短梁平面應(yīng)力解析解的改進(jìn)

短梁平面應(yīng)力解析解的改進(jìn)

在彈性力學(xué)工作中，描述了傾斜臂梁和簡支梁的平面應(yīng)力解，其中，定波梁的兩端固定，布置在一起，得到了丁浩江等人確定的平面應(yīng)力解。當(dāng)v/x或u/y位移時，它們在兩個方向上移動，邊界條件在點0下確定。當(dāng)s，u/y為零時，分析解，從中獲得分析解的數(shù)量，并將解的性質(zhì)與有限差分解的結(jié)果進(jìn)行比較。這里，uy是零解，ahme的結(jié)果差約為15%，v/x是零解，ahme的結(jié)果差約為75%。在彈性力學(xué)平面梁的彎曲問題中,嚴(yán)格滿足端面固定邊界條件的解析解現(xiàn)在還沒有得到,通常采用簡化的邊界條件,才能進(jìn)行求解.文獻(xiàn)的解采用簡化的固支邊界條件,即只要求固定端在端面中點2個方向的位移及?v/?x(或?u/?y)為零.由于在中點給定的簡化固支邊界條件無法完全約束整個端面的位移和轉(zhuǎn)角,對于長高比小于5(l/h<5)的短梁,解的誤差會比較大,誤差來自簡化固支邊界條件.因此,本文仍采用文獻(xiàn)中的應(yīng)力函數(shù)φ形式,提出改進(jìn)的簡化固支邊界條件,即令固定端面中點2個方向的位移和上端點的縱向位移為零,求解了兩端固定受均布載荷的短梁的平面應(yīng)力問題.為考察所得解的準(zhǔn)確度,文中補充了有限元分析結(jié)果.本文所得撓度與已有解析解及有限差分的結(jié)果作了比較,應(yīng)力結(jié)果與已有解析解及本文有限元分析結(jié)果作了比較,表明本文解析解的位移和應(yīng)力與有限差分及有限元分析的結(jié)果符合得較好,比已有的解析解,準(zhǔn)確度提高很多,能夠用于計算兩端固定短梁彎曲的變形和應(yīng)力.1懸臂梁固支結(jié)構(gòu)參數(shù)的確定考慮單位厚度、矩形截面的短梁,兩端固定,梁的上表面受均布載荷q的作用,下表面不受力,梁的長度為l,梁的高度為h,如圖1所示.根據(jù)圖1所示,梁按彈性力學(xué)平面應(yīng)力問題處理時的邊界條件是{y=h/2,σy=-q,τxy=0y=-h/2,σy=0,τxy=0x=0,u=0,v=0x=l,u=0,v=0(1)???????????y=h/2,y=?h/2,x=0,x=l,σy=?q,τxy=0σy=0,τxy=0u=0,v=0u=0,v=0(1)在無體積力條件下,平面應(yīng)力分量可以用應(yīng)力函數(shù)φ表示:σx=?2φ?y2,σy=?2φ?x2,τxy=?2φ?x?y(2)σx=?2φ?y2,σy=?2φ?x2,τxy=?2φ?x?y(2)其中,應(yīng)力函數(shù)φ滿足重調(diào)和方程.所以,問題的嚴(yán)格解要求重調(diào)和應(yīng)力函數(shù)φ滿足平面問題的邊界條件式(1).由于要求在梁的兩個端面的所有點上,位移u和v都等于零,這樣的重調(diào)和應(yīng)力函數(shù)φ現(xiàn)在還沒有找到,所以通常改用梁的簡化固支邊界.文獻(xiàn)中采用的重調(diào)和應(yīng)力函數(shù)φ為7項五次多項式:φ=a(y5/5-x2y3)+bxy3+cy3+dy2+ex2y+fxy+gx2(3)φ=a(y5/5?x2y3)+bxy3+cy3+dy2+ex2y+fxy+gx2(3)式中:a,b,c,d,e,f,g是7個待定系數(shù),由邊界條件來確定.由式(2)得應(yīng)力分量的公式如下:{σx=2a(2y3-3x2y)+6bxy+6cy+2dσy=-2ay3+2ey+2gτxy=6axy2-3by2-2ex-f(4)???????