運(yùn)算解出．方法二：將集合中的元素逐個(gè)代入不等式驗(yàn)證，即可解出．【詳解】方法一：因?yàn)?，而，所以．故選：C．方法二：因?yàn)椋瑢⒋氩坏仁?，只有使不等式成立，所以．故選：C．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，則（）．A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義得，再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則得結(jié)果.【詳解】由題意得，.故選：B.本題考查復(fù)數(shù)幾何意義以及復(fù)數(shù)乘法法則，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.3.從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為A. B. C. D.【正確答案】D【詳解】分析：分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為，從以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學(xué)的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學(xué)的概率為，故選D.點(diǎn)睛：應(yīng)用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率.4.已知向量滿足，則（）A. B. C.0 D.1【正確答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】向量滿足，所以.故選：B5.下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lgx的定義域和值域相同的是A.y＝x B.y＝lgx C.y＝2x D.y＝【正確答案】D【詳解】試題分析:因函數(shù)的定義域和值域分別為,故應(yīng)選D．考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)的定義域和值域等知識(shí)的綜合運(yùn)用．6.函數(shù)的圖象大致是A. B. C. D.【正確答案】A【詳解】因?yàn)?、4是函數(shù)的零點(diǎn)，所以排除B、C；因?yàn)闀r(shí)，所以排除D,故選A7.若為偶函數(shù)，則（）．A. B.0 C. D.1【正確答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出值，再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，，解得或，則其定義域?yàn)榛?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.，故此時(shí)為偶函數(shù).故選：B.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，全選錯(cuò)的得0分）9.若，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A. B.C. D.【正確答案】CD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.詳解】由于，對(duì)于A：由于，所以函數(shù)為減函數(shù)，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由于，所以函數(shù)為減函數(shù)，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由于，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，故C正確；對(duì)于D：由于，所以，所以，所以，故D正確.故選：CD10.下列命題正確的是（）A.函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為，則的大小順序?yàn)锽.平面與，的充要條件是內(nèi)有兩條相交直線都與平行C.方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D.若，則【正確答案】AB【分析】在同一直角坐標(biāo)系中作出，，的圖像，根據(jù)圖像即可判斷的大小關(guān)系，進(jìn)而判斷A；根據(jù)面面平行的性質(zhì)與判定定理，即可判斷B；分類討論的范圍，即可判斷C；作出的圖像，其中，即可判斷D．【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由，得，可解得，即，由，得，由，得，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出，，，的圖像，由圖像可知：，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B，由面面平行的性質(zhì)與判定定理，可判斷B正確；對(duì)于C，對(duì)于方程，當(dāng)，即時(shí)，此方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；當(dāng)，即時(shí)，方程為，即，表示兩條直線；當(dāng)，即時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，作出的圖像，其中，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，則，故D錯(cuò)誤，故選：AB．11.下列函數(shù)的說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是個(gè).B.函數(shù)既是奇函數(shù)又是增函數(shù).C.函數(shù)與是互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線對(duì)稱.D.函數(shù)的遞增區(qū)間為【正確答案】ABCD【分析】根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可判斷A；根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性即可判斷B；根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)系即可判斷C；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)都是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，又，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有個(gè)零點(diǎn)，故A對(duì)；對(duì)于B，，因?yàn)?，所以函?shù)是奇函數(shù)，又當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，且，所以函數(shù)為R上的增函數(shù)，故B對(duì)；對(duì)于C，函數(shù)與是互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故C對(duì)；對(duì)于D，，由，得，令，得，所以函數(shù)得增區(qū)間，故D對(duì).故選：ABCD12.下列命題正確的是（）A.若則實(shí)數(shù)的取值范圍為.B.若數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則；C.若數(shù)列與，且，則；D.的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a，b，c成等比數(shù)列，則的最小值為.【正確答案】ABD【分析】對(duì)于A，利用指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可；對(duì)于B，裂項(xiàng)相消求和；對(duì)于C，錯(cuò)位相減求和；對(duì)于D，利用余弦定理及基本不等式求最值即可.【詳解】A項(xiàng)，由，得；由，得；當(dāng)時(shí)，由，得，則，所以A正確；B項(xiàng)，裂項(xiàng)有：，得.所以B正確；C項(xiàng)，用錯(cuò)位相減法,由，得；兩式相減，得，得，所以C錯(cuò)誤;D項(xiàng)，由成等比數(shù)列，得，由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．得最小值為，所以D正確.故選：ABD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_____________.函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_____________.若，則______________.【正確答案】①.②.③.2【分析】根據(jù)函數(shù)解析式列出相應(yīng)不等式，即可求得函數(shù)的定義域；分類討論，利用基本不等式可求得的值域，根據(jù)函數(shù)解析式結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】由有意義，得，得，得函數(shù)的定義域?yàn)?；函?shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)；，故函數(shù)的值域?yàn)?由，得，故；；214.函數(shù)是上周期為5的奇函數(shù)，且，，則________.若函數(shù)的定義域?yàn)椋液瘮?shù)與都是偶函數(shù)，則的最小正周期為_(kāi)_____.【正確答案】①.-1②.4【分析】空1：根據(jù)函數(shù)周期5且為奇函數(shù)，分別求出，的值，從而求解；空2：根據(jù)函數(shù)和都是偶函數(shù)，從而求出函數(shù)的兩對(duì)稱軸，，從而求出最小正周期.