河北省秦皇島市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省秦皇島市部分學(xué)校2024屆高三上學(xué)期開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題1.已知集合，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得或，則或，因此；又，則.故選：C.2.已知，則的虛部為（）A. B.4 C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以，所以的虛部為.故選：A.3.正邊長為，、為線段的三等分點，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為是邊長為的等邊三角形，（法一）由題意，，，由平面向量數(shù)量積的定義可得，所以，；（法二）以所在直線為軸，以垂直平分線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，則，，所以，；故選：C.4.從點射出的光線經(jīng)軸反射后，與圓有公共點，則反射光線所在直線斜率的最小值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)光學(xué)性質(zhì)可得，反射光線一定經(jīng)過關(guān)于軸的對稱點，反射光所在直線斜率不存在時，反射光的直線方程為，由，易得該方程組無解，于是反射光所在直線斜率存在，設(shè)經(jīng)過的直線為，若反射光和圓有公共點，則圓心到直線的距離不超過半徑，根據(jù)點到直線的距離公式，，整理得，即，解得，故斜率最小值是.故選：A5.中國傳統(tǒng)木構(gòu)建筑的窗欞是框架結(jié)構(gòu)設(shè)計，它是傳統(tǒng)建筑中最重要的構(gòu)成要素之一，也是建筑的審美中心.如圖中矩形是某窗欞的一部分，圖中與矩形邊平行的橫線與豎線構(gòu)成矩形（）個A24 B.27 C.36 D.60〖答案〗C〖解析〗在矩形中的條橫線任選條，有種方法，條豎線任選條，有種方法，這時一定會圍成一個封閉圖形，即為所求矩形，共有種方法.故選：C6.正數(shù)滿足，則的最大值為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因為正數(shù)滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，得.則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為2，故選：B7.已知是橢圓的兩個焦點，點在上，若的離心率，則使為直角三角形的點有（）個A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗D〖解析〗由可得，即，可得，因此以為直徑作圓與必有四個不同的交點，因此中以的三角形有四個，除此之外以為直角，為直角的各有兩個，所以存在使為直角三角形的點共有8個.故選：D8.已知函數(shù)在上有兩個不等根，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，在有兩根，則時，，，不妨設(shè)，則，.故選：D二、選擇題9.已知數(shù)列滿足且的前項和為，則（）A.是等差數(shù)列 B.為周期數(shù)列C.成等差數(shù)列 D.成等比數(shù)列〖答案〗AB〖解析〗由且則且，故，所以在上成立，A對；綜上，為奇數(shù)時，為偶數(shù)時，B對；為奇數(shù)，為偶數(shù)，不成等差數(shù)列，C錯；不成等比數(shù)列，D錯.故選：AB10.如圖為一正方體的展開圖、則在原正方體中（）A. B.C.直線與所成的角為 D.直線與所成的角為〖答案〗BCD〖解析〗畫出原正方體如下圖所示，由圖可知：與不平行，A選項錯誤.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以四邊形是平行四邊形，所以，而，所以，所以B選項正確.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，三角形是等邊三角形，直線與所成的角為，所以直線與所成的角為，C選項正確.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，三角形是等邊三角形，直線與所成的角為，所以直線與所成的角為，D選項正確.故選：BCD.11.定義在上的函數(shù)滿足，且.則的圖象（）A.關(guān)于點中心對稱 B.關(guān)于點中心對稱C.關(guān)于直線對稱 D.關(guān)于直線對稱〖答案〗BD〖解析〗①，，則②，由①②得，，即③，，④，周期為6，由，得為奇函數(shù)⑤，，由③⑤得，，關(guān)于對稱，由④⑤得，，關(guān)于對稱，故BD正確.故選：BD.12.為拋物線上的動點，動點到點的距離為（F是的焦點），則（）A.的最小值為 B.最小值為C.最小值為 D.最小值為〖答案〗BCD〖解析〗拋物線焦點坐標(biāo)為，動點到距離為設(shè)點為，則整理得，，即，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設(shè)點為，則點到距離時，最小為，最小值為，故A錯誤.點為，最小為最小值為1，最小為，故B正確.等于點到直線的距離，最小值為到直線的距離減去，即，故C正確.到的距離為最小值為到的距離與和的最小值，即到的距離最小值，設(shè)為則到距離為當(dāng)時，最小值為2，最小值為2，得最小值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題13.