σx=2a(2y3?3x2y)+6bxy+6cy+2dσy=?2ay3+2ey+2gτxy=6axy2?3by2?2ex?f(4)由位移和應(yīng)力的關(guān)系,得到位移分量公式如下:{u=[2a(2+μ)xy3-(2ax3-3bx2-6cx+2μex)y+2dx-2μgx]/E-[b(2+μ)y3+2(1+μ)fy]/E+ωy+u0v=[-a(1+2μ)y4/2+(3aμx2-3bμx-3μc+e)y2-2dμy+2gy+ax4/2-bx3-3cx2-(2+μ)ex2]/E-ωx+v0(5)???????????????????????u=[2a(2+μ)xy3?(2ax3?3bx2?6cx+2μex)y+2dx?2μgx]/E?[b(2+μ)y3+2(1+μ)fy]/E+ωy+u0v=[?a(1+2μ)y4/2+(3aμx2?3bμx?3μc+e)y2?2dμy+2gy+ax4/2?bx3?3cx2?(2+μ)ex2]/E?ωx+v0(5)其中:ω,u0,v0為任意的積分常數(shù),也由邊界條件來確定.式(3)中的應(yīng)力函數(shù)只含有7個任意常數(shù),無法滿足式(1)中所有的邊界條件,所以文獻(xiàn)沿用文獻(xiàn)中關(guān)于懸臂梁的固支邊界條件的表示方法,將邊界條件式(1)改為式(6)和式(7)這2種:{y=h/2,σy=-q,τxy=0y=-h/2,σy=0,τxy=0x=0,y=0,u=0,v=0,?v/?x=0x=l,y=0,u=0,v=0,?v/?x=0(6){y=h/2,σy=-q,τxy=0y=-h/2,σy=0,τxy=0x=0,y=0,u=0,v=0,?u/?y=0x=l,y=0,u=0,v=0,?u/?y=0(7)???????????y=h/2,y=?h/2,x=0,y=0,x=l,y=0,σy=?q,τxy=0σy=0,τxy=0u=0,v=0,?v/?x=0u=0,v=0,?v/?x=0(6)???????????y=h/2,y=?h/2,x=0,y=0,x=l,y=0,σy=?q,τxy=0σy=0,τxy=0u=0,v=0,?u/?y=0u=0,v=0,?u/?y=0(7)式(3)和式(5)中10個待定系數(shù),正好可以由邊界條件式(6)或式(7)完全確定.文獻(xiàn)給出了相應(yīng)的兩組解答.端面中點u=0,v=0,?v/?x=0或?u/?y=0的條件與端面各點u=0,v=0的條件,對于長高比小的短梁,差別很大.例如:文獻(xiàn)所得撓度與按邊界條件式(1)的有限差分結(jié)果相比,誤差高達(dá)19%～76%.為了提高文獻(xiàn)解析解的準(zhǔn)確度,本文將邊界條件式(6)和式(7)改為{y=h/2,σy=-q,τxy=0y=-h/2,σy=0,τxy=0x=0,y=0,u=0,v=0x=0,y=h/2,u=0x=l,y=0,u=0,v=0x=l,y=h/2,u=0(8)?????????????????????y=h/2,y=?h/2,x=0,y=0,x=0,y=h/2,x=l,y=0,x=l,y=h/2,σy=?q,τxy=0σy=0,τxy=0u=0,v=0u=0u=0,v=0u=0(8)即去掉式(6)和式(7)中的中點?v/?x=0或?u/?y=0的條件,改為端面頂點縱向位移為零.由邊界條件式(8)確定的7個系數(shù)和3個積分常數(shù)分別為a=qh3,b=qlh3,c=q(-l2-h2+μh2)6h3,d=-qμ4,e=3q4h,f=-3ql4h,g=-q4?ω=-ql(4+5μ)4hE,u0=0,v0=0(9)按邊界條件式(8)得到的應(yīng)力分量和位移分量的公式是:{σx=q[4y3+6(l-x)xy-(l2+h2-μh2)y-μh3/2]/h3σy=-q(4y3-3h2y+h3)/(2h3)τxy=3q(2x-l)(4y2-h2)/(4h3){u=-q(2x-l)y[4x(x-l)+(μ+2)?