【詳解】空1：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)且周期為，從而得：，，所以，，所以.空2：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以得函數(shù)的最小正周期.故;415.已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是__________.【正確答案】【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以不等式，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得.考點(diǎn)：本小題主要考查抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查絕對(duì)值不等式的解法，熟練基礎(chǔ)知識(shí)是關(guān)鍵.16.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，定義.設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的最大值是_______.【正確答案】【分析】畫(huà)出和的圖象，得到的圖象，根據(jù)圖象得到最大值.【詳解】在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，依題意，的圖象為如圖所示的實(shí)線部分，令,則點(diǎn)為圖象的最高點(diǎn)，因此的最大值為，故四、解答題（本大題共6小題，每小題70分，共20分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，.（1）若，求的通項(xiàng)公式；（2）若，求.【正確答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.【分析】設(shè)的公差為d，的公比為q，（1）由條件可得和，解方程得，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式；（2）由條件得，解得，分類討論即可得解.【詳解】設(shè)的公差為d，的公比為q，則，.由得.①（1）由得②聯(lián)立①和②解得（舍去），因此的通項(xiàng)公式為.（2）由得.解得.當(dāng)時(shí)，由①得，則.當(dāng)時(shí)，由①得，則.本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.18.在中，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面積．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【正確答案】選擇條件①（Ⅰ）8（Ⅱ）,；選擇條件②（Ⅰ）6（Ⅱ）,.【分析】選擇條件①（Ⅰ）根據(jù)余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得,再根據(jù)正弦定理求,最后根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果；選擇條件②（Ⅰ）先根據(jù)三角函數(shù)同角關(guān)系求得，再根據(jù)正弦定理求結(jié)果，（Ⅱ）根據(jù)兩角和正弦公式求，再根據(jù)三角形面積公式求結(jié)果.【詳解】選擇條件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：選擇條件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）本題考查正弦定理、余弦定理，三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.19.如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【正確答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計(jì)算證明；（Ⅱ）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計(jì)算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算求解.【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；[方法二]:空間向量坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：幾何法延長(zhǎng)到，使得，連接，交于，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,連接，作,垂足為,連接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直線平面,又∵直線平面∴平面平面,∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影，∠為直線與平面所成的角，根據(jù)直線直線，可知∠為直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則,,∴,∴,∴,即直線與平面所成角的正弦值為.[方法二]：向量法接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.[方法三]：幾何法+體積法如圖，設(shè)的中點(diǎn)為F，延長(zhǎng)，易證三線交于一點(diǎn)P．因?yàn)?，所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，在中，易得，可得．由，得，整理得．所以．所以直線與平面所成角的正弦值為．[方法四]：純體積法設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)到平面的距離為h，在中，，，所以，易得．由，得，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，所以．【整體點(diǎn)評(píng)】（Ⅰ）的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明；（II）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒(méi)有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計(jì)算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計(jì)算較為簡(jiǎn)潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計(jì)算，省卻了輔助線和幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.20.已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)，且離心率.（1）求橢圓C的方程；（2）直線l的斜率為，直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l方程.【正確答案】（1）（2）【分析】(1)根據(jù)離心率求出參數(shù)的關(guān)系，再根據(jù)橢圓過(guò)點(diǎn)，進(jìn)而求解；(2)設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理求出兩交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再利用弦長(zhǎng)公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，所以，又橢圓過(guò)點(diǎn)，所以，所以，故所求橢圓方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)的方程為，點(diǎn)，聯(lián)立方程組，整理，得，所以，解得：，所以，，則，解得.故所求直線的方程為.21.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗(yàn)新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項(xiàng)指標(biāo)有無(wú)提高，用一臺(tái)舊設(shè)備和一臺(tái)新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為和，樣本方差分別記為和．（1）求，，，；（2）判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高（如果，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高）．【正確答案】（1）；（2）新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算方法，計(jì)算出平均數(shù)和方差.（2）根據(jù)題目所給判斷依據(jù)，結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行判斷.【詳解】（1），，，.（2）依題意，，，，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.22.2022年北京冬奧會(huì)儀式火種臺(tái)（如圖①）以“承天載物”為設(shè)計(jì)理念，創(chuàng)意靈感來(lái)自中國(guó)傳統(tǒng)青銅禮器——尊（如圖②），造型風(fēng)格與火炬、火種燈和諧一致.儀式火種臺(tái)采用了尊的曲線造型，基座沉穩(wěn)，象征“地載萬(wàn)物”.頂部舒展開(kāi)闊，寓意著迎接純潔的奧林匹克火種.祥云紋路由下而上漸化為雪花，象征了“雙奧之城