五名學(xué)生每人投籃15次，統(tǒng)計他們每人投中的次數(shù)，得到五個數(shù)據(jù)，若這五個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6，唯一的眾數(shù)是7，則他們投中次數(shù)的總和最大是_________.〖答案〗29〖解析〗假設(shè)五個數(shù)據(jù)按照由小到大排列為，因為這五個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是6，唯一的眾數(shù)是7，所以，所以最大的三個數(shù)的和為，因為兩個較小的數(shù)一定是小于6的非負(fù)整數(shù)，且不相等，最大為4和5，所以這五個數(shù)的和一定大于20且小于等于29，故〖答案〗為：2914.的展開式中，的系數(shù)為10，則_________.〖答案〗〖解析〗其展開式的通項公式為，令得因為的系數(shù)為10，則，解得，故〖答案〗為：.15.如圖數(shù)陣中，第一行有兩個數(shù)據(jù)圴為1，將上一行數(shù)據(jù)中每相鄰兩數(shù)的和插入到兩數(shù)中，得到下一行數(shù)據(jù)，形成數(shù)陣，則數(shù)陣第11行共有_________個數(shù)，第行所有數(shù)據(jù)的和_________.〖答案〗〖解析〗由數(shù)陣形成規(guī)律，設(shè)第行數(shù)據(jù)有個，則，則，是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.則，，設(shè)第行數(shù)據(jù)的和為，第行數(shù)據(jù)為，則第行數(shù)據(jù)為，，，得從第二項起，是以為第二項，以3為公比的等比數(shù)列，，，時，，.故〖答案〗為：；16.三棱錐中，在底面的射影為的內(nèi)心，若，，則四面體的外接球表面積為_________.〖答案〗〖解析〗三棱錐底面為直角三角形，為內(nèi)心，由，可得，以為坐標(biāo)原點，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：設(shè)內(nèi)切圓半徑，易知的周長為，面積為；由等面積可得，解得；設(shè)四面體外接球球心為，所以易知在平面射影為中點，易知，則，設(shè)，則，且，即，解得，則四面體的外接球表面積為.故〖答案〗為：.四、解答題17.某市電視臺為了解一檔節(jié)目收視情況，隨機抽取了該市n對夫妻進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查得到每人日均收看該節(jié)目的時間繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，收視時間不低于40分鐘的觀眾稱為“熱心觀眾”，收視時間低于40分鐘的觀眾稱為“非熱心觀眾”，已知抽取樣本中收視時間低于10分鐘的有10人.（1）求n，p；（2）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析“熱心觀眾”是否與性別有關(guān).非熱心觀眾熱心觀眾總計男女10總計附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）收視時間在分鐘組的頻率為，，又收視時間低于10分鐘的有10人，，；（2）“熱心觀眾”有人，則列聯(lián)表如下圖所示：非熱心觀眾熱心觀眾總計男351550女401050總計7525100零假設(shè)：“熱心觀眾”與性別無關(guān)聯(lián).將列聯(lián)表數(shù)據(jù)代入公式計算得：，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)證明不成立，因此可認(rèn)為成立，即認(rèn)為“熱心觀眾”與性別無關(guān)聯(lián).18.已知數(shù)列的前項和為，且是首項為4，公比為2的等比數(shù)列.（1）求；（2）求證：數(shù)列的前項和.（1）解：是首項為4，公比為2的等比數(shù)列.，，當(dāng)時，，又，；（2）證明：，，，得.19.如圖，圓柱底面直徑長為4，C是圓上一點，且.（1）求證：平面平面；（2）若與面所成角為，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：為圓柱，直線平面，直線直線又直線為圓的直徑，，，又，平面，且平面，平面平面.（2）解：過點作于點，連接，平面，平面，所以平面平面，又因為，平面與平面的交線為，所以平面，所以即為與面所成角，即，平面，所以，所以為等腰直角三角形，，，為等邊三角形，，，以點為坐標(biāo)原點，以直線為軸，以過點且垂直于直線的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)題意得，，，，，，，設(shè)為平面的法向量，，，令，則，，所以平面的法向量為，設(shè)為平面的法向量，，，令，則，，所以平面的法向量為，平面與平面夾角的余弦值.20.記的內(nèi)角的對邊分別為，面積為，已知.（1）求的值；（2）若邊上的中線，求周長的最小值.解：（1）∵面積為，，且，得，，由正弦定理得：，，，，，.（2）邊上中線，，，得，，，，且，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時，“=”成立.又，由余弦定理得，，，設(shè)，，設(shè)，，在單調(diào)遞減，又，，，在單調(diào)遞減，則最小值為，所以當(dāng)時，的最小值為，故周長最小值為.21.已知雙曲線的右焦點為，漸近線方程為.（1）求雙曲線的方程；（2）過的直線與交于兩點，過的左頂點作的垂線，垂足為，求證：.（1）解：的右焦點為，漸近線方程為，，，的方