(h2-4y2)]/(4Eh3)v=q{-2y4(1+2μ)+[2μ(h2+l2)+h2]y2+2(μ2-1)(h-y)h2y?x(x-l)[12μy2+2x(x-l)-(5μ+4)h2]}/(4Eh3)表1中列出了由于采用不同的3種邊界條件式(6),(7),(8)的10個待定系數(shù)中發(fā)生差異的2個系數(shù)c和ω.應(yīng)力σy和τxy中不包含c和ω,所以3種邊界條件解得的σy和τxy是相同的,但σx,u,v是有差別的.由于采用了式(3)所示的應(yīng)力函數(shù)φ,φ中只含有7個待定系數(shù),所以在梁的兩端只能各選擇1個點上的u=0,v=0和另1個點上的一個位移分量為零,如式(8)所示.要在梁的兩端滿足更多的點上給定的約束條件,以提高解的準(zhǔn)確度,就需要在應(yīng)力函數(shù)式(3)中添加更多的項.但是,經(jīng)過仔細(xì)查考,在二次到九次的全部多項式中,除式(3)中的7項外,沒有別的項可供選用,九次以上的多項式中,也不會有可供選用的多項式添加到φ中.因此,按照文獻(xiàn)的應(yīng)力函數(shù)解法,不可能在式(3)中添加更多的項,使得解的準(zhǔn)確度作進(jìn)一步的提高.2y.3.3合理還將三種自本文計算中,采用的梁的材料常數(shù)及均布載荷與文獻(xiàn)相同,即,E=200GPa,μ=0.3,q=60MPa.令梁的長高比為2,即l/h=2.圖2為文獻(xiàn)、差分法解和本文撓度結(jié)果的比較,圖中給出了y/h=0.04處的撓度.由圖可見:文獻(xiàn)按邊界條件式(7)的最大撓度與文獻(xiàn)結(jié)果的偏差為19.43%,文獻(xiàn)按邊界條件式(6)的最大撓度與文獻(xiàn)結(jié)果的偏差為76.27%,本文按邊界條件式(8)的最大撓度與文獻(xiàn)的結(jié)果偏差為8.79%,與本文有限元法(FEM)結(jié)果的偏差為3.54%.由于文獻(xiàn)的差分結(jié)果和本文有限元結(jié)果都是按照邊界條件式(1)算出的結(jié)果,所以本文采用的簡化固定邊界條件式(8)可以作為邊界條件式(1)的近似.此外,文獻(xiàn)的差分網(wǎng)格較粗(14×14),本文的有限元網(wǎng)格較細(xì)(200×100),所以,本文的有限元結(jié)果較文獻(xiàn)的差分結(jié)果更準(zhǔn)確,由此可見,本文按邊界條件式(8)的最大撓度結(jié)果是相當(dāng)準(zhǔn)確的.為更深入地考察文獻(xiàn)和本文解的有效性,本文用ANSYS軟件對受均布載荷的短梁進(jìn)行了計算,短梁兩端的每個節(jié)點在x,y方向的位移均被約束.圖3為短梁中截面(x/l=0.5)上的應(yīng)力分布.3種解的σy結(jié)果是相同的,與FEM結(jié)果幾乎重合.由圖3(a)中的σx的結(jié)果可見,本文的結(jié)果較好,與FEM的結(jié)果比較接近,其次是文獻(xiàn)按邊界條件式(7)的結(jié)果,文獻(xiàn)按邊界條件式(6)的結(jié)果較差.圖4為靠近固定端(x/l=0.08)處截面上的應(yīng)力分布的比較.由于3個解析解中,所采用的邊界條件式(6),(7),(8)與式(1)相比,都有很大的放松,在固定端附近,解的準(zhǔn)確度要受到更多的質(zhì)疑.由圖4b和c可見:3個解的σy和τxy結(jié)果是相同的,但與FEM結(jié)果相比,有明顯誤差.由圖4a可見:3個解的σx的變化趨勢一致,與FEM結(jié)果相比,本文的解析解與有限元結(jié)果相比,符合得好一些.3簡化邊界條件在兩端固定的短梁的平面問題中,要得到完全滿足邊界條件的解析解是很困難的,通常采用對邊界條件進(jìn)行簡化后再求解.文獻(xiàn)采用了只要求固定端在端面中點2個方向的位移及其?v/?x或?u/?y為零的簡化邊界條件.其中或的條件,是指只在x=0及l(fā),y=0一點處的x方向或